Un modelo bonus-malus con asignación de tarifas Anales 2011/91-104

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1 U MODELO BOUS-MALUS CO ASIGACIÓ DE TARIFAS MÁS COMETITIVAS E EL MERCADO DE SEGURO DE AUTOMÓVILES José Mª érz Sánhz Emilio Gómz Déniz 2 y Enriqu Caldrín Ojda 3 Rsumn En l mrado d sguros d auomóvils uropo para l álulo d la prima s uiliza mayoriariamn un sisma d arifiaión llamado Bonus- Malus ararizado por l hho d qu la prima úniamn s modifia andindo al númro d rlamaions qu s produzan n l príodo. Es rabajo raa l problma d pnalizaión no quiaiva qu s produ n odos los sismas d arifiaión Bonus-Malus n l snido d qu algunos asgurados pagan más d lo qu dbiran si nmos n una su xprinia d rlamaions. En muhas oasions las pnalizaions qu s produn inrmnando la prima d los asgurados malus son xsivas lo qu pud aarrar srios problmas d ompiividad y onsunmn d sufiinia a la ompañía asguradora. Absra Bonus-Malus sysm is h mos ommonly-usd prmium raing mhod in Europan auo insuran mar. This sysm is basd on h fa ha h prmium is only modifid aording o h numbr of laims dlard in a priod of im. In his papr w dal wih h problm of unfair pnalizaion in Bonus-Malus sysm. I ours whn insurds pay mor han hir pur prmium aording o hir individual laim hisory. On many oasions h prmium inras for h malus lass insurds is xssiv and i ould lad h insuran ompany o a la of ompiivnss and finanial quilibrium problms. alabras Clav: prima d sguros Bonus-Malus arifiaión a posriori. Dparamno d Méodos Cuaniaivos. Univrsidad d Granada. josma@ugr.s 2 Dparamno d Méodos Cuaniaivos n Eonomía y Gsión. Univrsidad d Las almas d Gran Canaria. gomz@dm.ulpg.s 3 Dparmn of Eonomis. Th Univrsiy of Mlbourn. nriqu.aldrin@unimlb.du.au Es aríulo s ha ribido n vrsión rvisada l d oubr d 2. 9

2 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4. ITRODUCCIÓ La modología dl sisma d arifiaión Bonus-Malus SBM n adlan fu inroduida n Europa n la déada d los 6 siguindo los rabajos d Bühlmann ( ) nr oros. En 958 s mpzó a apliar n Frania para ir xndiéndos poo a poo a asi odo l rso d Europa. El disño d un SBM dpnd d la rgulaión xisn n ada país. Si la arifa la impon l gobirno y ada ompañía asguradora ha d adoparla no xisn razons omrials para igualar l risgo a la prima haindo uso d oda la informaión rlvan disponibl. Las auoridads pudn didir por razons soioonómias por jmplo xluir d la sruura d arifas un drminado faor d risgo. También l gobirno pud orrgir los dsquilibrios d un sisma basado úniamn n informaión a priori uilizando un faor malus qu pnaliza a las rlamaions furmn. El SBM s un méodo d arifiaión n l qu los asgurados s agrupan n lass sgún l númro d rlamaions qu hayan ralizado hasa l príodo aual. or lo ano s alulan las primas d sguro apliabls para ada póliza individual ajusadas por una anidad qu dpnd d la xprinia pasada d ada asgurado pnalizando a los onraans d pólizas n aso d rlamaions mdian subidas n la prima qu ésos dbn d pagar. Han sido numrosos los sudios ralizados sobr s méodo d arifiaión nr los qu dsaan D ril (978) Lmair ( ) Trmblay (992) Con y Doray (996) Shngwang y Whimor (999) Walhin y aris (999) Frangos y Vronos (2) Hras al. (22) Morillo y Brmúdz (23) Sarabia al. (24) Gómz-Déniz al. (25) y Gómz-Déniz y Sarabia (28). Sin mbargo n muhas oasions las pnalizaions d los sismas d arifiaión Bonus-Malus son xsivas. Eso pud aarrar srios problmas d ompiividad y onsunmn d quilibrio finaniro a la ompañía asguradora (vr Baion. al 22 Vrio 22 y irbois. al 26). Enndmos por pnalizaión a los inrmnos d la prima dbido a la xisnia d rlamaions por par d los asgurados n un príodo sablido normalmn anual. Es problma qu dnominarmos d sobrargas surg porqu la ompañía asguradora no pud disinguir nr los asgurados d un mismo grupo no pudindo disriminar nr los asgurados on mayor frunia d rlamaions y los d mnor frunia. Analizarmos un méodo d rduión d sas sobrargas n l qu uilizarmos la funión d uilidad xponnial y qu in n una la aiud d la ompañía asguradora an l risgo. 92

