HORMIGÓN Y MATERIALES COMPUESTOS - BLOQUE III- CÁLCULO AUTOR: JAVIER PAJÓN PERMUY

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1 HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS - BLOQE III- CÁLCLO ATOR: JAVIER PAJÓN PERY

2 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. CÁLCLO DE SECCIONES DE HORIGÓN ARADO. INTRODCCIÓN. PROCEDIIENTOS DE CÁLCLO. Los proeimientos e álulo son los siguientes: étoo lásio. Basao en el iagrama retilíneo, ya en esuso. étoos e álulo en agotamiento. o étoo basao en iagrama parábola-retángulo. o étoo basao en iagrama o étoo basao en iagrama retangular tope. o étoos basaos en otros iagramas. étoos basaos en la teoría plástia.. CÁLCLO EN AGOTAIENTO. na seión e hormigón armao puee alanzar el estao límite e agotamiento ormas ierentes: Eeso e eormaión plástia el aero 0 s > %. Se amite que en piezas sometias a leión o ompresión on pequeñas uantías, el estao límite e agotamiento se origina omo onseuenia e una eormaión plástia eesiva e sus armauras que se ija en el %. Aplastamiento el hormigón en leión œ0 œ! En piezas sometias a leión on uantías meias o granes, el estao límite e agotamiento se origina por allo el hormigón por aplastamiento, on eormaiones e un 0,35%. Aplastamiento el hormigón en ompresión simple œ0 œ! En piezas sometias a ompresión simple la rotura e la pieza se origina por aplastamiento el hormigón on eormaiones el 0,%. DE ACERDO CON EL ARTÍCLO 4..3 DE LA EHE., EL TIPO DE SOLICITACIÓN A QE ESTÁ SOETIDA LA SECCIÓN, NOS CONDCE A ADITIR NA SERIE DE DOINIOS DE LA DEFORACIÓN, QE VEREOS AS ADELANTE.

3 CÁLCLO 3 Es onveniente reorar, que al no eistir esalón e eenia en los aeros laminaos en río, se toma omo límite elástio la tensión que proue una eormaión remanente el 0,%. En piezas sometias a ompresión simple se onsiera que la eormaión e rotura el hormigón es el 0,%, lo que limita la resistenia e álulo para el aero. El valor e la tensión en el aero orresponiente a iha eormaión, en el iagrama e tensión-eormaión el aero es: s,ma 0,00, Kg/m 40 N/mm. Por tanto en ompresión simple se tomará y,.jfp 40 N/mm ; no obstante, uano empleemos el métoo simpliiao el momento tope, sea ual sea el aso (leión simple, leión ompuesta, ompresión ompuesta o ompresión simple, se tomará y,.jfp 390 N/mm. DIAGRAA TENSIÓN-DEFORACIÓN CARACTERÍSTICO Y DE CÁLCLO PARA EL ACERO LAINADO EN FRIO. ig. (a ig. (b Diagramas tensión-eormaión araterístio (a y e álulo (b, euio en el seguno aso según la razón /γs, one γs es el oeiiente e minoraión el aero para armauras pasivas.

4 4 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. DIAGRAA TENSIÓN-DEFORACIÓN CARACTERÍSTICO Y DE CÁLCLO PARA EL HORIGÓN El iagrama tensión-eormaión el hormigón epene e muhas variables, nosotros aoptaremos el ormao por una parábola e seguno grao que llega hasta alanzar el valor e œ0œ 0,% (aplastamiento el hormigón en ompresión simple y a partir e ahí toma la orma e una reta horizontal hasta llegar al punto orresponiente a un alargamiento el œ0œ! (aplastamiento el hormigón en leión, llamao por tanto DIAGRAA PARÁBOLA- RECTÁNGLO. Eisten otros más simples omo el retilíneo (empleao en el métoo lásio y el retangular, amitieno la EHE otros iagramas e álulo siempre que los resultaos onueren e manera satisatoria on los obtenios on el iagrama parábola-retángulo y queen el lao e la seguria. La tensión máima que se supone alanza el hormigón es e 0.85 one es la resistenia e álulo el hormigón, e valor ( k / γ. σ 0,85 0 œ0 œ 0% œ0 œ 0 35% 0,35% 0 0,% 0.85

