Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Licenciatura de Economía Universidad de Sevilla ESTADÍSTICA I RELACIÓN 1.

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1 Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Licenciatura de Economía Universidad de Sevilla ESTADÍSTICA I RELACIÓN 1. PROBABILIDAD DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I LICENCIATURA DE CIENCIAS ECONÓMICAS CURSO

2 1) Describir el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) El lanzamiento de un dado b) La extracción de una carta de la baraja española. c) La elección de un número en el intervalo [0,1] d) La elección de un punto del cuadrado de vértices opuestos (-1,1) y (1,1) En cada uno de los experimentos anteriores, describir los sucesos y calcular la probabilidad de: a) El resultado sea 5 ó 6. b) Es resultado sea una carta de espadas. c) El número sea mayor que 1/3. d) La suma de las coordenadas del punto sea menor que 1/2. 2) Un experimento aleatorio consiste en el lanzamiento independiente de tres monedas, cada una de ellas con probabilidad 0 5 de obtener cara. Describir el espacio muestral, y calcular la probabilidad de obtener una cara y dos cruces, y la probabilidad de obtener al menos una cara. 3) Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número escrito en ellas. Construir el espacio probabilístico asociado y hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par. 4) Se entregan cinco cartas de una baraja de 52 cartas a un jugador. Cuál es la probabilidad de que tenga un poker de ases (cuatro ases)? Y la probabilidad de que tenga un full (un trío y una pareja)?. 5) Una urna contiene 6 bolas rojas y 8 azules. Se extraen aleatoriamente 5 bolas, teniendo todas la misma probabilidad de ser elegidas. Calcular la probabilidad de que 3 sean rojas y 2 azules, suponiendo que se extraen: a) Sin reemplazamiento. b) Con reemplazamiento. 6) Un aparato fabricado en serie puede ser defectuoso a causa de dos defectos A y B. El porcentaje de aparatos con el defecto A es del 10%, el porcentaje de los que presentan el defecto B es del 8% y los que presentan simultáneamente los dos defectos son el 2%. Un cliente compra un aparato. Calcular la probabilidad de que el aparato: a) No presente ningún defecto. b) Presente solamente el defecto A. c) Presente solamente el defecto B. 7) En un bote que se está hundiendo hay 18 personas: 8 chicos y 10 chicas. Lamentablemente, sólo hay 5 salvavidas. Suponiendo que los chalecos salvavidas se reparten al azar, teniendo todas las personas la misma probabilidad de obtener uno, calcule las probabilidades siguientes: a) se salven sólo chicos b) se salve un chico determinado c) no se salven tres chicas determinadas d) se salven un chico y una chica determinados

3 8) La cadena de montaje de una fábrica de repuestos consta de tres máquinas, A, B y C. El problema es que la cadena falla si falla alguna de estas máquinas. Si la probabilidad de fallo de cada una de las máquinas es independiente de la probabilidad de fallo de las demás, e igual a 0 05 para cada una de las tres máquinas, calcular la probabilidad de que la cadena de montaje falle. 9) Entre los 120 alumnos de un curso se sabe que 55 estudian inglés, 33 francés y 29 alemán. Además 21 estudian francés e inglés, 18 francés y alemán y 15 alemán e inglés. Los que estudian simultáneamente los tres idiomas referidos son la tercera parte de los que estudian inglés y francés. Se elige un alumno al azar de dicho curso, y se desean conocer las siguientes probabilidades: a) No estudia ningún idioma. b) Solo estudia inglés y alemán. c) Solo estudia alemán. d) Solo estudia inglés y francés, o alemán. 10) Hemos hallado una baraja de cartas españolas en las que falta un número determinado de ellas. Conocemos que en el mazo de cartas encontradas se dan las siguientes probabilidades: ( ) ( ) ( ) P obtener rey = 0.15 P obtener basto = 0.3 P obtener carta que no es ni rey ni basto = 0.6 Se desea conocer: Que número de cartas faltan en la baraja? Cuántas son reyes? Cuántas son bastos? Cuántas cartas hay que no sean reyes ni bastos? 11) Considérese un dado de seis caras que ha sido trucado, de modo que la probabilidad de obtener cada número par en una tirada sea a, y sea b la correspondiente probabilidad de cada número impar. Sea p la probabilidad de que salga en una tirada un número mayor o igual que 4. Determinar qué valores deben tomar a y b para que p sea 0 5. Cuáles son los valores posibles de p? 12) Se extraen 5 cartas de una baraja española (40 cartas). Sea A el suceso "Al menos tres cartas son copas" y sea B el suceso "Todas son copas". Calcular P( B A ). 