3 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 Es rabajo prnd sr un análisis inroduorio a una modología propusa por Lmair (979) qu busa la disminuión d las sobrargas sin qu llo prjudiqu la balanza omrial y finanira d la mprsa. El aríulo sá sruurado omo sigu. La sión 2 xpon l méodo sándar d arifiaión n los SBM. La sión 3 inrodu una modología on la qu s obinn prios más ompiivos. Ilusrarmos su vnaja mdian un jmplo inorporado n ambas sions. or úlimo n la sión 4 s xponn las onlusions más dsaadas dl rabajo. 2. METODOLOGÍA ARA EL CÁLCULO DE LA RIMA E U SBM Los SBM qu aplian la mayoría d los paíss dsarrollados n l ramo d auomóvils pnalizan a los asgurados qu ralizan rlamaions mdian aumnos n la prima qu ésos dbn pagar (anidads malus). or onra rompnsan a los onduors qu no ralizan ningún ipo d rlamaión on dsunos sobr la prima (anidads bonus). D sa forma los asgurados s vn moivados a ralizar una onduión más uidadosa. El objivo prinipal dl SBM s qu odos los asgurados pagun n l largo plazo una prima qu s orrsponda on su propia xprinia d rlamaions. La modología baysiana juga aquí un papl imporan on la inorporaión d la llamada disribuión a priori y l álulo d la disribuión a posriori a parir d la primra y d la xprinia obsrvada. En los problmas d arifiaión auarial y n pariular n los SBM s usual onsidrar la funión d uilidad xponnial u z ( z ) ( ) > dond z mid la riquza d la ompañía asguradora > la avrsión al risgo d la misma y l númro d rlamaions. Esa funión pos propidads dsabls dsd l puno d visa auarial; vr por jmplo Grbr (974) Sraub (992) Trmblay (992) Lmair y Zi (994) y Lmair ( ). ara alular la prima s uiliza la siguin rgla ( z) u( z + ) f ( ) u 93

4 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 sindo f() la funión d dnsidad d probabilidad dl númro d rlamaions y n la qu s iguala la uilidad d la posiión aual d la ompañía on la uilidad sprada dspués d apar la opraión d asguramino. Es snillo uilizando la funión d uilidad xponnial obnr la siguin xprsión para : lnm ( ) onm ( ) f( ). () Considrmos ahora una arra d sguros d auomóvils n l qu la propnsión d rlamaión para ada asgurado póliza o grupo d asgurados sá ararizada por un parámro d risgo. Es usual onsidrar qu l númro d rlamaions d ada póliza sigu una disribuión d oisson on mdia > : f! ( ) uyo parámro varía d un individuo (póliza) a oro rfljando on llo la propnsión d rlamaión d ada individuo. Uilizando () s obin l siguin valor para la prima ( ) ( ) qu s l ono omo la prima d risgo. En sadísia auarial sin mbargo s usual onsidrar l parámro d risgo alaorio y disribuido n la arra d sguros d aurdo a una funión d dnsidad Gamma (disribuión a priori) d parámros a > b >. π ( ) b Γ a ( a) En s aso la prima qu la ompañía obra s la prima oliva qu n nusro aso vin dada por a b. 94

5 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 ln ( ) a b π( ) d ln b + b>. (2) Supongamos ahora qu l númro d rlamaions n los príodos onsuivos sá igualmn disribuido y no hay influnia d un príodo a oro. Admás al omnzar l príodo + onomos las rlamaions 2 d los príodos prdns. Tomando i i / /... funión d vrosimiliud vin dada por: f ( ) / i i la y la disribuión a posriori s d nuvo una disribuión gamma ahora on parámros rvisados a+ y b+: π a+ ( b+ ) ( ) Con sa informaión disponibl la ompañía d sguros pud rvisar la prima oliva y obrar omo valor d la prima la anidad. ln ( ) ( ) a + b + π ( ) d ln b + + b + > (3) qu s l ono omo prima Bays (prima a posriori) o prima basada n la xprinia d rlamaions. Obsérvs omo ra prvisibl qu ( ). Como ya s omnó anriormn los SBM pnalizan a los asgurados qu ralizan rlamaions mdian aumnos n las primas rompnsando omo onraparida a los asgurados qu no ralizan ninguna rlamaión. ara la onsuión d s objivo s usual onsidrar omo valor d la prima l oin nr una magniud a posriori y una magniud a priori mulipliada por. En nusro aso onsidrando la funión d uilidad xponnial s objivo pud alanzars dividindo (2) nr (3) y mulipliando por d manra qu s obin: 95