5 CÁLCLO 5 3. DOINIO DE LAS DEFORACIONES HIPÓTESIS BÁSICAS DE CÁLCLO QE DAN LGAR A LOS DIVERSOS PROCEDIIENTOS DE CÁLCLO EN AGOTAIENTO. El álulo e la apaia resistente última e las seiones se eetuará según las hipótesis generales siguientes: a El agotamiento se arateriza por el valor e la eormaión en eterminaas ibras e la seión, einias por los ominios e eormaión e agotamiento etallaos en e la EHE. b Las eormaiones el hormigón siguen una ley plana. Esta hipótesis es vália para piezas en las que la relaión entre la istania entre puntos e momento nulo y el anto total, es superior a. /DV GHIRPDFLRQHV 0 s e las armauras pasivas se mantienen iguales a las el hormigón que las envuelve. Las eormaiones totales e las armauras ativas aherentes eben onsierar aemás e la eormaión que se proue en la ibra orresponiente en e eormaión e agotamiento (0 o, la eormaión prouia por el pretensao y la eormaión e esompresión según se eine a ontinuaión: û0p 0p + 0po Done: 0p Deormaión e esompresión el hormigón a nivel e la ibra onsieraa. 0po Preeormaión e la armaura ativa ebia a la aión e ase onsieraa, tenieno en uenta las périas que se hayan prouio. El iagrama e álulo tensión-eormaión el hormigón es alguno e los que se einen en 39.5 e la EHE. No se onsierará la resistenia el hormigón a traión. El iagrama e álulo tensión-eormaión el aero e las armauras pasivas, es el que se eine en El iagrama e álulo tensión-eormaión el aero e las armauras ativas, es el que se eine en e Se apliarán a las resultantes e tensiones en la seión las euaiones generales e equilibrio e uerzas y momentos. De esta orma porá alularse la apaia resistente última meiante la integraión e las tensiones en el hormigón y en las armauras ativas y pasivas.

6 6 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. DOINIOS Las eormaiones límite e las seiones, según la naturaleza e la soliitaión, onuen a amitir los siguientes ominios (igura.: B C A Dominio : Traión simple o ompuesta en one toa la seión está en traión. Las retas e eormaión giran alreeor el punto A orresponiente a un alargamiento el aero más traionao el 0 por 000. Dominio : Fleión simple o ompuesta en one el hormigón no alanza la eormaión e rotura por leión (0,%. Las retas e eormaión giran alreeor el punto A. Dominio 3: Fleión simple o ompuesta en one las retas e eormaión giran alreeor el punto B orresponiente a la eormaión e rotura por leión el hormigón 0 3,5 por.000 (0,35%. El alargamiento e la armaura más traionaa está omprenio entre el 0 por.000 y 0y,, VLHQGR 0 y alargamiento orresponiente al límite elástio el aero. Dominio 4: Fleión simple o ompuesta en one las retas e eormaión giran alreeor el punto B. El alargamiento e la armaura más traionaa está omprenio entre 0y y 0. Dominio 4a: Fleión ompuesta en one toas las armauras están omprimias y eiste una pequeña zona e hormigón en traión. Las retas e eormaión giran alreeor el punto B. Dominio 5: Compresión simple o ompuesta en one ambos materiales trabajan a ompresión. Las retas e eormaión giran alreeor el punto C einio por la reta orresponiente a la eormaión e rotura el hormigón por ompresión, 0u por.000.

