MÉTODOS PARA PROBAR NUMEROS

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1 Capítulo 3 ALEATORIOS MÉTODOS PARA PROBAR NUMEROS III.1 Introduccón Exsten algunos métodos dsponbles para verfcar varos aspectos de la caldad de los números pseudoaleatoros. S no exstera un generador partcular de números aleatoros dsponble, se le recomenda al analsta usar estos métodos cuando se realce una smulacón. Las dos propedades mas mportantes esperadas en los números aleatoros son unformdad e ndependenca. La prueba de unformdad puede ser realzada usando las pruebas de ajuste de bondad dsponbles. Por ejemplo, un numero estadístco sufcente de números aleatoros pueden ser usados para verfcar la dstrbucón de los números contra la dstrbucón unforme teórca usando ya sea el método Ch-Cuadrada o el método Kolmogomorov-Smrnov(KS) para números aleatoros. Este tpo de prueba es denomnada "Prueba de frecuenca". Los números pueden estar unformemente dstrbudos y aun no ser ndependentes uno del otro. Por ejemplo, una secuenca de números monótonamente se ncrementa dentro del rango de cero a uno esta unformemente dstrbuda s la cantdad ncremental es constante para todos. (0, 0.1, 0., 0.3,...,0.9). La prueba de Frecuencas es utlzada para comprobar que los datos estén Unformemente dstrbudos. La prueba de autocorrelacón checa la correlacón entre números aleatoros y los compara con la deseable correlacón de cero. La prueba GAP (de huecos o de dstanca) es usada para asegurar que la recurrenca de cada dígto partcular en un flujo de números suceda con un ntervalo aleatoro. La prueba KS es entonces usada para comparar estos ntervalos con la longtud esperada de huecos. La prueba Póquer, prueba grupos de números juntos como una mano de poker y compara cada mano con la mano esperada usando la prueba Ch-cuadrada.

2 La prueba de corrda arrba abajo es generalmente la prueba prncpal usada para verfcar la dependenca. Esta prueba detecta s un patrón naceptable estadístcamente que se ncrementa o decrece exste entre números adyacentes en un flujo de números. Prueba de Seres. Mde la correlacón entre elementos adyacentes en una secuenca de números aleatoros. Los números aleatoros no deben contener nngún patrón concebble. Obvamente, uno puede concebr un número grande de patrones posbles entre números, y una prueba especal puede ser creada para detectar cada patrón partcular. No es recomendable n practco realzar todas las pruebas para verfcar la confabldad del generador números aleatoros. Se debe de comparar el costo de realzar estas pruebas con el costo de resultante de la mperfeccón del generador en un proyecto de smulacón actual. III. Prueba de Frecuencas Una prueba básca que sempre será desarrollada para valdar un nuevo generador es la prueba de unformdad. Dos métodos de pruebas dsponbles. Estas son las pruebas Kolmogorov-Smrnov y la prueba Ch-Cuadrada Ambas de estas pruebas mden el grado de ajuste entre la dstrbucón de una muestra de números aleatoros generados y y la dstrbucón unforme teórca. Ambas de estas pruebas están basadas en la Hpótess Nula de que no exste dferenca entre la dstrbucón de la muestra y la dstrbucón teórca. III..1 La prueba de Kolmogorov-Smrnov. Esta prueba compara la pdf (funcón de densdad de probabldad), F(x), de la dstrbucón unforme con el pdf empírco, S n (x), de una muestra de N observacones. Por defncón F( x) = x, 0 x 1 Conforme N crece, S N (x) deberá tener una mejor aproxmacón de F(x),, dado que la hpótess nula sea verdadera. numero de R1, R,... RN donde son x SN ( x) = (1) N

3 La prueba Kolmogorov-Smrnov esta basada en la desvacón máxma absoluta entre F(x) y S N (x) sobre el rango de e la varable aleatora- Esto es, basado en la estadístca D = max F( x) S ( x) () n La dstrbucón de la muestra D es conocda y es tabulada como una funcón de N en la tabla Kolmogorov-Smrnov. Para probar contra una pdf unforme, el procedmento sgue los pasos sguentes: Paso 1: Ordene los datos en forma ascendente. Sea R, el la va más pequeña observacón, tal que Paso : Usando la fdp teórca R1 R... RN F(x), calcule D + = max1 N R N ( 3) D 1 = max1 N R N ( 4) Paso 3: Calcule D = max( D +, D - ) Paso 4: Encuentre el valor crítco D de la tabla KS para un nvel de sgnfcanca y un tamaño de muestra N. Paso 5: S D al valor crítco D, acepte la dstrbucón canddato como aquella que tene un buen ajuste a los datos observados; de otra forma rechace. Esta prueba esta basada en la desvacón absoluta mayor entre las fdp empírca y teórca para todo valor dado de x. Esta desvacón es comparada con los valores crítcos de KS tabulados para determnar s la desvacón puede ser atrbuda a los efectos aleatoros y por lo tanto sea una dstrbucón canddato a ser aceptada tener un buen ajuste a los datos observados. Más específcamente, la prueba tene los pasos sguentes: Ejemplo: En este ejemplo se usa la prueba KS para examnar bajo un nvel de sgnfcanca de α=0.05 s un conjunto de datos representa números aleatoros (por ejemplo esta la dstrbucón unforme entre 0 y 1). Suponga que cnco datos son dados: 0.53, 0.35, 0.03, 0.94, y 0. Solucón. Para la dstrbucón Unforme la fdp es F(x)= 1/(b-a) a x b Para este caso partcular a=0 y b=1. Por lo tanto F(x)=x. Ahora se ordenan los valores en forma ascendente y se realzan los cálculos relatvos. La tabla sguente resume los cálculos realzados: F(x ) /n /n - F(x ) F(x ) (-1)/n