6 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 BM ( ) b + ( a + ) ln b + + b > b i a ln b + i (4) Así s onsigu qu uando s pasa d un príodo a oro 2 ( < 2 ) la prima s inrmn onform l asgurado pasa d una las on rlamaions a ora on 2 rlamaions ( < 2 ) minras qu disminuya la prima si l asgurado no xprimna rlamaión. Ejmplo. Considrmos una ilusraión spífia. La informaión qu s dispon d la arra apar n la abla qu musra los daos xraídos d un jmplo d Lmair (979) orrspondin a la disribuión dl númro d rlamaions d una arra d sguros d auomóvils on obrura d rsponsabilidad a rros d una ompañía asguradora blga. D sa forma por jmplo d los asgurados qu omponn la arra n l primr año () 959 no han ralizado ninguna rlamaión 877 ralizaron rlamaión 58 fuaron 2 rlamaions y 6 dmandaron hasa 3 rlamaions. Tabla. Informaión d la arra úmro d rlamaions () La abla 2 musra n la olumna d las frunias absoluas obsrvadas l númro d asgurados on 234 y más d 4 rlamaions. La mdia y varianza musrals son rspivamn. y.74. Es fáil omprobar qu la disribuión dl númro d rlamaions para oda la arra indpndinmn dl parámro d risgo sigu una disribuión binomial ngaiva d la forma: 96

7 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 p a + a + b f ( ) π ( ) d + b + b Apliando l méodo d simaión d los momnos los parámros d la disribuión a priori simados son a.649 y b ud obsrvars n la abla 2 qu on sos daos las frunias ajusadas mdian la disribuión binomial ngaiva son basan bunos. Tabla 2. Disribuión dl númro d rlamaions Frunias absoluas úmro d Obsrvadas Ajusadas rlamaions Más d 4 Toal Suponindo un os fijo por rlamaión d unidads monarias las primas bonus-malus a obrar nindo n una (4) s rogn n la abla 3 n la qu s ha omado omo onsan d avrsión al risgo l valor.4. Tabla 3. rimas obnidas uilizando la xprsión (4) úmro d rlamaions () Como podmos obsrvar por jmplo un asgurado qu hasa l príodo 2 no ha prsnado rlamaión paga 8666 u.m. minras qu si n l 97

8 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 siguin príodo raliza una rlamaión pasar a pagar 367 u.m. or l onrario si n l siguin príodo no fúa rlamaión su prima disminuy n 267 u.m. 3. MODELO CO RECIOS MÁS COMETITIVOS. En la figura podmos obsrvar dspués d rs años (3) la disribuión a posriori d la frunia d rlamaions d dos grupos d asgurados. La disribuión d la izquirda s orrspond on l grupo d asgurados siuados n (asgurados bonus) minras qu la drha s rfir al grupo 3 (asgurados malus). La zona sombrada nos india l ára n l qu ambas disribuions s solapan para valors mnors d la mdia dl grupo n lla s produn sobrargas n grupos d asgurados qu pagan más y sin mbargo inn una frunia d rlamaions inluso mnor qu la mdia d los asgurados bunos.85 Admás la sobrarga aumna a mdida qu s inrmna l númro d rlamaions ya qu las sobrargas no quiaivas d las primas son más anuadas n aqullas lass on mayor númro d rlamaions. A la visa d la abla 3 podmos obsrvar ómo n l príodo rro los asgurados prnins al grupo 3 pagan aproximadamn 2.86 vs más qu los dl grupo aún uando la frunia d rlamaions ral d muhos d llos s mnor qu la mdia dl grupo. Es subgrupo d asgurados (zona sombrada n la figura) sá pnalizado indbidamn ya qu paga asi l ripl d su mdia d rlamaions. Admás l problma aumna dbido a qu la ompañía asguradora no pud disinguir xaamn qué asgurados dl grupo prnn al subgrupo pnalizado. Eso obviamn rprsna un problma para la ompañía asguradora pus los asgurados siuados n las lass malus ( > ) pudn opar por abandonar diha ompañía para asgurars n ora on prios más ompiivos. Admás para la asguradora l prdr los ingrsos qu l suponn sos lins supon no podr ompnsar l dsuno qu llva a abo a los asgurados d la las bonus ( ). Todo so pud dsmboar n qu s rompa l quilibrio finaniro d la mprsa asguradora. D aquí qu sa nsario dsarrollar una nuva modología qu prmia disminuir la prima d los asgurados malus. Como onraparida s inrmnarán las primas d los asgurados bonus. Basará un ligro inrmno para rquilibrar l sisma puso qu la mayoría d los asgurados sán siuados n la las bonus. 98

