Transformada de Fourier *

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Transformada de Fourier *"

Transcripción

1 Transformada de Fourier *. De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primeras consideraciones Las series de Fourier son útiles para el estudio de señales periódicas pero, desafortunadamente, este tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica como las no-periódicas. Esta situación requiere el desarrollo de una teoría matemática más ambiciosa y a ello vamos a dedicar algún tiempo. Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real y denotemos por x T (t) (T > ) la señal 2T -periódica que se obtiene a partir de x(t) haciendo x T (t) x(t) para t ( T, T ] y extendiendo periódicamente con periodo 2T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g., es C (R)), entonces tendremos la identidad x(t) x T (t) 2T k [ T T ] x(s)e (πi/t )ks ds e (πi/t )kt, para t ( T, T ] () Evidentemente, si hacemos T en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad límite será válida para todo t R y su valor será igual al de la señal de partida x(t). Ahora, estudiemos qué le sucede al segundo miembro si hacemos T. Tomando f /(2T ) y f k k f, podemos reescribir () como [ T ] x(t) f x(s)e ifks ds e ifkt, para t ( T, T ] k T Ahora bien, f k+ f k f /2T ( k Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {f k } como nodos equiespaciados de una partición de Riemann para la integral límite ( ) x(s)e ifs ds e ift df Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la señal aperiódica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier): ( ) x(t) x(s)e ifs ds e ift df * Este documento está basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, Matemáticas para la recuperación de señales, Grupo Editorial Universitario, 25. Es decir: no periódica.

2 Haciendo el cambio de variable ξ f, podemos reescribir la anterior fórmula como x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ Definición La señal F(x)(ξ) : x(ξ) : x(s)e iξs ds toma el nombre de transformada de Fourier de la señal (aperiódica) x(t) L (R). Definición 2 La señal F (y)(t) : y(ξ)e iξs dξ toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la señal (aperiódica) y(ξ). Nota Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ F(x)(ξ)e iξt dξ F (F(x))(t) y, de manera análoga, F(F (y))(ξ) y(ξ). Una cosa es clara: bajo ciertas hipótesis (que luego especificaremos), conocer la transformada de Fourier de una señal equivale a conocer dicha señal, ya que al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la información. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {c k } k de cierta señal (periódica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos la señal, pues para rescatarla completamente bastará sumar la correspondiente serie de Fourier. Así, el papel del espectro de la señal, que en el caso periódico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el caso aperiódico lo juega la transformada de Fourier. Para evitar problemas con la definición de transformada de Fourier, supondremos que la señal x(t) es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que x L (R) x(t) dt <. En tal caso, su transformada x(ξ) existe y está uniformemente acotada en R, pues e iξs para ξ, s R implica x(ξ) x L (R) para para ξ R. 2

3 .. Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier La palabra transformada indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier será útil (como veremos) para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una ED en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio está en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc. En este apartado estudiamos las propiedades más sencillas de la transformada de Fourier. A continuación exponemos una lista de las propiedades elementales de F(x)(ξ) ˆx(ξ) (Algunas de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio). Nota 2 Mantenemos ambas notaciones, F(x) y ˆx para la transformada de Fourier, porque a veces una de ellas es más cómoda o más clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que el estudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitirá leer fácilmente diferentes textos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo unánime para la notación en esta materia). Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Más precisamente, si x, x 2 L (R), y a, b R, entonces ax + bx 2 (ξ) a x (ξ) + b x 2 (ξ). Traslación en el tiempo. Dado a R, se tiene que F[x(t a)](ξ) e iaξ F[x(t)](ξ) y F[e iaξ x(t)](ξ) F[x(t)](ξ a) Demostración. En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, como se observa a continuación: F[x(t a)](ξ) e iξt x(t a)dt e iξ(s+a) x(s)ds (donde s t a) e iaξ F[x(t)](ξ). La otra fórmula se demuestra de forma análoga. Cambios de escala. Si δ > y x δ (t) δ x(t/δ), entonces F[x δ ](ξ) F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) F(x) δ (ξ). Demostración. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos: F[x δ ](ξ) δ e iξt x(t/δ)dt δ e iξδs x(s)δds (donde s t δ ) F[x](δξ) La demostración de la segunda fórmula es análoga. 3

