Permutaciones y combinaciones

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1 Perutacioes y cobiacioes Cotaos posibilidades Coezaos co u secillo ejeplo E España los coches tiee ua atrícula que costa de cuatro dígitos deciales seguidos de tres letras sacadas de u alfabeto de 26 Cuátas atrículas distitas puede llegar a haber? Cuado se da ua situació e la que cada uo de varios eleetos puede toar valores distitos o diferetes tareas se puede hacer de fora distita y todos ellos so idepedietes etre sí la fora de calcular el úero total de posibilidades es ultiplicar el úero de valores que puede toar cada eleeto o el úero total de foras e las que se puede realizar cada tarea E uestro caso el prier dígito puede toar uo de 0 valores; para cada uo de estos valores el segudo dígito puede toar uo de 0 valores y así sucesivaete hasta llegar a la tercera letra que puede toar para cada uo de los casos que tegaos hasta ese oeto uo de 26 valores para u total de posibles atrículas Coo se puede ver teeos atrículas para rato Toeos otro ejeplo secillo Cuátos úeros hay cuya expresió decial tiee exactaete 6 cifras? (Coo es habitual los ceros a la izquierda se eliia) E este caso uo de los eleetos tiee ua liitació e su valor: la priera cifra o puede ser cero porque etoces ese cero a la izquierda se eliiaría y el úero tedría a lo suo 5 cifras Por lo tato la priera cifra sólo puede toar 9 posibles valores (29) para u total de úeros Este problea se puede resolver tabié de otra fora alterativa ya que el eor úero que tiee exactaete 6 cifras es el y el ayor es y todos los úeros etre abos y iguo ás tiee exactaete 6 cifras para u total de úeros Suaos uo a la diferecia etre y porque abos tiee 6 cifras y debe ser cotados Cotiuaos co otro ejeplo E el us se reparte a cada jugador cartas de ua baraja de 0 cartas distitas De cuátas foras distitas e puede repartir cartas e el us? De cuátas foras e puede tocar los reyes? Ahora el resultado de la priera carta que se reparta afecta a las otras porque igua de estas puede ser igual a la priera que ya está repartida Por lo tato auque la priera carta que e reparta es ua de etre 0 la seguda carta deberá ser ua de etre las 9 restates la tercera ua de las restates y la cuarta ua de etre las restates para u total de posibles foras de repartir cartas Para que e toque los cuatro reyes la priera carta debe ser uo de estos cuatro reyes la seguda uo de los tres restates la tercera uo de los dos restates y la últia el rey que quede para u total de 2 2 posibles foras de repartir los reyes De repete teer cuatro reyes parece uy difícil

