TEMA 7: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Transcripción

1 7.. Itroducció Espacio Muestral ocepto de σ-álgebra Defiició clásica de probabilidad Defiició frecuetista de probabilidad Defiició axiomática de probabilidad Teoremas elemetales o cosecuecias de los axiomas Probabilidad odicioada Teorema 8.- (Regla de la multiplicació)... 0 Teorema 9.- (Teorema de la probabilidad total) Teorema de Bayes Idepedecia de sucesos Itroducció. Relatos atiguos sugiere que la teoría de la probabilidad se remota a formas primitivas de juegos de evite y azar. Gerolamo arda (50-576) afirmó que hace casi 2000 años los soldados romaos ivetaro muchos de uestros juegos de azar actuales sólo como pasatiempo durate sus campañas para coquistar a la mayor parte del mudo civilizado. Otros autores afirma que la teoría de la probabilidad tiee su orige e el siglo XVI e Fracia por los juegos de azar y se debe a la curiosidad de los jugadores que acosaba co pregutas a sus amigos del mudo de las matemáticas (correspodecia etre Pascal y Fermat). E el siglo XVII Jacob Berouilli, miembro de ua familia suiza de matemáticos, estableció muchas de las leyes básicas de la probabilidad modera. Thomas Bayes (702-76) y Joseph Lagrage tambié se cueta etre los pioeros de la teoría de la probabilidad. La defiició clásica se debe a Laplace que e su moumetal libro Theorie aálitique des probabilités ( 82), establece la defiició de probabilidad de u suceso que puede ocurrir sólo u úmero fiito de veces, como la proporció del úmero de casos favorables etre el úmero total de casos posibles. Destacar por otra parte que la axiomática del álculo de Probabilidades se debe a Kolmogorov (933). E la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa u puesto destacado e muchos asutos de egocios. Los seguros y las prácticas actuariales tiee ua base firme e los pricipios de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las primas de los seguros de vida depede de las tablas de mortalidad, que a su vez se basa e la probabilidad de muerte a ua edad cocreta. La probabilidad tambié se aplica a la estimació del úmero de uidades defectuosas e los procesos de fabricació, a la verosimilitud de recibir pagos e las cuetas a cobrar y a las vetas poteciales de u uevo producto. hora bie, la teoría de la probabilidad es ua parte de las matemáticas, aáloga al álgebra o la geometría y su costrucció será por tato semejate. Para la costrucció de ua teoría matemática se parte de u cojuto de aseveracioes, que se desiga co el ombre de axiomas, y mediate la lógica se deduce ua sucesió de afirmacioes que se desiga co el ombre de teoremas. La forma e que se elige los axiomas o es aleatoria i categórica, lo que se iteta co estos postulados es Idealizar la Realidad. Los feómeos que se puede estudiar y que está asociados co la realizació de cualquier experimeto (acció bie defiida que produce u resultado úico y bie defiido) puede ser de ua tipología muy variada, pero ua secilla clasificació de los mismos, que además, va a ser de gra iterés para la Estadística es aquella que distigue etre feómeos determiísticos y aleatorios. -2

2 Los feómeos determiísticos, está caracterizados por obteer los mismos resultados cuado se realiza el experimeto e idéticas codicioes. Estos o va a ser objeto de iterés puesto que se cooce el resultado fial ates de realizarlo (se correspode por ejemplo co el estudio de las leyes físicas clásicas: velocidad, rozamieto, etc.). Por otra parte está los feómeos aleatorios caracterizados por o obteer los mismos resultados auque se realice el experimeto e idéticas codicioes (lotería primitiva ). ocretamete, la defiició de feómeo o experimeto aleatorio es la siguiete: Defiició.