13) Las probabilidades de sufrir un accidente automovilístico en día seco o lluvioso son respectivamente y Calcular, sabiendo que la probabilidad de que llueva un cierto día es 0 1: La probabilidad de que un día cualquiera llueva y se tenga un accidente. La probabilidad de que haya llovido un día en el que se ha tenido un accidente. 14) Una empresa hace una regulación de empleo, despidiendo al 25% de la plantilla. Además se sabe que, de los empleados con más de 55 años, este porcentaje aumenta al 40%. El 25% de la plantilla tiene más de 55 años. Si se tienen 30 años, cuál es la probabilidad de ser despedido? 3

4 15) Estamos interesados en saber como funcionan los reguladores de voltaje instalados en una fábrica por tres abastecedores B1, B2, B3. El abastecedor B1 suministra el 60% de los reguladores, el abastecedor B2 el 30% y B3 el 10% restante. Supongamos además que el 95% de los reguladores de B1, el 80% de los de B2 y el 65% de los de B3 trabajan de acuerdo con las especificaciones exigidas. a) Calcular la probabilidad de que un regulador cualquiera recibido en la fábrica, trabaje de acuerdo con las especificaciones. b) Se ha tomado al azar un regulador y resulta que trabaja de acuerdo con las especificaciones. Cuál es la probabilidad de que haya sido suministrado por B3? 16) En un sistema de alarma la probabilidad de que se produzca un incidente es 0 1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es de La probabilidad de que funcione la alarma y no haya incidente es Hallar: a) La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya incidente. b) La probabilidad de que haya incidente y no funcione la alarma. c) La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya incidente. 17) Supóngase que en una comisión de evaluación se analiza la corrección de los exámenes de un determinado profesor. Se obtiene que de los exámenes incorrectamente evaluados por el profesor, había aprobado el 10% de los alumnos. Supuesto que aprueban el 10% de los alumnos presentados y corregidos por este profesor, y comprobado que sólo el 1% de los exámenes están incorrectamente evaluados, calcular las siguientes probabilidades: a) No aprobar a un alumno presentado. b) Evaluar correctamente un examen. c) Que a un alumno presentado se le evalúe mal el examen y no apruebe. d) Que conociendo que a un alumno se le ha evaluado mal el examen, haya aprobado. e) Que a un alumno presentado se le evalúe bien el examen y haya aprobado. f) Que conociendo que a un alumno se le ha evaluado bien el examen, haya aprobado. g) Que conociendo que a un alumno se le evaluó bien el examen, no haya aprobado. 18) Una empresa dedicada a la fabricación de componentes electrónicos posee dos filiales, F1 y F2, en las que se trabaja en turnos de mañana y tarde, y que presentan una casuística bien diferente: En F1 ambos turnos tienen idéntico nivel de producción diario. Sin embargo, el número de piezas defectuosas que se producen cada jornada en el turno de tarde es doble al que se observa en el turno de mañana. En F2 la situación es bien distinta. Siendo el nivel de producción diario doble en el turno de tarde que en el de mañana, ambos turnos producen diariamente el mismo número de piezas defectuosas. Un día determinado se elige al azar una pieza en cada una de las filiales, y ambas resultaron defectuosas. Ante este hecho, el Director del Dpto. de Control de Calidad asegura que en ambos casos la probabilidad de la pieza elegida pertenezca al turno de tarde es doble de la probabilidad de que pertenezca al de mañana. Justifique en ambos casos la veracidad o falsedad de dicha afirmación. 4

5 19) Las fichas de los clientes de una empresa están ordenadas alfabéticamente en cuatro archivos. En el primero (archivo A) hay 60 fichas de clientes al por menor y 12 de mayoristas; en el segundo (archivo B) hay 71 y 4 respectivamente; en el tercero (archivo C) 54 y 13 y en el cuarto (archivo D) 62 y 14. El auditor elige al azar un archivo, y posteriormente, también al azar, dos fichas. Ambas resultaron ser de clientes al por menor. Calcular la probabilidad de que el archivo escogido sea el último (archivo D). 20) Sea una región con cuatro provincias, cuyos datos de población activa y tasas de paro son los siguientes: Provincia Pob. activa Tasa de paro A B C D Elegido un trabajador al azar (suponiendo que todos los activos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), resultó que estaba en situación de paro. Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la provincia con menor población activa? 21) En un cierto país llueve el 40% de los días. Un fabricante de barómetros de dicho país probó sus instrumentos en el laboratorio, y descubrió que a veces fallaban. Más concretamente, predijeron lluvia incorrectamente en el 30% de los casos, y día claro incorrectamente en el 10% de los casos. 1. Calcular la probabilidad de que un barómetro proporcione un pronóstico erróneo en un día cualquiera. 2. Si un día determinado el barómetro pronosticó lluvia, Cuál es la probabilidad de que dicho día lloviera? 22) Una empresa tiene una cartera de valores compuesta por 14 títulos de riesgo normal y 1 título de alto riesgo. Otra empresa tiene una cartera compuesta por 15 títulos de riesgo normal. Entre estas dos empresas realizan dos operaciones de compra, de la manera siguiente: En una primera operación, la empresa I vendió a la empresa II 5 de sus títulos al azar. En una segunda operación, tras dos meses de llevarse a cabo la primera, la empresa II vendió a la empresa I, también al azar, 5 títulos. a) Cuál es la probabilidad de que el título de alto riesgo pase a la empresa II y vuelva a la empresa I? b) Si sabemos que en el transcurso de estas dos operaciones, el título de alto riesgo cambió de propietario, cuál es la probabilidad de que al final dicho título pertenezca a la empresa I? c) Si después de realizar estas operaciones la empresa I tiene en su cartera el título de alto riesgo, cuál es la probabilidad de que haya estado antes en la cartera de la empresa II? 5

6 23) En cualquier mercado de valores, los títulos pueden agruparse en dos subgrupos, atendiendo a diferentes criterios. Más concretamente, existen títulos de alta rentabilidad frente a títulos de baja rentabilidad, según los beneficios que dispensan a los tenedores; también existen títulos de alto riesgo frente a títulos de bajo riesgo, atendiendo al nivel de riesgo que poseen. En las bolsas españolas, el 10% de los títulos son de alto riesgo y alta rentabilidad, y el 40% de los títulos son de bajo riesgo y baja rentabilidad. Una persona está dispuesta a invertir sus ahorros en Bolsa, pero se considera conservadora, así que desea títulos de bajo riesgo, pero de alta rentabilidad. Para asegurar su inversión, decide estudiar el grupo de títulos de bajo riesgo, y descubre que, de estos, el 70% son de baja rentabilidad. Con estos datos, cuál es la probabilidad de encontrar títulos de bajo riesgo y alta rentabilidad? Cuál es la probabilidad de encontrar en las bolsas españolas un título de alto riesgo? Y la probabilidad de encontrar uno de alta rentabilidad? 24) Los equipos de baloncesto A y B están negociando si disputar la final de un torneo a un sólo partido o al mejor de tres (es decir, gana la competición el equipo que gane al menos dos partidos y además se han de disputar los tres partidos necesariamente aunque el resultado de los dos primeros sea de 2-0 a favor de alguno de los equipos). Se presupone que el equipo A tiene probabilidad 0 55 de ganar cada partido independientemente del resultado de los otros. (El resultado de empate no es posible, ya que en este caso se disputarían sucesivas prórrogas hasta obtener un vencedor). a) Cuál será la probabilidad de que el equipo A gane la final por el sistema de tres partidos? Qué sistema le interesa más? b) Al no ponerse de acuerdo ambos equipos en el sistema, se eligió el mismo a través del lanzamiento de una moneda no trucada. Tras disputarse la final, resultó que el vencedor fue el equipo B. Calcular la probabilidad de que se hubiese elegido el sistema de un sólo partido. 25) De los alumnos matriculados en una cierta asignatura se conocen los siguientes datos. La proporción de menores de 25 años es del 60%, de los que un 1% no son españoles. El porcentaje de extranjeros entre los mayores de 25 años es del 2%. Además, sabemos que la proporción de aprobados en la asignatura ha sido del 50% de los matriculados y que los alumnos que han aprobado y son españoles constituyen el 49% de los matriculados. Con estos datos se pide: a) Calcular la probabilidad de que un alumno elegido al azar entre los matriculados sea extranjero. b) Calcular la probabilidad de que un alumno español no apruebe la asignatura. c) Calcular la probabilidad de que un alumno extranjero apruebe. 26) A una selección de personal acuden 200 licenciados y 300 diplomados. La consultora encargada de la selección de personal sabe, por experiencia de otros años, que el 60% de los aspirantes que superan la primera selección, un test psicotécnico, son contratados. Además, se sabe que el porcentaje de licenciados que superan el test es del 70%, mientras que entre los diplomados este porcentaje desciende hasta el 50%. 6