4 D + = 0.7 D - =0.14 De acuerdo a los cálculos, D = max( 0.7, 0.14 ) = 0.7. El valor crítco de KS de la tabla en el apéndce de tablas para un tamaño de 5 y un nvel de sgnfcanca de 0.05 es Debdo a que D es menor que este valor crítco, la hpótess de que los datos dados pertenecen a una dstrbucón Unforme es aceptada. III.. Prueba Ch-Cuadrada La prueba Ch-Cuadrada en lugar de medr la dferenca de cada punto entre la muestra y la desvacón verdadera, checa la desvacón del valor esperado. X calculada n ( O E) = E = 1 (5) Donde n es el número de ntervalos de clase (ejemplo: O es el número observado en la clase va, y E es el número esperado en cada clase va, y n es el número de clases. Para una dstrbucón unforme, E, el número en cada clase esta dado por; N E = (6) n Para clases gualmente espacadas, donde N es el número total de observacones. Puede ser mostrado que la dstrbucón de la muestra Ch-Cuadrada esta aproxmadamente a la dstrbucón Ch-Cuadrada con n-1 grados de lbertad. Ejemplo: Use la prueba Ch-Cuadrada con =0.05 para probar s los datos dados a contnuacón en la tabla 1 están unformemente dstrbudos. Tabla

5 Hacendo 10 ntervalos de 0 a 1 con ncrementos de.1 ( de gual longtud) tenemos la tabla sguente: Intervalo E O (O-E) E TOTAL 100 n (O-E) X c= =3.4 E = 0 El valor de X en el apéndce de tablas es X calcualda=3.4. Esto comparado con el valor crítco X 0.05,9=16.9. Debdo a que X calculada < que el valor de X 0.05,9 de la tabla, la hpótess Nula de que no exste dferenca entre la dstrbucón de la muestra y la dstrbucón unforme se Acepta. III.3 Prueba de Autocorrelacón Correlacón es la relacón recproca entre dos o mas cosas (elementos). A veces un grupo de números generados pueden parecer aleatoros, pero exste una relacón entre cada certo números de ellos a partr de alguno específco. Ampltud de autocorrelacón: Es la dstanca que exste entre los números de la lsta que tene la relacón entre sí. Se da cada n-ésmo número aleatoro e nca en el elemento.

6 Esta prueba se aplca con la suposcón de los números aleatoros tene una dstrbucón unforme e ndependente sobre el ntervalo de 1 a 0. Conceptos y parámetros que usamos en autocorrelacón Para analzar la correlacón general para todos los pares sucesvos de números aleatoros se utlza la estadístca: Densdad de probabldad ρ m = 1 M + 1 m k= 0 r ( + km) * r [ + ( k + 1) m] ( 7) Donde: N es el total de números en toda la sere; Tamaño de la muestra. es el prmer numero donde empeza la ampltud de autocorrelacón. m es la ampltud de la autocorrelacón. M es el entero mayor tal que +(M+1)*m<N Este valor, se obtene de acuerdo a los valores dados cudando que se cumpla la condcón. Es un parámetro de la formula: ( N ) M = Truncar 1 m Cumpléndose la condcón: + ( M + 1 ) m < M ( 8) Desvacón estándar de la autocorrelacón σ ρ m 13M + 7 = 1( M + 1) ( 9) σρ m ( Desvacón estándar de la densdad de probabldad.) La estadístca para determnar la sgnfcanca de la autocorrelacón para la secuenca propuesta de M+1 números es: Z ρ 0. 5 = ( 10) m σ ρ m

7 Z sgnfcanca de la autocorrelacón que tene una dstrbucón Normal, con meda cero y una varanza de uno, bajo la suposcón de ndependenca. Nvel de sgnfcanca S se defne el nvel de sgnfcanca por medo de α y Z 1 - α / el valor de Z hace que: P ( Z >= Z 1 - α / ) = α / ( 11) Se utlza (α / puesto que se va a tomar en cuenta ambos lados del área bajo la curva ) α / α / z α / z α / Falla a rechazar Para determnar la autocorrelacón se establecen las sguentes Hpótess; Hpótess Nula H 0 m =0 Los números aleatoros están correlaconados ( No son Aleatoros ) Hpótess Alternatva H 1 m 0 Los números aleatoros No están correlaconados ( Sí son aleatoros ) Crtero de rechazo Z 0 > Z 1- / Entonces, s: Z >Z 1- α / se rechaza la hpótess de aleatoredad.. y s Z Z 1- α / Se acepta la hpótess de aleatoredad. Ejemplo 1

8 Tenemos la Sguente sere de Números: 0.0,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.0,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.03,0.37,0.86,0.73,0.06,0.53,0.5,0. 67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.5,0.33,0.7,0.91,0.00,0.4,0.64,0.90,0.08,0.33,0.94,0.33,0.16,0.45,0.70,0.1 8,0.07 A la prmer vsta, estos números pueden parecer aleatoros. No obstante, al examnar de cerca estos números se ve que exste una relacón clara entre cada sexto numero, a partr del segundo. Cada uno de estos números varía en magntud sucesvamente de muy grande a muy pequeño. 0.0,0.96,0.78,0.18,0.09,0.80,0.0,0.53,0.05,0.30,0.70,0.59,0.98,0.90,0.03,0.37,0.86,0.73,0.06,0.53,0. 5,0.67,0.78,0.33,0.97,0.63,0.5,0.33,0.7,0.91,0.00,0.4,0.64,0.90,0.08,0.33,0.94,0.33,0.16,0.45,0.7 0,0.18,0.07. Ejemplo Determínese s el segundo, el séptmo, el doceavo, y el vgésmo segundo de los números aleatoros de la secuenca que sgue están autocorrelaconados. Sea α = ,0.91,0.11,0.0,0.65,0.33,0.86,0.05,0.5,0.8,0.80,0.8,0.10,0.78,0.88,0.76,0.9,0.0,0.66,0.1 7,0.71,0.45,0.40,0.35. Puesto que nos nteresa el grado de autocorrelacón de cada qunto numero a partr del segundo, =,m=5,n=5 y M= 3. ρ = r( ++ 5k ) * r( + 5*( k + 1) 4 k = 0 1 ρ 5 = ((0.91)(0.86) )(0.80) + (0.80)(0.76) + (0.76)(0.71)) = σρ m = 13* M + 7 1* (M + 1) (139 *3 + 7 ρ 5 = = (3 + 1) 13* M + 7 Z=(ρ m 0.5) / 1* (M + 1) Z= ( )/0.141=.87 Z=.87 > Z.95 = por lo tanto se rechaza la hpótess nula y por lo tanto se consdera que los datos son aleatoros. Ejemplo 3 Dados los sguentes números aleatoros.1,.01,.3,.8,.89,.31,.64,.8,.83,.93,.99,.15,.33,.35,.91,.41,.6,.7,.75,.88,.68,.49,.05,.43,.95,.58,.19,.36,.69,.87 Determne s el 3, 8, 13 y los sguentes números en la secuenca están autocorrelaconados. Use

