Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular
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- José Antonio Marín Espinoza
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1 Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular J. Alcalá * V. Yepes Enero 2014 Índice 1. Introducción 2 2. Descripción del problema Definición geométrica Armado Materiales Comprobaciones geométricas previas 4 4. Comprobaciones de cuantías mínimas Cuantía geométrica mínima (art EHE-08) Cuantía mecánica mínima (art EHE-08) Cuantía mínima de cortante (art EHE-08) Comprobaciones en Estado Límite Último Flexión Cortante Compresión oblicua del hormigón (art ) Agotamiento por tracción en el alma (art )... 9 * jualgon@upv.es 1
2 1. Introducción Este documento muestra la forma en que se comprueba una viga de hormigón armado de sección rectangular, sometida a su propio peso, a una carga permanente repartida uniformemente, a una carga repartida de posición variable, y a una carga puntual. Con ello se pretende facilitar la escritura de un programa capaz de hacer la comprobación, para posteriormente incorporarlo a un algoritmo de optimización heurística. Es importante destacar que no se trata de describir un modo de calcular la armadura de una viga, sino de chequear si una viga totalmente definida verifica o no todos los estados límites que le son preceptivos, además de otras comprobaciones de tipo constructivo, como se verá más adelante. En los apartados que siguen se describe el problema, especificando las variables y parámetros que definen la viga a resolver, y se formula completamente la comprobación. Se aplicarán los métodos y expresiones establecidos por la vigente Instrucción de Hormigón Estructural EHE Descripción del problema La viga que se va a comprobar es una viga de sección rectangular, biapoyada (ver fig. 1), que debe soportar una carga repartida permanente, G, y dos cargas de posición variable, Q 1 repartida y Q 2 puntual. Para la definición geométrica del problema es necesario determinar, además de los valores de las carga, aquellos otros relacionados con la geometría, los materiales y las armaduras. Figura 1: Cargas que debe soportar la viga a comprobar Definición geométrica La geometría de la viga queda definida con cuatro variables. Las dos primeras determinan la longitud de la pieza (ver fig. 1): Lc : Luz de cálculo de la viga (ver fig. 1). 2
3 b : Anchura de la sección (ver figura Las dos restantes definen la sección transversal (ver figura2). b : Anchura de la sección. c : Canto de la sección Armado La viga dispone de tres armaduras principales, una inferior de flexión, otra superior, y un armado de cortante. Para definir estas armaduras se utilizan las seis variables que se presentan en la figura2, y que son: n 1 n 2 sep 3 φ 1 φ 2 φ 3 : Número de barras en la capa inferior. : Número de barras en la capa superior. : Separación entre los cercos de cortante. : Diámetro de la armadura de la capa inferior. : Diámetro de la armadura de la capa superior. : Diámetro de la armadura de cortante. Se requiere además de una séptima variable (rec) que proporciona el recubrimiento mínimo a considerar. Es importante notar que al definir de este modo la armadura se está admitiendo de forma implícita que todas las barras de una capa son del mismo diámetro, y que el esquema de armado es el mismo a toda la viga. Esto no tendría porqué ser así. Figura 2: Variables geométricas y de armado. 3