4 Derivación. Si x es continua y derivable a trozos, con x (t) L (R), entonces Además, si tx(t) es integrable entonces F(x )(ξ) iξf(x)(ξ). F(tx(t))(ξ) if(x) (ξ). Demostración. En este caso vamos a utilizar la fórmula de integración por partes, para el cálculo de ˆx : ˆx (ξ) e iξt x (t)dt e iξt x(t) ] t t + iξ iξ ˆx(ξ) e iξt x(t)dt Antes de continuar desarrollando la teoría, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier: Ejemplo Consideremos la señal escalón Su transformada de Fourier es F(u a )(ξ) u a (t) a a { si t < a en otro caso u a (s)e iξs ds e iξs ds e iξs iξ ] sa s a e iaξ e iaξ iξ cos( aξ) + i sin( aξ) cos(aξ) i sin(aξ) iξ 2 sin(aξ) ξ 4

5 Ejemplo 2 Sea x(t) exp( t ). Entonces x(ξ) De modo que e t e iξt dt e t e iξt dt + e u e iξu du + e t e iξt dt e t e iξt dt e t (e iξt + e iξt )dt 2e t cos(ξt)dt ( 2 cos(ξt)e t] ) + ξ e t sin(ξt)dt [ ( 2 + ξ e t sin(ξt) ] )] ξ e t cos(ξt)dt ( 2 ) 2 ξ2 x(ξ) ; pues ya hemos visto que e t cos(ξt)dt 2 x(ξ). ( x(ξ) 2 ) 2 ξ2 x(ξ) 2 ξ 2 x(ξ) y, por tanto, x(ξ) 2 ξ 2 +. Hay otros ejemplos cuyo cálculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su importancia para las aplicaciones, los traslada a la categoría de teoremas: Teorema Si x(t) exp( t 2 ), entonces x(ξ) π exp( ξ 2 /4). Demostración. El primer paso para el cálculo de x(ξ) e t2 e iξt dt consiste en agrupar en un sólo término el producto e t2 e iξt, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto. Así, si tenemos en cuenta que ( t + iξ ) 2 t 2 + iξt ξ2 2 4, resulta que y, por tanto, x(ξ) ( t 2 + iξt ) ( ξ2 4 t + iξ ) 2 2 e ξ2 4 e t2 e iξt dt e (t+ iξ 2 ) 2 dt, e ξ2 4 (t+ iξ 2 ) 2 dt 5

6 lo que reduce nuestro problema al cálculo de la integral e (t+ iξ 2 ) 2 dt. Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado técnico: Lema e t2 dt π. Demostración. Denotemos por I la integral que queremos calcular: I e t2 dt. Entonces ( ) ( ) I 2 e t2 dt e s2 ds e (t2 +s 2) dtds. Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares, { t ρ cos θ s ρ sin θ, cuyo Jacobiano es igual a ρ, podemos entonces hacer uso del teorema de integración por cambio de variables, para obtener que I 2 ρe ρ2 dρdθ ( ρe ρ2 dρ 2 e ρ2 ) ( dθ ] 2 π. ) ρe ρ2 dρ Por tanto, I π. Tomamos ahora en consideración la fórmula integral de Cauchy, aplicada a la función entera f(z) exp( z 2 ). Como se trata de una función sin singularidades, la integral γ exp( z2 )dz se anula sobre cualquier curva cerrada γ. Consideramos, pues, la curva γ γ + γ 2 + γ 3 + γ 4, cuyo grafo es el borde del rectángulo [ R, R] [, ξ/2] y que está orientada positivamente (de modo que γ va desde R hasta R, γ 2 va desde R hasta R + i ξ, γ 2 2 va desde R + i ξ hasta R + i ξ y γ va desde R + i ξ hasta R). Entonces 2 e z2 dz dz + dz + dz + dz γ R R e t2 dt e z2 γ R R e (t+ iξ 2 ) 2 dt. γ 2 e z2 Como esta igualdad se satisface paa todo R >, se concluye que e (t+ iξ 2 ) 2 dt γ 3 e z2 e t2 dt π γ 4 e z2 6