9 =.05, =3 (ncando con el 3er. Número), m=5 (cada 5 números), N=30, y M=4 (entero mayor tal que 3+(m+1)5 30 ). Entonces; 35 =1/5[(8.3)(.8)+(.8)(.33)+(.33)(.7)+(.7)(.05)+(.05)(.36)= (13) = = (4 + 1) Z = = = Z = 1.96 Z= < Z.975 = 1.64 por lo tanto se acepta la hpótess nula y por lo tanto se consdera que los datos No son aleatoros. III.4 Pruebas de Huecos La prueba de huecos (GAP) es usada para asegurar que la recurrenca de cada dígto partcular en un flujo de números suceda con un ntervalo aleatoro. Se pueden usar dos pruebas para comparar estos ntervalos con la longtud esperada de los huecos: La prueba Ch-Cuadrada ( ) y la prueba Kolmogorov Smrnov (KS) es entonces usada para comparar III.4.1 La prueba Kolmogorov Smrnov (KS) Para determnar s los números aleatoros generados cumplen con las propedades especfcadas (unformdad e ndependenca ) se tendrán las hpótess sguentes : H 0 s D calculada < D confabldad ; se aprueba que los dígtos están ordenados aleatoramente. H 1 s D calculada > D confabldad ; se rechaza que los dígtos están ordenados aleatoramente. La prueba de huecos se utlza para determnar la sgnfcanca de los ntervalos entre la repetcón de certo dígto. S el dígto k va segudo por x dígtos dstntos de k, antes de que vuelva a parecer k, se dce que exste un hueco de tamaño x. Por ejemplo: 4, 8, 9, 7, 9, 8, 3, 3, 3, 9, 9, 0, 6, 3, 0, 3, 3, 4, 3, 5, 5, 8,, 9, 5, 5,, 5, 1, 5, 4, 8, 7, 9, 0, 6, 4, 8, 9,, 3, 9, 6, 0, 1, 5, 6, 8, 7, 7, 0, 9, 9, 7, 6, 3, 6, 3, 3, 5,, 7, 4, 0, 3, 1, 1, 4, 4,, 3, 4, 0, 4, 6, 0,, 7, 8, 5, 6, 8, 4, 0, 8, 8, 5, 0, 6, 5,, 7, 6, 6, 3, 9, 4, 6, 9, 1, 8, 9, 4, 5, 0,, 0, 4, 8, 1, 4, 5, 0,, 8. Se puede tomar cualquer números aleatoro; en este caso se toma el número cero, el cual aparece 13 veces y por ende habrá 1 huecos. El prmero de longtud, el segundo de 19, el tercero de 8, etc. Otro ejemplo tomamos el número cuatro, el cual aparece 15 veces y tendrá 14 huecos. El prmero de longtud 16, el segundo de 1, el tercero de 5, etc. Para fnes de esta prueba, nos nteresa la frecuenca con la que se presentan los dversos huecos.

10 Para una secuenca dada de dígtos, anotamos el número de veces que aparecen los huecos de longtudes 0, 1,,.... Podemos aplcar este procedmento a un dígto smple entre 0 y 1. Después de tomar nota de la frecuenca con que aparece cada hueco, comparemos la frecuenca acumulatva relatva (S x ) observada con la frecuenca acumulatva teórca. Suponendo que los dígtos están ordenados aleatoramente, la dstrbucón de frecuencas acumulatvas relatvas está dada por: S ( x ) = ( m / T ) donde : m es frecuenca del hueco Y la dstrbucón de frecuencas acumulatvas teórcas está dada por: T Total de huecos La probabldad de un hueco de una certa longtud puede ser determnada por una prueba Bernoull. P( hueco de n) = P( x 3) P( x 3)... P( x 3) P( x = 3) S úncamente consderamos dígtos del 0 al 9, entonces; x P( hueco de x) = (0.9) 0.1 para x = 0,1,... ( 13) Teórcamente la dstrbucón de frecuenca para dígtos ordenados aleatoramente esta dada por; n P( hueco x) = F( x) = 0.1 (0.9) = x n= 0 x+ 1 ( 14) Ejemplo Basándonos en la frecuenca con que se producen los huecos, determínese s se puede suponer que los dígtos están ordenados aleatoramente. Sea el nvel de sgnfcanca de α = 0.05., 9, 3, 1, 6, 3, 0, 4, 6, 3,, 8, 7, 0, 8, 1, 3, 1, 8, 3, 6, 0, 7, 9, 6, 1, 3, 4, 8, 6, 3, 4, 9, 1, 4,, 8, 1, 0, 5, 5, 9,, 3, 1, 4, 0, 5, 8, 8, 9, 8, 3, 9, 9, 3, 3, 5, 9, 1, 1, 5, 3, 6, 8, 4, 7, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 6, 0, 5, 7, 3, 1, 5, 9, 5, 4, 0, 1, 4, 6, 0, 0, 5, 4, 6,, 4, 8, 4,, 0, 5, 4, 4, 1, 0,, 0, 5, 4, 1, 3, 7, 5, 3, 3, 1, 6, 7, 1, 0,, 9, 6, 7, 0, 1, 7. El número de huecos regstrados será la cantdad de números analzados menos el número de números aleatoros generados (en este caso son 10, puesto que cada dígto se debe presentar, por lo menos, una últma vez). Total de huecos (T) = N 10 donde N es el tamaño de la muestra