7 CÁLCLO 7 4. ECACIONES GENERALES DE EQILIBRIO Y COPATIBILIDAD. Aunque un estuio ehaustivo el problema nos llevaría a analizar ualquier seión sometia a esuerzos normales y tangeniales, on una oloaión arbitraria e las armauras; nos vamos a reerir úniamente a seiones el tipo e la igura, es eir seiones que presentan un eje e simetría, sometias a soliitaiones normales que atúan en el eje e simetría. En estas oniiones, la seión sometia a traión simple o ompuesta, queará en general einia por las siguientes euaiones e equilibrio y ompatibilia, en las que N e y los signos están implíitos: F 0 : 0 : y yy+ Aσ + A σ 0 b σ N b σ y y+ Aσ E. Compatibilia e movimientos y eormaiones: 0 ( ( + Ne y y ε y ε ε ε y ε h ; tenieno en uenta: 0 E σ En los ominios 4a y 5, tomaremos momentos on respeto a la armaura A, por otra parte reoremos que en ompresión simple, al agotarse el hormigón para 0 %, impliaba que: y 4.00 Kg/m 40 N/mm Por tanto solo alanzaríamos el valor yk V SDD DFHR % 6 QR SDD HO % S. En la igura hemos llamao N al volumen el paquete e tensiones el hormigón que no ebe onunirse on la apaia meánia el hormigón: A ; t A,total, sin embargo: N b y yσ y o

8 8 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. 5. CÁLCLO EN AGOTAIENTO EDIANTE EL DIAGRAA PARÁBOLA-RECTÁNGLO PARA ACEROS DE NATRALEZA NATRAL. Este proeimiento tiene la ventaja e proporionar gran eatitu; ya que el iagrama on el que trabajamos es prátiamente el real, su grave inonveniente es lo ompliao que resulta obtener órmulas, sobre too uano la seión no es retangular, ya que resultan euaiones largas y ompliaas. Al igual que on los emás proeimientos e álulo en rotura, trabajaremos on aiones mayoraas o e álulo y resistenias minoraas, es eir: y yk k ; ; N N γ ; γ s γ γ /RV YDORHV GH s, son los iniaos en el ápitulo III e la EHE. 5.. APLICACIÓN AL CASO DE SECCIONES RECTANGLARES. Los asos que pueen presentarse son: Traión simple o ompuesta (ominio. Fleión simple (ominios, 3 y 4. Fleión ompuesta (ominios, 3, 4 y 4a. Compresión simple o ompuesta (ominio 5. No obstante lo anterior, los ominios 4a y 5 los reuniremos entro e ompresión on pequeñas eentriiaes. Veamos a ontinuaión la resoluión e aa aso:

9 CÁLCLO 9 TRACCIÓN SIPLE O COPESTA. Aunque teóriamente el aero porá alanzar las tensiones orresponientes a su máima eormaión, sin embargo no onviene pasar e y. Las euaiones que resuelven el problema serán: + A N A (- N e.000 Kg/m y Hemos puesto on su signo, si hubiésemos tomao valores absolutos hubiese ao: Kg/m y + Si queremos el máimo aprovehamiento, haemos y, on lo que: N e y + N

10 0 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. FLEXIÓN SIPLE. Para resolver el problema, basta on haer (en los ominios,3 y 4: N 0 y N e l. na vez visto esto, vamos a tratar e obtener un uaro resumen on toa la ormulaión que vamos a obtener, e tal orma que omparano el momento e álulo on el que puee resistir la seión sin armaura e ompresión obtenemos los ierentes asos que pueen presentarse. Es esta la orma más lógia e plantear el problema ya que evita omprobaiones a posteriori, aemás e saber e antemano en el ominio que nos movemos. En la igura se han esquematizao los asos e leión simple, iniano límites e la prounia e la ibra neutra. La únia iiulta que entraña el esarrollar el proeimiento, en la orma que lo vamos a haer, es la resoluión e los sistemas e euaiones que resultan, no obstante, esto se ve ompensao en la prátia el álulo e seiones, ya que al arnos resueltas las euaiones, el proeimiento se reue a una simple apliaión e órmulas. La obtenión e ábaos a partir e estas órmulas onsiste simplemente en ir ano valores a las variables sin neesia sin neesia e ompliaas apliaiones e álulo meiante orenaor. Por otra parte, asi se tara más en busar en los ábaos, que en obtener los valores meiante las órmulas, sieno e esta manera los resultaos as eatos. Veamos que suee en aa ominio o subominio.