7 y, por tanto, x(ξ) πe ξ2 4, que es lo que queríamos demostrar. Ya hemos mencionado anteriormente que si la señal es absolutamente integrable en R entonces su transformada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, más fuerte, se satisface: Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x L (R) entonces lím F(x)(ξ). ξ ± Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la continuidad de x(ξ), para ξ R, incluso para señales x(t) discontinuas. Más precisamente, se satisface el siguiente teorema: Teorema 3 Supongamos que x : R C; t x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable (i.e., x(t) dt < ). Entonces x(ξ) es continua en todo ξ R. Demostración. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado técnico de análisis real que no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero sí podremos utilizar. Se trata de una versión del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en que nos encontramos: Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones x h : R C (h R), continuas a trozos tales que existe una cierta función g verificando que x h (t) g(t) para todo t, h R y g(x)dx <. Si además sabemos que existe el límite puntual entonces lím x h (t)dt h x(t) lím h f h (t); t R, (lím x h (t))dt h x(t)dt. Nota: Para la demostración de este resultado, ver [?]. Ahora podemos demostrar la continuidad de x(ξ). Para ello, fijado ξ R hacemos los siguientes cálculos: x(ξ + h) x(ξ) x(t)(e i(ξ+h)t e iξt )dt x(t)e iξt (e iht )dt x h (t)dt, 7

8 donde x h (t) x(t)e iξt (e iht ). Es claro que, para ξ, h, t R se tiene que x h (t) x(t) e iξt (e iht ) 2 x(t) Como g(t) 2 x(t) es absolutamente integrable, y existe el límite puntual lím x h(t) x(t)e iξt lím(e iht ), t R; h h se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que lím( x(ξ + h) x(ξ)) lím h h que es lo que queríamos probar. x h (t)dt (lím x h (t))dt, h Corolario En las condiciones del teorema anterior, si x(ξ) es absolutamente integrable, entonces x(t) C(R). Es más, si utilizamos una versión más fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]), se puede demostrar el siguiente (importante) resultado: Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de ˆx(ξ)) Sean L (R) y C (R) dotados de sus normas usuales x(t) L (R) x(t) dt y x(t) C (R) sup t R x(t). Entonces F : L (R) C (R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa, F : L (R) C (R) Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado: Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)e st y x(t)e s2t son continuas a trozos y absolutamente integrables en toda la recta real, y s < s 2. Entonces la función existe y es holomorfa en la banda F (z) x(t)e izt dt D {z C : Imz (s, s 2 )}. Demostración. Sea z w + is D. Entonces, para t, se tiene que x(t)e izt x(t) e st x(t) e s 2t Además, para t, se tiene que x(t)e izt x(t) e st x(t) e st. Por tanto, x(t)e izt dt x(t) e s t dt + x(t) e s 2t dt <. 8

9 Esto demuestra la existencia de F (z) para z D. Por otra parte, fijados z ({z n } n N D), se tiene que D, y {z n } z F (z n ) F (z ) e iz nt e iz t x(t) dt. Ahora bien, sabemos que lím n e iznt e iz t (puntutalmente en t R) y, por tanto, necesitamos (para utilizar el Teorema de Convergencia Dominada) encontrar una función y(t) L (R) tal que e iz nt e iz t x(t) y(t) para todo t R y todo n. Es fácil comprobar que la función y(t) definida por y(t) 2e s 2t x(t) si t, y(t) 2e s t x(t) si t < satisface dichos requisitos. Por tanto, F es continua en D. Tomamos ahora γ una curva cerrada en D. Entonces, utilizando el teorema de Fubini, vemos que γ F (z)dz ( γ ( γ x(t)e izt dt)dz x(t)e izt dz)dt (por Fubini) dt (por el Teor. Integral de Cauchy) y, por tanto, podemos usar el Teorema de Morera para afirmar que F H(D), que es lo que queríamos demostrar. Corolario 2 Si ˆx(ξ) tiene soporte compacto entonces x(t) es la restricción a R de una función entera x(z)..2. Convolución y Transformada de Fourier Dadas dos señales x(t), y(t) absolutamente integrables en R, recordamos que su convolución está dada por la fórmula (x y)(t) x(s)y(t s)ds. En realidad, la convolución está bien definida desde el momento en que una de las señales sea acotada (en R) y la otra sea absolutamente integrable. Proposición La convolución de señales es una operación conmutativa. Demostración. Basta hacer el cambio de variables t s u, de modo que: x y(t) x(s)y(t s)ds x(t u)y(u)du ỹ x(t). x(t u)y(u)du 9

