Análisis de funciones

Transcripción

1 Análisis de funciones Tiempo atrás, en nuestro curso, hemos analizado algunas funciones para determinar la forma de la gráfica de manera estimativa y sin una tabla de valores estricta. En este mismo sentido, ampliaremos la metodología para logra un análisis más eficaz de una función mediante criterios que hacen uso de los saberes adquiridos respecto de la aplicación de límites y derivadas. Realizar el análisis completo de una función implicará conocer los siguientes elementos: a) Dominio. b) Intersección con los ejes coordenados. c) Puntos críticos, es decir, etremos relativos, máimos o mínimos. d) Crecimiento y decrecimiento de la función, es decir intervalos dónde la función crece y decrece. e) Puntos de infleión. f) Concavidad. g) Gráfico. Para eplicar como relacionamos los conceptos vistos de límites y derivadas con el análisis de funciones, lo haremos mediante un ejemplo, Metodología que se aplicará a todos los casos, con mayor o menor complejidad, dependiendo del tipo de función. Previamente, deberemos definir el concepto de máimo y mínimo relativos y los criterios de eistencia de los mismos. Veamos el siguiente gráfico de una función y = f ( ) como el siguiente: Diremos que M ( 0, f ( 0 )) es un máimo relativo de f(), si eiste un entorno del punto 0, tal que para todo valor de en ese entorno, la función adopta valores menores que para 0. ε ( 0 ) / ε ( 0 ), f ( ) < f ( 0 ), Del mismo modo, diremos que m( 1, f ( 1 )) es un mínimo relativo de f(), si ε ( 1 ) / ε ( 1 ), f ( ) > f ( 1 ) Una función puede tener varios máimos o mínimos relativos, según el intervalo considerado. fig.1 Condición necesaria para la eistencia de un etremo relativo Si f() tiene un etremo relativo, máimo o mínimo en 0 y eiste f ( 0 ), entonces f ( 0 ) = 0. Debe quedar claro que esta condición es necesaria pero no suficiente, es decir, si hay un etremo, entonces la derivada primera en ese punto es nula, pero si la derivada primera en un punto es nula, en principio, no podemos afirmar nada acerca de la eistencia de un etremo relativo. Requiere un análisis más profundo. De todos modos puede considerarse un punto crítico y estudiarlo más en detalle. Gráficamente lo vemos en la siguiente figura. Por otra parte, debemos recurrir a algunos criterios para definir si un punto crítico es etremo máimo o mínimo. Para ello podemos simplemente estudiar el valor de la función en un entorno del punto crítico, de acuerdo a la definición de máimo y mínimo relativo dada anteriormente. Pero, también hay otros criterios basados en los valores de las derivadas. 1) Criterio basado en la derivada primera

