Apuntes sobre el hormigón armado

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1 Apuntes sobre el hormigón armado Autores: Ruperto Martínez Cuesta, Juan Carlos Arroyo Portero y R. Martínez Palazón Edición 09/03/2006 1

2 Objetivo de estos apuntes... 4 Materiales de construcción... 6 El hormigón... 6 Módulo de deformación longitudinal... 8 Coeficciente de Poisson... 8 Resistencia a tracción... 8 La instrucción EHE... 9 Estados límite... 9 Estados límite últimos (ELU) Estados límite de servicio (ELS) Acciones Valor característico de una acción Valores representativos de una acción Valor de cálculo de una acción Combinación de acciones Para Estados Límite Últimos Ejemplo Para Estados Límite de Servicio Ejemplo Coeficientes para la resistencia de los materiales Prólogo: DIMENSIONAMIENTO Flexión Hipótesis Leyes de los materiales Hormigón Acero

3 Diagrama de pivotes Flexión simple Dimensionamiento a flexión simple Flexión simple: resumen de las fórmulas Flexión compuesta: resumen de las fórmulas Cortante Sección de comprobación (EHE) Resistencia de la bielas (V u1 ) Resistencia de los tirantres (V u2 ) Fórmulas simplificadas Sin armadura a cortante Con armadura a cortante Colocación de las armaduras tranversales (EHE) Fisuración Teoría relativa al cálculo de la abertura de fisura Formulación de la EHE Limitaciones normativas de la abertura de fisura Longitudes de anclaje Cuantía Geométrica mínima Según el artículo de la EHE Otros Elementos Recubrimientos

4 OBJETIVO DE ESTOS APUNTES Basados en la instrucción española EHE, estos apuntes resumen el funcionamiento del hormigón dentro de las estructuras. Tratan las situaciones más habituales debiendo consultar las instrucciones correspondientes para completar la información. Para cualquier consulta sobre el contenido, puede dirigirse a: En existen una serie de ayudas desarrolladas por un equipo de ingenieros en colaboración con el autor de estos apuntes para el cálculo de elementos de hormigón. 4

5 Apuntes sobre el hormigón armado Parte I El hormigón La instrucción EHE Los estados límite Autores: Ruperto Martínez Cuesta y Juan Carlos Arroyo Portero 5

6 MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN Los materiales principales utilizados en la construcción de estructuras son el acero estructural y el hormigón (armado o pretensado). Pueden utilizarse como materiales predominantes en la estructura o pueden usarse conjuntamente (construcción mixta). Cada uno tiene sus ventajas e inconvenientes que se pueden resumir así: El hormigón resiste el fuego y la humedad mejor que el acero. El hormigón no resiste la tracción, el acero si. El hormigón tiene antes el límite de rotura. No es apropiado para edificaciones de gran altura. Límite elástico Acero (fyk) N/mm 2 B-400 S(de armar) 400 B-500 S(de armar) 500 A-52 (estructural) 360 Tipo de hormigón Resistencia HA-25 HA-30 HA-35 HA-40 HA-45 HA-50 característica (fck) N/mm 2 El hormigón es un material frágil, mientras que el acero es dúctil. Según el diccionario de la Real Academia Española: frágil: (Del lat. fragĭlis). adj. Quebradizo, y que con facilidad se hace pedazos. dúctil: (Del lat. ductĭlis). adj. Dicho de un metal: Que admite grandes deformaciones mecánicas en frío sin llegar a romperse. En el caso del hormigón, dúctil hace referencia a la poca deformación que adquiere el hormigón antes de la ruptura ( poca pero no nula!). A la hora de elegir es importante el aspecto socio-económico: precio de la mano de obra, cercanía de los suministradores, etc. EL HORMIGÓN Hormigón (piedra artificial) = cemento + áridos (grava y arena) + fraguado. Para su correcta ejecución hay que realizar adecuadamente las labores de encofrado, 6

7 compactación, vibrado, curado y realizar juntas donde sea necesario. A partir de las acciones sobre los elementos de hormigón podemos empezar a calcular o dimensionar. Para acciones que producen tracciones será indispensable utilizar armadura dentro del hormigón. Tipos de hormigón según la armadura: hormigón en masa: sin armadura resistente, hormigón armado: con armadura pasiva resistente, hormigón pretensado: con armadura activa y pasiva resistente. Para vigas, pilares y losas, entre otros elementos, se usan barras corrugadas de diámetros tipificados: Diámetro mm mm Área cm cm 2 Suma de los dos diámetros anteriores Podemos comprobar que la suma del área de los dos diámetros anteriores es similar al área de cada diámetro. El diámetro 14, si bien aparece en la instrucción, no se utiliza. 7