10 Proposición 2 Si x(t) e y(t) son señales continuas a trozos y absolutamente integrables en R, entonces su convolución, x y(t) es también una señal absolutamente integrable. Es más, se verifica la desigualdad x y L (R x L (R) y L (R) Demostración. Como las señales son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorema de Fubini, para cambiar el orden de integración en los siguientes cálculos: x y L (R) x y(t) dt x L (R) x(s)y(t s)ds dt x(s) y(t s) dsdt { } x(s) ds y(t s) dt (por F ubini) y(t s) dt x L (R) y L (R), como queríamos demostrar. Teorema 7 Supongamos que x, y L (R). Entonces x y(ξ) ˆx(ξ)ŷ(ξ) Demostración. Ya sabemos que x y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizar el teorema de Fubini otra vez en nuestros cálculos: x y(ξ) x y(t)e iξt dt { } x(s)y(t s)ds e iξt dt ˆx(ξ) x(s)e iξs y(t s)e iξ(t s) dsdt { } x(s)e iξs ds y(t s)e iξ(t s) dt ˆx(ξ)ŷ(ξ), y(t s)e iξ(t s) dt que es lo que queríamos demostrar. Evidentemente el teorema de convolución anterior es útil en teoría de señales, puesto que los filtros son normalmente operadores de convolución y, usando el resultado anterior, podemos convertir

11 una operación relativamente complicada (la convolución de señales en el dominio del tiempo) en otra muy sencilla (el producto de señales en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar que quizás cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedan trasladar (vía la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) serán más fáciles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la solución en el dominio de la frecuencia, será necesario llevársela al domino del tiempo vía una transformación que deberá funcionar como el operador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguiente sección..3. El teorema integral de Fourier En las secciones anteriores llegamos mediante una serie de argumentos heurísticos a la expresión x(t) F(x)(ξ)e iξt dξ. Ahora vamos a estudiar en detalle bajo qué condiciones sobre la señal x(t) se satisface dicha fórmula. De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, la respuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudiera suceder que F(x) x / L (R) y, por tanto, la expresión F(x)(ξ)eiξt dξ no sea convergente. Un ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identidad (que ya demostramos en su momento) F(u a )(ξ) 2 sin(aξ). ξ por otra parte, aún en el caso de que x L (R) es posible que para comprobar la fórmula x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el cálculo de la integral doble, pues podría suceder que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integración (debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble). Pero podemos intentar lo siguiente: Primero multiplicamos el integrando x(ξ) por una función Φ ε (ξ) que decrezca muy rápido para ξ ± pero que, si hacemos ε, se aproxime uniformemente a la función. De esta forma, para ε > fijo, podemos hacer las cuentas (intercambiar el orden de integración, etc) pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente. A continuación intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε. Existen varias elecciones de Φ ε (ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teorema Integral de Fourier 2 ). Una posibilidad es tomar Φ ε (ξ) e ε2 ξ 2 /2 y, de hecho, el correspondiente teorema es muy usado para el estudio de procesos estocásticos. Nosotros vamos a elegir Φ ε (ξ) de 2 En realidad, esto es parecido a la existencia de varios métodos de sumación para las series de Fourier.

