(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g

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1 Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como una ecuación w = f(z), donde z Ω y w C. Cuando Ω no se especifica se sobreentiende que el dominio de definición es el mayor posible. Si z = x + iy y w = u + iv, la ecuación que define la función es u + iv = f(x + iy). Eso significa que, en realidad, una función de variable compleja son dos funciones de dos variables reales, u = u(x, y) y v = v(x, y). Vista de este modo la función también puede describirse como f : Ω R 2 R 2. Ejemplos 2.1. (1) Consideremos la función f(z) = z 2. Esta función será con lo que también puede describirse como u + iv = (z + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy, u(x,y) = x 2 y 2, v(x,y) = 2xy.

2 18 2 Funciones holomorfas También pueden usarse coordenadas polares, en cuyo caso, y entonces tendremos u + iv = r 2 e 2iθ = r 2 cos 2θ + ir 2 sen 2θ, u(r,θ) = r 2 cos 2θ, v(r,θ) = r 2 sen 2θ. (2) Las funciones no tienen por qué tomar valores complejos, pueden también tomar sólo valores reales (porque v = 0 en todo el dominio de definición). Un ejemplo es f(z) = z. (3) También es posible que las funciones sean multivaluadas; es el caso de f(z) = arg z. En estos casos hay que especificar la determinación para saber cómo es la función. La representación gráfica de funciones de variable compleja se lleva a cabo mediante la representación de los dos planos complejos, Z y W. En el primero se representan curvas o regiones, y en el segundo se representa su imagen Límites y continuidad Dado que la topología de C y de R 2 coinciden, los conceptos de ite y continuidad de funciones de variable compleja se heredan directamente de los de R 2. Diremos que f : Ω C, con Ω un dominio de C, tiene ite f(z) = w, si, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que f(z) w < ǫ siempre que 0 < z z 0 < δ (dicho de otro modo, la imagen del disco D(z 0, δ), exceptuando el centro, está en D(w, ǫ)). Es sencillo probar que f(z) = w También que si z z0 f(z) = w, entonces f(z) = w, f(z) = w, Ref(z) = Rew, Im f(z) = Imw. Por lo demás, las propiedades algebraicas de los ites se trasladan sin cambio a este caso (suma, producto, cociente, etc., de ites).

3 2.3 Derivabilidad y funciones holomorfas 19 Diremos que f : Ω C, con Ω un dominio de C, es continua en z 0 Ω si f(z) = f(z 0 ). Sumas, productos, cocientes o composiciones de funciones continuas dan funciones continuas. También, z, Rez, Im z y z son funciones continuas en todo C. La función arg z no lo es, pero sí es continua en cualquier conjunto de la forma C S, siendo S una remirrecta que parte del origen (que define la determinación) Derivabilidad y funciones holomorfas Definición y propiedades Tenemos dos opciones para definir la derivada de una función de variable compleja: (1) Utilizar la definición de diferenciabilidad de funciones f : R 2 R 2. (2) Aprovechar que gracias a la estructura de cuerpo que tiene C podemos dividir complejos, y dar una definición unidimensional. Por ser una estrategia más simple, emplearemos la opción (2). Definición 2.1 (Derivada). Sean Ω C abierto, f : Ω C y z 0 Ω. Diremos que f es derivable en z 0 si existe el ite (donde z, h C). f (z 0 ) = z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = h 0 f(z 0 + h) f(z 0 ) h Al ser la misma definición que en R las reglas de cálculo de derivadas son idénticas: Teorema 2.1. Sean f, g funciones derivables en z 0 y sean α, β C; entonces (1) Linealidad: αf + βg es derivable en z 0 y (αf + βg) (z 0 ) = αf (z 0 ) + βg (z 0 ). (2) Regla de Leibnitz: fg es derivable en z 0 y (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ).

