La Matemática Financiera desde un enfoque de las Ecuaciones en Diferencias
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- Gerardo Ramos Juárez
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1 La Matemática Fiaciera desde u efoque de las Ecuacioes e Diferecias Luis Eresto Valdez Efraí Omar Nieva Luis Edgardo Barros Eje temático: Matemática aplicada Resume Usualmete, se preseta a la Matemática Fiaciera, la parte de la Matemática que estudia el movimieto del diero a través de u determiado tiempo, e ua relació directa co las sucesioes geométricas y aritméticas. E esta ota se preseta la Matemática Fiaciera utilizado Ecuacioes e Diferecias; lo que posibilita implemetar estas ecuacioes y desde la modelizació, como ua alterativa para el apredizaje de la Matemática Fiaciera e los alumos de ivel medio y de ivel superior. Por último, se describe u sofware, de uestro desarrollo, que permite calcular eficazmete. Palabras claves: Ecuacioes e Diferecias, Modelizació, Matemática Aplicada, Matemática Fiaciera. Itroducció Desde distitos ejemplos simples de movimieto de diero, se puede aplicar coceptos y solucioes de las Ecuacioes e Diferecia de primer orde co coeficietes costates, dado co esto, u uevo marco teórico y práctico e la educació secudaria y superior e la eseñaza de la Matemática Aplicada. Es por eso que este trabajo propoe, como ua ejemplificació de lo idicado e el párrafo aterior, mostrar ua maera diferete de eseñar el movimieto de diero a través de u determiado periodo el tiempo. 5
2 Problema Durate u año y desde el mes de Eero, ua persoa decide ahorrar $00 cada mes, iiciádose co u capital de $500. Se solicita realizar el plateamieto geeral del problema co u modelo matemático que represete lo acumulado mes a mes. Ua maera de platear ua resolució es de la siguiete forma iterativa: Mes Ahorro Acumulado Ahorro iicial 500 Eero M Febrero M M 00 Marzo M M2 00 Abril M M3 00 Mayo M M4 00 Juio M M5 00 Julio M M6 00 Agosto M M7 00 Septiembre M M8 00 Octubre M M9 00 Noviembre M M0 00 Diciembre M M 00 E defiitiva y geeralizado, el moto del -simo período se escribe: M 00 M O sea que, el moto de u período cualquiera es igual a la suma del moto del período aterior y 00. 6
3 Ahora, e este caso podemos decir que estamos e presecia de ua ecuació dode u térmio cualquiera lo relacioa co los térmios siguietes de ua sucesió. Esta ecuació se la cooce co el ombre de Ecuació e diferecias (EED). Trabajado co la variable x co subídice y geeralizado, podemos escribir: x x b x x b Teiedo e cueta los expoetes de las variables, cocluímos que hemos obteido ua Ecuació e Diferecias lieal de primer orde. Problema 2 Ua persoa obtiee u préstamo de $9000 (Capital iicial) y lo tiee que devolver e 9 meses co el 8% mesual de iterés y co capitalizació simple. Se solicita modelice el problema y calcule el moto que tedrá que devolver e el tiempo estipulado. Primero diremos que la capitalizació simple es aquella dode los itereses que se geera e u período, se calcula siempre e base al capital origial o iicial. Por otro lado, el 8% que es equivalete a decir 8 0,08 i deomiado tambié 00 tasa de iterés y cada iterés mesual I es el producto del capital y la tasa, o sea I , 08. Teiedo e cueta la defiició, el moto es la suma del capital prestado y los itereses, lo que sigifica que el moto e el mes ueve ( M 9 ) se lo puede expresar: M 9000 I I I I I I I I I Dode, por supuesto, como se idicó ateriormete, cada I 0, Agrupado, se tiee: Gustavo J.; Navarro, S (2005). Ecuacioes e Diferecias. Pág. 2 7
