INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIAS

Transcripción

1 INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIAS. DISTANCIAS OBJETIOS 1 2 Reconoce el Sistema diédico o Sistema de Monge como el ecuso desciptivo gáfico más adecuado en el diseño industial y aquitectónico. 1 INTERSECCIÓN DE PLANOS 2 Dos supeficies planas, no paalelas, se cotan según una ecta. Dicha ecta intesección i al petenece a ambos planos α y β (fig. 1.1), veifica con cada uno de ellos las condiciones de petenencia a un plano: su punto taza hoizontal I1 estaá en la intesección de las tazas hoizontales α1 y β1 de los planos y, su punto taza vetical I2 en la intesección de las tazas veticales α 2 y β2. i i Intesección cuando las tazas de los planos se cotan fuea de los límites del dibujo. Si las tazas de los planos se cotan fuea de los límites del papel, se emplea oto pocedimiento altenativo paa localiza la ecta intesección de ambos planos: consiste en localiza puntos de la ecta intesección difeentes de sus puntos taza. Paa ello, se cota a los planos α y β dados, mediante planos auxiliaes hoizontales o fontales, del tipo ω o δ que muesta la fig Intesección de ecta y plano dado po tes puntos o po dos ectas que se cotan. i Cuando el plano no está dado po sus tazas sino po tes puntos A, B, C o po dos ectas AB y AC se sigue idéntico pocedimiento a b A A B M B a b M N 1 A 2 B b a M i B Pespectiva y epesentación diédica de la intesección de dos planos a y b cuando alguna o ambas tazas de dichos planos se cotan fuea de los límites del papel. A 2 ESQUEMA 2 C i C I i i 2 INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO Es evidente que si po una ecta se hace pasa un plano cualquiea π (en el sistema diédico pefeentemente un plano poyectante) y, se halla la ecta intesección i, del plano α con el plano π, (según se muesta en el esquema gáfico de la deecha), el punto común de la ecta i con la detemina el punto intesección I de ésta con el plano α. En los ejecicios de intesección de ecta y plano se supone, en ocasiones, que el plano es opaco y se difeencian en la ecta que lo ataviesa las egiones cuyas poyecciones son vistas u ocultas paa un obsevado situado en el pime cuadante. i i Asimismo, paa localiza oto punto de la ecta intesección y con ello definila, se puede opea con planos fontales del tipo del plano δ como muesta la pespectiva. Así se obtendía oto punto N que unido con M deteminaía la ecta intesección. La intesección de una ecta con un plano α, no palalelo a la ecta, obviamente, es un punto. En la fig. 2.2 se ha consideado el plano poyectante hoizontal que contiene a la ecta : su poyección hoizontal es coincidente con la poyección hoizontal i de la ecta i (ecta intesección del plano poyectante π que contiene a la ecta con el plano AB C ). Consideados los puntos 1 y 2 se obtienen sus coespondientes poyecciones veticales 1 y 2 que definen i y con ello la poyección I del punto intesección buscado. 1.1 Pespectiva y epesentación diédica de la intesección de dos planos a y b. Po tanto, se tazan paalelas a la LT paa enconta las tazas veticales A y B de las ectas a y b. Las poyecciones hoizontales a y b seán espectivamente paalelas a las tazas hoizontales α1 y β1 de los planos. De esta foma se localiza el punto M, poyección hoizontal del punto M, peteneciente a la ecta intesección de ambos planos. La epesentación diédica que se acompaña a la deecha de la visión en pespectiva (fig.1.2) que únicamente petende ayuda en la pecepción espacial paa su epesentación en el sistema diédico, muesta la ecta intesección i de los planos α y β cuyas tazas veticales salen fuea de los límites de la supeficie del dibujo. Po ello, y en coespondencia con lo que ilusta la pespectiva, se ha utilizado paa detemina el punto M de la ecta i, un plano auxilia hoizontal que, unido al punto taza hoizontal I1, define la ecta intesección de los planos α y β consideados. En diédica, po su facilidad de uso, se hace pasa po la ecta, indistintamente, un plano poyectante hoizontal (caso de la fig. 2.1 con el plano π ) o bien un plano poyectante vetical. La ecta i, intesección de π con α, cota a la ecta en el punto I buscado. i i Resolve poblemas de distancias ente elementos en el espacio, utilizando el sistema diédico como sistema de medida paa obtene, fácilmente, vedadeas magnitudes. 2.1 Intesección de ecta y plano dado po sus tazas Intesección de dos planos conocidas sus tazas: pocedimiento geneal. 3 Maneja con soltua los conceptos espaciales de intesecciones, paalelismo, pependiculaidad y distancias ente elementos, taduciéndoles al sistema diédico. i P ASOS A S EGUIR i i i B 1 i A Pespectiva y epesentación diédica de la obtención del punto intesección de una ecta con un plano a dado po sus tazas a1 y a Intesección de una ecta con plano dado po tes puntos ABC, mediante el «método diecto». 151