4 20 2 Funciones holomorfas (3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y ( ) f (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ). g g(z 0 ) 2 Si f es derivable en z 0 y g lo es en f(z 0 ), entonces (4) Regla de la cadena: g f es derivable en z 0 y (g f) (z 0 ) = g ( f(z 0 ) ) f (z 0 ). Asimismo, derivabilidad implica continuidad: Teorema 2.2. Si f : Ω C es derivable en z 0 Ω, entonces f es continua en z 0. Ejemplos 2.2. (1) f(z) = z n, con n N, es derivable en C y f (z) = nz n 1 (la demostración es como en R. (2) f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n es derivable en todo C. (3) f(z) = P(z)/Q(z), con P(z) y Q(z) sendos polinomios, es derivable en todo C excepto en las raíces de Q(z). (4) f(z) = z no es derivable en ningún punto de C. Veámoslo: f(z 0 + h) f(z 0 ) = h 0 z 0 + h z 0 h h = = x iy (x,y) (0,0) x + iy. Se ve fácilmente que este ite no existe si nos acercamos por rectas y = λx, ya que el resultado depende de λ. (5) Como consecuencia, las funciones f(z) = Rez y g(z) = Im z no son derivables en ningún punto Condiciones de Cauchy-Riemann En realidad, la definición de derivabilidad oculta la definición de diferenciabilidad en R 2, a la que es equivalente. Veamos el siguiente resultado: Teorema 2.3 (Condiciones de Cauchy-Riemann). Sea f = u + iv una función f : Ω C, con Ω C abierto, y sea z 0 = x 0 +iy 0 Ω. Entonces, f es derivable en z 0 si y sólo si u, v son diferenciables en (x 0, y 0 ) y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann u x = v y, u y = v x. (CR) Además, f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) iu y (x 0, y 0 ).

5 2.3 Derivabilidad y funciones holomorfas 21 Dem.: Para demostrar este resultado vamos a introducir cierta notación. Denotaremos r 0 = (x 0, y 0 ), F(r) = ( u(x, y), v(x, y) ) y h = (h x, h y ) siendo h = h x + ih y. Si f es derivable, lo es a lo largo de cualquier dirección. Entonces, tomando la dirección Im h = 0 (sobre el eje real), f u(x 0 + h, y 0 ) + iv(x 0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = u(x 0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x 0 + h, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = + i = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ), es decir, para que el ite exista tienen que existir las derivadas parciales de u y v respecto a x y cumplirse f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 )+iv x (x 0, y 0 ). Por otro lado, tomando la dirección Reh = 0 (sobre el eje imaginario), f u(x 0, y 0 + h) + iv(x 0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = h 0 ih u(x 0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) v(x 0, y 0 + h) v(x 0, y 0 ) = i + = iu y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ), es decir, para que el ite exista tienen que existir las derivadas parciales de u y v respecto a y y cumplirse f (z 0 ) = v y (x 0, y 0 ) iu y (x 0, y 0 ). Igualando las dos expresiones se obtiene (CR). Para demostrar la diferenciabilidad de u y v en x 0 partimos de que si f es derivable en z 0 se cumple h 0 Pero como f = u x + iv x, f(z 0 + h) f(z 0 ) hf (z 0 ) h = 0. (*) hf = (h x u x h y v x ) + i(h x v x + h y u x ) }{{} = (h x u x + h y u y ) + i(h x v x + h y v y ). (CR) Así pues, luego (*) se reescribe como Re(hf ) = u h, Im(hf ) = v h, F(r 0 + h) F(r 0 ) DF(r 0 ) h h 0 h = 0, (**)

