CARLOS SANCHEZ CHINEA. MARCHENA (Sevilla) INTEGRAL DE LEBESGUE-STIELTJES
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- Juan Luis Herrera Espinoza
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1 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 INTEGRAL DE LEBEGE-TIELTJE 0 Objetivos y procediietos de a eposició Cases aditivas de cojutos La case de Bore La edida de Lebesue 3 uas de Darbou ropiedades de ootoía: 4 Itera superior e iferior respecto a ua -edida Fucioes iterabes Lebesue-tietjes 5 La fucioes edibes Bore ropiedades de a iteració Lebesue- tietjes 6 La iteració de sucesioes fucioaes uiforeete acotadas 7 La iteració de series coveretes casi dode quiera 8 Geeraizació de a iteració Lebesue-tietjes a fucioes de variabes 9 Bibiorafía
2 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia Objetivos y procediietos de a eposició: 0 Objetivos: E objetivo de esta eposició es a presetació de a itera de Lebesue-tietjes para fucioes de ua soa variabe co eeraizació para variabes 0 rocediietos: Estudiareos e tea itetado presetar e prier uar e cocepto de case aditiva de cojutos y viedo coo toda faiia C de cojutos eedra ua case aditiva íia; e particuar a faiia de os itervaos de R que eedra coo case aditiva íia o que se aa case de Bore A cotiuació itetareos presetar aua fora o odo de edir cojutos tratado de defiir ua edida Epezareos defiiédoa para itervaos de R ueo para cojutos que sea uió de sucesioes uerabes de itervaos de R hasta fiaete estabecer ua case L de cojutos que adita ta edida erá esta case o que aareos case de os cojutos edibes E siuiete paso e e procediieto de a eposició es eeraizar a edida a fucioes de cojutos y trabajar co ua -edida dada
3 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 Cases aditivas de cojutos La case de Bore: Defiició : Dado u espacio ua case de cojutos de F* es aditiva cuado y soo cuado se verifique que: a F* b i todos os eeetos de a sucesió uerabe perteece a F* etoces a uió tabié perteece a F*: ` F* c i A perteece a F* tabié su copeetario - A perteece a F* e prueba triviaete que si F y F so dos cases aditivas de espacio tabié F F es ua case aditiva de espacio Teorea : Dada ua faiia C de subcojutos de eiste siepre ua case F b de subcojutos de que cupe: C F b F b es case aditiva 3 F b es a íia case aditiva que cotiee a C Deostració: ea F a case defiida por: F' { F / C F y F _ case _ aditiva_ de _ } i i Es caro que F pues a eos e cojuto de as partes de perteece a F Cosidereos etoces: F b F i F i F Es iediato que F b es case aditiva y C F b Adeás se prueba fáciete que es a íia case aditiva que cotiee a C La case F b se aa case aditiva eedrada por C i Defiició : i C es e cojuto de os itervaos de R abiertos cerrados y seiabiertos etoces a case F b eedrada por C se aa case de os cojutos de Bore de R y se deota por B 3
4 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 La edida de Lebesue: Defiició 3: ea u cojuto y H ua faiia de subcojutos de a edida defiida e H es ua apicació L:H R que verifique as dos codicioes siuietes: a ara todo cojuto H de H es LH 0 b i H es a uió de cojutos disjutos H i de a faiia H etoces a edida de H es a sua aebraica de as edidas de os H i Teorea : H H H H i H j LH LH LH i i a b es u itervao e R etoces Li b a es ua edida e a case I de os itervaos de R E efecto: a Triviaete Li b a 0 " b ara ua sucesió de itervaos disjutos {i } {a b } se cupe que LΣi ΣLi Así pues L oitud de itervao es ua edida e a faiia I de os itervaos de R Teorea 3: ea Fr a faiia de cojutos de R que puede epresarse coo reuió de ua sucesió uerabe de itervaos de R Es caro que I Fr i defiios sobre Fr ua apicació Lr:Fr R de fora que Lr apicada a u eeeto F de Fr que tabié perteezca a I coicida co a edida L defiida ateriorete e I etoces se cupe que Lr es tabié ua edida e Fr E efecto: 4