2 3 PARALELISMO P Todas las constucciones que se llevan a cabo en diédico paa la esolución de poblemas o paa compobaciones de paalelismo ente ectas, planos o ectas y planos, se basan en las popiedades del espacio que se indican a continuación. a b p c a b c Figua 3.1.a. 3.1.a B 2 B2 A2 3.2 Esquema y epesentación diédica de una ecta p paalela al plano a ; es deci, paalela a una ecta q contenida en dicho plano. q a b a «Cuando son paalelas las poyecciones de dos ectas sobe dos planos distintos secantes las ectas del espacio son, también, paalelas». Si la poyección a es paalela a la b y además la poyección a es paalela a la b las ectas a y b son paalelas. En diédico las ectas de pefil son una excepción de esta popiedad. Todas ellas tienen sus poyecciones hoizontales y veticales pependiculaes a la LT y, po tanto, paalelas ente sí; sin embago no son, en geneal, paalelas. b a A 1 a A 2 b A1 B1 B 1 B 2 b a A 1 B b Rectas paalelas: las poyecciones homónimas son paalelas. Figua 3.1.c. «Si las poyecciones de dos ectas sobe un plano se confunden y las poyecciones sobe oto plano secante son paalelas, las ectas son paalelas». O sea que, si la poyección e coincide con la poyección de d, y además e es paalela a d, las ectas e y d son paalelas. nte ecta poy o n Pla Paalelismo ente los planos a y b: las tazas homónimas son paalelas. d e d e e Figua 3.1.d. «Si las poyecciones de dos ectas sobe un mismo plano se educen a un punto, las ectas son paalelas ente si y, logicamente, pependiculaes al plano de poyección». Es el caso de las ectas m y n, donde las poyecciones sobe el plano π son los puntos m y n. En diédico, las ectas pueden se veticales (caso de m y n ) o de punta (caso de las ectas u y v). d e d e d a b A 1 a A1 m b a b 3.1.c Rectas paalelas contenidas en un mismo plano poyectante. b B1 A 1 A 2 B 1 a B 2 b B 1 n u v m m m n Consecuencia del paalelismo ente planos. No sólo las tazas de planos paalelos seán paalelas ente sí, sino que, además, lo seán las poyecciones de todas las ectas hoizontales de ambos planos. Análogamente sucede con las ectas fontales de ambos planos. n «Dos planos paalelos cotan a un tece plano según ectas paalelas». 152 A 2 A2 a 3.3 Paalelismo ente planos. En consecuencia, en el sistema diédico, los planos paalelos tienen sus tazas homónimas paalelas: α 1 paalela a β1 y α 2 paalela a β2. B 2 «Paa que una ecta sea paalela a un plano basta que sea paalela a una ecta de dicho plano». En la fig , si los planos α y β son paalelos y cotan a un tece plano o, las ectas de intesección o tazas α 1 y β1 o α 2 y β2, espectivamente, son paalelas. B2 3.2 Paalelismo ente ecta y plano. En la fig. 3.2, la ecta p es paalela al plano α si es paalela a la ecta q contenida en dicho plano. En este caso, la ecta p no cota al plano en ningún punto (condición de paalelismo ente ecta y plano). p P A 2 b Figua 3.1.b. P q q 3.1 Paalelismo ente ectas. Fundamentos. «Si dos ectas a y b son paalelas también lo son sus poyecciones a y b sobe un plano π cualquiea». No es cieto, en cambio, lo ecípoco (condición necesaia peo no suficiente), ya que aunque sean paalelas las poyecciones, po ejemplo b y c (de las ectas del espacio b y c ), sobe un mismo plano π, no se puede asegua, como se apecia en la figua, que las ectas (b y c) lo sean. p n u v 3.1.d Rectas paalelas y a la vez pependiculaes a un plano de poyección. Nótese que, en geneal, las ectas contenidas en dos planos paalelos simplemente se cuzan. Paa que además sean paalelas, deben se paalelas sus poyecciones, como se indica en la fig : a es paalela a b y a es paalela a b, lo que significa que las ectas a y b del espacio son paalelas.