2 fig. Si observamos el gráfico 1, vemos que la variación de la curva, es decir las pendientes de las tangentes en un entorno del punto crítico M, antes y después de él, son opuestas, es decir la pendiente de la tangente antes de M es positiva (creciente) y después de M, es negativa, (decreciente), es decir que la curva crece antes de M y decrece después de M, con lo cual debe ser ese punto un máimo relativo. Lo contrario ocurre en el punto m, allí pasa de negativa a positiva la pendiente, de manera que decrece y luego crece, es decir que debe haber un mínimo relativo en m. Resumiendo el criterio, diremos Si la derivada primera en un entorno del punto crítico 0, pasa de izquierda a derecha, de ser positiva a ser negativa, la función f() tiene un máimo relativo en 0. Por el contrario, Si la derivada primera en un entorno del punto crítico 0, pasa de izquierda a derecha, de ser negativa a ser positiva, la función f() tiene un mínimo relativo en 0. Este criterio permite relacionar el cambio en el signo de la derivada primera con los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ) Criterio basado en la derivada segunda Si refleionamos un poco acerca del significado de la derivada segunda, derivada de la derivada de f(), fácilmente concluimos que representa la variación de la derivada primera, es decir nos indica cómo cambia f (). De esta forma podemos afirmar que si la derivada segunda eiste y no es nula, entonces, si en el punto crítico es mayor que cero, significa que la derivada primera es creciente, por lo tanto la pendiente de f() va en aumento y entonces seguimos que la función crece y consecuentemente, que hay un mínimo. Por el contrario, si la derivada segunda es menor que cero, la función estará decreciendo en el entorno del punto crítico, de manera que podemos afirmar que se trata de un máimo. Resumiendo, si f ( 0 ) 0 f ( 0 ) > 0 0 es un mínimo si f ( 0 ) 0 f ( 0 ) < 0 0 es un máimo En otro orden: Qué sucede si f ( 0 ) = 0? Significará que la derivada primera no crece ni disminuye, es decir, se mantiene constante en el entorno del punto. Se tratará de un punto en el cual la gráfica de la función cambia de curvatura. A ése punto se lo llamará punto de infleión y es aquél en el cual la curva atraviesa a la tangente. La curvatura de una línea se la indica a través de la concavidad, de manera que una función f() puede tener una gráfica cóncava hacia el eje de la y positivas o hacia el eje de las y negativas. Si relacionamos lo visto de máimos y mínimos con el tema de la curvatura de la gráfica f(), podemos concluir a través de la fig. que si f ( 0 ) > 0 ( a,b ) f ( ) es cóncava hacia el eje de las y positivas. También: Si f ( 0 ) < 0 ( a,b ) f ( ) es cóncava hacia el eje de las y negativas. fig. (concavidad) fig. (punto de infleión) Es necesario eplicitar que f ( 0 ) =0 es una condición necesaria, pero no suficiente, es decir, si hay un punto de infleión, entonces la derivada segunda es nula, sin embargo, lo contrario no es cierto, puede ser la derivada segunda nula y no tener un punto de infleión. Analicemos la función f ( ) = Se cumplirá que

3 f ( ) f ( ) = 1 observaremos que tiene un mínimo (fig. ) =, por lo tanto en =0 la derivada segunda es nula, pero veamos la gráfica y Por lo tanto, debemos verificar que además de cumplirse f ( 0 ) = 0, deberá ser también f ( 0 ) 0 para asegurar la eistencia de un punto de infleión. 650 f ( ) Finalmente, estos criterios y otros los analizaremos con algunos ejemplos. a) f ( ) = + 1 D 1) Dominio [ f ( )] R { 0 } = pues carece de definición en cero. ) Intersección con los ejes de coordenados. Por supuesto no corta al eje y, pues debe ser asintótica a él, para ver si corta al eje, debemos encontrar las raíces, pero se observa fácilmente que + 1 = 0 1 = ± i, de manera que al ser imaginarias puras las raíces, no hay corte con el eje. ) Puntos críticos Debemos hallar la primera derivada y anularla: d 1 f ( ) = d 1 1 que también puede escribirse f ( ) = y para hallar los puntos críticos = 0 1 = ± 1 nunca puede anularse, debido a que ese punto está ecluido del dominio. ya que,