2 Iporta el orde? Vaos a cabiar ligeraete el problea aterior: Cuátas posibles aos existe e el us? Es decir coo ua vez que tego is cuatro cartas e la ao la jugada o depede del orde e que e haya llegado cuátos so los posibles grupos de cartas que puedo llegar a teer jugado al us? Cuátas aos tiee reyes? La respuesta a la últia preguta es claraete que sólo ao tiee reyes cuado tego los No iporta e este caso el orde e que haya llegado Me ha podido llegar priero el de oros luego el de copas el de espadas y fialete el de bastos (OCEB) pero e ha podido llegar tabié e cualquier otro orde (CBEO BOEC) De hecho coo el priero ha podido ser cualquiera de los luego cualquiera de los tres restates luego cualquiera de los 2 restates y fialete el úico que e falta hay 2 2 posibles foras de ordear los reyes Claro tatas foras coo hay para que e reparta los reyes si voy recibiedo las cartas de fora ordeada de ua e ua Veos que el úero total de aos co reyes es el resultado de dividir el úero de foras de repartir los reyes etre el úero de foras de ordear estos reyes E el caso de todas las posibles aos sucede lo iso; ua vez que tego cartas e la ao e ha podido llegar e uo de 2 posibles órdees pero cada ua de estas 2 foras de ordearlas se correspode co exactaete ua ao la forada por esas cartas idepedieteete del orde e que e llegue Así teeos etoces que hay posibles aos distitas e el us 2 A este úero se le llaa cobiacioes de 0 cartas toadas de e y es el úero posible de grupos de cartas si iportar el orde que se puede toar de etre 0 distitas Foras de ordear: perutacioes E este ejeplo secillo os ha bastado co ir cotado pero hay algua fora geeral de pesar y calcular que podaos aplicar e ejeplos ás coplicados? Auque parezca que estaos dado ás vuelta vaos a pesar de otra fora distita Cuátas posibles foras hay de ordear las 0 cartas de la baraja? Siguiedo el iso razoaieto de ates para ordear los reyes veos que hay foras de ordear la baraja Si calculaos este producto es u úero de cifras que epieza por Para abreviar coo este úero es uy largo icluso escrito coo producto lo escribios 0 y e geeral el producto de los úeros desde hasta lo escribios coo y le llaareos factorial o factorial de ; así direos que hay 2 foras de ordear los reyes o foras distitas de ordear las 0 cartas de oros Se llaa perutacioes de u cojuto o perutacioes de los eleetos de u cojuto a las posibles foras de ordear dichos eleetos y si el cojuto tiee eleetos distitos el úero de perutacioes de estos eleetos es igual a 2 2 Factorial y sus propiedades El factorial de escrito es el producto de los eteros etre y ; así el factorial de 6 es Defiios 0 pricipalete porque coo ya heos visto el factorial de es igual al úero de foras de ordear eleetos distitos Si teeos 0 eleetos hay exactaete ua fora de ordearlos o toar iguo Adeás coo vereos otras propiedades fucioa ejor así

3 Por ejeplo es fácil ver que ( ) ( ) E efecto si ultiplicaos el producto de los prieros eteros positivos por teeos claraete el producto de los prieros eteros positivos Si adeás haceos 0 esta propiedad tabié se cuple cuado defiios coo lo heos hecho 0 porque etoces 0 Tabié es secillo coprobar que ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( ) ya que los úeros que aparece e el producto () pero o aparece e so exactaete todos los eteros ayores que pero eores o iguales que Así por ejeplo 6 5 Foras de repartir: cobiacioes De qué os sirve esto a la hora de calcular el úero de posibles aos e el us? Supogaos que ordeaos la baraja e ua cualquiera de las 0 foras posibles y que a í se e reparte las prieras cartas Las 6 cartas que o e va a repartir puede estar ordeadas e ua de las 6 posibles perutacioes de 6 eleetos y las que e reparte puede estar ordeadas e ua de las posibles perutacioes de eleetos Multiplicaos 6 y para obteer el úero de perutacioes de las 0 cartas para las que las prieras cartas so las isas porque las foras de ordear las prieras cartas y las foras de ordear las 6 últias so idepedietes etre sí Para cada ua de estas 6 foras de ordear idepedieteete estos dos grupos de cartas las cartas que recibo so las isas las prieras Puedo etoces calcular tabié las posibles aos que recibo coo Obtego el iso resultado A esta catidad se le llaa el úero de cobiacioes de 0 eleetos toados de e y se suele escribir para abreviar coo 0 E geeral si hay u cojuto de eleetos distitos y quiero calcular todos los posibles subcojutos de dicho cojuto que tega eleetos si iportar el orde de dichos eleetos diré que hay foras de toar eleetos de etre eleetos distitos ( ) y llaaré a este síbolo y esta catidad cobiacioes de eleetos toados de e o tabié se le llaa úero cobiatorio sobre Veaos u ejeplo fial: la platilla de Osasua tiee porteros defesas cetrocapistas y delateros De cuátas posibles foras podeos hacer u equipo co defesas cetrocapistas y 2 delateros? (supoeos que o difereciaos etre cetral o lateral o etre diestro y zurdo) y si quiero calcular el úero de posibles equipos co defesas y bie cetrocapistas y 2 delateros o cetrocapistas y delateros? La respuesta a la priera preguta es posibles equipos

