Un algoritmo de satisfactibilidad para el problema de Job Shop scheduling
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- Francisco Javier Serrano Iglesias
- hace 8 años
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1 Un algortmo de satsfactbldad para el problema de Job Shop schedulng Marco Antono Cruz Chávez 1, Juan Frausto Solís 2, Davd Juárez 3 1 UAEM Av. Unversdad 1001 Col. Chamlpa C.P Cuernavaca Morelos, Méxco mcruz@buzon.uaem.mx 2 ITESM Campus Morelos, Paseo de la reforma No 182-A Col. Lomas de Cuernavaca C.P Cuernavaca Morelos, Méxco jfrausto@campus.mor.tesm.mx Abstract. En este artículo proponemos un algortmo llamado SPJS (Satsfactbldad del problema de Job Shop) para el problema de schedulng, que permte encontrar asgnacones satsfactbles de Job Shop medante la evaluacón de cláusulas reducdas de la Lógca proposconal que representan al problema. La asgnacón propuesta en Job shop parte de una codfcacón en forma SAT que solo ncluye a cláusulas que representan a las restrccones de precedenca y que se evalúan medante la obtencón de los tempos de nco más tardíos, los que se obtenen por medo de un algortmo que encuentra la ruta más larga.. Palabras Clave: Schedulng, Job Shop, Satsfactbldad. Introduccón. Los procesos de manufactura se han vuelto muy complcados debdo a que las máqunas que ntervenen en estas tareas pueden ejecutar un mayor número de operacones. Tambén las herramentas que se utlzan en las máqunas son caras y por lo tanto estas tenen que compartrlas a dstntos tempos con dferentes operacones con el propósto de reducr costos de operacón; el problema se complca dado que exsten comúnmente dependencas entre las dversas operacones. De esta forma resulta relevante para los sstemas de manufactura, el problema de schedulng que trata de determnar en que tempos y en qué máqunas, las operacones serán realzadas. Dentro del area de Schedulng, el problema de Job Shop (JSP) es el que mas aplcacón práctca ofrece, pues permte ncrementar la efcenca de los procesos de manufactura [Adams et al 1988]. JSP se descrbe de forma general como sgue: Se tene un taller con un conjunto de máqunas m = {M 1, M 2,,M m } las cuales deben realzar un conjunto de tareas j = {1,2,,n}. Cada tarea j requere de una sere de operacones O 1 j, O 2 j,,o nj,j, donde la tupla (, j) ndca la operacón de la tarea j y hay nj operacones en j. Se requere obtener la programacón de tempos de cada tarea determnando para ello los tempos de nco de cada una de sus operacones. Al conjunto de estos tempos de nco se le denomna un schedule. Se supone que al nco del proceso (.e al tempo cero), cada máquna está dsponble y que en cada momento solo puede procesar una operacón a la vez. Como nformacón de entrada, se proporcona, la secuenca de máqunas por las que cada tarea debe pasar [Adams et al 1988]; de esta forma, la operacón O 1j está dsponble desde el tempo cero. Se conocen además los tempos de procesamento p j de todas las operacones y sus restrccones de precedenca.,
2 esto es, no se permte que la operacón O j se nce antes de que termne la operacón O - 1,j. Nnguna operacón puede ser nterrumpda antes de que transcurra su tempo de procesamento (un caso donde no se permten preemptons) [Pnedo 1995]. En la fgura 1 se lustra un problema de JSP, el cual se representa por un grafo etquetado. El problema representado consste de dos tareas, cada una de ellas se compone de dos operacones (O 11, O 21 y O 12 y O 22 respectvamente). Las operacones O j se representan en el grafo por las etquetas O el subíndce j que representa el número de la tarea se omte por smplcdad, y este está mplícto en el número de renglón del grafo. Así los nodos etquetados en el grafo por O 1 y O 2 junto a las marcas M1 y M2 corresponden a las operacones 1 y 2 de la tarea 1. De esta forma estas