7 a) Calcular la probabilidad de que un aspirante sea contratado. b) Calcular la probabilidad de que un aspirante supere el test y no sea licenciado. c) Calcular la probabilidad de que un aspirante que no superó el test sea licenciado. 27) AZULEJASA, S.L. dedicada a la fabricación y venta de azulejos divide su producción en dos tipos: azulejos de primera y de segunda. Los azulejos se venden en lotes de 100. Ante la crisis y de forma fraudulenta, decide ofrecer como lotes de primera, lotes que en realidad están compuestos por 90 azulejos de primera y 10 de segunda. La empresa distribuidora, TELALICATO, S.A., cliente de AZULEJASA, S.L., ante las quejas de sus clientes, decide llevar a cabo un control de calidad sobre los lotes adquiridos, planteándose dos procedimientos que serían igualmente costosos. El procedimiento A, consiste en elegir 10 azulejos al azar de un lote de 100 y examinarlos exhaustivamente, determinando sin ningún tipo de error si son de primera o de segunda. El procedimiento B consiste en analizar superficialmente todos y cada uno de los 100 azulejos del lote, aunque en este caso dada la rapidez del análisis, habría una probabilidad del 80% de que un azulejo de segunda fuese catalogado como de primera (los de primera siempre son correctamente catalogados). En ambos procedimientos el fraude será detectado si se encuentra al menos un azulejo de segunda. Determinar: a) Cuál de los dos procedimientos detectará el fraude con mayor probabilidad? b) Al no tener la empresa TELALICATO, S.A. ningún gerente con conocimientos de estadística, decidió elegir el procedimiento a través de un sorteo en el que ambos tenían igual probabilidad de ser elegidos. Realizado el control de calidad, resultó que TELALICATO, S.L. no detectó el fraude. Cuál es la probabilidad de haber llevado a cabo el procedimiento A? 28) Recientemente se ha creado en el municipio ELLASMANDA DEL ALCOR el Instituto Municipal de la Mujer cuyo principal cometido es poner en marcha programas donde se facilite la inserción de la mujer en el mundo laboral. Antes de aplicar las medidas concretas, la directora de dicha institución decidió elaborar un estudio donde se evaluasen las posibilidades y condiciones de acceso de una mujer a un puesto de trabajo. Para realizar este estudio obtuvo la siguiente información: sólo el 10% de la población ocupada del municipio dispone de un trabajo en el que se requiere algún tipo de cualificación. Además se estima que entre las mujeres la probabilidad de ocupar un puesto cualificado era de 0 01; mientras que esta probabilidad aumentaba en el caso de los hombres hasta un Se desea saber: a) Probabilidad de que un puesto de trabajo sea ocupado por una mujer. b) Si el puesto requiere cualificación, la probabilidad de que lo ocupe una mujer. 29) El director de una sucursal bancaria que tienen potestad para adjudicar créditos, con amortización trimestral a lo largo de un año, a sus clientes, hasta un máximo de tres millones de pesetas, sin necesidad de consultar con sus superiores, guiándose sólo por sus propios informes y conocimientos de éstos, ha llegado a la conclusión de que sólo el 10% de los créditos personales así concedidos presentan al final dificultades para la cancelación final del crédito. Además ha observado que, si el segundo pago de la amortización del crédito se retrasa en más de un mes, hay 7

8 el 90% de probabilidad de que en el final se presenten dificultades para la cancelación final del crédito, mientras que, si en dicho plazo se efectúa sin retraso el pago, la probabilidad de que se presenten problemas para la amortización del crédito se reduce al 1%. Cuál es la probabilidad de que, concedido un crédito, se produzca un retraso superior a un mes en el segundo pago de la amortización del crédito?. Qué porcentaje de los clientes que al final resultaron morosos se habían retrasado en el pago del segundo plazo de la amortización del crédito?. Si durante un mes ha concedido cinco créditos de esta naturaleza, cuál es la probabilidad de que al menos uno de éstos presente síntomas de morosidad al llegar el pago del segundo plazo de la amortización del crédito? *INDICACION: Considere los siguientes sucesos y sus complementarios: A: suceso que ocurre cuando se presentan problemas en la cancelación final del crédito. B: suceso que ocurre cuando el cliente se retrasa en más de un mes en el pago del segundo plazo. 