8 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LONGITUDINAL Para los cálculos de estructuras en los que intervienen elementos de hormigón, como vigas, pilares y/o losas, es imprescindible aplicar un módulo de que relacione la deformación del elemento según las cargas aplicadas. Por el comportamiento del hormigón, este dato en la realidad no es constante como se puede deducir de la figura. σ Diagrama tensióndeformación Podemos aproximarnos mediante las fórmulas de la EHE cuyos resultados se detallan en la tabla y que se basan en las fórmulas Resistencia característica a los 28 días Resistencia media del hormigón a los 28 días, Pendiente en el origen Secante fck (N/mm 2 ) f cmj (N/mm 2 ) E 0j (N/mm 2 ) E j (N/mm 2 ) E E E E E E E E E E E E+3 En la práctica, los valores utilizados por defecto en programas de cálculo o en ejemplos en publicaciones técnicas son: Módulo de deformación del hormigón, E, comunmente utilizados N/mm 2 kn/m E E E E+06 ε COEFICCIENTE DE POISSON Este coeficiente relaciona la deformación longitudinal y la deformación transversal. En el hormigón (y en general, en las rocas no alteradas), es siempre 0.2. RESISTENCIA A TRACCIÓN Como se ha indicado al principio del capítulo, la resistencia a tracción del hormigón es muy pequeña en comparación con la resistencia a compresión. La fórmula que da la 8

9 EHE es: H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-50 f ck f ctm % LA INSTRUCCIÓN EHE La EHE es la instrucción que rige en España. Hay otras para otros países como las que han salido de la escuela EEUU (ACI, ASCE) y las de la escuela europea (Eurocódigo y CEB, ahora FIB). Los Capítulos de la EHE son, a grandes rasgos: Seguridad (Estados Límites) Clasificación y combinación de acciones Conceptos de análisis estructural Propiedades de los materiales Durabilidad Cálculos relativos a los Estados Límite Últimos (ELU, ULS ) Cálculos relativos a los Estados Límite de Servicio (ELS, SLS ) Ejecución Control ESTADOS LÍMITE Las estructuras deben cumplir, entre otros, los requisitos de Estabilidad, Resistencia, Funcionalidad y Durabilidad. El procedimiento utilizado para garantizar que se cumplen estos requisitos con una adecuada fiabilidad o, dicho de otro modo, con una probabilidad suficientemente pequeña, es el Método de los Estados Límite. Si la estructura supera alguno de los Estados Límite se puede considerar que esta ya no cumple las funciones para las que ha sido proyectada. Dicho método diferencia los Estados Límite Últimos y los Estados Límite de Servicio agrupando la resistencia y la estabilidad como Últimos y los funcionales como de Servicio. Los relacionados con la durabilidad, de momento, se tratan de forma aparte. Así,los Estados Límite Últimos están relacionados con la rotura y los de Servicio con la utilización. 9

10 ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS (ELU) Para el cálculo de secciones se utilizan los esfuerzos de cálculo que serán ponderados. es decir, su valor característico será multiplicado por un factor. La estructura debe cumplir la condición: Rd > Sd que significa que la Resistencia (R), convenientemente ponderada (Rd) debe ser mayor que el efecto de la acción (S) siendo (Sd) la acción ponderada. Se utiliza el sufijo d para indicar que son los esfuerzos ponderados o de cálculo. ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO (ELS) La estructura debe cumplir la condición: Cd > Ed que significa que el valor admisible del Estado Límite de Servicio a comprobar (Cd), debe ser mayor que el efecto de la acción (Ed). Estados Límite Últimos E.L.U Nivel de estudio Descripción Rotura (*) Sección Por exceso de cortante, flexión, torsión, etc. Pandeo Parte o toda la estructura Equilibrio Estructura completa Vuelco, deslizamiento, etc. Fatiga Sección Rotura por la acción de cargas repetidas Estados Límite de Servicio E.L.S. Nivel de estudio Descripción Fisuración (*) Sección Excesiva abertura de fisuras Deformaciones Parte o toda la estructura Excesivas flechas o giros Vibraciones Parte o toda la estructura Producción excesiva de algún tipo de vibraciones (*) Comprobaciones más comunes en estructuras de hormigón disponibles en 10