dos etquetas O 1 y O 2 se leen O 11 y O 21. Nótese que los números de las operacones O j están en formato oscuro para dstngurlas de las etquetas O del grafo. Se tenen restrccones de precedenca Pk para cada tarea (arcos conjuntvos); así, para la tarea uno P1 ndca que la operacón O 11 debe de termnar antes de ncar la operacón O 21 ; lo msmo ocurre para la tarea dos con la precedenca P2. Se cuenta con dos maqunas (M 1 y M 2 ) que son compartdas por las tareas, esto es, la tarea uno utlza la maquna uno para realzar la operacón O 1 1 y la tarea dos para la operacón O 2 2. De aquí podemos entender que las tareas uno y dos comparten los msmos recursos (máqunas uno y dos respectvamente), por lo que exstrán restrccones de capacdad de recursos denotados por C1 y C2 en cada par de operacones que requera utlzar la msma máquna (arcos dsyuntvos). Sobre cada nodo se encuentra un número que representa las undades de tempo de procesamento necesaro para la operacón que ese nodo representa, por ejemplo en la fgura 1, para la operacón O 11 se requeren 3 undades de tempo para que dcha operacón se procesada. El prncpal problema es decdr que secuenca de operacones se debe segur en cada máquna que compone al Job Shop, respetando las restrccones de precedenca Pk y de compartcón (o de capacdad) de recursos Cr. El proceso de solucón para este problema se lustrará en una seccón posteror Fg. 1. El problema de Job Shop más sencllo. Job shop schedulng es un problema de optmzacón catalogado como NP duro [Papadmtrou 1994], de forma que no hay hasta el momento algortmos determnístcos que lo resuelvan en forma efcente (polnomal). Problemas de solo 10 trabajos y 10 máqunas han poddo resolverse solo después de un período de 25 años [Schutten 1998]; debdo a esta dfcultad, se han dado dversas propuestas de cómo plantear un problema de Schedulng, como por ejemplo CSP [Cheng and Smth, 1997; Smth and Cheng, 1993; Sadeh and Fox, 1995], SAT [Crawford and Baker, 1994, Ullman 1975], Programacón Lneal [Pnedo 1995], por menconar solo algunas; para posterormente darle solucón a través de una varedad de algortmos como por ejemplo, Branch and Bound [Conway et 2
3 al, 1967], Smulated Anealng [Perregaard, 1995], Genetcs Algorthms [Zalzala and Flemmng, 1997], Reglas de prordad [Panwalker and Iskander, 1997], Enumeracón mplícta [Carler and Pnson, 1989; Lageweg et al, 1977], Shftng Bottleneck [Schutten, 1998; Adams et al, 1988], ISAMP [Crawford and Baker, 1994], etc. Actualmente muchos nvestgadores, han realzado trabajos sobre el análss y métodos de solucón para problemas de satsfactbldad, en este tpo de problemas que por lo general se han dstngudo por ser teórcos, nosotros abordamos un problema practco como lo es JSP. Formulacón del problema de schedulng. Sguendo la nomenclatura tradconal [Pnedo 1995], este problema de Schedulng se representa por: Jn prec C max Donde, J ndca que se trata de un problema de Job shop con n máqunas, prec señala que se tenen restrccones de procesamento defndas por los tempos en que cada operacón esté lsta (ready tme) y sus tempos de termnacón oblgatoros (deadlne) de cada operacón y Cmax es la funcón objetvo a mnmzar llamada Makespan. La funcón objetvo que se busca es la de obtener un schedule que mnmce el tempo de termnacón máxmo de la últma tarea en el sstema ó Makespan [Schutten, 1998]. El Makespan se representa por max C. De esta forma la funcón objetvo Z es el mnmzar C (el máxmo tempo de termno encontrado de una operacón ),: (1) Z = mn max C ) (2) ( Sujeto a (con y j como par de operacones): donde C sj (3) cap j = ( C sj) ( C s) (4) j s r (5) C d (6) C = s + p (7) Estas restrccones se explcaran mas adelante. Este problema se puede ver como uno de satsfaccón de restrccones (CSP) que consste en determnar s un conjunto de restrccones puede ser satsfecho. La solucón de CSP es una asgnacón para las varables que ntervenen que smultáneamente las satsfaga a todas ellas [Gu, et. al., 1997]. La mayor dfcultad de soluconar este problema provene de las nteraccones entre restrccones y, en consecuenca CSP se torna dfícl. 3