4 2.3. Materiales Para la construcción de la viga es necesario determinar el tipo de hormigón y de acero. Respecto a éste último en España solamente existen dos grados de acero: B-500S y B-400S 1, y de ellos solo se usa el primero, pues el segundo no es económicamente rentable (el ahorro de coste que conlleva su menor precio no está compensado por el ahorro de cuantía que conlleva su mayor límite elástico). Por eso en realidad solamente se utiliza el B-500S. Por tanto solamente hay que considerar una variable, que defina el tipo de hormigón: H. 3. Comprobaciones geométricas previas La viga a comprobar procede de un algoritmo de optimización, que define una lista de valores posibles para cada variable. Si la anchura de la viga es grande, el número de barras que se pueden disponer en las capas superior e inferior de armadura longitudinal pueden ser grandes. Por ejemplo, una viga de 2,00 m de anchura puede alojar 15 barras de armadura pasiva sin problemas. Pero si por el contrario, la anchura se reduce a 0,40 m, el número máximo de barras quedará limitado a unas pocas. Para evitar dar por válida una solución que no pueda ser construida por este motivo la primera comprobación a realizar es que entre las barras hay anchura suficiente. Para ello lo que se puede hacer es calcular la distancia a la que quedan los centros de las barras, y verificar si es mayor que un valor mínimo que se decide de antemano. En este caso se va a comprobar que la separación entre barras es de al menos 25 mm. La expresión que proporciona la separación entre barras de la armadura longitudinal inferior: l = b 2rec 2φ 3 φ i n i 1 siendo i = 1 o i = 2 para la comprobación de la armadura inferior o superior respectivamente. 4. Comprobaciones de cuantías mínimas La viga es un elemento que funciona a flexión simple y cortante. Las cuantías mínimas a cumplir son las geométricas para vigas, las mecánica por flexión y la cuantía mínima a cortante Cuantía geométrica mínima (art EHE-08) La cuantía geométrica de acero en tracción de la viga viene dada por la expresión: 1 En realidad hay también grados BS de alta ductilidad, pero sus características mecánicas son las mismas a los efectos de las comprobaciones que se van a definir aquí 4
5 Cuadro 1: Areas nominales de redondos corrugados φ Area(mm 2 ) ρ 1 = As 1 (1) bc donde As 1 es el producto del área del redondo de diámetro φ 1 por el número de redondos n 1. En el cuadro 1 se adjuntan las áreas nominales para cada diámetro. Esta cuantía debe ser superior al 2.8. Del mismo modo la cuantía de armadura comprimida La cuantía de acero en tracción de la viga viene dada por la expresión: ρ 2 = As 2 bd donde As 2 es el producto del área del redondo de diámetro φ 2 por el número de redondos n 2 Esta cuantía debe ser superior a la tercera parte de Cuantía mecánica mínima (art EHE-08) La sección de acero en tracción de la viga dada por As 1 debe ser superior a la obtenida con la expresión: 0,04 b c H/1,5 500/1, Cuantía mínima de cortante (art EHE-08) La cantidad de acero a cortante se obtiene de la expresión: A 90 = 2 As 3 sep 3 (2) Esta cantidad debe ser superior a la obtenida con la expresión: f ct,m b 7, siendo f ct,m la resistencia media a flexotracción, que se obtiene con la expresión: f ct,m = 0,3 H 2/3 5
6 Cuadro 2: Coeficiente de seguridad de las acciones en ELU Acción Efecto favorable Efecto desfavorable Peso propio γ G = 1,00 γ G = 1,35 Carga permanente γ G = 1,00 γ G = 1,50 Variable γ Q = 0,00 γ Q = 1,50 5. Comprobaciones en Estado Límite Último 5.1. Flexión La comprobación a flexión consiste en comprobar que el momento actuante mayorado (Md) es inferior al momento flector de agotamiento (Mu). El primero se obtiene en la sección central cuando actúa la carga variable repartida a toda la viga, y la carga puntual en la sección centro-luz (ver fig. 3). Figura 3: Estado de cargas para momento flector máximo. Para mayorar las cargas se tienen que aplicar coeficientes de seguridad para las acciones en ELU. Se toman los valores del cuadro 5.1. El momento flector en ELU se obtiene con la expresión: Md = ( 1,35b c ,50(G + Q 