11 CÁLCLO DOINIO 0 < < 0.6 Las euaiones que resuelven el problema en seión retangular son:.5 ( ( De one euimos y :.5 ( ( ( Obtenio :.5 ( ( 0.6 < Las euaiones que resuelven el problema en seión retangular son: ( ( ( De one euimos y en unión el valor que tenga. Si no hay armaura e ompresión basta on haer 0. [ ( [ ( Si no hay ompresión, basta on haer o, el valor el momento e agotamiento para 0.6 es: u (. 0

12 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. DOINIO 3 Antes e euir la ormulaión que resuelve el problema, reoraremos que: -Aeros e ureza natural (barras.- $FHR % 6 \ s.5... lim $FHR % 6 \ s.5... lim Aeros estiraos en río (alambres.- $FHR % 7 \ s.5... lim na vez visto lo anterior, pasemos a las euaiones que, en seión retangular, resuelven el problema: ( ( 0 0 De one euimos y en unión el valor que tenga. Si no hay armaura e ompresión basta on haer 0. (.0 ( ( ( Si no hay armaura e ompresión, basta on haer 0. El valor el momento e agotamiento para 0.59 es :.59 + (. El valor el momento e agotamiento para lim es: -Aeros e ureza natural.- $FHR % 6 \ s.5... lim (. u 0 $FHR % 6 \ s.5...l im (. u 0 u 0

13 CÁLCLO 3 DOINIO 4 Reoramos que este ominio omprene el intervalo : lim <. Pasamos a las euaiones que, en seión retangular, resuelven el problema: ( Kg / m A ( 0.46 ( De one euimos y A en unión el valor que tenga. Si no hay armaura e ompresión basta on haer 0 : (.0 ( Obtenio : σ 7350 Kg / m ; A ( ( m 7350( o bien y ( Kg / m (0.688 Kg. 7350( + Si no hay armaura e ompresión, basta on haer 0. El momento e agotamiento para es : u.40 + (. 0 Con toos estos valores orresponientes a los ominios, 3, y 4 oneionaremos el uaro-resumen para el álulo en leión simple que ailita enormemente los álulos, ya que omparano on lim y on u, sabremos el ominio en que estamos y la ormulaión a apliar.

14 4 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. CADRO-RESEN PARA EL CALCLO DE SECCIONES RECTANGLARES A FLEXION SIPLE SEGÚN EL DIAGRAA PARÁBOLA-RECTANGLO Como hemos visto, poemos haer trabajar a la seión en los ominios, 3 ó 4. Puee sueer que las imensiones e la pieza nos vengan impuestas o que no. Si las imensiones e la pieza no vienen impuestas lo más onveniente será que la seión trabaje e tal orma que el momento e álulo oinia on el momento límite ya que en estas oniiones tenremos el máimo aprovehamiento e los materiales. No obstante y ebio, entre otras osas, a que las imensiones e las piezas tienen a haerse múltiplos e 5 m. a in e lograr moularia en los enoraos; será muy iíil que eatamente onsigamos que lim, no obstante ebemos prourar que se aerque lo más posible. En onseuenia si queremos imensionar una viga e tal orma que on un anho b tenga el menor anto posible tenremos que haieno lim : Para aero B 400 S min ( /0,333 b Para aero B 500 S min ( /0,38 b Cuano las imensiones e la seión nos vienen impuestas, habrá que alular las armauras y nos onvenrá, siempre que se puea, trabajar entro el ominio 3, ya que e esta orma los materiales están mejor aprovehaos al ser: σ, σ y y σ y. Si suponemos que los atos para alular la viga son: imensiones e la seión y, puee sueer: QE NO EXISTA ARADRA DE COPRESIÓN, en onseuenia solo puee sueer: o < lim.- En estas oniiones, el hormigón trabajará por ebajo e sus posibiliaes. o lim.- En este aso ieal, se proue el máimo aprovehamiento e los materiales. o 0,40 > lim.- En estas oniiones el hormigón y la armaura A trabaja al máimo e posibiliaes pero sin embargo la armaura A trabaja por ebajo e las suyas. Cuanto mayor sea el valor e menor será el e σ y en onseuenia mayor será el valor e A (ominio4. QE EXISTA ARADRA DE COPRESIÓN, en onseuenia solo puee sueer: o < lim + (-.- En estas oniiones, el hormigón trabajará por ebajo e sus posibiliaes. o lim + (-.- En este aso ieal, se proue el máimo aprovehamiento e los materiales. o 0,40 + (- > lim + (-.- En estas oniiones el hormigón y la armaura A trabaja al máimo e posibiliaes pero sin embargo la armaura A trabaja por ebajo e las suyas. Cuanto mayor sea el valor e menor será el e σ y en onseuenia mayor será el valor e A (ominio4. Por los motivos epuestos en too lo anterior, es por lo que en el uaro-resumen aparee la nota: poo eonómio, no se utiliza, en el aso e trabajar en el ominio 4; el subominio e 0<<0,6 tampoo es reomenable. Los valores entre los que ebe estar para apliar una u otra órmula apareen al lao e las mismas en el itao uaro-resumen.