4 Coo puedo toar de etre porteros de etre defesas etc y cada ua de las eleccioes es idepediete de las deás tego que ultiplicar etre sí las foras posibles de elegir jugadores etre cada uo de los grupos para obteer el úero total de posibles equipos Si ahora quiero los posibles equipos co cetrocapistas y delateros etoces tedría posibles equipos Los casos de o cetrocapistas o sólo so idepedietes tabié so disjutos es decir o sucede uo o sucede otro pero o los dos a la vez Por lo tato ecesito suar las posibilidades de abos casos para u total de equipos co alieacioes --2 o -- igual a Núeros cobiatorios y sus propiedades Al úero se le llaa úero cobiatorio de e o de sobre o cobiacioes de eleetos toados de e y coo ya heos visto es igual al úero de foras posibles de toar eleetos de u cojuto de eleetos distitos Claraete o puede ser eor que 0 i ayor que pues o puedo elegir u úero egativo de eleetos y de etre eleetos o puedo elegir ás de Alguas propiedades iteresates de los úeros cobiatorios so las siguietes (ietras o se diga lo cotrario puede ser cualquier etero o egativo y cualquier etero o egativo y eor o igual que ): 0 porque sólo hay ua fora de elegir 0 eleetos (o escoger iguo) o de elegir (escogerlos todos) porque hay las isas foras de elegir eleetos de etre que elegir ; e basta co ver que para cada fora de elegir hay exactaete ua fora de elegir (los que queda si elegir cuado escojo ) porque para elegir u eleeto de etre distitos tego cadidatos y para elegir e basta co escoger uo de etre los cadidatos distitos rechazarlo y quedare co los restates Esta igualdad se puede deostrar operado ya que haciedo coú deoiador y suado

5 Este resultado tiee si ebargo ua iterpretació uy clara: veaos cuátos grupos distitos de eleetos se puede toar de u cojuto de eleetos; seleccioaos uo de los eleetos y direos que es el últio Ahora bie para elegir eleetos de los hay dos aeras posibles y disjutas: o toaos este últio eleeto y elegios otros eleetos de los restates o o toaos este últio eleeto y elegios eleetos de los restates Suado estas dos posibles aeras de geerar grupos de eleetos de etre debeos obteer todos los posibles grupos Ejercicios propuestos Cuátos úeros de exactaete 5 cifras cotiee al eos ua vez la cifra? Cuátos de ellos cotiee exactaete ua vez la cifra? Teeos 5 rectas e el plao de fora que o hay tres de ellas que coicida e u puto Si igua de las rectas es paralela a igua otra cuátos putos de itersecció etre dos rectas hay? cuátos putos de itersecció hay si exactaete de ellas so paralelas y las otras 2 o lo so i etre sí i co las prieras? cuáles so todos los posibles valores que puede toar el úero de putos de itersecció? Al póker se juega co ua baraja fracesa de 52 cartas ( palos co úeros ordeados de eor a ayor 20JQKA) repartiédose 5 cartas a cada jugador Calcular el úero total de aos que puede teer u jugador y etre ellas el úero de foras e las que se puede obteer las siguietes jugadas: Sólo u trío ( cartas iguales etre sí y las otras 2 distitas etre sí y distitas de las otras ) Full house ( cartas iguales etre sí y las otras 2 iguales etre sí pero distitas de las prieras) Escalera (las 5 cartas co úeros cosecutivos idepedieteete del palo) Escalera de color (las 5 cartas del iso palo y co úeros cosecutivos) Sólo color (las 5 cartas del iso palo pero o cosecutivas) Calcular la sua de todos los úeros de 9 cifras e los que aparece exactaete ua vez cada ua de las cifras 2 9 Ua copañía tiee 5 directores y ua caja fuerte guarda los secretos de la copañía Se quiere poer el íio úero de cerraduras que garatice que dado el iso úero de llaves a cada director cualquier ayoría ( o ás) de ellos pueda abrir la caja y igua ioría (2 o eos) pueda abrirla Cuátas cerraduras hay que poer y cuátas llaves recibirá cada directivo?

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