1 ) ) Lc ,50Q 2 Para calcular el momento de agotamiento se puede seguir el artículo de la EHE-08. Al tratarse de un problema de flexión simple el momento de agotamiento se produce en el dominio 3 de deformación (ver fig. 4). Por tanto, el plano de deformación queda biunivocamente definido por la profundidad de la fibra neutra. Para cada plano se pueden integrar las tensiones para obtener un axil y el momento flector, teniendo en cuenta: Las tensiones en el hormigón la zona comprimida de la sección toman el valor de ηf cd en la parte superior hasta la profundidad λx (bloque rectangular equivalente, art EHE-08). Las tensiones en el acero en tracción toman el valor de su límite elástico, pues la deformación es siempre superior a ε y. Lc 4 6
7 Figura 4: Dominios de deformación (fuente EHE). La tensión de la armadura de la capa superior se obtiene a partir de su deformación 2. La deformación de este acero se toma del plano de deformación, esto es: ε y = ε cu x d x siendo: ε cu = 0,035 si H 50 N/mm 2 (art EHE-08); ó [ 100 fck ε cu = 0, , en caso contrario, y siendo d la profundidad de la armadura superior: d = rec + φ 3 + φ 2 /2 ] 4 Con todo ello el axil para una profundidad de fibra neutra dada x viene dado por 3 : N u = bλxηf cd As ,15 + As 2E s ε y (3) y el momento: [ M u = bλxηf cd d λx ] + As 2 E s ε 2 y(d d ) (4) siendo E s = N/mm 2 2 La armadura en compresión sólo puede ser tenida en cuenta si se cumplen las condiciones del art de la EHE-08. Habría que comprobarlo, pero estas condiciones casi siempre se cumplen. 3 Se suponen positivas las compresiones 7
8 La obtención del momento último consiste en efectuar iteraciones en la expresión 3 hasta que se encuentre la profundidad x de fibra neutra para la que el axil es nulo, y aplicar la expresión 4 con ese valor para calcular el momento. La definición de las funciones η y λ se puede ver en el artículo 39.5 de la Instrucción EHE-08: Si H 50 N/mm 2 : η = 1 λ = 0,8 Si H >50 N/mm 2 : η = 1,0 λ = 0,8 (H 50) 200 (H 50) Cortante De acuerdo con la Instrucción EHE-08 la verificación del E.L.U. de cortante implica dos comprobaciones Compresión oblicua del hormigón (art ) El agotamiento por compresión oblicua del hormigón se comprueba en el borde del apoyo de la pieza. En este caso no se puede conocer la dimensión del apoyo, por lo que se supondrá que corresponde con el extremo de la luz de cálculo. El cortante pésimo que puede actuar en ese caso se produce con toda la viga cargada, y la carga puntual actuando en la sección inmediatamente anterior a la de apoyo (ver fog. 5). Su valor es por tanto: Figura 5: Estado de cargas para cortante máximo en apoyos. V rd = ( 1,35b c ,50(G + Q 1 ) ) Lc 2 + 1,50Q 2 8
9 El cortante de agotamiento se calcula con K=1,00 (no hay pretensado) y tomando cotgθ = 45 o, y cotgα = 90 o (armadura vertical): V u1 = f 1cd b d 1 2 siendo: si f cd 60 N/mm 2 ; ó f 1cd = 0, 60 H 1, 5 f 1cd = (0, 90 H/200) H H 0, 50 1, 5 1, 5 en caso contrario Agotamiento por tracción en el alma (art ) El agotamiento por tracción en el alma se comprueba a un canto útil del borde del apoyo. El cortante pésimo que puede actuar en ese caso se produce con la carga repartida actuando hasta la sección de comprobación, y la carga puntual actuando en esa sección (ver fig. 6). Su valor es por tanto: V d = [ 1,35b c ,50G ] ( ) Lc 2 d (L c d) 2 + 1,50Q 1 2Lc + 1,50Q 2 Lc d Lc Figura 6: Estado de cargas para cortante máximo a un canto útil del apoyo. El cortante de agotamiento se calcula como la suma: V u2 = V cu +V su, siendo: [ ] 200 V cu = 0, (100ρ 1 H) 1/3 bd d donde ρ 1 toma el valor calculado en la ecuación??; y V su = 0,9dA donde A 90 es la cantidad unitaria de armadura de cortante que se obtiene en la ecuación 2. 9
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