11 Apuntes sobre el hormigón armado Parte II Acciones Combinaciones Autores: Ruperto Martínez Cuesta y Juan Carlos Arroyo Portero 11

12 ACCIONES Las acciones que intervienen en una estructura pueden tener diferentes orígenes y diferentes formas de aparición (variables o constantes, en el tiempo o en el espacio) En función de esta diversidad caben diferentes clasificaciones. Las más importantes son: Por su origen Descrición Ejemplos Directas Indirectas Se aplican sobre la estructura Tienen su origen en la propia estructura Retracción, variaciones de temperatura,... Por su variación en el tiempo Descrición Ejemplos Permanentes Permanecen en la estructura todo el tiempo de vida Peso propio (dead loads) Variables Pueden estar, o no, aplicadas en la estructura Sobrecarga de uso (live loads) Estas dos clasificaciones, sobretodo la segunda (cargas permanentes y cargas variables), son importantes por que se utilizan para diferenciar coeficientes de ponderación en función del tipo de carga. La norma y este Curso no hacen mención del valor de las acciones de las estructuras aunque sí se comentarán las diferentes formas de combinar acciones para obtener valores ponderados S d de los efectos de las acciones. Las acciones en las estructuras tienen un tratamiento estadístico. Las acciones no son una variable determinista, con un valor concreto y medible sino que son una variable estadística con un rango de valores que puede llegar a oscilar mucho. VALOR CARACTERÍSTICO DE UNA ACCIÓN Un determinado tipo de acción se considera como una población. Por ejemplo, la carga de uso de un edificio de viviendas se puede considerar como una población que, en determinados momentos será pequeña, en otros momentos tendrá un valor normal y en otros un valor grande. Si se asume que la población tiene una distribución de probabilidades similar a una distribución de Gauss (distribución normal), dicha población tendrá: 12

13 Valor característico (o característico superior) A k tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 95% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 5% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor. Valor medio A m modo, con un 50% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 50% por ciento de probabilidad de que la tiene la máxima probabilidad de aparición, o dicho de otro carga sea mayor Valor característico inferior A k,inf tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro modo, con un 5% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 95% por ciento de probabilidad de que la carga sea mayor El valor utilizado en la teoría de estructuras es, casi siempre, el valor característico A k, es decir, aquél que tiene una probabilidad de ser excedido del 5%. Es lógico utilizar un valor que en la realidad casi nunca es excedido. Probabilidad de la aparición de la acción A Valor de la acción A A m, inf 50% A m 50% A m 5% 5% VALORES REPRESENTATIVOS DE UNA ACCIÓN En ciertas comprobaciones, sobretodo las relativas a Estados Límite de Servicio como la fisuración, las normas no exigen que se cumplan las máximas limitaciones para la carga total (permanentes +variables) sino que se entiende que es suficiente que se garanticen para una cierta fracción de la carga (perm. + ΨxVariables). 13

14 Estos coeficientes Ψ, menores que la unidad, se aplican a las cargas variables ya que las permanentes, por su propia definición, siempre están con su valor máximo. Así, cada carga variable tiene: Valor característico A k modo, con un 95% de probabilidad de que la carga sea menor y, por tanto, un 5% por ciento de probabilidad de que la carga tiene una pequeña probabilidad de aparición, o dicho de otro sea mayor. Valor de combinación Y 0 A k es el que se utiliza para cuando, además de esa carga, existen otras de distinto origen (por ejemplo uso y viento). Este valor es menor que el característico. Valor frecuente Y 1 A k es el valor que es frecuente encontrarlo en la estructura. Este valor es menor que el de combinación. Valor cuasipermanente Y 2 A k es el valor cuasipermanente de la acción, o sea la fracción de esa carga que está de forma cuasipermanente en la estructura. Este valor es menor que el frecuente. Las palabras frecuente y cuasipermanente están asociadas al lenguaje estadístico y, los coeficientes Ψ i tienen valores diferentes para cada carga. Por ejemplo, el valor cuasipermanente de la sobrecarga de libros de una biblioteca será mayor que el valor cuasipermanente de la sobrecarga de uso de una vivienda. Los coeficientes Ψ deben venir definidos en las normas de acciones y las normas de materiales deberán exigir en qué comprobaciones se exigen qué tipos de cargas. Así, la EHE exige que se compruebe la fisuración para la combinación cuasipermanente de acciones. La norma española de acciones no define los diferentes valores representativos de sus acciones, exclusivamente ofrece valores característicos. Por lo tanto, cuando se quieren aplicar este tipo de disminuciones de acciones hay que acudir a normativas europeas, por ejemplo, el Eurocódigo. Para el caso de edificación, tal y como se verá en el siguiente apartado, la EHE propone unos valores que permiten tener en cuenta los valores de combinación. 14