11 (T ) = = 115. Después se verfca cual fue la mayor longtud del hueco, y dependendo de ésta usted elegrá cuantos ntervalos requere. Por ejemplo: s tene una longtud de hueco gual a 49 y desea 10 ntervalos entonces el prmer ntervalo será de 0 4, el segundo de 5 9, el tercero de 10 14, etc. S qusera solo 5 ntervalos entonces quedará el prmero de 0 9, el segundo de 10 19, el tercero de 0 9, el cuarto de y el qunto de Para el ejemplo se tene que la mayor longtud de hueco es de 50 y se dvdó en 17 ntervalos. Enseguda se analzan cada uno de los números aleatoros generados para determnar su longtud de hueco y obtener la frecuenca en los ntervalos generados. Por ejemplo: s tomamos el número aleatoro sete (7) su prmera longtud de hueco es de 9; y caerá en el ntervalo 9 11, entonces ese ntervalo tendrá su prmera frecuenca. S el msmo número aleatoro u otro número cayeran en ese msmo ntervalo entonces se sumara la segunda frecuenca para este ntervalo; y así sucesvamente para todos los ntervalos. La suma de las frecuencas de todos los ntervalos (en este ejemplo son 17) es gual a el total de huecos (T = 115). Pasos a segur en la prueba. Paso 1. Especfque la fdp para la dstrbucón de frecuenca teórca dada por la ecuacón (14) basado en el ancho del ntervalo de clase selecconado. Paso. Arregle los huecos observados en una dstrbucón acumulada con esas msmas clases. Paso 3. Encuentre D, La máxma desvacón entre F(x) y S n (x) como en la ecuacón D = max F( x) S ( x) n Paso 4. Determne el valor crítco D, de la tabla de Kolmogorov Smrnov para el valor específco de y el tamaño de muestra N. Paso 5. S el valor calculado de D es mayor que el valor tabulado de D la hpótess nula de ndependenca es rechazada. El valor exacto de puede ser encontrado usando la metodología descrta por Conmover [1980].

12 Resummos la prueba en la tabla sguente: Longtud deocurrencas Frecuenca hueco Acumulada Frecuenca F x ( x ) Dferenca * Total 115 Para determnar la frecuenca acumulatva relatva se basa en la fórmula:

13 S ( x ) = ( m / T ) 1 er. Intervalo S ( 0 ) = ( 7 / 115 ) = do. Intervalo S ( 3 5 ) = ( 57 / 115 ) = er. Intervalo S ( 6 8 ) = ( 80 / 115 ) = to. Intervalo S ( 9 11 ) = ( 91 / 115 ) = y así sucesvamente hasta acabar con los ntervalos. Para determnar la frecuenca acumulatva relatva se basa en la fórmula: F x ( X ) = 1 ( 0.9 ) x er. Intervalo F x ( 0 ) = 1 ( 0.9 ) + 1 = do. Intervalo F x ( 3 5 ) = 1 ( 0.9 ) = er. Intervalo F x ( 6 8 ) = 1 ( 0.9 ) = to. Intervalo F x ( 9 11) = 1 ( 0.9 ) = Posterormente se obtene la dferenca máxma absoluta entre las dos frecuencas acumulatvas D * = Esta dferenca se compara con la dferenca de confabldad. La dferenca de confabldad esta dada por la sguente fórmula: D Nvel de confabldad valor en la tabla Kolmogorov Smrnov = ( 15) T Donde el nvel de confabldad es gual a 1 nvel de sgnfcanca (1-.95)=0.05. Valor de la tabla con α 0.05 y N>35 (tamaño muestral 15) = 1.36 (apéndce de tablas) 1.36 D 0.95 = = Puesto que D * (0.08) < D 0.95 (0.17); rechazamos la hpótess de que los dígtos están ordenados aleatoramente.

14 III.4. La prueba Ch-Cuadrada ( ) Esta prueba puede ser realzada de dos maneras: consderando a números pseudoaleatoros generados como dígtos o como números reales. III.4..1 Números pseudoaleatoros consderados como Dígtos La prueba consste en contar el número de dígtos que aparece entre ocurrencas sucesvas de un msmo dígto. Por ejemplo, 5845 lustra un hueco de tamaño 3 entre los dos cncos, y así para cada uno de los números pseudoaleatoros, encontrando desde 0,1,,3... hasta n tamaños de huecos. La probabldad de cada una de los tamaños de hueco( = 0,1,,3..) se obtene con la sguente expresón: P = 0.1(0.9) para =0,1,,3... sn embargo, como teórcamente el valor del tamaño del hueco puede ser nfnto, es convenente agrupar las probabldades para valores de mayores o guales para un valor determnado de n. Tal sumatora se obtene de acuerdo a la sguente expresón: n ( 16) m= 0 m+ n P 0.1(0.9) = (0.9) La frecuenca observada (FO) es el número de ocurrencas de los dferentes tamaños de huecos en la sere números pseudoaleatoros. Para obtener la frecuenca esperada usamos la sguente expresón: = ( 17) ( fo )(0.1)(0.9) ( fo )P Una vez calculados fo y fe, calculamos el estadístco X C, donde;

15 X c= (fo-fe) n ( 18) = 0 fe El cual se compara con X, n. S X C < X, n, entonces los números pseudoaleatoros pasan la prueba de la dstanca. Es mportante señalar que el valor selecconado de n, debe ser tal que la suma de las frecuencas esperadas de todos los tamaños de huecos agrupados, sea mayor que 5. Ejemplo: Se tene una sere de números pseudoaleatoros : para n=3 P f o f e (fo-fe) fe (0.9) (0.9) (0.9) Cuando f e <5 se agrupa la fla en sus datos con la fla nmedata superor, lo cual sucede con las flas 1, y 3, por lo que se agrupan las flas 1, y 3.

16 P f o f e (fo-fe) fe Total S X c < X 0.05,3, entonces los números generados pasan la prueba de dstanca. Como X c=4.658 > X 0.05,1 Los números no pasan la prueba de dstanca. Nota: X 0.05,3, valor obtendo de la tabla de J con valor de sgnfcanca de 0.05 y n = 3 (apéndce de tablas) III.4.. Números pseudoaleatoros consderados como números reales. S los números pseudoaleatoros generados son consderados como reales, entonces, para realzar esta prueba es necesaro selecconar un ntervalo (, ) el cual debe estar contendo en el ntervalo de (0,1), es decr 0 1. Enseguda para cada número pseudoaleatoro generado se pregunta s es o no elemento del ntervalo ( ). S U j (número unforme generado) es elemento de, U j+1 hasta U j+1 no son elementos de dcho ntervalo y U j++1, vuelve a ser elemento del ntervalo ( ), entonces se tene un hueco de tamaño. Ejemplo: Sean =.3 y =.5 téngase los Números Pseudoaleatoros generados , 0.57, , , Entonces los números que caen el ntervalo de.3 y.5 son y por lo tanto se tene un hueco de 3. La dstrbucón de probabldad del tamaño del hueco es: P = (1- ), para = 0, 1,... Donde = - representa la probabldad de caer en el ntervalo (, ) Se necesta agrupar las probabldades para valores de n. Y la formula para lograrlo es: P n = (1- )) m+n = (1- ) n Con estas formulas se obtenen las frecuencas esperadas presentadas en la tabla sguente. P Fo Fe X c (1- ) (1- )... (1- ) Fo 0 Fo 1 Fo fo 0 fo 1 (1- ) fo (1- )... fo (1- ) (fo -fe ) / fe (fo 1 -fe 1 ) / fe 1 (fo -fe ) / fe......