12 forma un poco más drástica. Tomamos: Φ ε (ξ) χ [ ε, ](ξ), lo que es equivalente a interpretar la ε integral eiξt x(ξ)dξ como su valor principal. Es decir, para nuestro teorema, no suponemos la convergencia de la integral impropia en el sentido estricto sino que interpretamos que denota su valor principal, ( ) M v.p x(ξ)e iξt dξ lím x(ξ)e iξt dξ. r M De esta forma, llegamos a demostrar el siguiente (importante) resultado: Teorema 8 (Teorema Integral de Fourier) Supongamos que x(t) es continua a trozos, absolutamente integrable en R, en cada punto admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de discontinuidad está definida como Entonces x(t) (x(t+) + x(t ))/2. M x(t) lím e iξt x(ξ)dξ ( M M v.p e iξt x(ξ)dξ ) Demostración. Utilizamos el teorema de Fubini para ver que M ( M x(ξ)eiξt dξ M ) M x(s)e iξs ds e iξt dξ ( x(s) M M e iξs e dξ) iξt ds ( ] ) ξm x(s) e iξ(t s) ds i(t s) ξ M ds t π x(s) 2 sin(m(t s)) t s x(s) sin(m(t s)) t s ds + π Si hacemos el cambio de variable u s t, entonces M x(ξ)e iξt dξ M π Vamos a demostrar que y π π t x(u + t) sin(mu) du + u π x(s) sin(m(t s)) ds t s x(t + u) sin(mu) du x(t+) u 2 x(u + t) sin(mu) u du x(t ). 2 (t R) x(u + t) sin(mu) du. u En realidad, basta que hagamos una de estas pruebas (la otra es análoga). Lo primero que hacemos es descomponer la integral x(t + u) sin(mu) du en dos trozos, como sigue π u π x(t + u) sin(mu) du π u π x(t + u) sin(mu) du + u π π x(t + u) sin(mu) du u 2

13 (la elección de la constante π no es, de todas formas, significativa). La función y(t) { π x(t+u) u si u π si u < π es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema de Riemann Lebesgue para garantizar que lím M y(t) sin(mt)dt Por tanto, lím M M π x(t+u) u sin(mu)du y sólo tenemos que estudiar el límite lím M π π x(t + u) sin(mu) du. u Ahora bien, sabemos que h(u) x(t+u) x(t+ ) es continua a trozos y, por tanto, también como consecuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene u que lím M π lím M lím M π { π π x(t + ) π x(t + u) sin(mu) du u x(t + u) x(t + ) sin(mu)du + x(t + ) u sin(m u) du u π π } sin(m u) du u Si hacemos el cambio de variable s Mu, obtenemos que du u ds s y, por tanto, π lím M sin(m u) πm du lím u M sin(s) ds s La demostración del teorema se concluye si tenemos en cuenta que separamos en forma de nota. sin(s). Como es continua en [, ), la integral impropia será con- s ds para alguna elección de a >. Para demostrar esto Nota 3 Veamos que sin(s) ds π s 2 vergente si y solo si lo es la integral a último, hacemos integración por partes. a sin(s) ds s sin(s) ds π, hecho que s 2 sin(s) s sin(s) ds cos s s s ] s sa + a sin(s) ds s 2 Ahora bien, sin s s y ds <. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe. 2 s 2 a s 2 Teniendo en cuenta que sin u es una función continua concluimos que la integral impropia u se podrá representar como sin(s) ds s Rn lím R n sin(s) ds s sin(s) ds s 3

