De la proporcionalidad de los lados de dos triángulos semejantes, obtenemos la definición de las razones trigonométricas de la siguiente forma:

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1 TEMA 1: TRIGONOMETRÍA PLANA Conceptos Elementales de la trigonometría. 1.. Resolución de triángulos. 1.. Resolución de Ecuaciones Conceptos Elementales de la trigonometría. La palabra trigonometría deriva de tres vocablos tri-tres, gono-ángulo y metríamedida. Estudia la relación entre las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de cualquier triángulo. Surge de la necesidad de predecir fenómenos como eclipses, inundaciones del Nilo, etc. También es de gran utilidad en la astronomía para el cálculo de distancias lineales y angulares, en la navegación calendarios cartografía, etc. La trigonometría no es nuevo concepto para vosotros. Ya visteis el año pasado que la trigonometría nos servía para relacionar las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo con sus lados, y con ello podíamos resolver diversos problemas de medidas (la anchura del río, la altura de un edificio,...etc.). Este año no sólo hablaremos de triángulos rectángulos sino de triángulos oblicuángulos (no tiene ningún ángulo de 90º). Esta relación da lugar a una serie de fórmulas (que podéis comprobar que son ciertas con el libro) a las cuales, quizás, no le veamos su aplicación real al principio. Posteriormente veremos como resolver problemas reales fáciles. De la proporcionalidad de los lados de dos triángulos semejantes, obtenemos la definición de las razones trigonométricas de la siguiente forma: CosC = tagc = cat contiguo hipotenusa cat opuesto senc cotagc = cat contiguo cosc cat opuesto senc = hipotenusa cat contiguo cat opuesto cosc senc secc = hipotenusa 1 hipotenusa 1 cosecc = cat contiguo cosc cat opuesto senc Ejercicio 1(ejercicio 7 de la página 87): Resuelve un triángulo rectángulo, sabiendo que la tangente de uno de sus ángulos agudos es 5 y que el cateto opuesto a este ángulo mide cm. Sol: c = /7, c = 5 7 Tres son los sistemas de medidas de ángulos, nosotros solo trabajaremos con dos: grados sexagesimales (considera la circunferencia dividida en 60º partes iguales) y radianes (teniendo en cuenta que el perímetro de una circunferencia es r y el radio de la circunferencia goniométrica es 1), en particular, con radianes. Recordemos que los grados sexagesimales no se pueden representar en una recta pero los radianes si. Para 1

2 pasar de uno a otro simplemente tenemos que aplicar una regla de tres teniendo en cuenta que 180º equivale a. Recordemos sobre la circunferencia goniométrica como representar un ángulo, su seno y su coseno, situándonos en los distintos cuadrantes. Observando en ella: Los valores del seno y del coseno se encuentran entre 1 y 1, los signos, hay cuatro ángulos con el mismo seno (o coseno) sin tener en cuenta el signo, ángulos complementarios o suplementarios. No correr, despacito. **Entre paréntesis indico el número del ejercicio en el libro. Ejercicio (1): Si cos = 1 11, indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta y razona tu respuesta: a) es un ángulo negativo. b) está en el tercer cuadrante. c) es un ángulo mayor que. d) Es imposible que el coseno de un ángulo sea Ejercicio (1): Señala en que cuadrante está el ángulo si: a) sen> 0 y cos< 0 II b) sen< 0 y tg> 0 III c) sec< 0 y cosec< 0 III d) cotg< 0 y cos> 0 IV Ejercicio (9): Si cotgcotg podemos asegurar que los dos ángulos son iguales? Razona tu respuesta. Ejercicio 5: Sabiendo que sen= ¾ y que es un ángulo del primer cuadrante. Calcula: sen(180º - ), sen(180º + ), cosec, cosec(-), cos(60º -), cos( ), tg( ), sec(180º - ), cotg(-). Ejercicio 6 (0): Señala si las siguientes igualdades son ciertas o no. En este último caso, escribe la igualdad correcta. a) sen = sen(180º + ) b) cos = sen(90º + ) c) sec = sec( - ) d) tg = cotg( - ) e) cosec = - cosec( - ) f) cotag = cotag(60º-) Teorema fundamental cos x + sen x = 1, que se deduce del teorema de Pitágoras. Derivadas del teorema fundamental son: 1 + tg x = sec x 1 + cotg x = cosec x Ejercicio 7 (8): Es posible que exista un ángulo que verifique simultáneamente sen= /5 y cos= /5? Razona. Ejercicio 8: Demuestra 1 + tg x = sec x Ejercicio 9 (17): Si sen = - 0 y 180º< < 70º. Calcular las demás razones.