5 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 "I Fr I I I I co Ij I si i j co o cua es LI LI LI LI Defiició 4: ea e espacio forado por u itervao a b de R y cosidereos u cojuto a b ea asiiso u eeeto I de a case Fr se verifica que I a b o cua puede hacerse siepre pues a eos se podría toar I a b E estas codicioes defiios: edida eterior Le de cojuto es e etreo iferior o ífio de cojuto de úeros reaes dado por {LI / I es u cojuto soporte y I a b} Esto es: Le ifi {LI / I es u cojuto soporte y I a b} edida iterior Li de cojuto es b- a eos a edida eterior de copeetario de e e espacio a b: Li b a Le Defiició 5: cojuto acotado se dice que es edibe si y soo sí sus edidas eterior e iterior coicide Ta vaor coú L Le Li se aa edida de Lebesue de cojuto o sipeete edida de cojuto Defiició 6: cojuto o acotado se dice que es edibe si y soo sí es edibe para todo vaor de > o a itersecció i dode es i [ - ] E ta caso se defie a edida de Lebesue o edida de cojuto por e íite: L i I Defiició 7: e aa case de os cojutos edibes ebesue o sipeete case de os cojutos edibes a a case L forada por todos os cojutos acotados o o que adite a edida de Lebesue a edida de estas características resuta ser adeás úica La case L resuta ser pues ua case ás apia que a case B de os cojutos de Bore de R La oció de edida de Lebesue puede eeraizarse defiiédoa coo ua fució de cojuto sobre a case B de os cojutos de Bore 5
6 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 Defiició 8: a fució de cojuto o eativa y aditiva es ua fució de cojuto defiida sobre B que satisface as codicioes siuietes: 0 " p si j para j 3 i es acotado fiita Defiició 9: A toda fució de cojuto e correspode ua fució de putos F; costate defiida de a aera siuiete: Teorea 4: < ξ f ; 0 < ξ para _ > para _ para _ < i es < etoces es f; - f; < ara u vaor fijo 0 y aado f a f; 0 se verifica que f; f cost " R 3 ara cuaquier edida queda defiida ua fució de putos f deteriada savo ua costate o decreciete y fiita para todo vaor fiito de de odo que a reació fb fa a < b se verifica para cuaquier itervao a b fiito E efecto: si es > > : f; < f; < o sea: f; - f; < - < < si es > >: f; - < f; - < o sea: f; - f; < - < < 6
7 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 ueo e todos os casos se verifica que f; - f; < si es 0 > : < 0 f; - f; 0 < 0 f; f; 0 f; f < 0 f; f cost si es 0 < : f; 0 - f; 0 < f; f; 0-0 < f; f < 0 f; f cost ueo e todos os casos se verifica que f; f cost " R 3 si es > 0 : f f; 0 0 < por o que es: fa fa; 0 0 < a fb fb; 0 0 < b y por cosiuiete: fb fa 0 < b - 0 < a a < b si es 0 < : f f; 0 0 < por o que es: fa fa; 0 0 < a fb fb; 0 0 < b y por cosiuiete: fb fa 0 < b - 0 < a a < b ueo e todos os casos se verifica que fa - fb a < b 3 uas de Darbou ropiedades de ootoía: Defiició 0 defiició de as uas de Darbou: ea ua edida dada sobre a case B de os cojutos de Bore dada por ua fució de cojutos o por a correspodiete fució de putos f; que aareos -edida ea u cojuto de Bore de -edida fiita ea e cojuto ifiito de todas sus particioes disjutas esto es sea {/ partició disjuta de } {/ j i si i } ea asiiso ua fució defiida y acotada e todo puto de es decir ua fució para a que eiste siepre dos úeros reaes y taes que para todo puto de y tabié para todo subcojuto 7