4 M 9000 I I I I I I I I I Observado el parétesis, éste es el moto hasta el período o mes ocho ( M 8 ), lo que sigifica que: M9 M8720 Que es lo mismo que: M9M8 720 Esta expresió es tambié ua Ecuació e diferecias lieal de primer orde, cuyo térmio idepediete es 720. Lo que e defiitiva y para u período cualquiera, esta expresió queda: M 720 M El valor del moto, se calculará más adelate. Problema 3 U ahorrista coloca u capital de $2000 a el 0% mesual, por doce meses y co capitalizació compuesta. Se solicita modelice el problema. Ates de modelizar, se tedrá e cueta que la capitalizació compuesta es aquella dode el moto de u período cualquiera, se calcula e fució del moto del período aterior 2. Ahora, para el período o mes uo, el moto se calcula solo e base al capital, lo que sigifica que: M , , 2000 Ahora, para el período o mes dos, se tiee: 2 Valdez, L. (2009). Matemática Fiaciera Pág. 42 8
5 M M M 0, M 2 Para el período tres: M M M 0, M Siguiedo este razoamieto, podemos armar la siguiete tabla: Período Moto por periodo M M M. 2 3 M M M M M M M M M M M M M M M M. 0 9 M M. 0 2 M M. 2 E defiitiva, el moto e el período se pude expresar e térmio del aterior de la siguiete forma: M M Haciedo u pasaje de térmios, queda: M 0 M Lo que tambié es ua Ecuació e Diferecias lieal co u coeficiete costate, cuyo valor del térmio idepediete es 0, lo que se deomia homogéea. 9
6 Problema 4 Ua persoa tiee ua deuda de $500 a saldar e 60 días co ua opció de descueto del % diario por pago aticipado. El deudor aboa dicha deuda 0 días ates de su vecimieto. Se solicita dar u modelo matemático para este problema. Observamos que al pagar la deuda ates del vecimieto y al aplicarle u descueto, el moto se actualizará, y la operació es compuesta. Co estos fudametos podemos asegurar que: Para el primer día de adelato, teemos u moto que es la diferecia etre el capital de la deuda y el descueto, lo que sigifica que: M , , ,99 Para el segudo día, el moto co el descueto se calcula e base al moto del período aterior: M M 0,99 2 Para el día tres, y siguiedo el mismo razoamieto, se tiee: M M 0, E el mismo orde de ideas, podemos costruir la siguiete tabla para los diez días: Período Moto por periodo M 500 0,99 2 M M.0, M M.0, M M.0,
7 Período Moto por periodo 5 M M.0, M M.0, M M.0, M M.0, M M.0, M M.0, Lo que sigifica e defiitiva que: M Que es lo mismo que: M M 0,99 0,99 0 M Tambié es ua Ecuació e Diferecia de primer orde lieal homogéea. E base a los ejemplos, se preseta tres tipos de Ecuacioes e Diferecias lieales de primer orde:. x x b : Ecuació e Diferecias lieal de primer orde co coeficiete costate, o homogéea; 2. x a. x 0: Ecuació e Diferecias lieal de primer orde co coeficiete costate, homogéea. Ahora, teiedo e cueta las defiicioes de Sucesioes o Progresioes, el primer caso es ua progresió aritmética, dode la diferecia de progresió es b y e el segudo caso, es ua progresió geométrica, dode la costate a es la razó. Esto sigifica que 2