17 n (1- ) n fo fo n fo n (1- ) n (fo -fe ) / fe (fo -fe ) / fe TOTAL 1.0 fo fo n (fo-fe) fe = 0 Utlzando la ecuacón de: X c = (fo -fe ) fe Comparamos que el resultado obtendo con X a,n. Se toma la decsón de aceptar o rechazar la prueba de dstanca. Es muy mportante señalar que los valores de y no tenen nnguna nfluenca en la bondad de la prueba y es necesaro señalar que el valor de n debe ser selecconado, de tal manera que la suma de las frecuenca esperada de todos los tamaños de huecos agrupados sea mayor que 5. Ejemplo: Tomamos los números presentados en la sguente tabla

18 con un valor de n=3, los valores de =.3 y =.7 entonces las frecuencas observadas y esperadas para los dferentes tamaños de hueco seran como aparecen en la sguente tabla. P Fo Fe X c TOTAL S se especfca el valor arbtraro de = 0.05 entonces X 0.05,3 = 7.81 ;este valor sacado de la tabla de valores de X. Como X c=3.771 es menor que X 0.05,3= 7.81(apéndce de tablas), entonces los números pseudoaleatoros presentados en la pasan la prueba de dstanca. III.5 Prueba de Póquer La prueba POKER se utlza para analzar la frecuenca con la que se repten los dígtos en números aleatoros ndvduales. Para determnar s los números aleatoros generados cumplen con las propedades especfcadas ( unformdad e ndependenca ) se tendrán las hpótess sguentes : H 0 s X confabldad > Σ (O E ) / E ; se aprueba que los dígtos están ordenados al azar. H 1 s X confabldad < Σ (O E ) / E ; se rechaza que los dígtos están ordenados al azar. Se utlza para analzar la frecuenca con la que se repten los dígtos en números aleatoros ndvduales. Por ejemplo, s nos ocupamos de números aleatoros de cnco dígtos, nos nteresara la frecuenca con que ocurre lo que sgue en los números ndvduales: 1.- Los cnco son dferentes..- Hay exactamente un par. 3.- Dos pares dferentes. 4.- Tres dígtos guales. 5.- Tres dígtos guales y un par. 6.- Cuatro dígtos guales. 7.- Cnco dígtos guales. Por supuesto, el número de esas combnacones que se pueden dar depende del número

19 de dígtos que consttuyen cada uno de los números aleatoros. Para aplcar la prueba del póquer: a) Escogemos prmeramente un nvel de sgnfcanca, α, y enumeramos el grado de repetcón de los dígtos. b) A contnuacón, calculamos la probabldad de aparcón de cada una de esas combnacones. c) Luego, se examna la frecuenca con que se presenta cada combnacón en la secuenca de números estudados. d) Posterormente, se puede comparar la frecuenca observada con que aparece cada combnacón con la frecuenca esperada, medante la prueba de la j cuadrada. Para comprobar que los datos pertenecen a una dstrbucón Unforme, se debe de cumplr la condcón de que X Calculada < x /1,g.l.. Donde x /,g.l se obtene de la tabla de la dstrbucón J cuadrada, con un nvel de sgnfcanca y y los grados de lbertad g.l. = No. de parámetros de la dstrbucón de probabldad a probar menos l.(en nuestro caso estamos probando la unformdad y la dstrbucón unforme no tene parámetros ) Como ejemplo, supóngase que tenemos que aplcar la prueba de póquer a N números aleatoros de cnco dígtos. Calcularemos la probabldad de aparcón de cada una de esas combnacones, bajo la suposcón de que los dígtos se presentan de una manera completamente aleatora. Todos dferentes Un par Dos pares Terca Full Póker Quntlla 10x9x8x7x = x x x x = 10 10x9xxx = 10 10x9111 xxx = x9111 xxx == 10 10x9111 xxx = xxxx = 10 5 Formulas que ya están establecdas estadístcamente: Prob(5 dígtos dferentes) = Prob( dgto 1 ) por Prob(3er 1 y el ) por Prob(4 de lo 3 prmeros) por Prob(5 de los 4 prmeros )

20 Las probabldades para cada una de las manos de póquer se muestran a contnuacón: Prob(exactamente un par) = (0.9)(0.8)(0.1) = Prob(dos pares) = (0.1)²(0.9)(0.8) = Prob(tres dígtos guales) = (0.9)(0.8)(0.1)² =0.070 Prob(tres dígtos guales mas un par) =(0.9)(0.1)³ = Prob(cuatro dígtos guales) = (0.9)(0.1)³ = Pprob(cnco dígtos guales) =(0.1) 4 = Para obtener el número de veces que se puede esperar cada una de esas combnacones, se multplca cada probabldad por N. Por supuesto, el numero de esas combnacones que se pueden producr depende del numero de dígtos que consttuyen cada uno de los números aleatoros. Ejemplo: Tenemos que aplcar la prueba del póquer a n números aleatoros de cnco dígtos. Las combnacones posbles que ndcan el grado de repetcón de los dígtos en un numero aleatoro dado se deron antes. Calcularemos la probabldad de aparcón de cada una de esas combnacones, bajo la suposcón de que los dígtos se presentan de una manera completamente aleatora. Números aleatoros: S analzamos el prmer dígto contene una terca de 8 s, el segundo dígto contene dos pares uno de 7 s y uno de 9 s, y así sucesvamente se analzan todos los números aleatoros y se cuantfcan las dferentes opcones en el juego de póquer agrupándolas para obtener la frecuenca esperada f e de cada uno de ellos. Para obtener el número de veces que se puede esperar cada una de esas combnacones, se multplca cada probabldad por n. Resultados del análss del póquer:

21 Como Tpo de combnacón Frecuenca Observada f o Frecuenca Esperada f e ( fe fo) f Todos Dferentes Un Par Dos pares Terca Full Poker Quntlla =30 ( fe fo) X Calculada = = f e e la frecuenca esperada es menor de 5, se deben agrupar las flas con las nmedatas superores hasta que la suma se al menos 5. Así; Como Tpo de combnacón Frecuenca Observada f o Frecuenca Esperada f e ( fe fo) f Todos Dferentes e Un Par Dos pares =30 ( fe fo) X Calculada = = f e =0.05 y numero de ntervalos es gual a 3, la X Tabla =X 0.05,=5.99 (apéndce de tablas), y entonces como 3.63 < 5.99 se acepta la hpótess de que los números están ordenados al azar.