6 22 2 Funciones holomorfas siendo DF(r 0 ) la matriz jacobiana de F en r 0. La ecuación anterior no es más que la expresión de la diferenciabilidad de F en r 0. Que u y v sean diferenciables en r 0 implica que existen sus derivadas parciales. Como además se cumple (CR), la matriz jacobiana de F será ( ) ( ) ux u DF = y ux v = x. v x v y La condición de diferenciabilidad en r 0 se expresa a través de (**) que, empleando la expresión que hemos obtenido para la jacobiana, se convierte en (*) si definimos f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ). Pero (*) implica que existe la derivada de f en z 0 y que vale f (z 0 ). Como para que u y v sean diferenciables es suficiente que las derivadas parciales sean continuas, en aplicaciones prácticas puede ser suficiente el siguiente corolario: Corolario 2.1. Sea f = u + iv una función f : Ω C, con Ω C abierto, y sea z 0 = x 0 + iy 0 Ω. Supongamos que existen las derivadas parciales con respecto a x e y de u y v y son continuas en un entorno de (x 0, y 0 ). Entonces, f es derivable en z 0 si y sólo si se cumple (CR) en (x 0, y 0 ). Ejemplos 2.3. (1) Sea la función f(z) = z 2. Esta función tiene u(x,y) = x 2 + y 2 y v(x,y) = 0, ambas diferenciables en R 2. Las condiciones (CR) implican 2x = 0, 2y = 0; por lo tanto, f es derivable sólo en z = 0. (2) Definamos la función exponencial como f(z) = e z = e x (cos y + i sen y). Verifiquemos (CR): v x u x u x = e x cos y, u y = e x sen y, v y = e x cos y, v x = e x sen y. Por tanto la función es derivable en todo C. Su derivada será f = u x + iv x = e x cos y + ie x sen y = f, así que tenemos, como en R, la relación (e z ) = e z. Con este resultado vamos a introducir uno de los conceptos básicos del análisis complejo: Definición 2.2 (Función holomorfa). Decimos que f es holomorfa en un abierto Ω C si es derivable en todos los puntos de Ω. También decimos que f es holomorfa en z 0 si es derivable en algún entorno de z 0.

7 2.4 Funciones armónicas 23 Ejemplos 2.4. (1) Sea Ω C un dominio y f : Ω R (es decir, Im f = 0). Supongamos que f es derivable en z 0 Ω; entonces, por (CR) u x = v y = 0, u y = v x = 0, ya que v = Imf = 0. Por lo tanto f (z 0 ) = 0. Supongamos que f es derivable en todo Ω; entonces f = 0 en todo Ω y f es, por tanto, constante. Luego tenemos el sorprendente resultado de que las únicas funciones holomorfas que toman valores reales en un dominio son las constantes. (2) Como consecuencia del ejemplo anterior, las funciones Re z, Im z, z y arg z no son holomorfas en ningún dominio de C. La función z 2 tampoco, ya que, aunque es derivable en z = 0, no lo es en ningún entorno de ese punto. Una interesante caracterización de las funciones holomorfas se sigue del siguiente razonamiento. Dadas dos funciones diferenciables en un abierto, u(x, y) y v(x, y), aplicamos el cambio de variable x = (z + z)/2, y = (z z)/2i, y construimos la función F(z, z) = u(x, y) + iv(x, y). Evidentemente, f(z) = F(z, z), pero en F la dependencia en z queda explícita. Ahora bien, u x + iv x = x F(z, z) = F zz x + F z z x = F z + F z, u y + iv y = y F(z, z) = F zz y + F z z y = if z if z, y si se cumple (CR), es decir, si la función es holomorfa, luego u y + iv y = v x + iu x = i(u x + iv x ), F z + F z = F z F z = F z = 0. Es decir, las funciones holomorfas no pueden depender explícitamente de z. Este argumento basta para excluir como funciones holomorfas Re z = (z + z)/2, Im z = (z z)/2i, z 2 = zz, etc Funciones armónicas Vamos ahora a plantearnos los siguientes dos problemas: (1) Dada una función, φ(x, y), diferenciable en un abierto de R 2, cuándo podemos asegurar que φ(x, y) es la parte real o imaginaria de una función holomorfa?

8 24 2 Funciones holomorfas (2) Y si sabemos que es la parte real (o imaginaria) de una función holomorfa, cuál es la correspondiente parte imaginaria (o real) de esa función? Para resolverlos vamos a introducir un nuevo tipo de funciones: Definición 2.3 (Función armónica). Sea Ω R 2 abierto; una función φ : Ω R de clase C 2 (Ω) es armónica en Ω si φ = φ xx + φ yy = 0 en Ω. La ecuación que define el carácter armónico de una función recibe el nombre de ecuación de Laplace, y el operador diferencial = 2 x y 2 se denomina laplaciano. Veremos más adelante que si una función f es holomorfa en el dominio Ω C, entonces f también es holomorfa en Ω, por lo cual las funciones holomorfas son infinitamente derivables. Aunque aún no podemos probar la derivabilidad de f, lo que sí podemos ver es que sus partes real e imaginaria cumplen (CR). Denotemos f = U + iv ; como sabemos que f = u x + iv x, entonces U = u x y V = v x. Pero entonces, como u y v cumplen (CR) y tienen que ser de clase C 2 (por tanto, sus derivadas cruzadas son iguales), U x = (u x ) x = (v y ) x = (v x ) y = V y, U y = (u x ) y = (u y ) x = (v x ) x = V x, con lo que obtenemos las ecuaciones (CR) para U y V. Por otro lado, si derivamos las ecuaciones (CR) que cumplen u y v obtenemos { { u x = v y u xx = v yx = = u xx + u yy = 0, u y = v x u yy = v xy { u x = v y u y = v x = { u xy = v yy u yx = v xx = v xx + v yy = 0; es decir, tanto u como v son funciones armónicas. Podemos, pues, enunciar el siguiente teorema: Teorema 2.4. Si f es holomorfa en el abierto Ω C, entonces Ref e Im f son armónicas en Ω.