4 El problema de satsfactbldad Defncón del problema de satsfactbldad (sat): Sean las varables booleanas x 1, x 2,..., x n, las cuales conforman m cláusulas C 1, C 2,..., C m, de modo que cada cláusula es una dsyuncón de una o más varables x. Encontrar el valor de verdad de las varables x 2 de modo que la fórmula C 1 C 2... C m sea satsfactble (tome el valor de verdadero). El problema SAT fue el prmero en reconocerse como NPC (NP Completo) [Garey and Jonson 1979], el cual es la versón de decsón de un problema np duro (versón de optmzacón). Los problemas de optmzacón pueden llegar a ser NP duros, mentras que los de decsón podrán ser NPC [Papadmtrou 1994]. Los problemas NP duros pueden ser transformados a SAT. Se puede pensar que no se obtene nnguna ventaja, sn embargo, la transformacón a SAT de determnadas nstancas de un problema NP duro puede dar por resultado un problema SAT que pueda ser abordado efcentemente. El preco de esta transformacón El problema de schedulng pertenece a la clase NP duros. Un problema A se dce NP duro sí pudéndose transformar a SAT, medante una transformacón polnomal, no se puede decr que A sea NP completo, sn embargo A es al menos tan dfícl (duro) como SAT; a estos problema tambén se les conoce como ntratables [Papadmtrou 1994]. Los problemas de optmzacón (como. Schedulng) son todos NP duros. Muchos problemas de optmzacón NP duros son con frecuenca transformados (codfcados) a SAT, debdo a que para muchas nstancas, el problema en su codfcacón SAT tene nstancas para las cuales exste un algortmo efcente. Dcho algortmo será capaz de determnar una solucón factble al problema de schedulng. Para el problema de JSP [Crawford and Baker, 1994] se utlza una codfcacón SAT, que es abordada usando algortmos cláscos para SAT (TABLEAU, GSAT WSAT). Esta codfcacón será presentada en la seccón sguente. No obstante, como veremos adelante, en esta codfcacón se trabaja con todas las restrccones, lo que consume demasado tempo de ejecucón en los algortmos para resolver SAT. En este artculo se propone un algortmo denomnado de Codfcacón Reducda que permte evaluar solo un subconjunto de restrccones codfcadas en SAT. Codfcacón clásca de schedulng como un problema tpo SAT. Para esta parte del artículo utlzaremos la tupla (,j) como par de operacones y nos auxláremos de la relacón (7). JSP se expresa entonces con las sguentes restrccones [Smth 1993] y [Crawford and Baker, 1994]: a) Restrccones de secuencas ( j ): Indca que la operacón debe fnalzar antes de comenzar la operacón j. Esto msmo se expresa con la ecuacón (3); esto es, el tempo de nco de la operacón s más su tempo de procesamento p debe de ser menor o gual que el tempo de nco de la operacón j. b) Restrccones de recursos: La capacdad de recursos representada por cap j en (4) es una forma de evtar los conflctos que ocurren cuando dos operacones requeren de una msma máquna al msmo tempo. Esta se defne como una dsyuncón, lo que sgnfca que la operacón debe fnalzar antes que nce la operacón j o ben j debe termnar antes de que nce, pero no los dos. c) Restrccones de tempo de lberacón (ready tme) El tempo de lberacón (ready tme) de una operacón es el tempo en que está lsta para ser ntroducda al sstema, pero no necesaramente sgnfca que ese sea su tempo de nco. Para una operacón, este tempo se representa por r en (5). La tarea no puede comenzar su procesamento s antes de su tempo de lberacón. S esta restrccón no 4