15 CÁLCLO 5 CADROS RESEN PARA EL CALCLO EN FLEXION SIPLE DE SECCIONES RECTANGLARES SIN ARADRAS DE COPRESION < lim Aero B 400 S: lim 0,333 Aero B 500 S: lim 0,38 lim Aero B 400 S: lim 0,333 Aero B 500 S: lim 0,38 lim < Aero B 400 S: lim 0,333 Aero B 500 S: lim 0,38 A 0 A 0 A 0 áimo aprovehamiento Aero B 400 S: lim 0,333 Aero B 500 S: lim 0,38,0 y 0,68(,445 0,86 lim < 8 Poo eonómio. Es mejor poner armaura en omprensión X lim< G 0< < <<.6 3,875 4,75,5 ( 3 + (0, 3 ( 4,5 + 0, < [G 0, , ,877 0, lim 0.59 [ [ lim,0, ,0 0,86,445 0,86

16 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P (- 0 lim+ ( (- 0 < (- 0.6 [G 0< < <<.6 A no trabaja CON ARADRAS DE COPRESION A ARADRA A CONOCIDA ARADRA A DESCONOCIDA 0,40 < lim 40 0, > lim lim < 3 0,86 (,445, ,86 (,445,0 + ( 4,5,75 3, ,53 (0, (,5 0,4845 ( 0, ,056 0,48445 ( Aero B 400 S: 0,463 + Aero B 500 S: 0, ,688 7,350( 0,86 (,445,0 y En el uaro resumen se ebe entrar on : en mt ó en m Kg; en T ò en Kg; y en m ó en m. Los resultaos los obtenremos en T ó en Kg y en m ó en m. N 0.0 Kg; N/mm 0. Kg/m ; Kg 9.8 N; Kg/m N/mm 0T/m áimo aprovehamiento lim + (- < 8 + (- Poo eonómio, no se utiliza Sale eesivo valor para A X lim < G

17 CÁLCLO 7 FLEXIÓN COPESTA. Aunque el problema e leión ompuesta puee arse en los ominios:, 3 4 y 4a, onsieraremos el ominio 4a aparte a eetos e álulo. En onseuenia estuiaremos el problema e leión y ompresión ompuesta iviiénolo en os granes grupos: GRANDES EXCENTRICIDADES el esuerzo normal N, orrespone a los ominios, 3 y 4. PEQEÑAS EXCENTRICIDADES el esuerzo normal N, orrespone a los ominios 4a y 5. En este apartao trataremos úniamente e granes eentriiaes. Para mayor ailia en la resoluión, apliaremos el métoo e Ehlers que ie: too problema e leión ompuesta, puee reuirse a uno e leión simple, sin más que tomar omo momento, el que proue el esuerzo normal on respeto a la armaura e traión N e. La apaia meánia e la armaura e traión en leión ompuesta es: 3 -N, en la que hemos llamao 3 a la armaura neesaria en leión simple on un momento. na vez realizaos los álulos puee sueer: - 3 -N < 0.- Esto implia que estamos en los ominios 4a ó 5 por tanto se trata e pequeñas eentriiaes N 0.- Esto implia que estamos en el ominio que hemos supuesto.