- U experimeto aleatorio es aquél que verifica las siguietes codicioes: a) Todos los resultados posibles so coocidos de atemao. b) ualquier realizació del experimeto da lugar a u resultado que o es coocido de atemao. c) El experimeto puede repetirse bajo idéticas codicioes. Ejemplos clásicos de feómeos aleatorios so los juegos de azar: lazamieto de u dado, lazamieto de ua moeda, obteer u póker e ua baraja, obteer u pleo e ua quiiela, etc. E realidad es prácticamete imposible pesar acerca de u feómeo que o pueda calificarse de aleatorio, pues pocos puede aticiparse si igú error. Otros ejemplos podría ser: º de días de lluvia e ua provicia a lo largo de u año, º de turistas durate u mes e u país, el valor de ua acció e ua jorada bursátil, etc. E Ecoomía cualquier feómeo empírico lo es: La reta per cápita de u país, la tasa de iflació del año e curso, la característica de ua persoa activa e el mercado laboral de estar trabajado o e paro, todos ellos so feómeos ecoómicos de aturaleza aleatoria. 7.2 Espacio Muestral. sociado a todo experimeto aleatorio existe u cojuto co los posibles resultados que se obtiee de realizar dicho experimeto. cada uo de los posibles resultados del experimeto aleatorio se le llama resultado básico o elemetal, comportamieto idividual o puto muestral. l cojuto de todos los posibles resultados elemetales se le llama cojuto uiversal, espacio muestral o espacio de los comportamietos y se le desiga por Ω. Por ejemplo, si el experimeto aleatorio cosiste e lazar u dado, los resultados elemetales será que aparezca u, 2, 3, 4, 5 ó 6, y el espacio muestral será el cojuto formado por los seis posibles resultados, esto es: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6 } Los espacios muestrales asociados a u experimeto aleatorio puede ser de tres clases: - Espacio muestral fiito. - Espacio muestral ifiito umerable. - Espacio muestral cotiuo. U espacio muestral se dice que es fiito, cuado tiee u úmero fiito de elemetos. Por ejemplo el espacio muestral asociado co el lazamieto de u dado. U espacio muestral se dice que es ifiito umerable si se puede establecer ua aplicació biyectiva etre los elemetos del espacio muestral y la sucesió de 2-2

3 úmeros aturales. Por ejemplo el experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado hasta que se obtega u. Tambié se le suele llamar espacio muestral discreto idistitamete a los casos fiito e ifiito umerable. Si el espacio muestral tiee u úmero ifiito o umerable de elemetos, diremos que es de tipo cotiuo. Es decir, si o se puede establecer ua correspodecia biuívoca etre los elemetos del espacio muestral y la sucesió de úmeros aturales. cada uo de los posibles subcojutos del espacio muestral de u experimeto aleatorio se le deomia suceso.( Ω ). sí, al lazar u dado, sería sucesos: {sacar par}=(2, 4, 6), {sacar impar}=(, 3, 5), {sacar u tres}=(3), {sacar u úmero mayor o igual que cuatro}=(4, 5, 6),. Se dice que el suceso ocurre, si el resultado del experimeto está e el suceso. los subcojutos formados por u solo puto muestral, se les deomia sucesos elemetales.(evidetemete so subcojutos del espacio muestral Ω ). l resto se les deomia sucesos compuestos. Por tato sacar par, sacar impar, y sacar mayor o igual que cuatro será sucesos compuestos (se puede descompoer e sucesos elemetales), y sacar tres será u suceso elemetal (o es posible descompoerlo e otros sucesos más secillos). De etre todos los sucesos, existe dos especialmete sigulares: el suceso imposible (aquel que uca ocurre) y que es, y el suceso seguro (aquel que ocurre siempre) y que o es otro que Ω. Operacioes etre sucesos: ) omplemetario de u suceso: Sea u suceso de u espacio muestral Ω. Llamaremos suceso complemetario de y lo otaremos = al formado por los putos muestrales que o perteece a, es decir: ={ω Ω / ω Ω } Obviamete, si ocurre o ocurre, y viceversa. l suceso complemetario se le deomia tambié suceso cotrario. Por ejemplo al lazar u dado, el suceso complemetario de obteer úmero par es obteer úmero impar. 2) Uió de sucesos: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Se defie la uió de y B como el suceso formado por todos los putos muestrales que perteece al meos a uo de los dos sucesos, es decir: U B ={ω Ω / ω u ω B } 3-2

