Primitiva de una función.

Transcripción

1 Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I.

2 Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x) = x 4 es un primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 ) = 4x 3 = f(x).

3 Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x) = x 4 es un primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 ) = 4x 3 = f(x). ii) F(x) = x es otr primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 + 5) = 4x = 4x 3 = f(x).

4 Ejemplos Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x) = x 4 es un primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 ) = 4x 3 = f(x). ii) F(x) = x es otr primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 + 5) = 4x = 4x 3 = f(x). iii) Si C es culquier número rel, F(x) = x 4 + C es un primitiv de f(x) en R porque F (x) = (x 4 + C) = 4x = 4x 3 = f(x). 2 / 29

5 3 / 29 Teorem. Si F un de f en el intervlo I y C es un número rel culquier, entonces F + C es tmbién un función primitiv de f en I. En efecto, si dos funciones F y G son primitivs de un mism función f en un intervlo I entonces l derivd de F G en I es cero y como ls únics funciones con derivd nul son ls constntes. entonces existe un número rel C tl que G = F + C.

6 Integrl indefinid 4 / 29 Definición. Se llm integrl indefinid de un función f l conjunto de tods ls primitivs de f, lo que se design por f(x) dx. Si F es un primitiv de f en I, l integrl indefinid de f en I es f(x) dx = F(x) + C, donde C es culquier constnte.

7 Ejemplos 5 / 29 Ejemplo. 4x 3 dx = x 4 + C.

8 Ejemplos 5 / 29 Ejemplo. 4x 3 dx = x 4 + C. (6x 5 15x x 3 1) dx = x 6 3x 5 + 3x 4 x + C, y que (x 6 3x 5 + 3x 4 x + C) = 6x 5 15x x 3 1.

9 Ejemplos 5 / 29 Ejemplo. 4x 3 dx = x 4 + C. (6x 5 15x x 3 1) dx = x 6 3x 5 + 3x 4 x + C, y que (x 6 3x 5 + 3x 4 x + C) = 6x 5 15x x 3 1. cos(x) dx = sin(x) + C, porque (sin(x) + C) = cos(x).

10 Propieddes de l integrl L integrl de l sum es igul l sum de ls integrles: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. 6 / 29

11 Propieddes de l integrl L integrl de l sum es igul l sum de ls integrles: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. L integrl del producto de un número rel, k, por un función es igul l producto del número rel por l integrl de l función: k f(x) dx = k f(x) dx. 6 / 29

12 Integrles Inmedits (Apéndice III) 7 / 29 dx = x + C, donde dx quiere decir 1 dx. x n dx = xn+1 + C si n 1. n + 1 f(x) n f (x) dx = f(x)n+1 + C si n 1. n dx = Log(x) + C. x f (x) dx = Log(f(x)) + C. f(x)

13 Integrles Inmedits (Apéndice III) 8 / 29 x dx = e x dx = e x + C. x + C con > 0. Log() f(x) f (x) dx = e f(x) f (x) dx = e f(x) + C. f(x) + C con > 0. Log()

14 Integrles Inmedits (Apéndice III) 9 / x dx = x + C. f (x) 2 f(x) dx = f(x) + C. 1 n n dx = n x + C. x n 1 f (x) n n dx = n f(x) + C. f(x) n 1

15 Integrles Inmedits (Apéndice III) 10 / 29 sin(x) dx = cos(x) + C. f (x) sin(f(x)) dx = cos(f(x)) + C. cos(x) dx = sin(x) + C. f (x) cos(f(x)) dx = sin(f(x)) + C.

16 L integrl definid 11 / 29 Consideremos l función f : D R R cuy gráfic es l curv del dibujo de l inferior y [, b] D (obsérvese que, según l gráfic dd, f es continu y positiv en [, b], lo cul rest generlidd l ejemplo), y supongmos que queremos clculr el re que encierrn l curv y = f(x) y el eje OX entre y b. Es decir, queremos clculr el áre sombred en l figur.

17 L integrl definid 12 / 29 Consideremos hor l división de est áre en bloques rectngulres, tl y como en l siguiente gráfic.