15 VALOR DE CÁLCULO DE UNA ACCIÓN Para el análisis y dimensionamiento de estructuras, las acciones deben estar convenientemente ponderadas. Además de utilizar el valor característico (valor no superado el 95% de las ocasiones) que es ya un valor alto de la acción que se considere, éste se debe ponderar por un coeficiente de ponderación de acciones. Es decir, la estrategia de seguridad que se sigue es, por un lado probabilística, al tener en cuenta la distribución estadística de la población acción; y por otro lado, tiene un tratamiento determinista, incluyendo un coeficiente de ponderación, que es un número. Esta mezcla de dos conceptos, determinista y probabilista, dan nombre al método de seguridad seguido que es el método semiprobabilista. El valor de cálculo de una acción A d es el resultado de multiplicar su valor característico por el coeficiente de ponderación de acciones γ F. es decir A d = γ F A k O, si se quiere incorporar el coeficiente Ψ que corresponda en cada caso, A d = γ F Ψ A k Probabilidad de la aparición de la acción A Valor de la acción A A k A d Mayoración γ A k Los coeficientes de ponderación de acciones, técnicamente llamados coeficientes parciales de seguridad de las acciones, dependen del tipo de acción y en la EHE se supeditan, además, al nivel de control de la ejecución. Relacionar el coeficiente de la 15

16 acción al control de la ejecución no parece teóricamente muy consistente por que no parece que la incertidumbre de, por ejemplo, la sobrecarga de uso en viviendas dependa mucho de cómo éstas se construyan, pero la norma lo indica y aquí se da fe de ello. Los coeficientes de ponderación de acciones son los siguientes: Mayoración de las acciones en ELU Efecto desfavorable g G Nivel de control de ejecución Permanentes G Variables Q Nivel de control de ejecución Intenso Normal Intenso Normal Peso propio Viento Carga muerta Sobre carga de uso g Q Efecto favorable g G Nivel de control de ejecución Permanentes G Variables Q Nivel de control de ejecución Intenso Normal Intenso Normal 1 1 Peso propio Viento Carga muerta Sobre carga de uso 0 0 g Q Mayoración de las acciones Situación sísmica Efecto Favorable Desfavorable Permanentes G Peso propio Carga muerta Variables Q Viento Sobre carga g G 1 1 g Q 0 1 g A Accidentales Sismo 1 1 NOTAS: Hay más tipos de acciones (pretensado, accidentales, fluencia,...) con otros coeficientes de ponderación, pero los tabulados son los más utilizados en edificación. 16

17 Estos coeficientes son para la evaluación de los Estados Límite Últimos. Para Estados Límite de Servicio estos coeficientes son 1,0 para todas las cargas de efecto desfavorable. COMBINACIÓN DE ACCIONES Las acciones se combinan para obtener los efectos más desfavorables en la estructura. Las combinaciones se forman con todas las cargas posibles existentes en la estructura, fundamentalmente permanentes y sobrecargas. Sin entrar en la formulación matemática general de todos los tipos de combinaciones, se plantean aquí las más comunes que son utilizadas en edificación. PARA ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS La letra G denomina a las acciones permanentes y la letra Q a las acciones variables. Las combinaciones a realizar para la evaluación de Estados Límite Últimos son: A) Con una sola acción variable S (g G * G k ) + (g Q * Q k ) B) Con dos o más acciones variables S (g G * G k ) * S (g Q * Q k ) C) Situaciones sísmicas con una acción variable S (g G * G k ) + g A * A sismo * S (g Q * Q k ) En el caso de dos o más acciones variables, por ejemplo, con sobrecarga de uso y viento, hay que tener en cuenta que en la estructura puede haber o sólo sobrecarga de uso o solo viento. Así, las combinaciones que hay que utilizar son: 1) Con sobrecarga de uso S (g G * G k ) + g Q * SC.uso 2) Con viento S (g G * G k ) + g Q * Viento 3) Con viento y sobrecarga de uso S (g G * G k ) * (g Q Viento + g Q SC.uso) En el caso de que haya sismo, además de, por ejemplo, dos diferentes sobrecargas, las 17