3 4 PERPENDICULARIDAD La elación de pependiculaidad puede dase ente dos ectas; dos planos o ente una ecta y un plano. En poyecciones diédicas, en conta de lo que sucede en paalelismo, dos ectas que son pependiculaes, o dos planos que son pependiculaes, no guadan elación singula ente sí; es deci, que la pependiculaidad no se conseva en el paso del espacio a la poyección. 4.1 Fundamentos. En la esolución de los poblemas de pependiculaidad se han de tene en cuenta los siguientes pincipios geométicos. Figua 4.1.a. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES: «Si dos ectas son pependiculaes en el espacio cuzándose o cotándose y una de ellas es paalela a un plano, las poyecciones otogonales de las dos ectas, sobe dicho plano, son pependiculaes ente sí». Las ectas a y b son pependiculaes ente sí y, po consiguiente, los planos α y β que las contienen seán pependiculaes ente sí, siendo, asimismo, pependiculaes al plano π. Figua 4.1.b. «Si una ecta es pependicula a un plano, también lo es a todas las infinitas ectas contenidas en él». La ecta p es pependicula al plano α y, po tanto, también a las ectas a, b, c, d, En definitiva, dos ectas, p y e po ejemplo, seán pependiculaes si po una de ellas se puede taza un plano α pependicula a la ota. Figua 4.1.c. «Un plano α seá pependicula a oto π, cuando contenga a una ecta i pependicula al mismo». Figua 4.1.c. «Un plano π seá pependicula a otos (α, β, γ, ) cuando lo sea a su ecta intesección ( i ), y ecípocamente». Todos los planos del haz que pasan po su ecta común i son pependiculaes al plano π, y vicevesa. 4.4 Plano pependicula a oto. De acuedo a lo dicho en la fig. 4.1.c,el plano α seá pependicula a oto π cuando uno de ellos, po ejemplo el α, contenga a una ecta ( i ) pependicula al oto. Po consiguiente, todos los planos que pasen po la ecta i seán pependiculaes a π, de ahí que existan infinitas soluciones. En la fig.4.4, paa taza po el punto P un plano a pependicula a oto π dado, se comienza po dibuja, po dicho punto, una ecta t (t - t ) pependicula a π. Cualquie plano tal como el α, cuyas tazas pasen po los puntos taza de la ecta t (esto es, po T 1 y T 2 espectivamente), seá pependicula al plano π dado. 4.2 Pependiculaidad ente ecta y plano. Como se ha dicho anteiomente, si una ecta es pependicula a un plano α, seá necesaiamente pependicula a todas las ectas contenidas en α y, po consiguiente, a su taza α 1 ; po ello, la poyección de la ecta seá pependicula a la taza α 1 del plano. (fig. 4.2.a). Idéntico azonamiento puede hacese con especto al plano vetical de poyección. Po tanto, si el sistema diédico tabaja, básicamente, con los dos planos de poyección ( y ) puede enunciase la siguiente conclusión: «Paa que una ecta sea pependicula a un plano ha de veificase que las poyecciones de la ecta sean pependiculaes a las tazas homónimas del plano». Así, si po un punto P se taza una ecta pependicula al plano α ( fig. 4.2.b), seá suficiente con dibuja po P y P las poyecciones y pependiculaes a las tazas del plano. 4.3 Plano que pasa po un punto dado y es pependicula a una ecta. Análogamente a lo dicho en el páafo anteio, paa taza po un punto Q dado un plano α pependicula a una ecta, bastaá con taza po las poyecciones del punto (Q -Q ) una hoizontal h del plano β, cuya poyección h sea pependicula a la poyección hoizontal de la ecta dada (o también se puede opea utilizando una fontal f del plano β, cuya poyección vetical f debe se pependicula a la poyección vetical de la ecta consideada). En la fig.4.3 puede vese cómo po el punto taza vetical 2 de la ecta hoizontal h, que pasa po el punto Q, se dibuja la taza β 2, pependicula a ; y po el punto de cote de dicha taza con la línea de tiea la taza hoizontal β 1, pependicula, asimismo, a la po yección hoizontal que, obviamente, es paalela a h. 4.5 Recta pependicula a ota. De acuedo a lo dicho en la fig. 4.1.b, todas las ectas que estén contenidas en un plano pependicula a una ecta dada seán pependiculaes a ella. Po tanto, paa dibuja una ecta pependicula a ota dada y que pase po un punto P, bastaá detemina el punto I de intesección del plano que contiene a P y es pependicula a la ecta. En consecuencia, la ecta PI detemina la pependicula a la ecta dada. 153

