PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO. Comprensión de las expresiones algebraicas como estructuras matemáticas aplicables al desarrollo científico.

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1 PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G. Refuerzo matemáticas 2011, grado 9 o Fecha: 25/07/2011. PRIMER PERÍODO: Competencias: Comprensión de las expresiones algebraicas como estructuras matemáticas aplicables al desarrollo científico. Identificación de las expresiones algebraicas, según un contexto matemático dado. Contenidos: Conjunto de los números reales. Clasificación y tipos de expresiones algebraicas. Factorización de expresiones algebraicas. Actividades: Resolver los siguientes ejercicios relacionados con polinomios, potenciación y radicación: 1. 7X 2 + 3Y + 2X 2 5Y + X 2 + 9Y 12X 2 Y + 5X 2 11Y = 2. 2a 2 + 5b 3c + 8b 7a 2 c + 5a 2-11b + 6c a 2 4b + 22c = X - Y XY X XY Y X XY Y X Y 3 XY m n 4n m 6mn n m 7m n 5n = OBSERVACIONES: El taller se entregó con un mes de anticipación. En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo otro refuerzo. El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.

2 PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G. Refuerzo matemáticas 2011, grado 9 o Fecha: 25/07/2011. SEGUNDO PERÍODO: Competencias: Interpretación y asociación de las ecuaciones lineales con movimientos de la naturaleza. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación o de sustitución. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de Gauss. Contenidos: Ecuación general de la recta. Tipos de representación de funciones lineales, el plano cartesiano y la tabla de valores. Ecuación general y ecuación canónica de la recta Cálculo de la pendiente de una línea recta. Posición relativa de dos rectas en el plano. Construir la gráfica de las siguientes ecuaciones lineales, a través de una tabla de valores: 1. x + 9y = x 6y = 7 3. y = 3x 8 4. y = -4x y = 2x + 3 Hallar la pendiente y la ecuación de las líneas rectas representadas en las siguientes gráficas:

3 Construir las parábolas asociadas a cada una de las funciones cudráticas siguientes: 1. y = x 2 8x y = x 2 + 2x y = 4x 2 8x y = -9x x + 1 Calcular las ráices o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. x 2 + 9x + 20 = x 2 21x + 18 = 0 3. x x + 36 = x 2 + 4x 9 = 0 OBSERVACIONES: El taller se entregó con un mes de anticipación. En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo otro refuerzo. El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.

4 PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G. Refuerzo matemáticas 2011, grado 9 o Fecha: 25/07/2011. TERCER PERÍODO: Competencias: Interpretación y asociación de las ecuaciones lineales con movimientos de la naturaleza. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación o de sustitución. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Respeto ante los argumentos de los demás para defender propuestas de solución de ecuaciones. Actividades: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución: 6 18y y 5 2. x + 11y = 17 6x + 6y = y y 4 Construir la gráfica de las siguientes ecuaciones lineales, a través de una tabla de valores: 1. x + 9y = x 6y = 7 3. y = 3x 8 4. y = -4x y = 2x + 3

5 Hallar la pendiente y la ecuación de las líneas rectas representadas en las siguientes gráficas: Construir las parábolas asociadas a cada una de las funciones cudráticas siguientes: 1. y = x 2 8x y = x 2 + 2x y = 4x 2 8x y = -9x x + 1 OBSERVACIONES: El taller se entregó con un mes de anticipación. En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo otro refuerzo. El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.

6 PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G. Refuerzo matemáticas 2011, grado 9 o Fecha: 25/09/2011. CUARTO PERÍODO: Competencias: Resuelvo preguntas relacionadas con funciones y ecuaciones cuadráticas, y reconozco el talento de los demás en este tema. Investigo en la ciencia actividades o fenómenos relacionados con funciones y ecuaciones cuadráticas. Creación de generalizaciones con respecto a razones y proporciones. Valoración de la enseñanza de conceptos matemáticos en razones y proporciones usando como estrategia las TIC. CONTENIDOS: Concepto de función cuadrática. Gráfica de la función cuadrática. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Comunicación adecuada con mis compañeros dentro y fuera del aula de clase. Ejercicios de la función cuadrática Representa las funciones cuadráticas 1y = -x² + 4x - 3 2y = x² + 2x + 1 3y = x² +x + 1 4Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: 1. y= (x-1)² y= 3(x-1)² y= 2(x+1)² y= -3(x - 2)² - 5

7 5. y = x² - 7x y = 3x² + 12x - 5 5Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: 1. y = x² - 5x y = 2x² - 5x y = x² - 2x y = -x² - x + 3 6Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a. 7Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c. 8Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación. 9Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa: 1. y = x² y = x² y = (x + 2)² 4. y = (x + 2)² 5. y = (x - 2)² y = (x + 2)² 2 1. Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x 2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de Las funciones f(x) = x 2 + 6x, g(x) = x y G(x) = x x que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas. 4. Gráfica de las funciones cuadráticas 5. La función cuadrática más sencilla es f(x) = x 2 cuya gráfica es: x '5 0 0' f(x) = x '25 0 0'

8 6. 7. Esta curva simétrica se llama parábola. 8. Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma. 9. Dibujemos la gráfica de f(x) = x 2-2 x - 3. x f(x) Completando la gráfica obtengo: 11.

9 1. Obtención general del vértice Sea la parábola y = ax 2 + bx + c Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema. Igualando: a x 2 + b x + c = c a x 2 a la solución x = -b/a. + b x = 0 x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a Ejemplo Si f(x) = x x + 3, entonces y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1). Actividad 2. Dada la parábola y =- x x + 3, determina la coordenadas de los puntos indicados.

10 Cortes con los ejes Observa las parábolas: a. y = - x 2 + 2x + 3 Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x 2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3. Los puntos de corte son (-1,0), (3,0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3). b. y = x 2-4x + 4

11 Puntos de corte con el eje X: Resolviendo la ecuación x 2-4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0). Punto de corte con el eje Y: (0,4). c. y = x 2-2x + 3 Puntos de corte con el eje X: Si resolvemos la ecuación x 2-2x + 3 = 0 obtenemos que lo tanto, no tiene cortes con el eje X.. No existe solución y, por Punto de corte con el eje Y: (0,3) Actividades

12 3. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes: a. y = 2x 2-14x + 24 b. y = 5x 2-10x + 5 c. y = 6x d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2) 2 f. y = 3(x 2 + 4) 4. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0) Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0). 3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4). 4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6). Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas Parábolas del tipo y = ax 2 (b = 0, c = 0)

13 Las parábolas de ecuación y = ax 2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Un resultado importante La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x 2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax 2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax 2.

14 Por ejemplo: La parábola y = 2x 2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x 2 ; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas. Al someter la parábola y = 2x 2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x 2. Las parábolas y = ax 2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax 2. Actividad 5. Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x 2 sobre la parábola y = 3x 2-9x + 4.

15 Parábolas del tipo y = ax 2 + c, (b = 0) La gráfica de g(x) = 2x 2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x 2, desplazándola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en V(0,3). La gráfica de h(x) = x 2-4, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x 2, desplazándola 4 unidades hacia abajo. El nuevo vértice es V(0,-4). Las parábolas del tipo y = ax 2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax 2, c unidades hacia arriba o hacia abajo, según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c). Parábolas del tipo y = ax 2 + bx, (c = 0)

16 La gráfica de la parábola y = 2x 2-4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es - b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0). Si la parábola es del tipo y = ax 2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b, 0) Actividades 6. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas: Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.