18 tres situaciones propuestas, 1, 2, 3, dan lugar a cuatro combinaciones, las tres anteriores más la de tipo C, de sismo. EJEMPLO Si tenemos una estructura sobre la que pueden actuar el viento y la sobrecarga de uso, establecer las combinaciones posibles. Nivel de control normal. Todas las cargas son desfavorables 1.5 x Peso propio x Viento 1.5 x Peso propio x SC.uso (*) 1.5 x Peso propio x (SC.uso + Viento) (1.44=0.9*1.6) Peso propio favorable, resto desfavorable 1.0 x Peso propio x Viento 1.0 x Peso propio x SC.uso (*) 1.0 x Peso propio x (SC.uso + Viento) (1.44=0.9*1.6) Peso propio desfavorable, Viento favorable 1.5 x Peso propio x SC.uso Peso propio favorable, viento favorable 1.0 x Peso propio x SC.uso Peso propio desfavorable, SC.uso favorable 1.5 x Peso propio x Viento Peso propio favorable, SC.uso favorable 1.0 x Peso propio x Viento Todas favorables 1.0 x Peso propio (*) Para el armado de vigas y pilares, combinaciones dominantes en general. PARA ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO Las posibles combinaciones a realizar para la evaluación de los Estados Límite de Servicio son: 18

19 a) Combinación poco probable S G k + Q k S G k * S Q k 2) Combinación cuasipermanente S G k * Q k La combinación poco probable (también llamada combinación característica) se aplica a la comprobación del ELS de deformaciones. La combinación cuasipermanente se aplica a la comprobación del ELS de fisuración para estructuras de hormigón armado. EJEMPLO Si tenemos una estructura sobre la que pueden actuar el viento y la sobrecarga de uso, establecer las combinaciones posibles para ELS. Nivel de control normal. Combinación poco probable 1.0 x Peso propio + 1 x Viento 1.0 x Peso propio + 1 x SC.uso 1.0 x Peso propio x (SC.uso + Viento) Combinación cuasipermanente 1.0 x Peso propio x Viento 1.0 x Peso propio x SC.uso COEFICIENTES PARA LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES Para la utilización de los materiales en el proyecto de estructuras se realiza, también, un tratamiento estadístico y una posterior corrección mediante un coeficiente de seguridad, que en este caso es de minoración. Es decir, se sigue el tratamiento semiprobabilista. La resistencia de los materiales estructurales es una población estadística que tendrá, por tanto, un valor medio, y dos valores característicos, uno superior y otro inferior. El significado de la palabra característico es la misma que en el caso de acciones, es decir, es aquél valor que deja un 5% de probabilidad a un lado de la curva. En el caso de materiales, evidentemente, se utilizará el valor característico que garantiza un 95% de probabilidad de que la resistencia sea mayor. Al contrario que en las acciones que se escogía el valor característico superior, en materiales se opera con el valor característico inferior. 19

20 Probabilidad de la aparición de la resistencia R Resitencia, R del material M R K R media 5% 95% A partir del valor característico de la resistencia R k, se obtiene el valor de cálculo de la resistencia R d, mediante la expresión: Rd = Rk / γ M Los coeficientes γ M de los materiales son: HORMIGÓN g c = 1,5 ACERO DE ARMAR g s = 1,15 Tipo de hormigón HA-25 HA-30 HA-35 HA-40 HA-45 HA-50 Resistencia característica (fck) Resistencia de cálculo (fcd) N/mm 2 20