8 las sucesioes aritméticas y geométricas, so casos especiales de Ecuacioes e diferecias de primer orde co coeficietes costates x ax b : es ua sucesió geométrica modificada 4 e igualmete es ua Ecuació e Diferecias lieal de primer orde co coeficietes costates, o homogéea. Ahora, Cómo se determia la solució de ua Ecuació e Diferecias de estos tipos? Aalizado el primer caso y partiedo de u valor iicial x 0, se tiee: x x b 0 x2 x b x0 b b x0 2b Siguiedo el mismo orde de ideas podemos afirmar que: x x b 0. Sustituyedo x 0 por C: x C. b ; dode C es u valor iicial E el problema : M 00 tiee la forma de la Ecuació e diferecias x M 00, la solució geeral es M C.00. x Ahora, el valor iicial es el ahorro iicial C= $ 500, y la catidad de meses es =2, lo que sigifica que: M2 $500 2 $00 $700 3 Juárez, G; Navarro I. (2005) Ecuacioes e Diferecias - Pág. 5 4 Juárez, G; Navarro I. (2005) Ecuacioes e Diferecias Pág. 9 22
9 E el problema 2: la solució geeral es tambié de la forma: x x0. b y x0 9000, por ser el capital iicial, el úmero de períodos que es 8 y b , 08 (iterés mesual), podemos obteer el moto el que es: x , Ahora, para el caso de la sucesió geométrica x a. x 0, determiemos la solució y tambié partimos de u valor iicial, teemos: x a. x 0 x 0 x a. x a. a. x a. x x a. x a. a. a. x a. x x a. x a. x Reemplazado, queda determiada la solució geeral: x C. a si x0 C. E el problema 3: el típico de moto compuesto, M. M, lo que se ecuadra e ua progresió geométrica x a. x 0, la solució geeral es: M. C Haciedo C=$2000 y como catidad de períodos es =2, se tiee: 2 M2 $2000 $6276,86 E el problema 4: se realiza el mismo razoamieto, dado que la solució geeral de esta ecuació es M C 0,99. Hacemos C=$500 y =0 y teemos la solució del problema: 23
10 0 M0 $5000,99 $356,57 Ahora, para el caso de las sucesioes geométricas modificadas, x a. x b, la solució geeral, estará dada co el siguiete razoamieto 5 : x a. x b 0 x a. x b a.( a. x b) b a. x a. b b a x b.( a) x3 a. x2 b a. a x0 b.( a) b a x0 b. a a x4 a. x3 b a. a. x0 b a a a x0 b. a a a Siguiedo el mismo orde de ideas, cocluimos por iducció que: Pero, teiedo e cueta que la sucesió x a x a a a a b a 2 3 a a a a... a a a Lo que sigifica que si a se tiee: a b b. a x a x0 b. x a x0 a a a Lo que sigifica que: b b x a x0 a a 5 Juárez, G.; Navarro S.(2005) Ecuacioes e Diferecias Pág. 9 24
11 b Ahora, haciedo D x0, teemos la solució geeral de la ecuació e a diferecias x ax b Para a=, es x D. a b. x D. a b a Problema 5 U iversioista deposita al fial de cada uo de 2 meses, ua suma fija de $500, co el 0% mesual de iterés co capitalizació compuesta. Determiar u modelo matemático y calcular el moto fial que obtedrá el iversioista al cumplir u año de aportes. Aalizado desde el mes al 2, se acumula al fial de cada período, los siguietes motos: Período Moto M M M M M M M
12 Período Moto 4 8 M M M M M 500 El moto fial ( El cual es: S ) acumulado e -períodos es: S M0 M M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M0 M S Extrayedo factor comú a hasta el peúltimo térmio, se tiee: S ( ) 500 Ahora, si se observa lo que está e el parétesis, es la suma parcial hasta el mes o período 0 y reemplazado: S. S Lo que sigifica que estamos e presecia de ua Ecuació e Diferecias de primer orde co coeficiete costate o homogéea: S. 500 S 26
13 La solució geeral es: S x0. S x0. 0, 0, Ahora, como la cuota es $500, que es el valor iicial, se tiee que para = (período 2): S ,4 Este problema es el típico de Imposició vecida co cuota costate. Ahora, Comparado los cálculos co los Software Ecuacioes e Diferecias y Matemática Fiaciera , se tiee: 6 Juárez, G; Navarro, S; Valdez, L.; Barros, L. ( ). Software Ecuacioes e Diferecias Valdez, L. ( ). Software Matemática Fiaciera
14 Figura - vista del software EED para el desarrollo del problema 5 28