30) La empresa TORNIMAT, S.A. se dedica a la fabricación y venta de tornillos. Una vez fabricados los tornillos, éstos se agrupan en lotes de 5, que deben superar un control de calidad para ser declarados aptos para su posterior venta. Dicho control de calidad consiste en extraer al azar 2 tornillos del lote y rechazarlo si alguno es defectuoso. Estudios realizados por la empresa nos permiten afirmar que sólo el 1 5% de los tornillos fabricados son defectuosos. En un lote que tiene dos tornillos defectuosos, se desea conocer: a) La probabilidad de rechazarlo b) Si hemos rechazado el lote, cuál es la probabilidad de que haya ocurrido por haber extraído en el test exactamente 1 tornillo defectuoso? c) Con 10 lotes como el anterior, calcular la probabilidad de rechazar alguno de ellos 31) Una de determinada empresa bodeguera está interesada en controlar las operaciones contables en las que interviene la cuenta de tesorería. Su departamento de control interno verifica la correcta contabilidad de los movimientos de dicha cuenta. Por experiencia de otros años se sabe que la probabilidad de no detectar un error significativo por el departamento de control interno es de 0,1. La empresa decide contratar los servicios de una auditora; según esta firma de auditoría, si un error significativo no se detecta por el departamento de control interno de la empresa bodeguera, la probabilidad de que sea detectado por dicha auditora es de un 95%. Y además, la probabilidad de que lo detecte el departamento de control interno y no los auditores es del 1%. a) Cuál es la probabilidad de que un error significativo no sea detectado por la auditora? b) Cuál es la probabilidad de que si no se detecta un error significativo por la auditora, sea detectado por el departamento de control interno? c) Cuál es la probabilidad de que un error significativo no sea detectado ni por la auditora ni por el departamento de control interno? d) Cuál es la probabilidad de que, de 5 errores significativos que se producen, al menos uno sea detectado por el departamento de control interno? 32) Un contable tiene sobre su mesa dos grupos de veinte facturas cada uno. En el primer grupo de facturas hay dos con errores de cálculo, y en el segundo sólo tres tienen errores de cálculo. Una corriente de aire hace que las facturas caigan de la mesa, y al volver a ordenarlas una del primer 8

9 grupo se confunde entre las del segundo grupo. a) Cuál es la probabilidad de que al revisar una factura del segundo grupo elegida al azar encuentre un error de cálculo? b) Si después de revisar tres facturas elegidas sucesivamente al azar en el segundo grupo, encuentra sólo una con error de cálculo, qué es más probable que se traspasara, del primer al segundo grupo de facturas, una con errores de cálculo o una sin errores de cálculo? 33) En los últimos meses se ha producido un fortalecimiento de FONOMOVIL, una de las compañías que se mueven en el sector de la telefonía móvil. La lucha por conseguir incrementar su participación en el mercado, hasta ahora exclusiva de AIRMOVIL, le ha llevado a realizar mayores esfuerzos para incrementar la calidad del servicio. En este sector de mercado hay tres tipos de cobertura que llamaremos A, B y C (técnicamente conocidas por cobertura en edificio, en coche y en campo, respectivamente). El director técnico de FONOMOVIL, muy interesado en disminuir el porcentaje de llamadas que se interrumpen, ha recabado la siguiente información sobre su empresa. El 50% de las llamadas son de cobertura tipo A, y el 30% del tipo B. Si la llamada es de cobertura tipo A la probabilidad de que se interrumpa es de 0 05 y si la llamada es de tipo B se interrumpe en un 10% de los casos. Además se sabe que el 3% de las llamadas se interrumpen y son de tipo C. Se pide: a) Sabiendo que una llamada es del tipo C, cuál es la probabilidad de que se interrumpa? b) Qué porcentaje de llamadas se interrumpen en FONOMOVIL? ( Supera a AIRMOVIL, donde el porcentaje de llamadas interrumpidas es de 9 5%?) c) Sabiendo que una llamada no se ha interrumpido, calcule la probabilidad de que sea de cobertura tipo B. 34) Uno de los principales interrogantes actuales con los que se encuentran los analistas a la hora de realizar sus predicciones sobre la evolución de la economía, radica en saber si España accederá o no a la última fase de la Unión Monetaria Europea (UME). Este hecho, hoy día y a efectos prácticos, depende del cumplimiento de dos criterios de