4 Si ocurre U B, ocurre, B, ó ambos. Propiedades; comutativa y asociativa. Ω B Ejemplo: la uió de los sucesos sacar úmero par =(2, 4, 6) y sacar úmero primo B=(, 2, 3, 5) es (,2,3,4,5,6)= Ω. 3) Itersecció de sucesos: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Se defie la itersecció de y B como el suceso formado por todos los putos muestrales que perteece a ambos, es decir: B ={ω Ω / ω y ω B } Si ocurre B, ocurre y B. Este suceso se deomia tambié producto de y B. Propiedades: comutativa y asociativa. demás la uió y la itersecció verifica la propiedad distributiva ua respecto de la otra. Ejemplo: La itersecció de los sucesos sacar úmero par =(2, 4, 6) y sacar úmero primo B=(, 2, 3, 5) es el suceso obteer par y primo =(2). Las leyes de Morga relacioa las tres operacioes ateriores: * * ( B) = ( B) = B B 4) Diferecia de sucesos: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Se defie la diferecia de y B como el suceso formado por todos los putos muestrales que perteece a y o perteece a B, es decir: - B ={ω Ω / ω y ω B }= B Si ocurre B, etoces ocurre pero o ocurre B. Es evidete que: B B Relacioes etre sucesos: ) Iclusió de sucesos: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Diremos que el suceso está icluido e el suceso B, si todos los putos muestrales de perteece a B, es decir: ω ω B Esta relació la otaremos B. Siempre que ocurre ocurre B. B 4-2

5 Ejemplo: El suceso sacar úmero impar al lazar u dado ={,3,5} está icluido e el suceso sacar úmero primo B={,2,3,5}. 2) Igualdad de sucesos: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Diremos que el suceso es igual al suceso B, si todos los putos muestrales de cada uo de ellos está e el otro, es decir: ω ω B Esta relació la otaremos = B. y B ocurre ó o ocurre simultáeamete. Es fácil comprobar que: = B B y B Ejemplo: El suceso sacar úmero primo y par al lazar u dado es igual al suceso sacar u dos. 3) Sucesos icompatibles, disjutos ó mutuamete excluyetes: Sea y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Diremos que el suceso es icompatible co el suceso B, si igú puto muestral es comú a ambos, es decir: B = La ocurrecia de impide B y viceversa. Se dice tambié que y B so sucesos disjutos ó mutuamete excluyetes. B 7.3 ocepto de σ-álgebra. El cojuto de todos los sucesos es, por tato el cojuto de partes del espacio muestral Ω, ρ( Ω ). E muchas ocasioes, o os iteresará todos los sucesos de u experimeto (todos los subcojutos del espacio muestral Ω ), sio úicamete ua parte de ellos. Por ejemplo, si dos jugadores de dados está apostado a par ó impar, evidetemete e esta situació, o iteresará sucesos como obteer u 3, {3}, sio solamete los sucesos obteer par y obteer impar. Este es el motivo de itroducir u uevo cocepto: el de σ-álgebra. Llamaremos σ-álgebra a u subcojuto α de partes de Ω, o vacío que verifique: a) El complemetario de u suceso de α tambié perteece a α. α α b) La uió de ua colecció fiita umerable de sucesos de α tambié perteece a α, es decir: { i },2,, co i α U i α La justificació de por qué exigimos estas propiedades y o otras radica e que si os iteresa la ocurrecia de u suceso, tambié os iteresará la o ocurrecia (el complemetario), y e que si os iteresa dos sucesos, tambié os iteresará su uió. Pues bie, defiida la σ-álgebra 5-2