5 exstera, entonces el procesamento de la operacón podría comenzar en cualquer tempo. d) Restrccones de tempo límte (deadlne): El tempo límte (deadlne) de una operacón es el tempo (oblgatoro) más tardío en que la operacón deberá ser completada (no se debe de sobrepasar). Se representa por d, en (6). Para la traduccón del problema a SAT, deben obtenerse los tempos de nco de cada operacón ya que para dos operacones consecutvas,j, se tene que decdr s se asgna antes que j o ben j se asgna antes que. Para cada par de operacones (, j,), en cada restrccón, se realza un mapeo al conjunto booleano={verdadero, falso} por lo que se ntroducen las sguentes varables booleanas [Crawford and Baker, 1994]: Ec. Equvale Traduccón SAT Num Sgnfcado j C sj pr,j = verdadero (8) precede a j cap j, ( C sj) ( C s) r. d pr j,j V pr j, =verdadero (9) precede a j o j precede a s r sa,r = verdadero (10) comenza al tempo de lberacón de (es decr r) o mas adelante C d eb,d = verdadero (11) termna al tempo de térmno d Las cláusulas (8) a (11) se denomna conjunto C o conjunto de restrccones. Generalzando estas cláusulas y la formulacón del problema, [Crawford and Baker, 1994] determnó el sguente conjunto S de coherencas mostrado en (12) a (15) y que completa la codfcacón en SAT. El modelo es del tpo C S que descrbe un conjunto de solucones para JSP, y que medante valores propuestos de las varables p j se puede resolver el problema SAT encontrado y determnar un schedule factble. Para evaluar las coherencas, estas requeren estar en forma normal conjuntva (FNC). En S, t sgnfca el tempo en que la operacón puede comenzar o termnar. sa Coherencas FNC Cláusula, t sa, t 1, t sa, t 1 eb, t eb, t + 1, t eb, t + 1, t cb, t p sa t cb, t + p, t pr, j saj, t p sa t pr, j saj, t + p sa + sa + sa (12) eb (13), (14), (15) Algortmo de codfcacón SAT reducda Cuando en una codfcacón SAT de un problema algunas de sus cláusulas son sempre verdaderas y por lo tanto no ntervenen en la solucón, estas pueden ser elmnadas y al conjunto reducdo de cláusulas se le da el nombre de codfcacón SAT reducda. 5
6 Para nuestro método de solucón las restrccones de capacdad de recursos, Cr, establecen el conjunto de varables ndependentes, mentras que las restrccones de precedenca, Pk, son datos del problema que se tenen que cumplr. Como se observa en la fgura 1 las restrccones Cr son establecdas medante arcos dsyuntvos que ndcan una seleccón de dos opcones, o la operacón de una tarea j, Oj, es ejecutada nmedatamente después de la operacón x de la tarea y, Oxy, o vceversa. De esta forma la asgnacón a uno de los sentdos de una restrccón de capacdad la converte en una restrccón de precedenca entre las dos operacones que une. Por ejemplo, en la fgura 1, s a C1 le asgnamos un sentdo de arrba haca abajo, la restrccón resultante mplcará una precedenca entre O11 y O22. De esta forma, hacendo una asgnacón al conjunto de restrccones Cr se obtene un grafo conjuntvo a partr del cual se pueden establecer los tempos de nco más tardos para cada operacón (el tempo más tarde en el cual la operacón puede comenzar para esa asgnacón). Encontrando entonces el tempo de nco más tardío para cada operacón, es posble determnar los tempos de lberacón y de térmno. Usando los valores de los tempos de lberacón y de térmno encontrados, éstos serán sempre verdaderos, de modo que en cada cláusula dsyuntva donde aparezcan, esta será trvalmente verdadera. Como consecuenca, el conjunto de cláusulas será reducdo solo a las cláusulas (15). El tempo de nco más tardío de una operacón se determna a través de la ruta crtca (ruta más larga desde el nco a la operacón en cuestón). El tempo de nco más tardío de una operacón se conforma con la suma de los tempos de procesamento de las operacones sobre la ruta crítca sn tomar su propo tempo. Conocendo los tempos de nco mas tardíos de cada operacón, se revsa la satsfactbldad solo del conjunto de cláusulas (15) para cada par de operacones. Fg. 2. Dagrama de flujo del algortmo SPJS el cual evalúa una formula SAT para ver s la secuenca de operacones propuestas es satsfactble. La nterpretacón que se le da a (15) en forma de mplcacón es: Asegurar que s la operacón nca a o después del tempo t y además j sgue de, entonces j no podrá 6