convergencia, vinculados al control del volumen de Déficit Público, medido en proporción respecto al PIB, y de la Tasa de Inflación. En estos momentos el cumplimiento de ambos criterios aseguraría la entrada de España en la última fase de la UME, mientras que el incumplimiento de al menos uno de ellos dejaría, en todo caso, a España fuera con toda seguridad. Consecuencia de la evolución de la actividad económica en España, se piensa que alcanzado el cumplimiento de un objetivo, el cumplimiento del otro tiene probabilidad Por otra parte, se considera que la probabilidad del cumplimiento del criterio de la Tasa de Inflación es de Calcular la probabilidad de cumplir el criterio del Déficit. Calcular la probabilidad de cumplir ambos criterios. Calcular la probabilidad de que España acceda a la última fase de la UME. Cuál sería la probabilidad de que España accediera a la última fase de la UME si se cumple al menos uno de los dos criterios? La entrada o no de España en la UME tiene importantes consecuencias a la hora de decidir la política de tipos de cambio a seguir. Así la Unión Europea (UE) puede optar por establecer una posición agresiva a la hora de establecer el tipo de cambio del Euro con respecto al dólar; o bien tomar una postura no agresiva en el tipo de cambio que facilite las exportaciones de los 9

10 productos europeos. En estos momentos se puede suponer que la probabilidad de que la UE opte por una postura agresiva en el tipo de cambio si España accede a la UME es de Se sabe que estas exportaciones aumentarían con probabilidad 0 15 si España accede a la UME y se opta por la opción de una postura agresiva en el tipo de cambio, mientras que las exportaciones aumentarían con probabilidad 0 65 si España accede a la UME y se opta por una postura no agresiva en el tipo de cambio. 2. Calcular la probabilidad de que las exportaciones de los productos europeos aumenten sabiendo que España accede a la UME. Indicación: Considere los siguientes sucesos: T: España accede a la UME; C 1 : Cumplimiento del Criterio del Déficit; C 2 : Cumplimiento del Criterio de Inflación; A: Postura Agresiva en el Tipo de Cambio; E: Aumentan las Exportaciones de la UE. 35) Un agricultor sabe, por su experiencia, que la probabilidad de que tenga una buena cosecha si ha hecho sol es de 0 6 mientras que esta probabilidad se reduce a 0 3 si ha llovido. Por otro lado, también sabe que la probabilidad de que haga sol es tres veces la probabilidad de que llueva. También sabe que, si hay buena cosecha, la probabilidad de tener beneficios si las condiciones del mercado son favorables es de 0 8 mientras que la probabilidad de tener pérdidas si las condiciones del mercado son desfavorables es de 0 6; estas probabilidades se reducen a la mitad si la cosecha es mala. Además, también se sabe que la probabilidad de que las condiciones del mercado sean favorables si la cosecha ha sido buena es de 0 4 mientras que, si la cosecha es mala, esta probabilidad se multiplica por dos. Se pide Calcular la probabilidad de que la cosecha sea buena Calcular la probabilidad de tener beneficios cuando la cosecha ha sido buena Calcular la probabilidad de tener beneficios Calcular la probabilidad de que las condiciones del mercado sean favorables 36) a) Una empresa tiene dos secciones, A y B con tres personas en A y cuatro en B. La probabilidad de que una persona de la sección A llegue puntual a su trabajo es del 95% mientras que en B esa probabilidad es del 90%. Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera sea una única persona de la empresa la que llegue tarde al trabajo? Para realizar una tarea, los siete trabajadores tienen que dividirse al azar en dos equipos, uno con cinco personas y otro con dos. Antonio y Benito son dos amigos a los que les gustaría estar juntos. Cuál es la probabilidad de que estén juntos en el equipo de cinco personas? Y de que caigan en un mismo grupo? b) En la ciudad donde está ubicada esta empresa llovió el día 31 de diciembre. Sabemos que, además, para un día cualquiera, tanto si en ese día llueve como si no, la probabilidad de que al día 10