8 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 i de a partició disjuta { j i si i } eiste úeros reaes i y i taes que i i para todo puto de i Etoces: a e defie ua uperior de Darbou sobre e cojuto para a partició disjuta y respecto a a fució coo a epresió: b e defie ua Iferior de Darbou sobre e cojuto para a partició disjuta y respecto a a fució coo a epresió: Teorea 5 ropiedades de ootoía: ea ua fució de -edida fiita defiida y acotada e y sea y dos de as particioes disjutas de e verifica etoces: a b y si c para todo par de particioes y d Eiste os úeros reaes supreo de cojuto ifiito de as suas iferiores y ífio de cojuto ifiito de as suas superiores Esto es eiste os úeros: E efecto: sup {/ } if {/ } a ara todo cojuto de a partició se verifica: y suado para todos os putos de a partició : es decir: b ea y de odo que ara probar a proposició bastará supoer que tiee u soo subcojuto ás que es decir: { - } { - } 8
9 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia dode es y Cupiédose que i y i para i Veaos as uas de Darbou: ' ' c ara probar esta proposició cosidereos a itersecció de as particioes y : { i j / i y j } etoces es y por o cua: d Los cojutos {/ } y {/ } está por o visto e a superior e iferiorete acotados respectivaete por o cua tiee supreo e ífio Esto es eiste e supreo de as uas Iferiores de Darbou y eiste e ífio de as uas uperiores de Darbou 4 Itera superior e iferior respecto a ua -edida Fucioes iterabes Lebesue-tietjes Defiició de a itera iferior y superior:
10 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 E etreo superior o supreo de as uas Iferiores de Darbou se aa itera iferior de a fució sobre e cojuto respecto de a - edida Escribios: _ d sup{ / } E etreo iferior o ífio de as uas uperiores de Darbou se aa itera superior de a fució sobre e cojuto respecto de a - edida Escribios: Teorea 6: d if{ / } La itera iferior es siepre eor o iua a a itera superior: E efecto: _ d d uesto que es d if{ / } se tiee que dado u e > 0 eiste ua partició e de ta que d y coo para toda partició de es resuta que d es ua cota superior para e cojuto de as suas iferiores Lueo es: _ d d y siedo arbitrario siue e teorea Defiició 3 de a Itera de Lebesue -tietjes: e dice que a fució acotada es iterabe e co respecto a -edida dada si as iteraes superior e iferior coicide E vaor coú de abas se aa Itera de Lebesue tietjes de a fució e e cojuto d if{ / } sup{ / } _ d d E e caso particuar de que F siue que L y a defiició aterior es a de a Itera de Lebesue de a fució e e cojuto 0
11 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 Teorea 7 de caracterizació de a Itera de Lebesue -tietjes: o equivaetes as siuietes proposicioes: a es iterabe e respecto de a -edida b ara todo e > 0 eiste ua partició e de ta que para cuaquier otra partició de que cupa que e se verifica que 0 - < e E efecto: Veaos e prier uar que a b: 0/ 0/ } if{ > > d d d 0/ 0/ } sup{ > > d d d or tato se tiee: > 0/ d d d d Veaos ahora que b a: < < < > d d d d 0/ esto uido a que siepre es d d _ ipica fiaete que d d _ y a fució es iterabe e co respecto a a - edida
12 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia La fucioes edibes Bore ropiedades de a iteració Lebesue- tietjes Defiició 4 de as fucioes edibes Bore: a fució defiida para todo de se dice edibe Bore o edibe e setido de Bore o edibe-b e e cojuto si e cojuto B { e / e R } es de Bore para todo rea o sea si B e B Teorea 8: i es acotada y edibe Bore e u cojuto de edida fiita etoces es iterabe Lebesue-tietjes E efecto: i es para tod de Dado u > 0 dividaos e itervao e subitervaos ediate os putos y taes que y 0 < y < y < < y - < y siedo a oitud de cada subitervao eor que para todo : y y - < [ ] Esto siepre es posibe toado suficieteete rade ea ahora: { / y - y } para Etoces se tiee que y es j si j Adeás es B - B - ueo es de Bore or o que se cupe que - y - y - < e O sea para esta subdivisió disjuta se tiee que 0 < Y coo e es arbitrariaete pequeño y es fiito se siue que a diferecia aterior puede hacerse ta pequeña coo se quiera copiédose a parte b de teorea 7 de caracterizació de a itera de Lebesue-tietjes: 0 - < e que coo afira dicho teorea ipica que a fució es iterabe Lebesue-tietjes e e cojuto Teorea 9: ara fucioes acotadas y cojutos de -edida fiita se verifica as proposicioes siuietes:
13 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 [ ] df df df df c c df c costate 3 df 4 df df df si _ φ 5 df df E efecto: Las cico proposicioes so triviaes Teorea 0 fucioes de -edida ua: La itera de ua fució acotada sobre u cojuto de -edida ua es tabié cero or cosiuiete e vaor de ua itera o queda afectado si se cabia de odo arbitrario os vaores de a fució e u cojuto de - edida ua E efecto: Es cosecuecia de a proposició 3 de aterior teorea: df a partir de a cua resuta evidete que si a edida es ua 0 etoces a itera tabié o es 3
14 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia La iteració de sucesioes fucioaes uiforeete acotadas: Defiició 5 de sucesió fucioa uiforeete acotada: Direos que ua sucesió fucioa {f } es uiforeete acotada e e cojuto si verifique que " { } " $ R / f < Teorea : i a sucesió { f } es uiforeete acotada e y e íite i f f eiste casidodequieera e se verifica que E efecto: f d i f d i o eiste i para todo de copetaos a defiició de poiedo 0 para os de para os que o eista e íite Etoces teeos y por o dicho ates es edibe-b e pueo apicado e teorea 8 es iterabe Lebesue-tietjes e respecto de a -edida Dado > 0 sea N { / - < N N } etoces N es de Bore y a sucesió es o decreciete Asiiso e cojuto Li N cotiee os de para os que eiste e i Así i N y se diferecia e u úero fiito de putos para os que o eiste i De aquí se siue por a proposició de teorea 0 que i N ero coo es i N i N se tiee que i N por o cua eiiedo u ta que N > - o bie ta que - N < se tiee para todo N: 4
15 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 Lueo es: d d N N [ ] < N N < d < de dode siue que d d d < [ ] f d i f d 7 La iteració de series coveretes casi dode quiera Teorea : i a serie f covere "casi dodequiera" e y as suas parciaes está acotadas uiforeete e se verifica: f d f d E efecto: es ua eeraizació de a priera parte de teorea 9 Teorea 3: i es y es i j si j etoces: d d E efecto: es tabié ua eeraizació de a cuarta parte de teorea 9 ea a fució e defiida de a fora: e 0 si si e para teeos que es: y as suas parciaes de esta serie está acotadas e así que por a proposició aterior es: d e e d d 5
16 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia Geeraizació de a iteració Lebesue-tietjes a fucioes de variabes Coroario: i e as epresioes de as uas de Darbou cosideraos que desia ua fució de cojuto e R o eativa y aditiva ietras que y so os etreos iferior y superior de a fució dada r e e cojuto -diesioa etoces a itera de Lebesue-tietjes r d d queda defiida de iso odo que a de ua soa diesió Todo o visto ateriorete propiedades y defiicioes de a itera e iterabiidad para fucioes o acotadas y sobre cojutos de -edida ifiita se eeraiza triviaete E e caso de que es a edida de Lebesue L e diesioes se obtiee a aada Itera de Lebesue de que se escribe co a otació usua para iteraes útipes r dl d d d i es u itervao sobre e cua es iterabe e e setido de Riea a itera de Lebesue coicide co a itera útipe ordiaria de Riea ---oo0oo--- 9 Bibiorafía: CRAER: étodos ateáticos de Estadística Auiar DIEDONNE: Eeetos de ateáticas Reverté RDIN: ricipios de Aáisis ateático Edicioes de Castio IG ADA: Cácuo Itera Bibioteca ateática L VALLEE OIN: Cours d Aayse Ifiitesiae Too II WILLIANON: Itera de Lebesue C Berejo Ipresor 6
17 CARLO ANCHEZ CHINEA ARCHENA evia 998 7
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