21 Apuntes sobre el hormigón armado Parte III Flexión Autores: Ruperto Martínez Cuesta y Juan Carlos Arroyo Portero 21

22 PRÓLOGO: DIMENSIONAMIENTO En el cálculo de las estructuras de hormigón intervienen varios procesos. En capítulos anteriores se ha visto como combinar las acciones, cuales son las resistencias características de los materiales a considerar, la instrucción a utilizar, etc. En asignaturas como resistencia de materiales y cálculo de estructuras se enseña a obtener los esfuerzos sobre una estructura a partir de las acciones. Lo que trataremos en este capítulo es como dimensionar las secciones a partir de los esfuerzos obtenidos. El dimensionamiento consiste generalmente en obtener la armadura suficiente para las secciones críticas de manera que estas resistan cumpliendo la normativa todas las acciones a las que se verá sometida. Es importante recordar que: para dimensionar una sección es necesario tener en cuenta todas las hipótesis y seleccionar la armadura que hace que la sección resista en todas las hipótesis (envolvente), si la armadura obtenida es excesiva para la sección de hormigón (diámetros muy grandes, pequeña separación entre barras), habrá que considerar aumentar dicha sección y volver a calcular la armadura. Otra forma complementaria de calcular una sección es la comprobación: a partir de una sección ya dimensionada, se estudia para diferentes hipótesis si esa sección es suficiente. Las acciones principales para dimensionar una sección de hormigón son las de flexión y cortante. En los casos que sea necesario habrá que tener en cuenta también el punzonamiento y (raramente) la torsión. En algunas secciones también habrá que considerar el esfuerzo rasante (secciones en T, por ejemplo). Es importante recordar en este punto que para concluir el dimensionamiento hay que comprobar además: armaduras mínimas, longitudes de anclaje, si es el caso, fisuración, deformaciones y ELS en general. FLEXIÓN El cálculo a flexión es uno de los principales en las secciones de hormigón. Podemos decir que siempre habrá esfuerzos a flexión en una estructura. Si estos esfuerzos son únicamente momentos flectores, estaremos en flexión simple. Esto sucede en las vigas 22

23 biapoyadas, por ejemplo. Si los momentos van acompañados de esfuerzos axiles estaremos en flexión compuesta, cosa que sucede en los pilares de una estructura, por ejemplo. Obtenidos los esfuerzos finales (con las acciones debidamente ponderadas) en las secciones críticas, y a partir de unas dimensiones de la sección dadas, podemos aplicar las fórmulas que nos darán el área de acero necesaria. A partir de las dimensiones y la armadura podremos realizar la comprobación con el diagrama de momentos / axiles en el que podremos situar los diferentes estados de carga y comprobar si están dentro de la zona de seguridad. Por ejemplo: Las cruces muestran diferentes combinaciones axil / momento. A continuación se van a tratar una serie de consideraciones teóricas para después resumir las fórmulas prácticas que nos permitirán dimensionar a flexión una sección rectangular. 23

24 HIPÓTESIS Las hipótesis necesarias para calcular una sección sometida a tensiones normales provocadas por un esfuerzo de flexión y axil son: Evidentemente la sección debe estar en equilibrio, es decir, las tensiones provocadas por los esfuerzos deben equilibrar a dichos esfuerzos. M M N N Zi Esfuerzos Tensiones N = Ss i A i M = Ss i A i Z i La rebanada, que tiene ambas caras planas antes del esfuerzo, después del esfuerzo las sigue conservando planas. Plano Plano M M N Este hecho físico significa que la ley de deformaciones de las fibras de la rebanada es lineal. M M N línea recta DEFORMACIONES Existe adherencia perfecta entre el acero y el hormigón. Esto quiere decir que la deformación del acero es idéntica a la del hormigón adyacente. 24

25 N M M N εs = εc εs = εc O, lo que es lo mismo, la ley de deformaciones de la rebanada es la misma para el acero que para el hormigón de la sección. LEYES DE LOS MATERIALES Los materiales que componen la sección de hormigón estructural son el hormigón y el acero. Para resolver un problema de tensiones normales es preciso conocer cómo se comportan dichos materiales ante este tipo de solicitación. Es decir: Cómo y cuanto responden ante una tensión normal (perpendicular al plano de la sección)? Sección unitaria (1) n n e e - e Dicho de otro modo, cuánto se deforma ante una tensión o qué tensión adquiere ante una deformación. Esta relación entre tensión y deformación se cuantifica mediante un gráfico (s, e) denominado ecuación constitutiva del material. 25