11 siguiente haga la misma climatología es 0 7. Refiriéndonos exclusivamente a los tres primeros días de enero posteriores al mencionado 31 de diciembre: si sabemos que el día 2 de enero llovió, cuál es la probabilidad de que dos de esos tres días fuesen de lluvia y el restante no? c) El Sr. X, antes de ir a trabajar, se fijó en que tenía en el bolsillo dos caramelos de naranja y otro de limón. Como le parecieron pocos abrió un bote que tenía en casa con seis caramelos (tres de naranja y tres de limón) tomó dos sin fijarse en su sabor y los juntó con los que ya tenía. Una hora más tarde metió la mano en su bolsillo y al azar extrajo un caramelo que resultó ser de limón. Cuál es la probabilidad de que fueran de limón los dos caramelos que cogió del bote? 37) Una empresa de selección de personal tras una serie de pruebas para la búsqueda de una persona para el puesto de gerente de un concesionario de automóviles, llega a la conclusión de que existen tres personas, A, B y C, igualmente cualificadas y que han quedado empatadas tras las pruebas a que han sido sometidos, para desempeñar dicho cometido. Ante la ausencia de otros criterios objetivos sólo queda como último recurso el azar. Para ello se idea una serie de concursos para elegir al candidato en cuestión. De los tres concursos planteados debe escogerse uno sólo, y una vez realizado dicho concurso debe resultar elegida una única persona de las tres posibles para el puesto de trabajo. Los tres concursos ideados son como siguen: Concurso 1. Escribir el nombre de cada uno de los candidatos en un papel, introducirlos en una bolsa y que una mano inocente extraiga una papeleta. El nombre que contenga la papeleta corresponde al del candidato elegido. Concurso 2. Meter en una bolsa tres bolas, dos bolas blancas y una negra. La persona que extraiga la bola negra consigue el empleo. La extracción se realiza de acuerdo a las siguientes reglas: A es el primero en extraer una bola; si la bola es negra logra el empleo, si no lo es, pasa el turno a B que sacará una bola de las dos que han quedado en la bolsa, si es negra logra el empleo, si no lo es el empleo es para C. Concurso 3. A y B, juegan a cara y cruz, el vencedor juega con C a cara y cruz. El ganador de esta segunda ronda es el que logra el empleo. A y B no están de acuerdo con el concurso número 3 porque dicen que beneficia a C, mientras que C no está de acuerdo con el número 2 porque dice que le perjudica. Demuestre si los sorteos son justos o no (un sorteo es justo si en él los tres candidatos tienen la misma probabilidad de ganar) y opine si A, B o C tienen razón. La dirección de la empresa no tuvo en cuenta las reclamaciones de los candidatos y eligió un concurso al azar de la siguiente forma. Se lanzan dos dados no trucados, uno azul y otro rojo, si la puntuación del dado azul es mayor que la del rojo se escoge el primer concurso, si la puntuación del dado rojo es superior a la del azul se escoge el segundo, si hay empate se escoge el tercero. Si finalmente C fue elegida para el trabajo, qué concurso es más probable que se realizara? 38) El Sr. Grassy no posee Gas Ciudad en su apartamento, por lo que utiliza dos bombonas de butano: una para el baño y otra para la cocina. Las bombonas durante toda su duración permanecen en el sitio en el que se instalaron inicialmente sin cambiarse de sitio y no se reponen hasta que se hayan acabado completamente. El Sr. Grassy sólo compra una bombona al repartidor habitual de su zona cuando ésta está vacía. La probabilidad de que un día cualquiera 11

12 tenga vacía la bombona de la cocina es de La probabilidad de que un día cualquiera tenga vacía la bombona del baño es Responda a las siguientes cuestiones: a) Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera tenga vacía alguna de las bombonas de butano? b) Al llegar a casa el Sr. Grassy se da cuenta que tiene vacía una de las dos bombonas. Cuál es la probabilidad de que ocurra esto? Cuál es la probabilidad de que sea la de la cocina? c) Cuál es la probabilidad de que las dos bombonas estén vacías, o no se haya acabado ninguna? Si la probabilidad de que un día cualquiera le visite el repartidor, cuando tiene alguna bombona vacía, es de 0 14 Cuál es la probabilidad de que el Sr. Grassy compre alguna bombona hoy? 39) Sobre los alumnos de cierto Instituto de Sevilla que se presentan a Selectividad se conoce que, eligiendo uno de ellos al azar, la probabilidad de que salga aprobado en la lista provisional es de 0 7. Además, la probabilidad de que un alumno suspendido en la lista provisional reclame es de 0 45; mientras que dicha probabilidad es sólo de 0 1 para los alumnos que figuran como aprobados en dicha lista. a) Cuál es la probabilidad de que un alumno que reclama esté aprobado en la lista provisional? b) Antonio, Beatriz y Carlos son tres amigos que se han presentado al examen. Cuál es la probabilidad de que los tres se comporten igual respecto a la reclamación? ( que reclamen los tres o que no reclame ninguno) 40) Responda a las siguientes cuestiones: a) Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Una persona lanza dos veces una moneda equilibrada y seguidamente introduce la mano en la urna para extraer tantas bolas como caras se han obtenido. Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una bola negra (no importa si también se obtiene alguna blanca o no) b) A partir de otra urna con una composición igual a la del apartado anterior se lleva a cabo el siguiente experimento: se elige una bola al azar, se mira su color y se devuelve a la urna, añadiendo además otra bola de ese mismo color. Seguidamente se vuelve a extraer otra bola que resultó blanca. Cuál es la probabilidad de que la primera bola fuese blanca también? 41) a) Una sesión de cotización de bolsa de una ciudad determinada, al iniciarse la sesión un cierto día hay disponibles para su adquisición 4 títulos de la empresa A, 3 títulos de la empresa B y 2 de la empresa C. Un operador llega entonces, elige al azar un título (con igual probabilidad para cada uno de los 9 títulos que están en ese momento a la venta), y acto seguido compra todos los títulos de la empresa a la que corresponde el título que eligió. Posteriormente llega un segundo operador y compra dos títulos también al azar (de una sola empresa o no) entre los que han quedado disponibles. Cuál es la probabilidad de que este segundo operador adquiera dos títulos de la empresa A? b) A lo largo de la sesión de cotización siempre hay una pausa normal; pero a veces hay además otra pausa extra, cosa que puede suceder con probabilidad 0 4. De nuestro primer operador se sabe 12

13 que cuando se hace una pausa, tanto extra como normal, existe una probabilidad 0 7 de que aproveche para tomarse un café. Si se sabe que cierto día no tomó ningún café, qué probabilidad existe de que ese día hubiera pausa extra en la sesión? c) Otro operador, al acabar la sesión de bolsa, a veces acude a su oficina y a veces no. Concretamente, para un día cualquiera, acude a la oficina con probabilidad 0 68, pero dicha probabilidad es de 0 85 los días en que no ha habido pausa extra en la sesión (ver apartado b). Sabiendo que cierto día no acude a la oficina cuál es la probabilidad de que ese día sólo haya habido la pausa ordinaria en la sesión de la bolsa? Y si consideramos una semana con cinco días laborables, cuál es la probabilidad de que alguno de esos cinco días no acuda a la oficina? 42) En una ciudad existen 2 establecimientos que distribuyen teléfonos móviles. Los habitantes de dicha ciudad deben acudir necesariamente a uno de esos dos establecimientos para comprar su teléfono móvil. Dichas tiendas son las únicas en las que se pueden encontrar todos los accesorios y cupones de recarga necesarios para dichos móviles. No existe un compromiso de fidelidad por parte del cliente, es decir, aunque el individuo se haya comprado el móvil en la tienda A, los accesorios o cupones los puede comprar en la tienda A o en la tienda B, y viceversa. Que un móvil sea adquirido en el establecimiento A tiene una probabilidad de 0 65; mientras que entre los individuos que se compraron el móvil en A sólo el 70% compran los accesorios y cupones en A. Si el móvil fue comprado en B la probabilidad de la compra de accesorios y cupones en B es de Qué porcentaje de accesorios o cupones son comprados en A? Qué porcentaje de accesorios o cupones son comprados en B? Es lógico estos porcentajes sumen 100%? Razone su respuesta 2. Calcular la proporción de personas que compraron el móvil en B pero compran un accesorio o cupón en la tienda A? 43) En dos mercados de valores (M 1 y M 2 ) se compran y venden dos tipos de acciones (A y B). En M 1, la proporción de acciones del tipo A es 1/3, mientras que en el otro mercado la proporción de estas acciones es 3/5, (estas proporciones permanecen fijas en todo momento). Un accionista tiene una forma muy peculiar de elegir el mercado de valores donde operar: Lanza simultáneamente 4 monedas y si sale más de una cara elige el mercado M 1 ; en otro caso elige el mercado M 2. Decide, una vez seleccionado el mercado de valores, comprar al azar una acción. Qué es más probable comprar una acción del tipo A o del tipo B? Se compran al azar dos acciones en un mismo mercado-, y se sabe que al menos una de ellas es del tipo A. Cuál es la probabilidad de que la otra acción comprada sea también de este tipo? Si las dos acciones que compra en el mismo mercado- son del tipo A Cuál es la probabilidad de que esté comprando en cada uno de los dos mercados? 13