6 Defiició.- l par ( Ω, S) dode Ω es el espacio muestral y S es ua σ - álgebra sobre Ω se le llama espacio o cojuto medible, e el cual será posible establecer ua medida o probabilidad como luego veremos. Ua σ -álgebra es ua clase o vacía de subcojutos de Ω que es cerrada para la uió umerable y el complemetario. los elemetos de Ω se les llama putos muestrales, sucesos elemetales o sucesos simples, y a cualquier elemeto S se le llama suceso, dode es claramete ua colecció de putos muestrales. l suceso que costa de todos los sucesos elemetales del espacio muestral, es decir al que coicide co el espacio muestral se le llama suceso seguro, y se le ota tambié por Ω. l suceso que o tiee igú elemeto del espacio muestral y por tato o ocurrirá uca se le deomia suceso imposible y se ota por. Ejemplo: Lazamieto de ua moeda al aire. Ejemplo: Lazamieto de dos moedas. osiderar por ejemplo el suceso salir al meos ua cara Defiició clásica de probabilidad. osideremos u experimeto aleatorio, cuyo correspodiete espacio muestral Ω está formado por u úmero fiito de posibles resultados distitos y co la misma posibilidad de ocurrir {w, w 2,...,w }. Si el experimeto se repite veces, etoces resultados costituye el subcojuto o suceso, 2 resultados costituye el suceso 2, y así sucesivamete hasta k, de tal maera que: k = y las probabilidades de los sucesos, 2,..., k será: P( ) = ; P( 2 ) = 2 ;...; P( k ) = k Es decir, la probabilidad de cualquier suceso es igual al cociete etre el úmero de resultados favorables o resultados que itegra el suceso y el úmero total de elemetos o posibles resultados del espacio muestral. Luego ua expresió para calcular la probabilidad de u suceso cuado todos los posibles resultados tiee la misma probabilidad de ocurrir será: umero de casos favorables de P() = umero de casos posibles de Ω que se cooce co el ombre de regla de Laplace para espacios muestrales fiitos. Tambié se le suele llamar probabilidad a priori, pues para calcularla es ecesario coocer ates de realizar el experimeto aleatorio, el correspodiete espacio muestral y el úmero de resultados o sucesos elemetales que etra a formar parte del suceso cuya probabilidad pretedemos determiar; pudiedo calcular la probabilidad de cualquier suceso ates de realizar el experimeto aleatorio. La aplicació de la defiició clásica de probabilidad puede presetar dificultades e alguos casos. ocretamete, cuado el espacio muestral es ifiito, o bie cuado los posibles resultados de u experimeto o so igualmete probables. Para resolver, etre otros, estos problemas se hace ua extesió de la defiició de probabilidad, de maera que se pueda aplicar co meos restriccioes, llegado a la defiició frecuetista de la probabilidad Defiició frecuetista de probabilidad. 6-2

7 El cocepto frecuetista de probabilidad lo estableció formalmete Vo Mises (99), auque el fudameto fue ya percibido a mediados del siglo XIX. Esta teoría se basa e dos pilares: e la experiecia de estabilidad de las frecuecias o regularidad estadística y e la aceptació de la objetividad de la probabilidad. Segú el primero, e u experimeto aleatorio " a pesar del comportamieto irregular de los resultados idividuales, los resultados promedios, e largas sucesioes de experimetos aleatorios, muestra ua sorpredete regularidad" (ramer). E virtud de la objetividad de la probabilidad, ésta es ua propiedad física de los objetos como la desidad, la coductibilidad eléctrica, etc. y, por tato, determiable, medible. osiste e defiir la probabilidad como el límite cuado tiede a ifiito de la proporció o frecuecia relativa del suceso. E geeral, si realizamos u experimeto aleatorio cuyo correspodiete espacio muestral es Ω y desigamos por cualquier suceso perteeciete al espacio muestral y repetimos e las mismas codicioes, veces