4 5 DISTANCIAS Como se ecodó en geometía plana, habla de distancia es efeise a la mínima distancia que existe ente dos elementos geométicos ( puntos, ectas o planos ), es deci, halla la vedadea magnitud del segmento que los une. Siempe, clao está, patiendo de su epesentación en el sistema diédico. A B B Z A B Z P d Dento de este epígafe se desaollan aspectos que constituyen una aplicación diecta de los conceptos tatados anteiomente en pependiculaidad. 5.1 Distancia ente dos puntos. Como sabemos, distancia ente dos puntos es la longitud del segmento que los une. Si poyectamos otogonalmente un segmento AB sobe un plano de poyección paalelo a él es evidente que obtendemos un segmento A B idéntico al AB del espacio. Peo cuando el segmento es oblicuo al plano de poyección no apaece en vedadea magnitud, po tanto, se hace pecisa la obtención y, consiguientemente, la utilización de algún atificio constuctivo que conduzca a detemina el valo eal de la distancia ente sus extemos edadea magnitud de un segmento po difeencia de cotas o de alejamiento ente sus extemos. En la fig , se epesenta, a la izquieda, una pespectiva de la posición de un segmento AB en el espacio y, a su deecha, las poyecciones diédicas del mismo. Si se taza po A una paalela a la poyección hoizontal A B, se obtiene, en el espacio, un tiángulo ectángulo de catetos A B y la difeencia de cotas ente ambos puntos ( z), con hipotenusa el segmento AB. Si se considea el segmento A B poyección hoizontal del segmento AB y po un extemo (en la figua el B ) se taza la pependicula a A B, llevando la magnitud z, lo que detemina el punto (B) que, unido con A, define la distancia eal ente los puntos A y B (extemos del segmento consideado). El tiángulo ectángulo A B (B), situado en el plano, epesenta el abatimiento, sobe dicho plano, del tiángulo espacial consideado en la ilustación que se acompaña. A Obtención de la vedadea magnitud de un segmento po difeencia de cotas de sus extemos. A A A A edadea magnitud de AB B O B e (Eje de gio) O B O 1 B edadea magnitud 1 1 A 1 Z (B) A 1 A 1 Ángulo de AB con el A A A B O B O B edadea magnitud de AB Plano paalelo al coodenado (B) Z Ángulo de AB con el edadea magnitud de AB 1 1 A 1 A Distancia de un punto P a un plano a. J M d d Distancia de un punto Q a una ecta. Q s N Distancia ente ectas y s, paalelas edadea magnitud de un segmento po gio del mismo, situándolo fontalmente Gio de un segmento AB paa situalo fontalmente y pode medi su vedadea magnitud. Si giamos el tiángulo ectángulo espacial, consideado anteiomente y contenido en un plano poyectante hoizontal, alededo del eje de gio BB (que contiene al punto B y es pependicula al plano sobe el que se poyecta el segmento AB) hasta que quede paalelo al plano vetical, el segmento AB, ahoa A 1 B, queda situado fontalmente, es deci, paalelo al plano vetical de poyección. En esta situación, la poyección del segmento A 1 B sobe el plano vetical, esto es, A 1 B, estaá en vedadea magnitud, siendo A 1 B = AB. Tanto éste como el anteio pocedimiento paa consegui la vedadea magnitud de un segmento, son las fomas más utilizadas paa medi o lleva distancias ente elementos geométicos. 5.2 Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto P a un plano α es la magnitud del segmento pependicula al plano definido po el citado punto P y su punto intesec - ción I con dicho plano. Esto es, la magnitud PI. 5.3 Distancia de un punto a una ecta. La distancia de un punto Q a una ecta, viene dada po la longitud existente ente dicho punto y el punto J de cote de la ecta con la pependicula a ella tazada desde dicho punto Q. Esta distancia se consigue tazando po Q un plano α pependicula a la ecta dada y hallando el punto intesección J de la ecta con el plano α. La magnitud QJ es la solución buscada. 5.4 Distancia ente ectas paalelas. La distancia ente dos ectas paalelas y s viene deteminada po la longitud del segmento MN, cuyos puntos extemos son los de intesección de las ectas consideadas con un plano cualquiea que cumpla la condición de se pependicula a dichas ectas. 5.5 Distancia ente planos paalelos. La distancia ente dos planos paalelos α y β queda deteminada po la longitud del segmento AB, delimitado po los puntos de intesección, de cada uno de los planos consideados, con una ecta cualquiea que sea pependicula a ambos planos. 5.5 A B d Distancia ente planos a y b, paalelos. 154

5

6 156

7

8 158

9

10 160

11

12 14 SISTEMA DEPLANOSACOTADOS. APLICACIONES.