22 Combnacón frecuenca frecuenca (fo-fe ) fe observada esperada I fo fe Todos par pares dígtos guales Los resultados que se obtuveron en la tabla fue de la sguente forma: 4 dígtos dstntos =.504 * 100 = dígto par =.43 * 100 = 43 dígtos pares =.07 * 100 = 7 3 dígtos guales =.037 * 100 = 37 Por lo tanto para sacar el resultado de la ultma columna se hace medante la formula que se encuentra en la msma poscón de la columna. Puesto que x² 0.95(4) = <.898, que por lo tanto no podemos rechazar la aseveracón de que los dígtos al nteror de los números aleatoros están ordenados al azar. Por lo tanto s se aprueba la hpótess. Nota: este ejemplo fue creado con números aleatoros para cnco dígtos lo cual se puede realzar con números de cuatro dígtos, cnco dígtos, ses dígtos, sete dígtos, etc. Lo cual las formulas van a varar dependendo de su tamaño de la longtud.

23 III.6 Prueba de Corrdas Una prueba de Corrdas es un método que nos ayuda a evaluar el carácter de aleatoredad de una secuenca de números estadístcamente ndependentes y números unformemente dstrbudos. Es decr dado una sere de números determnar s son o no aleatoros. Exsten dos versones de la prueba de corrdas: Prueba de corrdas arrba y abajo (ascendente y descendente). Prueba de corrdas arrba y abajo de la meda (promedo). III.6.1Prueba de corrdas Arrba y Abajo para números estadístcamente ndependentes S tenemos una secuenca de números de tal manera que a cada uno de los números sga otro mayor la secuenca dada será ascendente (arrba). S cada número va segudo por otro menor, la secuenca será descendente (abajo). Pasos para evaluar una prueba de corrdas: 1. Prmeramente le asgnaremos un sgno a cada número de la secuenca ya sea + ó -, eso dependerá de los sguente.. S a un número le sgue otro mayor, se le asgna +. Esto es s X < X +1 el sgno asgnado será (+). Sendo X un número de la muestra o secuenca de números. 3. S el número sguente es menor, se le da un sgno -. Esto es s X > X +1 el sgno asgnado será (-). 4. Se contnuará con la comparacón de los números y la asgnacón de su sgno correspondente hasta N-1. Es decr hasta el penúltmo numero de la secuenca, ya que al últmo número le sgue un evento nulo(no es posble compararlo con otro número). Para comprender mejor el método ejemplfcaremos con la sguente secuenca de números: 59,1,19,05,59,58,83,18,36,00,61,47,4,41,4,98,3,67,84,43,9,71,88,74,60,10,46,3,15,11,78,3 1,11,91,99,57,8,18,3,1,1,95,38,76,07,96,33,63,10,05 De acuerdo al método (prueba de corrdas arrba y abajo) se evaluará 59<1, como no lo es se le asgnará un sgno -. Seguremos comparando 1<19, ya que s lo es se le asgna un sgno +. Se contnúa con la evaluacón quedando de la sguente manera:

24 Una vez encontrado los sgnos de cada número de la secuenca dada se procede a calcular el total de corrdas que resulta de la suma de suma de corrda ascendente con la descendente. Una corrda se defne como una sucesón de eventos smlares, preceddos y segudos por un evento dferente. En este ejemplo tendíamos un total de corrdas de 33. Sea a = 33 el número total de corrdas en una secuenca. La meda µ a y la varanza a de a están dadas por: µ a N 1 (50) 1 = = = N 9 16(50) 9 = 8.57 σ a = = Para N>0, es posble aproxmarse razonablemente a la dstrbucón de a medante una dstrbucón normal con la meda y la varanza que se dan en las anterores ecuacones. Por lo común, esa aproxmacón sería apropada para comprobar la aleatoredad de los números generados por un generador de números aleatoros, puesto que se pueden producr varos centenares de números antes de aplcar una prueba. Podemos rechazar una hpótess de que una secuenca de números es aleatora, porque hay un número excesvo o demasado bajo de corrdas. Por ende se requere una prueba de colas para determnar s se ha presentado alguno de esos extremos. Como estadístca de la prueba utlzaremos: ( 19)

25 Z 1 µ a a = σ a H 0 : Hpótess Nula Crtero de Aceptacón Z Z 1 - α /. La secuenca de números es ndependente y por lo tanto la secuenca es aleatora H 1 : Hpótess Alternatva Crtero de rechazo Z > Z 1- /. La secuenca de números No es Independente y por lo tanto la secuenca No es aleatora. Susttuyendo la meda µ a y la varanza a, tenemos que: Z = a [(N 1) / 3] (16N 9) / 90 Z a µ a = = = N S se defne el nvel de sgnfcanca por medo de = 0.05, entonces, Z 1- / será gual a / = 0.975, buscando este valor en las tablas de Z encontramos que tene un valor de 1.96 entonces, s el valor absoluto de Z calculada es mayor o gual a la Z de las tablas se rechazará la hpótess de la ndependenca de los números (propedad de los números pseudoaleatoros). Esto es: Z calculada =0.00 < Z =1.96 Estaremos rechazando la hpótess de que los números dados no son estadístcamente ndependentes. Debdo a la falsedad de la comparacón llegamos a la aceptacón de la hpótess alternatva. Nota. Una secuenca de números puede ser no aleatora s se tenen demasadas o muy pocas corrdas. S tenemos una secuenca de N números, el número máxmo de corrdas posbles es N-1. El número mínmo posble es sempre uno.