14 para alguna elección de la sucesión {R n } n. Para hacer efectivos los cálculos, tomamos R n (n + 2 )π, de modo que sin u π du lím u n π lím n π lím n π 2 lím t + 2 sin( 2 t) t sin((n + /2)t) dt t 2 sin( t) 2 sin((n + /2)t) t 2 sin( t) dt 2 2 sin( t) 2 D n (t)dt t π 2, (donde se ha utilizado el Teorema de Dirichlet??). Esto finaliza la prueba..4. Transformada de Fourier de funciones de L 2 (R) En principio, la transformada de Fourier de una señal x(t) L 2 (R) podría no existir, por la sencilla razón de que la integral x(t)eiξt dξ podría ser divergente si x(t) / L (R). Aún así, sería deseable disponer de una extensión de la transformada de Fourier a todo L 2 (R): despues de todo, L 2 (R) es el substituto natural (en el mundo analógico) de l 2 (Z) y, ya que la serie de Fourier tenía tan buenas propiedades en relación con el espacio l 2 (Z), quizás consigamos algo parecido para la transformada de Fourier. La extensión a que nos referimos se puede hacer en gran medida gracias al siguiente resultado técnico: Lema 2 Si x(t), y(t) L (R) son tales que también x(t), ŷ(t) L (R), entonces tanto x(t), y(t) como x(t), ŷ(t) pertenecen a L 2 (R) y además (x, y) L 2 (R) ( x, ŷ) L 2 (R) En particular, si x(t) y(t), entonces se tiene la siguiente fórmula de Parseval : x L 2 (R) x L 2 (R) Demostración. Que x(t), x(t) L (R) implica x(t), x(t) L 2 (R) es sencillo de probar. Vamos a 4

15 calcular el producto (x, y) L 2 (R) utilizando el teorema integral de Fourier: (x, y) L 2 (R) x(t)y(t)dt ( x(t) ŷ(ξ)e iξt dξ ) dt ( ) ŷ(ξ)x(t)e iξt dt dξ ( ) ŷ(ξ) x(t)e iξt dt dξ ŷ(ξ) x(ξ)dξ ( x, ŷ) L 2 (R) Esto termina la prueba. Ahora, si x(t) L 2 (R), entonces es posible encontrar una sucesión de señales {x n (t)} n tales que x n (t), x n (ξ) L (R) para todo n y lím n x x n L 2 (R) (ver [?]). Se sigue entonces del lema anterior que la sucesión { x n (ξ)} n es de Cauchy en L 2 (R), ya que la sucesión {x n (t)} n lo es (al ser convergente) y x n (ξ) x m (ξ) L 2 (R) x n (t) x m (t) L 2 (R) se satisface para todo n, m. Se sigue que existe una señal z(ξ) L 2 (R) tal que lím x n(ξ) z(ξ) L n 2 (R). Veamos que z(ξ) no depende de la sucesión de aproximantes {x n (t)} n: si {y n (t)} n fuese otra sucesión de señales con y n (t), ŷ n (ξ) L (R) y lím n x y n L 2 (R), entonces se tendría que lím x n(ξ) ŷ n (ξ) L n 2 (R) lím x n (t) y n (t) L 2 (R) n y, por tanto, también lím n ŷ n (ξ) z(ξ) L 2 (R). Esto prueba que z(ξ) sólo depende de la señal x(t) L 2 (R). Definición 3 Llamamos transformada de Fourier 3 de la señal x(t) L 2 (R) a la única señal x(ξ) tal que es límite en el sentido de L 2 (R) de una sucesión de transformadas { x n (ξ)} n, donde {x n (t)} n L 2 (R) satisface x n (t), x n (ξ) L (R) para todo n y lím n x x n L 2 (R). De esta forma hemos demostrado el siguiente (importante) resultado: Teorema 9 (Plancherel) La transformada de Fourier, definida originalmente en L 2 (R) L (R), se extiende de forma única a un operador F : L 2 (R) L 2 (R) (F(x(t)) x(ξ)). Además, (x, y) L 2 (R) ( x, ŷ) L 2 (R) y x L 2 (R) x L 2 (R), se satisfacen para toda elección de x, y L 2 (R). Nota 4 El resto de propiedades algebraicas de la transformada de Fourier también se conservan para la extensión que hemos definido en esta sección. [?]. 3 Algunos autores llaman transformada de Plancherel a la extensión de F a L 2 (R) y la denotan por P. Ver, por ejemplo, 5