18 8 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. CADRO RESEN: CALCLO DE SECCIONES RECTANGLARES A COPRESIÓN CON DEBILES EXCENTRICIDADES, ARADRA SIÉTRICA. ACEROS DE DREZA NATRAL a. N e 0.86 t ( h Esto quiere eir que estamos en los ominios,3,ó 4,por tanto se trata e ébiles eentriiaes h b t ( < Ne < 0.85 t h Puee sueer: b t ( < N e < 0.86 t ( h h h ; h h 0.86 th N e N h t. Sieno : y γ yk s b.- N e 0.86 t (h N t Sieno h b t ( h < Ne < 0.85 t y γ yk s h h 4 K K h + N e SienoK : K t { N ( h + 5 h (7 3h h. N e 0.85 t t h 4 K h 4 49 K + ( 9 K h { N 0. t 85 yk y, 400kg / γ s. m h. N e > 0.85 t. h N e 0.85 t N.85 0 t yk y, 400kg / γ s. m ejor aprovehamiento el hormigón

19 CÁLCLO 9 COPROBACIÓN DE SECCIONES RECTANGLARES.(PERITAJES De lo que se trata ahora es e omprobar si una seión que nos an es apaz e resistir unos eterminaos esuerzos, por tanto los atos serán: Dimensiones e la pieza. Armaura Soliitaiones a que esta sometia. Traión simple o ompuesta Debera umplirse: Fleión simple N e y N ( e En union el tipo e aero alulamos lim y el valor e 0.40, puee sueer lo siguiente: Que no eista armaura e ompresión (A 0 En este aso omparamos el valore on los e lim y 0.40, puee pasar lo siguiente < lim. lim. lim < <0.40 En unión el aso en que nos enontramos, vamos al uaro-resumen para alulo a leión simple sin armaura e ompresión, y si el valor e A que en realia tiene la seión no es inerior al que hubiésemos obtenio por el uaro-resumen la seión es vália, en aso ontrario no. Que eista armaura e ompresión (A En este aso omparamos el valor e on : sueer lo siguiente: lim lim > 0.40 < 0.40 lim y on 0.40 ; puee En unión el aso en que nos enontremos, vamos al uaro-resumen para el álulo a leión simple on armaura e ompresión, y si el valor e A que en realia tiene la seión no es inerior al que hubiésemos obtenio por el uaroresumen, la seión vália, aso ontrario no.

20 0 ESTRCTRAS DE HORIGÓN Y ATERIALES COPESTOS Autor: J.P.P. Fleión ompuesta Comenzamos por alular N e, así omo el valor e lim, puee sueer: 0 lim Hallamos el valor e y omparamos este valor on el e la armaura aa. Si es igual o mayor la armaura es vália, aso ontrario no. > lim Calulamos los valores e las armauras y los omparamos on las armauras aas, si son iguales o mayores las armauras son válias, aso ontrario no. Si en ualquiera e los asos anteriores la armaura e traión hubiese resultao negativo, quiere eir que proeeremos omo en el aso e ompresión on ébiles eentriiaes. Compresión on ébiles eentriiaes Antes e naa proeeremos a omprobar que nos enontramos en ompresión on ébiles eentriiaes, es eir que N e > 0.86 (.40404,si esto es así, h alulamos A omo en el aso e armaura A onoia, si la armaura alulaa es igual o mayor que la aa, la seión es vália, aso ontrario no.