15 Figura 2: vista de la patalla de trabajo del software Matemática Fiaciera problema 5. para el E defiitiva, utilizado las ecuacioes e diferecias de primer orde lieales co coeficietes costates x a. x b se puede calcular la Imposició vecida, haciedo la costate a como el factor de capitalizació (+i), b la cuota y el subídice es el úmero de períodos dismiuido e uo. Y por supuesto, la solució geeral es el valor de la imposició: b b x x0. a a a 29
16 Problema 6 Ahora, e el mismo problema aterior, supoiedo que la cuota se depositara al iicio de cada mes (adelatada). El razoamieto es el mismo, pero cada cuota se capitalizaría por u período más, el moto fial acumulado es: S M0 M M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M0 M E defiitiva es: S Sacado factor comú hasta el peúltimo térmio, se tiee: S ( ) 500 Lo que está e el parétesis es la suma parcial hasta el período o mes, o sea S. S La solució geeral es: S x0. S x0. 0, 0, Ahora, como la cuota es 500 y, por ser adelatada se multiplica por ; este es el valor iicial, co lo que se tiee para = (período 2): S ,35 E defiitiva, este es el problema típico de Imposició adelatada co cuota costate. 30
17 O sea que para calcular ua imposició adelatada, tambié se utiliza ua ecuació e diferecias lieal de primer orde co coeficietes costates x a. x b, dode la costate a es el factor de capitalizació, la costate b es el producto etre la cuota y el factor de capitalizació y es el úmero de períodos dismiuidos e uo. Problema 7 Ua persoa obtiee u préstamo, debiedo aboar para su cacelació, cuotas de $.200 al iicio de cada mes durate 2 años, cobrado la etidad fiaciera u iterés aual del 24%. Se solicita modelizar el problema y determiar el valor de dicho préstamo, teiedo e cueta que la operació fiaciera se basa e ua ley compuesta. Iicialmete, se observa que la tasa es aual y las cuotas so mesuales, lo que sigifica que la tasa (i) y el tiempo se la debe expresarse e fució de meses, por lo tato se 0, 24 tiee que i 0,02 y los 2 años equivale a 24 meses. 2 Por otro lado, el valor real del préstamo es al iicio del primer período, por lo que cada cuota que tiede a extiguir dicha deuda se actualiza a ese período, etoces estamos e presecia de lo que se deomia ua amortizació, que la deotaremos co V. E cosecuecia, el factor costate que actualiza a cada cuota es 0,98039 i,02, etoces e el período se tiee u moto compuesto M C 0,98039 Ahora, el valor del préstamo es: V M M M... M M Etoces: V , , , ,
18 Sacado factor comú la costate 0,98039 desde el segudo térmio, teemos: V , , , , Lo que está e el parétesis es V23 e diferecias de primer orde lieal:, por lo que para el período se tiee ua ecuació V 0, V 200 V 0, V 200 Teiedo e cueta la solució geeral: V x0.0,98039 V , , , , ,98029 V ,64 Si se compara los cálculos usado el software Matemática fiaciera co la fórmula de amortizació adelatada y se tiee el mismo resultado. 8 Valdez, L. ( ). Software Matemática Fiaciera
19 Figura 3: problema 7 co el software Matemática Fiaciera Problema 8 Calcular la amortizació co datos similares a los del problema aterior, pero co cuota vecida. El razoamieto es parecido, pero las cuotas se actualiza por u período más, dado que se paga al fial de cada uo de ellos, etoces: V , , , ,