7 ncar hasta que haya fnalzado. Puesto que tenemos los tempos de nco podemos evaluar las varables Sa,t y Sa j,t+p, donde t representa el tempo de nco encontrado para la operacón. Susttuyendo en (15) el tempo de nco para, resulta que la prmera de estas dos varables es sempre verdadera, mentras que la segunda dependerá de que t +p no rebase el tempo de nco prevamente encontrado para j. Sendo pr j supuesta verdadera, el valor de verdad de la mplcacón (15) dependerá solo de su lado derecho. Entonces, para un par de operacones (,j), cuyos tempos de nco y de procesamento conocemos, el lado derecho de (15) es falso, solo s el tempo de nco de j (.e, t + p) es mayor al tempo de nco calculado medante el proceso de ruta crtca. La fgura 2 muestra el flujo del algortmo SPJS en el cual el paso más mportante es la evaluacón de la formula SAT puesta en FNC formada por el conjunto de cláusulas obtendas de (15) para cada par de operacones con restrccones de capacdad de recursos. En la ntroduccón de datos se requere al número de operacones; número de máquna, tempo de procesamento y restrccón de precedenca que le corresponde a cada operacón. La planeacón desgna sobre la base de los datos anterores a las restrccones de capacdad de recursos para cada operacón. La forma en que se propone las secuencas para ser evaluadas, es en forma aleatora. De acuerdo con la secuenca propuesta se obtenen los tempos de nco de cada operacón y se prueba la satsfactbldad de la formula FNC, en caso de ser falsa se vuelve a proponer otra secuenca de operacones, de lo contraro se obtene una asgnacón satsfactble. El resultado obtendo (Makespan, tempos de nco de las operacones y sus secuencas) se almacena en un archvo para su consulta. Para una nterpretacón fácl de resultados, se ncluye un módulo que muestra la asgnacón de las tareas y el Makespan, por medo de la gráfca de Gantt (ver ejemplos de prueba). S se tratara de optmzar estos resultados, entonces debera de obtenerse varas asgnacones SAT y elegr a la que tenga el mejor Makespan. Obtencón de los tempos de nco más tardíos. Para la obtencón de la ruta mas larga se aplca un algortmo que genera un árbol de búsqueda de esa ruta para cada una de las operacones nvolucradas en el sstema. Por cada ruta encontrada (rama) se almacena el valor de la ruta y se elmna la rama actual para generar la sguente rama. En caso de que la nueva rama tenga un camno parecdo a la anteror, se elmnan los hjos que no estén en la ruta de la nueva rama. Se prosgue en este camno hasta termnar todo el árbol de búsqueda, conservando sempre el valor de la ruta mas larga, esta será el tempo de nco más tardío para la operacón en cuestón. En la fgura 3. se observa un ejemplo sencllo para la ejemplfcacón de la obtencón de la ruta más larga. Para la ruta de la operacón dos a través de las operacones que le preceden se obtene el árbol mostrado en la fgura 4. En este se muestran todas las posbles rutas que se pueden segur desde la operacón dos a la operacón fctca cero, algunas rutas tenen marcados 7
