Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas.

Transcripción

1 Matrices. Una matriz es una forma de representar un conjunto de números que guardan una relación entre sí, dando un orden mediante filas y columnas. Ejemplo: Consideremos la siguiente selección de gustos de helado (cantidad de bochas de cada sabor) por tres amigos: Juan María Luis Menta Chocolate Frutilla Dulce de leche La siguiente situación podría representarse con un cuadro de doble entrada: Menta Chocolate Frutilla Dulce de leche Juan María Luis Esta información puede escribirse como una matriz de tres filas y cuatro columnas Una matriz de orden es un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas, tal como indica la siguiente figura. Cada elemento tiene una ubicación específica y lo escribiremos como subíndice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra., donde el primer Llamaremos orden de una matriz al par de números naturales donde m indica el número de filas y n el número de columnas que componen dicha matriz. Ejemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas por lo tanto es de orden.

2 Igualdad de matrices. Dos matrices son iguales, si tienen el mismo orden y además coinciden en cada uno de sus elementos. Matriz fila: es la matriz que tiene una sola fila. Matriz columna: es la matriz formada por una única columna. Matriz cuadrada: es la matriz que tiene igual número de filas que de columnas. Los elementos principal de la matriz. de la matriz cuadrada que cumplen que i=j pertenecen a la diagonal Matriz triangular inferior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos ubicados por encima de la diagonal principal son nulos. Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos ubicados debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz diagonal: es aquella matriz cuyos elementos que no estén en la diagonal principal son nulos. Matriz identidad: es un caso particular de la matriz diagonal. Toda matriz diagonal donde los elementos no nulos sean igual a 1 le llamaremos matriz identidad.

3 Ejemplos: Matriz simétrica: llamaremos matriz simétrica a toda matriz cuadrada en la que se cumple: Matriz traspuesta: Dada una matriz A, si intercambiamos filas por columnas obtenemos la matriz traspuesta de A, que anotaremos como Propiedades de la traspuesta de una matriz: La traspuesta de la traspuesta de una matriz coincide con la matriz original. La traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las traspuestas. La traspuesta del producto de dos matrices es el producto de las traspuestas pero invirtiendo el orden de multiplicación. La traspuesta del producto de una matriz por un escalar es igual al producto de dicho escalar por la traspuesta de la matriz. Operaciones con matrices: Suma: Dadas dos matrices A y B del mismo orden, se define la suma como otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando los correspondientes elementos de ambas matrices.

4 Ejemplo: Dadas las matrices: Producto por un escalar: Toda matriz multiplicada por un número real, es una matriz cuyos elementos se obtienen de multiplicar a cada uno por dicho número real. Dados la matriz y Ejemplo: Consideremos la matriz Entonces 3. Propiedades de la suma: ASOCIATIVA: CONMUTATIVA: NEUTRO: (A+B)+C= A+(B+C) A+B=B+A A+0=0+A=A OPUESTO: A+ (-A)= (-A)+A =0 (Definiremos la resta de matrices como la suma de la matriz opuesta.) (Dejaremos la demostración de las propiedades de la suma a cargo del lector y la retomaremos en encuentros posteriores)

5 Ejercicio: Dadas las matrices: Hallar: i) ii) iii) iv) v) Producto de matrices: Dadas las matrices de órdenes respectivamente, definiremos su producto como una matriz de orden donde cada uno de los elemento de esa nueva matriz se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B y sumando los resultados obtenidos. Es importante tener presente que para que las matrices puedan ser multiplicadas, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. Dadas las matrices: El producto es:

6 Observa qua la matriz A es de orden y la matriz B es de orden y el producto Realizaremos ahora el producto Observa que la matriz B es de orden y la matriz A es de orden, y el producto Claramente podemos deducir que el producto de matrices no es conmutativo. Más sobre el producto de matrices: No es una operación interna. No es conmutativo. Es asociativo. Es distributivo respecto de la suma. (*) (*) Dadas las características del producto debemos distinguir entre dos casos la propiedad distributiva, por izquierda y por derecha) Matriz inversa. Consideremos una matriz cuadrada A de orden. Diremos que la matriz tiene inversa si existe una matriz que llamaremos, de orden de forma que se verifique la siguiente igualdad. En caso de existir le llamaremos matriz inversa de A.

7 Hallar la matriz inversa mediante sistema de ecuaciones: Dada la matriz Sabemos que Aplicando el método de los sistemas de ecuaciones, halla la matriz inversa de: Para las matrices anteriores, hallar: i) ii) iii) iv)