26 III.6. Prueba de corrdas arrba y abajo de la meda para números unformemente dstrbudos El anteror método no es completamente adecuado para evaluar la aleatoredad de una secuenca de números veamos porque: Se tene la sguente secuenca de 50 59,1,19,05,59,58,83,18,36,00,61,47,4,41,4,98,3,67,84,43,9,71,88,74,60,10,46,3,15,11,78,3 1,11,91,99,57,8,18,3,1,1,95,38,76,07,96,33,63,10,05 S tuvéramos que aplcar el anteror método, obtendríamos la sguente secuenca de sgnos más y menos: Esta secuenca es déntca a la que aparece en el ejemplo pasado. Por lo tanto, el análss precedente sugerrá que esos números son verdaderamente aleatoros. Sn embargo esa aseveracón es claramente dscutble, puesto que los prmeros 5 números caen por encma de la meda (µ = 49.5), mentras que los 5 restantes caen bajo la meda. El carácter no aleatoro de esta secuenca se sugere por el hecho de que tenemos una corrda de números por encma de la meda, seguda por una corrda por debajo de la meda. Es por ello que necestamos de otro método que nos lleva a la verdadera respuesta. Utlzando entonces el método llamado prueba de corrdas por arrba y abajo de la meda. El cual consste en lo sguente: Denotaremos con un sgno - a aquel número que se encuentre por debajo de la meda. Denotaremos con un sgno + a aquel número que se encuentre por arrba de la meda. Ejemplo: En la secuenca de números 9, 4, 5,6,1,0,6,6,4,9,,8,4,0,3,7,5,5,5,7,1,8,9,1,0 cuya meda es de 4.6, tenemos una asgnacón de sgnos más y menos como sgue: En este caso tenemos una corrda de 1 sobre la meda, 1 bajo la meda, dos sobre la meda, etc. Ahora ben tenemos 7 corrdas por encma de la meda y 7 por debajo de ella.

27 Sean n 1 y n el número de observacones ndvduales por encma y por debajo de la meda, respectvamente y sea b como el número total de corrdas. Note que el número máxmo de corrdas es N=n 1 +n, y el número mínmo de corrdas es 1. Dados n 1 y n, la meda de b - con una correccón de contnudad sugerda por Swed and Esenhart [1943]- y la varanza de b para una µ = nn 1 b 1 (0) n1+ n + secuenca verdaderamente Independente están dadas por: σ nn ( n n N) = N ( N 1) 1 1 b (1) b µ b Z = () σ b para n 1 =0 n mayor que 0, b se aproxma a una dstrbucón normal y, para este caso, la estadístca de la prueba puede ser realzada restando a la meda el número de corrdas y dvdéndola por la desvacón estándar, o; Puesto que nos nteresa la presenca de un número demasado grande o demasado pequeño de corrdas, convene nuevamente aplcar una prueba de dos colas. S se especfca el nvel de sgnfcanca por medo de, rechazaremos la hpótess de aleatoredad, sí; α Z Z1 α / α / z α / z α / Falla a rechazar

28 Ejemplo: Determne s la secuenca sguente de 40 números es tal que la hpótess de ndependenca pueda ser rechazada donde = , 68, 89, 94, 74, 91, 55, 6, 36, 7, 19, 7, 75, 9, 54,, 1, 36, 16, 8, 18, 1, 95, 69, 18, 47, 3, 3, 8, 53, 31, 4, 73, 4, 83, 45, 13, 57, 63, 9 La secuenca de corrdas arrba y debajo de la meda es la sguente; Exsten 17 corrdas en la secuenca, con N=40 y b=17, n1=18 y n= Se determnan µ b y b usando las ecuacones (0) y (1) respectvamente (18)() µ b = + 1 = σ b (18)()[(18)() 40] = = 9.54 (40) (40 1) Debdo a que n es mayor que 0, la dstrbucón Normal es aceptable, resultando en Z un valor de; Z = =

29 Ya que Z 0.05 = 1.96, la hpótess de ndependenca no puede ser rechazada sobre la base de esta prueba. (Z Calculada = -1.3 < Z 0.05 = 1.96 ). Exste otra prueba estadístca para determnar s los números dados se encuentran unformemente dstrbudos (propedad de los números pseudoaleatoros). Este estadístco es el conocdo con el nombre de j cuadrada (X ), utlzado ya, para las anterores pruebas (pruebas de frecuenca, dstanca, huecos, etc.). Para ello ya no necestaremos el número de corrda sno, la longtud de corrda. Por ejemplo supóngase que dentro de una secuenca de 1000 números, se observaran 50 corrdas por encma de la meda y 50 por debajo de la meda. Además, supóngase que cada corrda sea de longtud dos. Para esta stuacón, el número esperado de corrdas por encma y por debajo de la meda es 501 (utlzando la formula de la meda vsta anterormente). Así pues, al observar 500 corrdas en la secuenca, nos veríamos oblgados a aceptar la hpótess de la aleatoredad. Sn embargo, podríamos esperar encontrar corrdas de longtud dferente de dos, dentro de esa sere larga de números. Sea R el número de corrdas de longtud en una secuenca de N números. Para el valor esperado de R tenemos: ( n ) ( n ) E R N N N 1 ( ) = (3) 3 ER ( ) = N ( ) ( + 3 4), N 1 (4) ( + 3)! para corrdas por encma y por debajo de la meda y una gran N. Utlzando la prueba cuadrada menconada anterormente podemos comparar el número observado de corrdas de una longtud dada con el número esperado. Es decr s O, es el número E( R ) =, = N 1 (5) N! observado de corrdas de longtud, tenemos como estadístca de prueba:

30 X L = = 1 [ O ER ( )] ER ( ) (6) En donde L =N para corrdas por encma y por debajo de la meda y L = N -1 para corrdas ascendentes y descendentes. Ejemplo: Dada la secuenca de números que sgue, Se puede rechazar la hpótess de que los números son aleatoros, sobre la base de la dstrbucón de las longtudes de corrdas por encma y por debajo de la meda? Sea α = , 0.04, 0.1, 0., 0.64, 0.55, 0.43, 0.9, 0.65, 0.4, 0.69, 0.86, 0.48, 0.78, 0.47, 0.0, 0.80, 0.04, 0.67, 0.8, 0.17, 0.99, 0.0, 0.55, 0.59, 0.66, 0.01, 0.9, 0.47, 0.06, 0.31, 0.7, 0.17, 0.48, 0.74, 0.05, 0.9, 0.15, 0.80, 0., 0.86, 0.96, 0.35, 0.9, 0.36, 0.3, 0.51, 0.74, 0.33, 0.78, 0.99, 0.77, 0.57, 0.35, 0.81, 0.53, 0.78, 0.61, 0.5, 0.95, 0.6, 0.1, 0.99, 0.01, 0.95, 0.30, 0.88, 0.80, 0.37, 0.00, 0.01, 0.8, 0.1, 0.34, 0.86, 0.67, 0.67, 0.3, 0.78, 0.76 Para esta secuenca de números tenemos: Puesto que estamos nteresados en la longtud de los corrdas por encma y por debajo de la meda, utlzando la ecuacón de el valor esperado (E(R )), para determnar el numero esperado de corrdas de longtud. Por ejemplo E(R ) está dada por: E( R ) = (40) (80) (80) (40) (80) = 0

31 En donde n1 = 40, n =40. Los cálculos restantes se resumen en la tabla sguente: Longtu d de corrda Corrdas Observadas (O ) Corrdas esperadas E(R ) [ O - E(R) ] E(R) Total El valor X expermental está dado por: = 0.95 y X 0.95 (3) = 7.81 (apéndce de tablas) Puesto que X < X 0.95 (3), no podemos rechazar la hpótess de que los números dados no son aleatoros, sobre la base de esta prueba. Defncones Corrda.- Es la sucesón de eventos smlares, preceddos y segudos por un evento dferente. Longtud de Corrda.- Es el número de eventos que ocurren en la corrda. Es decr la longtud de la corrda se determna con el número de sgnos guales que contenen la secuenca de números. III.7 Prueba de Seres La prueba de seres se utlza para comprobar el grado de aleatoredad entre números sucesvos. Usualmente esta prueba consste en formar parejas de números, las cuales son consderadas como coordenadas en un cuadro untaro dvddo en n celdas. El valor de n se toma a crtero de cada uno, de acuerdo al tamaño de la muestra de N números. La prueba consste en generar N

32 números pseudoaleatoros de los cuales se forman parejas aleatoras entre U y U +1, es decr, s se generan 10 números, entonces las parejas aleatoras que se pueden formar seran: (U 1,U ), (U,U 3 ), (U 3,U 4 ), (U 4,U 5 ), (U 5,U 6 ), (U 6,U 7 ), (U 7,U 8 ), (U 8,U 9 ), (U 9,U 10 ) Enseguda, se determna la celda a que pertenece cada pareja ordenada, con lo cual se determna la frecuenca observada de cada celda. U+1 1 (n-1)/n n/3 n/ n/1 1/n /n 3/n...(n-1)/n 1 U

33 Para determnar la frecuenca observada por ejemplo de la pareja de números (0.1708, ), ( , ), (0.1884, ), ( , ), ( , ) para n= se obtendría la sguente tabla de x y se le asgnarían los ntervalos para posterormente determnar donde cae cada pareja de números. Ejemplo: La frecuenca esperada de cada celda se obtene al dvdr el total de parejas coordenadas (n-1) por el total de celdas (n ). (n-1)/n Fnalmente, conocda la frecuenca observada y esperada de cada celda, se obtene el estadístco Xo como n n n N 1 sgue: X 0 = ( foj ) (7) N 1 n = 1 j= 1 S X o < X calculada, n -1, entonces no se puede rechazar la hpótess de que los números provenen de una dstrbucón unforme. Por ejemplo, s se aplca esta prueba a los números pseudoaleatoros dado a contnuacón, y utlzamos un valor de n=5, determnar las frecuencas observadas de los números de la tabla dada anterormente en el punto 3... Prmero se agrupan todos los números ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),... hasta N-1 Posterormente se asgna en la tabla las frecuencas observadas

34 Después calcular Xo 5 X 0 = 5( 3.99) + 5(3 3.96) + 5(4 3.96) + 6(5 3.96) + 4(6 3.96) 99 X 0 = y por ultmo comparar que Xo < X calculada, n -1 para determnar que los números pseudoaleatoros presentados pasan la prueba de unformdad. α=0.05 Buscando en la tabla de X calculada, 0.05,4 (apéndce de tablas), obtenemos el valor de 36.4 y comparamos < 34.4 Como Xo < X calculada, 0.05,4. Conclumos entonces los números pseudoaleatoros presentados pasan la prueba de unformdad.

35 Apéndce de Tablas Tabla de Kolmogorov Smrnov Tamaño nvel de sgnfcanca (α ) Tamaño nvel de sgnfcanca (α ) muestral muestral ( N ) ( N ) mas de Swed and Esenhart [1943].

36 Tabla Ch Cuadrada ( ) Tabla de probabldades Ch - Cuadrada Grados de Nvel de Sngnfcanca Lbertad

37 Referencas Bblográfcas Azarang, M. R. y García Dunna, E., (1996), Smulacón y Análss de Modelos Estocástcos McGrawHll/Interamercana de Méxco, S.A. de C.V., Méxco. Banks, J. y Carson, J.S., (1984), Dscrete event system smulaton, Prentce-Hall, Englewood Clffs, N.J.. Bratley, P., Fox, B.L., Schrage, L.E. (1983) A Gude to Smulaton. Sprnger Verlag Concebís B., Dscrete Systems Smulaton, Mc. Graw Hll Coss Bu Raúl, (00), Smulacón Un enfoque práctco, Lmusa Hller, F.S. y Leberman, G.J., (003), Introduccón a la Investgacón de Operacones, 5ª. Edcón,, McGrawHll/Interamercana de Méxco, S.A. de C.V., Méxco. Naylor, Balntfy y Burdck, Técncas de Smulacón de computadoras, Lmusa

38 Ross, S., (1997), Smulaton, a Edcón, Academc Press, USA Shdmt y Taylor, Análss y Smulacón de Sstemas Industrales, Trllas Taha, H.A., (1991), Investgacón de Operacones, ª Edcón, Alfaomega S.A., Méxco. Wnston, Investgacón de Operacones, Gpo. Edtoral Iberoamérca

39

Pruebas Estadísticas de Números Pseudoaleatorios

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