20 Sacado factor comú la costate 0,98039 desde el segudo térmio, teemos: V , , , , ,98039 Lo que está e el parétesis es V23 e diferecias de primer orde lieal: 2 23, por lo que para el período se tiee ua ecuació V 0, V 200 0,98039 V 0, V 76, 468 V 0, , x0.0, , ,98039 V 23 76, , 468 0, , , , , 7 E defiitiva y e base a los Problemas 7 y 8, para calcular ua amortizació, ya sea vecida o adelatada, se puede utilizar ua ecuació e diferecias lieal de primer orde co coeficietes costates x a. x b, dode la costate a es el factor de actualizació, la costate b es la cuota, la que debe estar multiplicada por el factor de actualizació si es vecida, y es el úmero de períodos dismiuido e uo. Por otro lado, teiedo e cueta la solució geeral: b b x x0. a a a x es el valor de la amortizació, x 0 la cuota iicial (multiplicada por el factor de actualizació si es vecida) y el resto de las costates co las mismas cosideracioes ateriores. Coclusioes E u aálisis fial podemos hacer la siguiete comparació e estos casos particulares: 34
21 Matemática Fiaciera Moto compuesto C C i 0. Valor actual e el Descueto compuesto V N. i Imposició Vecida S ( i, ) i C. i Imposició Adelatada S ' C. i ( i, ) i Amortizació Vecida i V( i, ) C. i. i i Amortizació Adelatada V ' C. i ( i, ) i i. i Co Ecuacioes e Diferecias Ecuació: x a. x 0 (EED lieal homogéea) Solució: x x a 0., siedo de capitalizació y el úmero de períodos. x 0 el capital y a el factor Ecuació:. x x 0 a (EED lieal homogéea) Solució: x x. a o, siedo x 0 el valor omial, a el factor de descueto (-i) y el úmero de períodos. Ecuació: x a. x b (EED lieal o homogéea co coeficietes costates) b b Solució: x x0. a, siedo la a a imposició, x o y b valor de la cuota que, para el caso que la cuota sea adelatada, estará multiplicada por el factor de capitalizació; a factor de capitalizació y el úmero de períodos dismiuido e.- Ecuació: x a. x b (EED lieal o homogéea co coeficietes costates) b b Solució: x x0. a, siedo la a a amortizació, y b valor de la cuota que, para el caso x o de que sea vecida, debe ir multiplicado por el factor de actualizació; a factor de actualizació y el úmero de períodos dismiuido e.- x x Co todo esto, podemos afirmar la aplicabilidad secilla de las Ecuacioes e Diferecias e situacioes problemática cocretas de Matemática Fiaciera, co lo que os lleva a cocluir la importacia que tiee e la resolució de problemas y, por ede, e la educació, lo se podría pesar e su implemetació e el ivel medio y e los profesorados. 35
22 Referecias bibliográficas Barros, Luis E. (999). Apute de Clase Aálisis Matemático I y II. Juarez, Gustavo A. Navarro, Silvia I. (2005). Ecuacioes e Diferecias co aplicacioes a modelos e diámica de sistemas. Ed. Sarquís Catamarca. Juárez Gustavo A. Navarro, Silvia I.; Barros, Luis E.; Valdez, Luis E. ( ). Software Ecuacioes e Diferecias Versió.3.4. Juárez, Gustavo A.; Navarro, Silvia I. (20). Problemas discretos co valores iiciales Revista UMA Vol. 26 N 2 FAMAF. Piskuov, N (984). Cálculo Diferecial e Itegral. Ed. Mir. Sadovky, Patricia (2005). Eseñar Matemática Hoy, miradas, setidos y desafíos. Ed. Zorzal. Valdez Luis, Juarez Gustavo, Navarro Silvia, Barros Luis (204) Implemetació de software para la eseñaza de las ecuacioes e diferecias co valores iiciales. Revista de Educació Matemática. Uió Matemática Argetia. Volume 29 N. Valdez, Luis (2007). Matemática Fiaciera. Editorial Cietífica Uiversitaria.- Valdez, Luis (206). Software Matemática Fiaciera Versió Valdez, Luis (206). Sitio web Luis Eresto Valdez. Istituto de Estudios Superiores Adalgalá. Catamarca. Luis_valdez@aret.com.ar Efraí Omar Nieva. Facultad de Ciecias Ecoómica. Uiversidad Nacioal de Catamarca. Luis Edgardo Barros. Istituto de Estudios Superiores Adalgalá. Catamarca. 36
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