18 L integrl definid Definición. Se f : D R R un función culquier. Si l gráfic de l función f y el eje OX encierrn un áre (delimitd), como ocurrí en el cso nterior, entre y b se dice que l función en integrble (en sentido Riemnn) en el intervlo [, b]. En otro cso se dice que no es integrble. A l expresión b f(x) dx se le llm integrl de definid o de Riemnn de f en el intervlo [, b]. 13 / 29

19 L integrl definid 14 / 29 Teorem. Tod función continu en un intervlo [, b] es integrble en [, b].

20 L integrl definid Teorem. Si f : [, b] R R es un función integrble en [, b], y f(x) 0, entonces b f(x) dx es igul l áre de l región entre l gráfic de f y el eje OX desde hst b. 15 / 29

21 L integrl definid Teorem. Si f es integrble en [, b], entonces b f(x) dx es igul l áre por encim del eje OX menos áre por debjo del eje OX, 16 / 29

22 L integrl definid 17 / 29 Teorem. Si f es integrble en [, b], entonces b f(x) dx es igul l áre de l región entre l gráfic de f y el eje OX desde hst b.

23 L integrl definid 18 / 29 L integrl entre 0 y 7 de l función f del dibujo inferior es igul A2 A1 A3.

24 L regl de Brrow Teorem (Regl de Brrow). Si f : D R R es un función continu en [, b] R y F : [, b] R R es un primitiv de f en [, b], entonces b f(x) dx = F(b) F(). 19 / 29

25 L regl de Brrow 20 / 29 Ejercicio Se f : [1, 5] R R tl que f(x) = 5x + 1. Clculr en áre delimitd por l curv y = f(x) y el eje OX entre 1 y 5.

26 L regl de Brrow Como f(x) 0 pr todo x [1, 5], el áre que nos piden corresponde l siguiente integrl de Riemnn 5 1 f(x) dx, pues 5 1 f(x) dx f(x) 0 = 5 1 f(x) dx. Teniendo en cuent que un primitiv de f en [1, 5] es F(x) = 2(5x+1)3/2 15 y que f es continu en [1, 5], de l regl de Brrow se sigue que 5 5 5x + 1 dx = f(x) dx = F(5) F(1) 1 1 = 2(26)3/2 15 2(6)3/2 15 = 15, / 29

27 Propieddes de l integrl definid Se f : D R R un función integrbles en [, b] D. () Pr todo c [, b] se cumple que: b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Est es un propiedd fundmentl pr clculr integrles de funciones integrbles con un número finito de discontinuiddes. 22 / 29

28 Propieddes de l integrl definid 23 / 29 Sen f : D R R y g : D R R dos funciones integrbles en [, b] D. (b) L integrl de Riemnn es linel: b (f+g)(x) dx = b b (λf)(x) dx = (f(x)+g(x)) dx = b b λf(x) dx = λ f(x) dx+ b b f(x) dx. g(x) dx. Obsérvese que est propiedd no es más que un consecuenci de l linelidd de l integrl indefinid.

29 Propieddes de l integrl definid Se f : D R R un función integrbles en [, b] D. (c) Si f(x) 0 pr todo x [, b], entonces b f(x) dx 0. En términos geométricos est propiedd prece bstnte rzonble, pues viene decirnos que el áre limitd por l curv y = f(x) y el eje OX entre y b es un número positivo. 24 / 29

30 Propieddes de l integrl definid 25 / 29 Se f : D R R un función integrbles en [, b] D. (d) b b f(x) dx f(x) dx. Est últim propiedd nos dvierte que, generlmente, no es lo mismo l integrl del vlor bsoluto que el vlor bsoluto de l integrl. Compruébese usndo l función f : [0, 2] R tl que f(x) = 1 si x [0, 1] y f(x) = 1 si x (1, 2].

31 Áre entre dos curvs Si f y g son funciones integrbles en [, b] tles que g(x) f(x) pr todo x [, b], entonces el áre de l región pln limitd por ls curvs y = f(x) e y = g(x) entre y b es b (f(x) g(x)) dx. 26 / 29

32 Longitud de rco Se f un función derivble con derivd continu en [, b]. Si denotmos por A l punto (, f()) y por B l punto (b, f(b)), entonces l longitud del rco AB de l curv y = f(x) viene dd por: b 1 + (f (x)) 2 dx. 27 / 29

33 Volumen de un cuerpo de revolución 28 / 29 Si se hce girr entre y b l curv y = f(x) lrededor del eje OX se gener un sólido de revolución cuyo volumen viene ddo por b π(f(x)) 2 dx.

34 Áre de l superficie de un cuerpo de revolución 29 / 29 Se f un función derivble con derivd continu en [, b] tl que f(x) > 0 pr todo x [, b]. El áre de l superficie de revolución engendrd l girr l curv y = f(x) lrededor del eje OX entre los vlores bscis y b es b 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.