el experimeto aleatorio, tedremos que la frecuecia relativa del suceso será: ( ) Dode () es el úmero de veces que ha aparecido el suceso e las repeticioes del experimeto. uado el úmero de repeticioes del experimeto se hace muy grade, o sea, cuado tiede a ifiito, la frecuecia relativa coverge hacia u valor que se deomia probabilidad del suceso, o sea: () P() = lim Pero como es imposible llegar a este límite ya que o podemos realizar el experimeto u úmero ifiito de veces, lo que sí podemos hacer es repetir el experimeto muchas veces y observaríamos que las frecuecias relativas tiede a estabilizarse. Tiee la limitació de o poder utilizarse e feómeos o experimetales. esta defiició frecuetista de la probabilidad se le llama tambié probabilidad a posteriori, ya que sólo podemos dar la probabilidad de u suceso después de repetir y observar, u úmero grade de veces, el experimeto aleatorio correspodiete. lguos autores tambié las llama probabilidades teóricas. Para tratar de evitar las limitacioes que hemos mecioado e los coceptos de probabilidad clásica y frecuetista, u matemático ruso, drei Kolmogorov, desarrolló ua teoría axiomática de la probabilidad, que presetamos e el siguiete apartado Defiició axiomática de probabilidad. La defiició axiomática de probabilidad es quizás la más simple de todas las defiicioes y ciertamete la meos cotrovertida ya que, esecialmete, es ua defiició basada e u cojuto de axiomas que establece los requisitos míimos para dar ua defiició de probabilidad. La vetaja fudametal de la defiició axiomática de la probabilidad es que os permite llegar a u desarrollo riguroso y matemático de la probabilidad. Esta aproximació axiomática de la probabilidad fue itroducida iicialmete, por el matemático ruso.n. Kolmogorov y posteriormete por estadísticos y matemáticos e geeral. 7-2

8 Dado el espacio medible ( Ω, S ), diremos que ua fució P: S R, es ua probabilidad si satisface los siguietes axiomas de Kolomogorov: i) P() 0 S ii) P( Ω ) = iii) Dada ua sucesió umerable de sucesos icompatibles, se verifica que la probabilidad de la uió es la suma de las probabilidades, esto es: { i } S i i j P P i i = i j = i i ; = U ( ) La tera ( Ω, S, P) recibe el ombre de espacio probabilístico Teoremas elemetales o cosecuecias de los axiomas. Los siguietes resultados se deduce directamete de los axiomas de probabilidad de Kolmogorov. Teorema.- La probabilidad del suceso imposible es ula, esto es: P( ) = 0. Demostració: osideramos ua sucesió umerable de sucesos, todos ellos iguales al suceso imposible, es decir: { } i S i i i = i = Se verifica etoces las codicioes del axioma iii), ya que además estos sucesos so icompatibles co lo que: P U i = P( i ) hora bie: P i = P = P = P i = P llegamos pues a la igualdad: U U ( ) ( ) ( ) P( ) = P( ) hora bie por el axioma i) la úica solució a esta igualdad es que P( ) = 0, que es lo que queríamos demostrar. Si para cualquier suceso resulta que P() = 0, diremos que es u suceso ulo, pero esto o implica que =. Teorema 2.- La probabilidad de la uió de dos sucesos disjutos es la suma de sus probabilidades. Esto es: Si, B S y B = P( B) = P() + P(B) Demostració osideramos la siguiete colecció umerable de sucesos: = ; 2 = B; i = i > 2. Esta colecció verifica los requisitos exigidos e el axioma iii), co lo que podemos asegurar que: P U i = P( i ) E este caso, la igualdad se covertiría teiedo e cueta el resultado obteido e el Teorema e: P ( ) = P ( ) + P ( ) 2 2 orolario Sea i,,2,..., ; i S i; y = i j, etoces : i j 8-2