3 Ejercicio 10 (18): Si cos = 0 65 y < <. Calcular las demás razones. Ejercicio 11 (16): Si tag = - y < <. Calcular las demás razones. Ejercicio 1: Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos sabiendo que: a) sen = /5 II calcular cos y tg b) cos = -/5 III calcular sen y tg c) sen = - 180º 70º cotg d) cos = 0 70º 60º sec y cotg e) tg = - sen > 0 sen y cos f) sec = 5 tg > 0 cos y cosec Necesitamos conocer las razones trigonométricas de los ángulos más conocidos del primer cuadrante y de 0º, 90º, 180º y 70º. Por ello: Ejercicio 1: Construye una tabla que contenga el seno, coseno, tangente, cotagente, secante y cosecante de 0º, 0º, 5º, 60º, 90º, 180º, 70º. Ejercicio 1: Calcula las razones trigonométricas de 150º, 10º y 0º. Ejercicio 15: Calcula las razones trigonométricas de 10º a partir de 0º. Ejercicio 16 (5): Calcula, reduciendo al primer cuadrante: sen150º, cos5º, tg(-5º), cosec10º, cotg0º, sec15º, sen15º, sec(-10º), tg(). Creo que hay más Ejercicio 17 (): Calcula, sin utilizar la calculadora, sen1500º, cos75º y tg010º. 1. Resolución de triángulos rectángulos: Ejercicio 18 (): Calcula el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte, sabiendo que una estatua proyecta una sombra que mide veces su altura. Ejercicio 19 (9): Un grupo de bomberos intenta llegar con una escalera de 5 m de longitud a una ventana de un edificio situada a m del suelo, de donde sale una densa nube de humo. A qué distancia de la pared del edificio habrán de colocar el pie de la escalera para poder entrar por la ventana? Ejercicio 0 (): Calcula los ángulos de un rombo sabiendo que la longitud de sus lados es de 5 cm y que sus diagonales miden 6 cm y 8 cm. Ejercicio 1 (1): Resuelve los triángulos rectángulos sabiendo que: a) a= cm, C = 5º b) b= cm, B=5º c) a=10 cm, b=5cm Ejercicio (5): Desde un helicóptero que vuela a 00 m de altura se observa un pueblo, bajo un ángulo de depresión de 5º. Calcula la distancia del helicóptero al pueblo medida sobre la horizontal. Ejercicio (7): El ángulo desigual de un triángulo isósceles es de 5º. Los lados iguales miden 7 cm cada uno. Calcula el área del triángulo.

4 Ejercicio (59): Un club náutico dispone de una rampa para efectuar saltos de esquí acuático. Esta rampa tiene una longitud de 8 m y su punto más elevado se encuentra a m sobre el nivel del agua. Si se pretende que los esquiadores salgan desde un punto situado a 5 m de altura, cuántos metros hay que alargar la rampa sin variar el ángulo de inclinación? Ejercicio 5 (66): Desde dos puntos distantes entre sí Km se observa un globo sonda. El ángulo de elevación desde uno de los puntos, A, es de º, y desde el otro, B, 6º. Cuál es el punto más próximo al globo sonda? Y la altura del globo? Ejercicio 6 (6): Observamos la cima de una montaña bajo un ángulo de elevación de 67º. Cuando nos alejamos 00 m, el ángulo de elevación es de 7º. Calcula la altura de la montaña. Ejercicio 7 (67): Desde un punto observamos la copa de un árbol bajo un ángulo de 0º. Desde ese mismo punto, pero a una altura de m, vemos la copa bajo un ángulo de 0º. Calcula la altura del árbol y la distancia a la que nos encontramos de él. Ejercicio 8 (9): Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas: cos( ) sen cos a) b) 1 sen sen cos( ) sen cos sen tag c) ( cos ec ) : d) 6 sen sen cos cos cos sen e) sen cos sen f) sen cos sen Ejercicio 9 (0): Demuestra las siguientes igualdades: a) sec cos ec (1 sen )cos ec cot g cos 1 1 cos b) ( 1 sen ) tg sen cos sen c) cot g cos cot g cos d) e) cos sen sen cos (1 tg)(1 cot g) 1 tg tg cos sen sen cos 1. Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que intervienen las razones trigonométricas de uno o más ángulos. Resolver una ecuación trigonométrica implica calcular todos los ángulos para los cuales es cierta dicha igualdad.

5 Al resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta: 1) En las ecuaciones trigonométricas debemos observar si el resultado tiene sentido: cotag0º. ) No debemos olvidar que el seno y el coseno varían entre -1 y 1. ) Debemos tener cuidado con los signos de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el cuadrante del ángulo. ) Recordar que no toda ecuación tiene solución. 5) Un ángulo no es único sirve él y todas sus vueltas. 6) Expresaremos la solución en grados y radianes. Ejercicio 9: Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas trigonométricos: a) senx = 1 b) cosx = 1 c) senx + 1 = 0 d) senx + = 5 e) senx + = 0 f) cosx -1 = 0 g) tgx - = - h) cos x = 1 i) cos x - cosx = 0 j) sen x - cos x = 0 k) cos x = sen x l) cosx - senxcosx = 0 m) cosx = cotgx n) senx = tgx ñ) secx = cotgx o) cotg x = 1 - cosecx p) 1 + tgx = tg x q) cotgx = tgx r) sen( / x) / s) cos( x / ) 1/ t) cos( 1/(x )) / u) sen x sen0º 0 x 5º v) cot g (cos x sen x) tgy w) (senx cos x) tgy 1 v) 5senx 15cos y 1 10senx 0cos y 1 5