26 σ σ MATERIAL ELÁSTICO o LINEAL ε ZONA ELÁSTICA ZONA PLÁSTICA MATERIAL ELÁSTICO/PLÁSTICO ε Los materiales reales suelen tener un complicado comportamiento, o sea, que su ecuación constitutiva real es compleja y de difícil formulación. La técnica utiliza simplificaciones de la curva real cuyos resultados sean suficientemente aproximados. Las curvas (ecuaciones constitutivas) que se proponen son las más comúnmente utilizadas en hormigón estructural y son, lógicamente, simplificaciones de las curvas reales. Hormigón La ecuación constitutiva real es de la forma σ La ecuación constitutiva simplificada que se utilizará en adelante es la denominada rectangular o plástica. σ ε 0,85 f cd 0,2 ε máx ε máx 3,5 o / oo ε 26

27 Esta ecuación se puede describir de otra forma, más comprensiva εmáx 0,85 fed 0,2 εmáx x 0,8 x 0,2 x 0,2 x DEFORMACIONES Acero La ecuación constitutiva real es de la forma σ ε La ecuación constitutiva simplificada que se utilizará es: σ f yd Es ε y 10 o / oo ( ) ε 27

28 DIAGRAMA DE PIVOTES Antes de proseguir es conveniente recordar que los materiales elásticos puros (lineales, no plásticos) alcanzan su rotura cuando alcanzan su máxima tensión, es decir, se puede asegurar que su rotura se produce cuando su tensión (s) se hace igual a su resistencia (f). En cambio, un material plástico puede tener una tensión igual a su resistencia y no haber roto. Por ejemplo, los puntos 1, 2 ó 3 de la ecuación constitutiva del acero no son de rotura y, sin embargo, su tensión es la máxima. La rotura del acero se alcanzará en el punto A, cuando se deforme una cantidad del 1%. σ A ε 10 o / oo Por este hecho, la rotura de una sección, que se alcanzará cuando uno de sus materiales rompe, se localizará en las deformaciones, no en las tensiones. Si en la sección (rebanada) se dibujan, a la altura de cada material, las deformaciones máximas que admiten, A, B, C, entonces, los posibles planos de agotamiento (rotura) serán los que pasen por A, por B ó por C. 28

29 3,5 o / oo B C A REBANADA dx 10 o / oo 2 o / oo Así pues, los planos de rotura serán todos aquellos que pasen por un pivote. De la EHE: Dominio 1: Tracción simple o compuesta en donde toda la sección está en tracción. Las rectas de deformación giran alrededor del punto A correspondiente a un alargamiento del acero más traccionado del 10 por Dominio 2: Flexión simple o compuesta en donde el hormigón no alcanza la deformación de rotura por flexión. Las rectas de deformación giran alrededor del punto A. Dominio 3: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran alrededor del punto B correspondiente a la deformación de rotura por flexión del hormigón e cu = 3,5 por El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre el 10 por y e y, siendo e y, el alargamiento correspondiente al límite elástico del acero. Dominio 4: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran alrededor del punto B. El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre e y, y 0. Dominio 4a: Flexión compuesta en donde todas las armaduras están comprimidas y existe una pequeña zona de hormigón en tracción. Las rectas de deformación giran alrededor del punto B. Dominio 5: Compresión simple o compuesta en donde ambos materiales trabajan a compresión. Las rectas de deformación giran alrededor del punto C definido por la recta correspondiente a la deformación de rotura del hormigón por compresión, e cu = 2 por

30 FLEXIÓN SIMPLE De todos los planos posibles que agotan una sección, sólo algunos de ellos pueden ser de flexión simple. Concretamente aquellos que tengan una parte de la sección en tracción y otra parte en compresión. Visto de otra forma, pueden ser planos de flexión simple todos aquellos cuya fibra neutra esté dentro de la sección. B 1 2 a b 3 A DEFORMACIONES Zona a: planos que pivotan en A, desde el plano 1 al 2. Estos planos de agotamiento indican que la sección rompe por el acero. Zona b: planos que pivotan en B, desde el plano 2 al 3. Estos planos de agotamiento indican que la sección rompe por el hormigón. Dimensionamiento a flexión simple Para dimensionar una sección a flexión simple se debe buscar el plano de agotamiento, que se conocerá si se conoce la posición de la fibra neutra, x. La otra incógnita del problema es la cantidad de armadura de tracción, As. Las dos incógnitas (x, As) se obtienen mediante la utilización de las ecuaciones de equilibrio de axiles y momentos. 30

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