9 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 Figura. Disribuions a posriori para la frunia d rlamaions ara analizar l siguin modlo qu raa d paliar las sobrargas mpzarmos alarando algunas noaions imporans: s la frunia absolua d rlamaions dl grupo. m asguradora. s l númro oal d asgurados d la ompañía m s l máximo valor qu pud nr l númro oal d lass n las qu s subdivid la arra. ara la disminuión d las sobrargas proponmos omar omo valor d la prima l valor ( ) qu soluionaa l siguin problma d opimizaión. 99

10 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 ( ) [ ] ( ) ( ) () s.a Max * ) ( ) ( m m d Z π dond * s la prima oliva. Esa rsriión iguala la prima mdia qu s obra a los asgurados on la prima oliva impon la ondiión d sufiinia para la mprsa asguradora. Es modlo difir susanialmn dl propuso por Lmair (979) pus s omaba ( ) * lo qu ndría snido sólo si s rabajas bajo l prinipio d prima na (véas Gómz. al 22). roposiión. El valor ) ( soluión dl problma () vin dado por ( ) ( ) ( ) ) (5 ln ln * + m i i i M M π on ( ). ) ( ) ( π d i M Dmosraión.- Basa onsidrar la funión lagrangiana ( ) ( ). ) ( * ) ( ) ( Ψ m m d α π dond α s l mulipliador d Lagrang y simpls álulos llvan al rsulado dsado. Lugo bajo un SBM la prima a obrar vndrá dada por

11 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 BM ( ) ( ). () (6) dond ( ) sá dada por (5). Ejmplo (Coninuaión). Calulando d nuvo las primas bonus-malus ahora on la xprsión (6) obnmos los valors qu figuran n la abla 4. Hmos onsguido oro onjuno d primas qu sujas a la rsriión prsupusaria mjoran la siuaión iniial mannindo onsan l valor d la onsan d avrsión al risgo. Tabla 4. rimas obnidas uilizando la xprsión (6) úmro d rlamaions () ud obsrvars qu los asgurados siuados n la las bonus han sufrido un ligro inrmno n l valor d las primas a obrar minras qu los asgurados siuados n las lass malus s vn afados por una rduión onsidrabl d sus primas. 4. COCLUSIOES En s rabajo proponmos un modlo alrnaivo d disminuión d las sobrargas indbidas qu s produn n odos los SBM. La modología xisn anriormn vr Lmair (979) onsguía disminuir las sobrargas pro modifiando susanialmn l parámro d avrsión al risgo. Como sabmos sa onsan mid la avrsión al risgo d la ompañía d sguros por lo qu no par muy ohrn ralizar modifiaions d s valor on l fin d soluionar l problma d las sobrargas. Lo razonabl s onsidrar qu s valor s fijo para un

12 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 asgurador y sólo varí nr disinos disors (asguradors). Admás sa modología onsguía la rduión d sobrargas mdian lvados inrmnos n las primas qu s obran a los bunos asgurados y pquñas disminuions n las primas orrspondins a los malos onduors. osoros proponmos una modología qu mjora snsiblmn sos rsulados n l snido d qu fija primas qu onsigun disminuir las sobrargas sin pnalizar xsivamn al grupo d los bunos risgos y bonifiando mnos al grupo d los malos. Eso pud sr posibl dbido a qu l númro d onduors n la zona d los bunos asgurados sul sr muy suprior al númro d asgurados n la zona d los malos. Admás omo s ha omnado anriormn odo SBM ópimo db saisfar qu las primas san sufiins y quiaivas. Con rspo a so úlimo l objivo fundamnal dl rabajo s disminuir las injusiias xisns n s snido y rmos qu s objivo s alanza on l modlo propuso n s rabajo. Agradiminos Los auors agradn a un valuador anónimo los valiosos omnarios ralizados a una vrsión prvia d s rabajo. EGD agrad al Minisrio d Eduaión y Cinia (proyo ECO29(452). REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS Baion F.; Lvansi S. y Mnzii M. (22): Th dvlopmn of an opimal Bonus-Malus sysm in a ompiiv mar. Asin Bullin vol. 32 nº pp Bühlmann H. (967): Exprin raing and rdibiliy Asin Bullin vol. IV-III pp Bühlmann H. (969): Exprin raing and rdibiliy. Asin Bullin vol. V-III pp Con G. y Doray L. (996). A finanially baland Bonus-Malus Sysm. Asin Bullin vol. 26 pp D ril. (978): Th Effiiny of a Bonus-Malus Sysm. Asin Bullin vol. nº pp