9 P U i = P( i ) La demostració es automática tras aplicar sucesivas veces el resultado del teorema 2. Teorema 3.- Sea, B S, B P( ) P( B). Demostració: omo B podemos escribir: B = (B-). Etoces como y B- so elemetos de la sigma-álgebra disjutos, podemos aplicar el Teorema 2, obteiedo que: P(B) = P() + P(B-) Por otra parte, por el xioma i) todos los elemetos de la igualdad aterior so positivos o ulos, e particular P(B-) 0, luego: Teorema 4.- Sea, B S, etoces ) P() P(B) P( B = P()+P(B) - P ( B) Demostració: Por teoría de cojutos, sabemos que se puede escribir las siguietes igualdades: B= ( B) (B ) ( B) dode cada uo de los sucesos ecerrados etre parétesis so disjutos. álogamete. = ( B) ( B) B= ( B ) ( B) Podemos aplicar e estas igualdades por tato el Teorema 2 y su orolario, obteiedo: P ( B) = P( B) + PB ( ) + P ( B) () P ( ) = P( B) + P ( B) PB ( ) = PB ( ) + P ( B) Sustituyedo estas dos últimas igualdades e () se obtiee la igualdad deseada. P U Teorema 5.- Sea, 2,,..., S. Etoces: i = P( i ) P( k k 2 ) + P( k k k< k 2 k< k 2< k 3 La demostració se realiza por iducció sobre. 2 k 3 ) ( ) + P I i Teorema 6.- Sea S. Etoces P() = - P( _ ). Demostració: y _ so disjutos y tal que = Ω, luego aplicado el Teorema 2: P( ) = P( ) + P( ) = P( Ω ) = (por el axioma ii)=. Despejado P() se obtiee la igualdad deseada. _ 9-2

10 La axiomática propuesta por Kolmogorov es muy iteresate, pues permite caracterizar, mediate sólo tres propiedades, a cualquier medida de probabilidad. Si embargo, este efoque tiee asimismo ua limitació, y es que, a diferecia de los efoques clásico y frecuetista, o os dice mucho acerca del modo de asigar probabilidades a sucesos. Por ello se hace imprescidible trabajar co lo que deomiamos modelos de probabilidad, es decir, distitos sistemas que sí permite la evaluació de las probabilidades de sucesos Probabilidad odicioada. Hasta ahora se ha calculado probabilidades de sucesos bajo la hipótesis de que la úica iformació dispoible es la descripció del experimeto y el espacio muestral. Si embargo, e ocasioes se dispoe de iformació adicioal que puede (quizás o ) codicioar el experimeto, y el problema que se platea es cómo utilizar esta iformació. Esto es, el coocimieto de que ya haya ocurrido u suceso, coduce a que determiados resultados o puede haber ocurrido, variado el espacio de los resultados y cambiado como cosecuecia sus probabilidades. Supogamos por ejemplo que teemos dos uras, la primera co ua bola blaca y dos egras y la seguda co dos blacas y ua egra. Se laza ua moeda y si sale cara se extrae ua bola de la primera ura y si sale cruz de la seguda. osideramos el suceso = "obteer bola egra". El espacio muestral sería Ω={ b,, 2, 2b, 2b2, 2} y por tato P() = 3/6. hora bie, supogamos que coocemos el resultado del lazamieto de la moeda, y ha sido cara, etoces el uevo espacio muestral sería: Ω = { b,, 2 } y la probabilidad del suceso co esa iformació adicioal sería 2/3. Esto os lleva a la siguiete defiició: Defiició.- Sea ( Ω, S, P) u espacio de probabilidad y sea H S co P(H)> 0. Dado S se defie la probabilidad de codicioada a H como: P( / H) P( H) = P(H) Se puede demostrar fácilmete que la fució así defiida P(-/H) cumple los tres axiomas de Kolmogorov, y por tato es ua medida de probabilidad. partir de esta defiició se puede obteer ua serie de cosecuecias o teoremas. Teorema 7.- Sea,B S, etoces si : P(B) 0 P( B) = P( B) P( / B) P ( ) 0 P ( B) = PPB ( ) ( / ) Estos resultados se puede geeralizar para u úmero fiito de sucesos obteiedo la llamada regla de la multiplicació. Teorema 8.- (Regla de la multiplicació) Sea, 2,..., S tal que P( ) > 0; j= 2,,.... Etoces: j I i P Ii = P( ) P( 2 / ) P( 3 / 2)... P / Ii La demostració se hace por iducció sobre, haciedo uso del Teorema 7. Teorema 9.- (Teorema de la probabilidad total). Sea, 2,..., S tal que: i) P( i ) > 0 i =,..., 0-2

