Unidad Temática 1: Unidad 3 Probabilidad Temas 6 y 7

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1 Unidad Temática 1: Unidad 3 Probabilidad Temas 6 y 7

2 Definiciones: 1- La probabilidad estudia la verosimilitud de que determinados sucesos o eventos ocurran o no, con respecto a otros sucesos o eventos (Norman y Streiner). 2- Los hechos cuya frecuencia se expresan en términos de probabilidad, miden la incertidumbre previa sobre la ocurrencia del hecho en un caso particular (Taucher).

3 Un poco de historia: En el siglo XVII nace la Teoría de la Probabilidad de la consulta realizada al matemático Blas Pascal por jugadores que utilizaban y entendían que el azar participaba en los juegos que participaban. Posteriormente aportaron más conocimiento al tema los matemáticos; Bernoulli, Laplace, Poisson, Gauss, y otros. Recién en el siglo XX es cuando se desarrollan las verdaderas teorías matemáticas en donde se desarrollan: definiciones, axiomas y teoremas de la probabilidad. También en este siglo se comienzan a aplicar las teorías de la Probabilidad en las ciencias: Biológicas, Administración de Empresa, Medicina y Psicología.

4 INTRODUCCION Modelos Matemáticos: DETERMINISTICOS PROBABILISTICOS Modelo Determinístico: Es aquel en que, cuando las condiciones bajo las cuales se realiza un experimento son conocidas o estipuladas de antemano, unívocamente el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo: la distancia recorrida por un móvil que viaja a 100 km/h Modelo Probabilístico o aleatorio o estocástico: Es aquel en que los resultados no pueden predecirse de antemano, está determinado por la casualidad, ya que no está sujeto a leyes fijas. Iguales condiciones no aseguran una igualdad de resultados. Por ejemplo: a) el lanzamiento de una moneda o un dado, b) sembrar 10 semillas y esperar su nacimiento, c) muestrear 20 pollos de la misma raza, edad y remesa y observar su peso corporal.

5 CONCEPTOS Experimento Aleatorio: Se entiende por experimento aleatorio a un proceso que tiene las siguientes propiedades: El proceso se efectúa de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas. Es de naturaleza tal que se puede repetir varias veces con resultados diferentes. El resultado de cada ejecución está sujeto a la casualidad o sea que no puede ser controlado y por lo tanto no puede predecirse su resultado. Todo experimento aleatorio, muestra lo que se llama regularidad estadística; esto significa que realizado en una infinidad de veces, la frecuencia relativa de un resultado tiende a ser constante. Variable Aleatoria: Es toda variable cuya respuesta ante la acción de un experimento, no se pude predecir o esperar un determinado resultado. Por ejemplo: Si exponemos a 3 animales iguales bajo la acción de una sustancia que estimula la Frec. Cardíaca (FC); podemos esperar que en cada uno tenga una respuesta diferente sobre la variable FC.

6 Elementos de la Probabilidad Espacio Muestral: Dado un experimento E; que llamaremos suceso simple S, llamaremos Espacio Muestral a los resultados posibles del Experimento E que no se pueden descomponer en otros sucesos. Por ejemplo: al lanzar un dado el espacio muestral serán las 6 caras del mismo. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punto Muestral: Dado un experimento E; llamaremos Punto muestral a cada suceso simple S. Por ejemplo: Una de la caras del mencionado dado; S = 3 o cualquiera. Evento o Suceso (A): Dado un experimento E; llamaremos evento o suceso seguro al subconjunto o elemento seleccionado. Del ejemplo: la caras del dado; A = 3. También llamado evento o suceso éxito. En tanto que del mismo experimento E; llamaremos suceso Ā (no A) a cualquiera de las otras cinco caras; Ā = 1, 2, 4, 5, 6. También llamado evento o suceso fracaso.

7 Distintos métodos de estimación de Probabilidad Método Empírico: De una determinada ocurrencia de eventos o sucesos conocidos, se puede expresar o pronosticar que es de esperar que ocurra tal suceso. Método Teórico o Clásico: (Laplace o a-priori) Si un experimento o evento puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles, entonces la probabilidad p del evento es: p = h/n (Spiegel). Método Frecuentista: (a-posteriori). Si después de n repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa de A f A, se observa que un evento ocurra fi veces, entonces la probabilidad será fi = f A /n.

8 Método Teórico o clásico En todo experimento aleatorio hay siempre incertidumbre sobre si ocurrirá un evento en particular. Como una medida de oportunidad o probabilidad, con que esperamos que ocurra cierto evento, es conveniente asignar un número que va del 0 al 1. Si estamos seguros que el evento ocurrirá y decimos que tiene 100% de probabilidad, entonces se le asigna el 1 y ante la seguridad de que el evento no ocurra, el valor asignado será 0. Por ejemplo si al realizar un experimento nos da una probabilidad de 1/4, estamos diciendo que la oportunidad de que ocurra el evento es de p = 0,25, tiene una probabilidad de éxito del 25% y una probabilidad de que el evento no ocurra de 0,75 (q = 0,75). Es lo mismo que decir que hay una relación de 3 a 1 que el evento no ocurra. La probabilidad de fracaso o evento fracaso q, quedará expresada de la diferencia de 1 menos p, es decir: q = 1 - p

9 Axiomas de la Probabilidad Tanto el enfoque empírico como el clásico de la probabilidad presentan inconvenientes al momento de expresarlos formalmente, y los matemáticos consideran que estas formas de expresión de la probabilidad son vagas o indefinidas, de allí que la matemática se rige por el enfoque axiomático de la probabilidad. En este caso tendremos tres axiomas básicos, como sigue: Axioma 1: Para cada evento A en el conjunto de eventos, en donde asociamos a un número real que irá de 0 a 1 para la probabilidad de A, es: 0 P(A) 1 Axioma 2: Para el evento cierto o seguro S, el mismo siempre será: P(S) = 1 Axioma 3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyente; A 1, A 2,..., A n en el conjunto de eventos, será: P(A 1,A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )

10 Generalización de los axiomas de la Probabilidad SUCESO INCOMPATIBLE: Dos sucesos (A 1 o A 2 ) son incompatibles si el hecho que ocurra uno, conlleva a la imposibilidad de que ocurra el otro. Para el caso del experimento de lanzar una moneda, el hecho que ocurra cara, ya no puede ocurrir seca. Ejemplo: al lanzar el dado. Cuál es la probabilidad que se de un dos o un cinco?. Espacio Muestral: S = (1, 2,...,6) Eventos: A 1 = 2 y A 2 = 5 Aplicando la ecuación: P(2; 5) = P(2) + P(5) = 0,33... TEOREMA DE LA SUMA: o Regla de la Suma Si X o Y son incompatibles entre sí, la probabilidad de X o Y es la probabilidad de X más la probabilidad de Y. Esto queda expresado por la ley o el teorema de la suma: 1 6 P(X o Y) = P(X) + P(Y)

11 TEOREMA DEL PRODUCTO o Regla del Producto o Ley de la multiplicación Si X e Y son sucesos independientes entre sí, la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente es la probabilidad de X por la probabilidad de Y. Esto queda expresado por la ley o teorema del producto: P(X y Y) = P(X) * P(Y) Calcular la probabilidad de obtener dos sietes al sacar dos cartas de un mazo de poker. Calcular la probabilidad de obtener dos cincos al arrojar un dado dos veces. Calcular la probabilidad de arrojar dos dados y que el resultado sume ocho.

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