13 José Mª érz Emilio Gómz y Enriqu Caldrín Anals 2/9-4 Frangos. y Vronos S. (2): Dsign of opimal Bonus-Malus sysms wih a frquny and svriy omponn on an individual basis in auomobil insuran. Asin Bullin vol. 3 nº pp Grbr H. (974): On addiiv prmium alulaion prinipls. Asin Bullin vol. 7 pp Gómz-Déniz E.; érz J. Hrnándz A. y Vázquz F. (22). Masuring snsiiviy in a Bonus-Malus sysm. Insuran: Mahmais and Eonomis 3 () pp Gómz-Déniz E. Brmúdz Ll. y Morillo I. (25). Compuing bonusmalus prmiums undr parial prior informaion. Briish Auarial Journal II pp Gómz-Déniz E. y Sarabia J.M. (28). La disribuión binomialxponnial runada on apliaión n l sor dl sguro d auomóvils. Anals dl Insiuo d Auarios Españols nº 4 pp Hras A.; Vilar J.L. y Gil J.A. (22). Asympoi Fairnss of Bonus- Malus Sysms and Opimal Sals of rmiums. Th GEEVA paprs on Ris and Insuran Thory vol. 27 nº pp Lmair J. (979): How o dfin a Bonus-Malus sysm wih an xponnial uiliy funion. Asin Bullin vol. pp Lmair J. (985): Auomobil Insuran (Auarial Modls). Kluwr- ijhoff ublishing. Boson/Dordrh/Lanasr. Lmair J. (988): Consruion of h nw Blgian moor hird pary ariff sruur. Asin Bullin vol. 8 nº pp Lmair J. (995): Bonus-Malus Sysms in Auomobil Insuran. Kluwr Aadmi ublishrs. Boson/Dordrh/Londrs. Lmair J. (998): Bonus-Malus sysm: Th Europan and Asian approah o mri-raing (wih disussion by Krupa Subramanian Bonus- Malus sysm in a ompiiv nvironmn ). orh Amrian Auarial Journal vol. 2 nº pp Lmair J. y Zi H. (994): A omparaiv analysis of 3 Bonus-Malus sysms. Asin Bullin vol. 24 nº 2 pp Morillo I. y Brmúdz Ll. (23). Bonus-malus sysm using an xponnial loss funion wih an Invrs Gaussian disribuion. Insuran: Mahmais and Eonomis irbois S.; Dnui M. y Walhin J.F. (26). An auarial analysis of h Frnh bonus-malus sysm. Sandinavian Auarial Journal vol. 5 pp Sarabia J.M. Gómz-Déniz E. y Vázquz F.J. (24). On h us of ondiional spifiaion modls in laim oun disribuions: an appliaion o bonus-malus sysms. Asin Bullin vol. 34 nº pp

14 Un modlo bonus-malus on asignaión d arifas Anals 2/9-4 Shngwang Y.W. y Whimor G.A. (999). Aouning for individual ovr-disprsion in a Bonus-Malus auomobil insuran sysm. Asin Bullin vol. 29 nº 2 pp Sraub E. (992): on lif-insuran mahmais. Springr-Vrlag. Assoiaion of Swiss Auaris. Aadmi ublishr. Trmblay L. (992): Using h oisson invrs Gaussian in Bonus-Malus sysms. Asin Bullin vol. 22 nº pp Vrio. (22): Bonus-Malus Sysms: La of ransparny and adquay masur. Asin Bullin vol. 32 nº 2 pp Walhin J.F. y aris J. (999): Using mixd oisson prosss in onnion wih Bonus-Malus Sysms. Asin Bullin vol. 29 nº pp