11 ii) U i = Ω iii) i j = i j es decir estos sucesos forma u sistema completo. Sea S cualquier suceso. Etoces se verifica que: P ( ) = P ( P i ) i i = Demostració: Podemos escribir: = Ω = (por ii))= i U = (por la propiedad distributiva de la itersecció co respecto a la uió) = U ( i ). Luego: P() = P U ( i ) = (por iii)) = P ( i ) = (por la regla de la multiplicació) = P ( P i ), que es lo que queríamos demostrar. i omo cosecuecia imediata de este teorema os ecotramos co el teorema de Bayes: Teorema de Bayes. Sea, 2,..., S tal que: i) P( i ) > 0 i =,..., ii) = Ω U i iii) i j = i j es decir estos sucesos forma u sistema completo. Sea B S tal que P(B) > 0. Etoces: P P P B ( j ) j j B = P P B ( j ) j P P B ( j ) j deomiador) = P P B ( j ) j= j Examiado ambos teoremas se poe de maifiesto que el teorema de Bayes, e cierto modo, respode a la iversa de como lo hace el teorema de la probabilidad total, pues e este último se ha realizado los sucesos i y etoces hacemos iferecia sobre la realizació del suceso B, si embargo, e el teorema de Bayes de la realizació del suceso B iferimos sobre la realizació de cada i. -2 j= Demostració: Por defiició de probabilidad codicioada: P P B j ( j ) B = =(por la regla de la multiplicació, aplicada al PB ( ) umerador)= B P( j)p j = (por el teorema de la probabilidad total, aplicado al P(B)

12 E ambos teoremas partimos de u sistema completo de sucesos i,,...,, los cuales puede ser iterpretados como hipótesis, a sus probabilidades P( i ) se les llama probabilidades a priori, ya que so las que se asiga iicialmete a los sucesos i, y a las probabilidades P(B/ i ) se les cosidera como verosimilitudes del suceso B admitiedo la hipótesis i. Estas verosimilitudes os permite modificar uestro grado de creecia origial, obteiedo la probabilidad a posteriori P( i / B). Podemos decir que el teorema de Bayes, además de ser ua aplicació de las probabilidades codicioadas, es fudametal para el desarrollo de la estadística bayesiaa, que utiliza la iterpretació subjetiva de la probabilidad, es decir, cosidera que la probabilidad viee afectada por la experiecia previa, la cual va a ifluir e uestro grado de creecia y cosecuetemete e la probabilidad que le asigamos al suceso e cuestió, y ésta sería ua probabilidad subjetiva Idepedecia de sucesos. Hemos defiido e el apartado aterior la probabilidad del suceso B codicioada por el suceso, y cosiderábamos que la iformació que se tiee del suceso tiee algú efecto sobre la probabilidad de B, de tal maera que podremos decir: uado P(B/) > P(B) etoces el suceso favorece al B, y uado P(B/) < P(B) etoces el suceso desfavorece al B. Si admitimos que la ocurrecia del suceso o tiee igú efecto sobre el suceso B y como cosecuecia P(B/) = P(B), es decir el suceso B es idepediete del suceso, surgiedo así el cocepto de idepedecia estocástica o idepedecia de sucesos. Defiició. - Diremos que dos sucesos y B so idepedietes si se verifica ua cualquiera de las siguietes codicioes equivaletes:.- P(B/) = P(B) si P() > P(/B) = P() si P(B) > P( B) = P() P(B). Estas tres codicioes so equivaletes. Por tato, podemos decir que si el suceso es idepediete del suceso B, etoces el suceso B tambié es idepediete del suceso, lo que equivale a decir que ambos sucesos so mutuamete idepedietes. La defiició de idepedecia se puede exteder a más de dos sucesos. E geeral, diremos que sucesos, 2,..., so mutuamete idepedietes, si se verifica para i<j<k..., las siguietes codicioes: P ( ) = P ( ) P ( ) i j i j P ( ) = P ( ) P ( ) P ( ) i j k i j k P (... ) = P ( ) P ( )... P ( ) 2 2 Bibliografía básica * Mª geles palacios, Ferado. López Herádez, José García órdoba y Mauel Ruiz Marí. INTRODUIÓN L ESTDÍSTI PR L EMPRES. Librería Escarabajal * Hermoso Gutiérrez, J.. y Herádez Bastida,. (997). urso Básico de Estadística Descriptiva y Probabilidad. Ed. Némesis. Para saber más o aclarar dudas: obabilidad.pdf 2-2