9 2.4 Funciones armónicas 25 Lo que queda para poder responder la primera pregunta es saber si toda función armónica es la parte real o imaginaria de una función holomorfa. Esto es verdad si restringimos el tipo de dominio Ω. Veámoslo. Definición 2.4 (Armónica conjugada). Dada la función armónica u, definida en el abierto Ω R 2, se dice que v es su armónica conjugada en Ω si la función f = u + iv es holomorfa en Ω. Si v es armónica conjugada de u, entonces u es armónica conjugada de v, ya que si f = u + iv es holomorfa en alguna región de C, if = v iu lo es en la misma región. Teorema 2.5. Sea Ω R 2 un conjunto abierto simplemente conexo; entonces toda función armónica en Ω posee una armónica conjugada en Ω. Dem.: Dada u(x, y) armónica, una armónica conjugada debe cumplir (CR), es decir, v y = u x, v x = u y. De la primera ecuación se deduce que v(x, y) = y y 0 u x (x, t) dt + g(x), donde (x 0, y 0 ) es cualquier punto de un cierto entorno de (x, y), y g(x) es una función arbitraria. Sustituyendo en la segunda ecuación, v x (x, y) = y Como u es armónica, u xx = u yy, así que de donde u y (x, y) = Por lo tanto y y 0 u xx (x, t) dt + g (x) = u y (x, y). y 0 u tt (x, t) dt + g (x) = u y (x, y) + u y (x, y 0 ) + g (x), x g (x) = u y (x, y 0 ) = g(x) = u y (t, y 0 ) dt. x 0 y v(x, y) = u x (x, t) dt y 0 es una armónica conjugada de u(x, y). x x 0 u y (t, y 0 ) dt

10 26 2 Funciones holomorfas Los teoremas 2.4 y 2.5 responden a la primera de las dos preguntas con que empezamos esta sección, al menos para dominios abiertos simplemente conexos. En ellos una función es la parte real (o imaginaria) de una función holomorfa si y sólo si es armónica. La respuesta a la segunda pregunta pasa por hallar la armónica conjugada de una función armónica. Ejemplo 2.5. Dada la función armónica en C, u(x,y) = y 3 3x 2 y, halla la función holomorfa f(z) cuya parte real es u. El enunciado pide hallar la armónica conjugada, v, de u, y a partir de ella la función f = u+iv. Aplicamos (CR): De la primera ecuación se sigue que sustituyendo en la segunda, u x (x,y) = 6xy = v y (x,y), u y (x,y) = 3(y 2 x 2 ) = v x (x,y). v(x,y) = 3xy 2 + a(x); 3(x 2 y 2 ) = v x (x,y) = 3y 2 + a (x) = a (x) = 3x 2 = a(x) = x 3 + c, siendo c C una constante arbitraria. Entonces v(x,y) = x 3 3xy 2 + c. La función f(z) es f(z) = y 3 3x 2 y + i(x 3 3xy 2 + c). Si sustituimos x = (z + z)/2 e y = (z z)/2i, obtenemos, después de simplificar, f(z) = i(z 3 + c), cuya holomorfía queda patente en el hecho de que no depende de z. El resultado obtenido estaba sugerido por el hecho de que haciendo y = 0 la función f(z) vale i(x 3 + c).

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