8 Fg. 3. Un ejemplo sencllo de un problema de Job shop que nvolucra 2 máqunas y tres tareas con dos operacones cada una. sus hjos con una etqueta de uno negatvo (-1) lo que ndca que es una ruta que no puede llegar al nco, por lo tanto se desecha. Las rutas que se toman en cuenta son las que llegan a la operacón fctca cero. La ruta mas larga es 16 como se puede ver en la fgura 4(a). (a) (b) Fg 4. Path for the operaton two of the fgure 3. (a) Tree of complete routes. (b) Branches of some routes found n the tree of the parenthess (a). A fn de evtar que el árbol crezca de forma exponencal en memora, se realzan podas cada vez que se genera una rama. La fgura 4(b) muestra esto, de zquerda a derecha se comenza generando la prmer rama. Esta rama se compone de las operacones La conservacón de la rama cuando vuelve a utlzarse se ve en la sguente rama de la fgura 4(b). La rama una vez obtenda su valor de ruta, comenza a elmnarse de abajo haca arrba. En cada nodo antes de elmnarse se pregunta s se tene un hjo derecho, en caso de ser certo se suspende la elmnacón y a partr de ese nodo con hjo derecho se contnúa una nueva búsqueda de ruta encontrándose la De lo anteror se puede entender que la rama mas larga encontrada y que pudera estar en memora será de complejdad espacal O(n), donde n representa al número de operacones nvolucradas en el problema. Ejemplos de prueba. Se muestran dos ejemplos sencllos de prueba. El programa con que se mplantó el algortmo por ser no determnístco genera dversos resultados, aquí se presenta solo uno de cada problema y no precsamente el mejor. Prmer ejemplo: Es el mostrado en la fgura 3. Se obtene un Makespan de 12, los datos de planeacón y resultados aparecen en las tablas 1 y 2 respectvamente. La gráfca de Gantt 8
9 obtenda por el programa se presenta en la fgura 6. donde se puede ver que se respetan las precedencas de la solucón propuesta en la tabla 2 entre tres trabajos cuyas operacones se ejecutan en dos maqunas. Planeacón de JSP Op Tproc Prec Cap. Rec , 5, , 6, , 6, , 5, , 4, , 3, Table 1. Planeacón del JSP prmer ejemplo. Capacdad de recursos propuestos a JSP y sus tempos de nco de acuerdo a las precedencas Op. Tproc. Inco tardío Prec. Cap. Rec , , 5, , , 3, Table 2. Resultados de una asgnacon factble al JSP del prmer ejemplo. Fg. 4. Dagrama de Gantt de asgnacón de trabajos y sus precedencas para el prmer ejemplo. Segundo ejemplo: Este es un benchmark propuesto por Muth y Thompson en 1963 y utlzado comúnmente para pruebas. El Job shop es de 6x6, ses máqunas y ses trabajos, cada una de las máqunas efectúan 6 operacones. Solo se muestra la gráfca de Gantt en la fgura 7 y su Makespan obtendo. Como puede verse en la gráfca los trabajos respetan sus precedencas. 9
10 Fg. 5. Dagrama de Gantt que muestra la asgnacón de trabajos y sus precedencas para el segundo ejemplo. Conclusones Dada la mportanca de los problemas práctcos del tpo planeacón-schedulng y a su gran dfcultad de obtener solucones por ser del tpo NP-Completo, es de relevanca el drgr nuestra mrada a SAT pues con una nvestgacón más profunda se puede encontrar un camno para una mportante smplfcacón en el trato de estos problemas. En este enfoque logramos smplfcar y reducr el número de cláusulas necesaras para la evaluacón de un problema Job shop codfcado en SAT, esto es mportante en problemas grandes. Tambén se pudo ncrementar la efcenca algorítmca en cuanto a complejdad espacal para la obtencón de los tempos de nco al realzar una poda constante en el árbol de búsqueda. Trabajos a futuro. Todavía se puede efcentar el método que asgna las secuencas de operacones de tal forma que se puedan proponer secuencas más probables de ser satsfactbles. Por el lado de rutas más largas, se puede buscar o proponer nuevos algortmos más efcentes para la obtencón de la ruta más larga en problemas grandes. Referencas [Adams et al. 1988] [Cheng and Smth, 1997] J. Adams, E. Balas y D. Zawack, The Shftng Bottleneck Procedure for job shop schedulng, Management Scence Vol. 34, No 3, March Cheng-Chung Cheng and Stepehen F. Smth, Applyng constrant satsfacton technques to job shop schedulng, Annals of Operatons Research 70, ,
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