4 Debemos ver si se trata en verdad de mínimos o máimos, para ello empleamos el criterio de la derivada segunda, es decir f ( ) = f ( 1 ) = f ( 1 ) = por lo tanto en = - la derivada segunda es negativa, la pendiente de la curva va disminuyendo, con lo cual tendremos un máimo, mientras que con el mismo criterio, en = 1 habrá un minimo. ) Asíntotas Veamos si el eje es una asíntota horizontal, para lo cual calculamos lím f ( ) =, por lo tanto no habrá asíntota horizontal, y por supuesto, el eje no lo será. Sí está claro que eiste una asíntota vertical que es el eje y, ya que en cero la función no está definida. Pero, además podemos preguntarnos si eiste una asíntota oblicua, es decir que su pendiente no sea cero ni infinito. Refleionemos un poco sobre esta idea: qué significará que la función tenga una asíntota oblicua? Simplemente, que la función se aproime a una recta y = m + b cuando la lím f ( ) m + b = El problema variable crece indefinidamente, es decir, formalmente deberá cumplirse [ ( )] 0 es que a priori, no conocemos esa recta, pero tenemos la manera de conocer su pendiente. Veamos f ( ) m + b b + 1 lim = lím = lím m + = m Para nuestro caso, resulta lím = 1 = m, por lo tanto nuestra asíntota oblicua tendrá pendiente unitaria, sin embargo, deberíamos conocer la ordenada al origen, para po- der definir completamente la recta. Otra cosa sencilla, pues si b 1 1 lím[ f ( ) ( m + b) ] = 0 lím b 0 lím lím b = lím b = 0 = = b = 0 Finamente, la recta asíntota será y = 5) Puntos de infleión Recordemos que la condición necesaria de la eistencia de un punto de infleión es f ()=0, pero como f ( ) =, se anulará sólo en infinito. Por lo tanto f ( ) 0 por lo que podemos asegurar que no tiene punto de infleión. 6) Crecimiento y decrecimiento de la función Analizaremos los signos de las derivadas primera y segunda (, 1) ( 1,0 ) ( 0,1) ( 1, ) f () >0 <0 <0 >0 Creciente Decreciente Decreciente Creciente f () <0 <0 >0 >0 Concavidad Concavidad Concavidad Concavidad Además recordamos que en X = -1 tendrá un máimo y en = 1 tendrá un mínimo. Por lo tanto, la gráfica con las consideraciones anteriores, será la siguiente

5 f ( ) g ( ) Resumen análisis de funciones Infleión Máimo Mínimo Creciente Decreciente Concavidad F () =0 =0 >0 <0 F () =0 <0 >0 >0 <0 F () 0 Ejercicios para resolver 1) 6) ) 7) ) 8) ) 5) 9) 10)

6 Aplicaciones de la derivada 1) Un proyectil disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial a) Determine la altura alcanzada para t = s. b) Determine la velocidad y la aceleración para t = s. c) Determine la altura máima alcanzada pro el proyectil m v0 = 100. s ) Se dispara un proyectil en tiro oblicuo, con un ángulo de disparo respecto de la horizontal α = 0 y con m una velocidad inicial v0 = 100. s a) Determine el alcance del proyectil. b) Determine la altura máima alcanzada. c) Determine el ángulo de disparo que hará máimo el alcance. ) A un bloque de masa m, que se desplazará sin rozamiento y que está unido a un resorte fijo en la pared, se le aplica una fuerza de tracción y luego se lo suelta. Tal sistema describirá un movimiento oscilatorio armónico, siendo el espacio recorrido en función del tiempo, una senoide. Es decir ( t ) = Asenωt. a) Determine la epresión de la velocidad y de la aceleración del bloque. b) Determine el valor de la frecuencia de la oscilación. k m 1 VQ+ v d ) Recordando que la ecuación del diodo en polarización directa y con una pequeña tensión alterna super- VT puesta, la podemos escribir id = Ise, determine le valor de la conductancia dinámica, que es la que presentará el diodo frente a una tensión alterna. 5) Con una hoja cuadrada de cartón de lado a, se pretende realizar una caja de área cuadrada y con volumen máimo. Por lo tanto, determine el valor de la altura, que hace máimo al volumen. 6) Sabiendo que la corriente en un circuito R-L-C serie, responde al a ecuación, determine el valor de la frecuencia que hace máima dicha corriente. I = R V 1 + ωl ωc

7 7) Un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial v 0 =0 m/s y recorre el espacio según la ley del m.r.u.a. y = 0t + 5t. Determine el valor de la velocidad y de la aceleración. 1 8) Un móvil describe un recorrido epresado por = t 16t. Determine el valor de la aceleración cuando la velocidad se anula. 9) Ídem problema 8) pero para una ecuación horaria = t t. 5 10) Demuestre que para que un cuerpo pueda recorrer una distancia según la ecuación horaria = t, la aceleración en el instante inicial deberá ser infinita. 11) Una pelota es lanzada hacia arriba según la ecuación y = 6 + t 5t, Determine el instante en el cual se alcanza la altura máima y cuál es el valor de ella. 1) Demuestre que la razón entre el logaritmo natural de un número y el propio número, es máima cuando = e. Grafique la función anterior.