16 .5. Fórmula de Poisson Sea x L (R) y sea ϕ(t) n x(t + nt ). Es evidente que ϕ(t) ϕ(t + T ) para todo t R y, además, T ϕ(t) dt n T x(t + nt ) dt n (n+)t nt x(t) dt x L < por tanto, podemos intentar calcular los coeficientes de Fourier de ϕ como función T -periódica. c k (ϕ) T T T ϕ(t)e ikt T dt T n T x(t)e ikt T dt T x(k T ) Se sigue que el desarrollo en serie de Fourier de ϕ es ϕ(t) T x(t + nt )e ikt T dt T k x( k ikt )e T T n (n+)t nt x(t)e ikt T dt y, por tanto, cuando se pueda garantizar la convergencia de dicho desarrollo, se tendrá la conocida fórmula de Poisson x(t + nt ) x( n int )e T (2) T T n n Un caso especial es el que se logra de hacer t en la expresión anterior: n x(nt ) T n x( n ). (3) T Es muy importante, para nuestros objetivos futuros (relacionados con la teoría del muestreo de señales analógicas), observar que se satisface la siguiente propiedad: Proposición 3 Si x φ S, entonces se satisface la Fórmula de Poisson (2). 2. Transformada de Fourier de Señales Generalizadas Uno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular F(x) es necesario asumir que x L (R) o, mediante el argumento explicado en la seccióón anterior, tambien podemos ampliar dicho cálculo al caso en que x(t) es una señal de energía finita, x L 2 (R). Podemos definir la transformada de Fourier de señales en espacios menos restrictivos?. Por ejemplo, es posible definir F(x) cuando x L p (R), p (, )? (Una idea podría ser considerar los elementos de L p (R) como funciones generalizadas). Si tenemos en cuenta que para toda función φ S se tiene que F(φ) S (algo que dejamos como ejercicio para el lector), entonces podemos definir la transformada de Fourier de una señal generalizada x G del siguiente modo: 6

17 Definición 4 Sea x G una función generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier (generalizada) F(x) mediante la fórmula siguiente: También usamos la notación x F(x). F(x){φ} x{f(φ)} Nota 5 En la definición anterior se está utilizando la caracterización de las funciones generalizadas como distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S C). Ver Teorema??. El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas de Fourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particular, esto se hará notar en el estudio del teorema del muestreo clásico. Ahora, para que la transformada de Fourier que acabamos de introducir sea útil es imprescindible comprobar que las propiedades básicas de la transformada de Fourier clásica se conservan. Teorema (Teorema de inversión de Fourier para señales generalizadas) Sea x(t) G una función generalizada. Entonces para toda señal φ S se tiene que x{φ(t)} x{φ( t)}, y, por tanto, podemos afirmar que x(t) x( t). Demostración. Sean x G y φ S. Entonces x{φ(t)} x{φ( t)} x(t) φ(t)dt x(t) φ(t)dt x(t)φ( t)dt Nota 6 Obsérvese con qué facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversión para señales generalizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las señales ordinarias. Ahora bien: dicha simplicidad es engañosa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce el teorema de inversión de Fourier para las funciones φ que están en la clase de Schwartz, que son señales ordinarias. Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ. Por definición, F(δ){φ} δ{f(φ)} F(φ)() y, por tanto, F(δ){φ} ˆφ() φ(s) ds {φ}. 7

18 para toda señal φ S. Por tanto, hemos demostrado que F(δ). Además, utilizando el teorema de inversión de Fourier, y el hecho de que δ es par, podemos afirmar que F()(t) ˆδ(t) δ( t) δ(t). Además, si consideramos las traslaciones de la señal delta de Dirac, δ w (t) δ(t w), entonces obtenemos que es decir, δ( w)(t) exp( wit). δ w {φ} ˆφ(w) δ(t w) ˆφ(t)dt δ(s) ˆφ(s + w)dt e iwt φ(t)dt (e iwt ){φ}, Ejemplo 4 El ejemplo anterior sirve (entre otras cosas) para calcular la transformada de Fourier de una exponencial compleja, x(t) exp(iwt). Para ello basta aplicar el Teorema, pues x(t) δ( w)(t) δ( t w) δ(t + w). Ejemplo 5 Otro ejemplo importante es el cálculo de la transformada de Fourier del tren de impulsos III{φ} T n φ(nt ). Claramente, III T {φ} ( n δ( nt )) {φ}. Por tanto, Es decir, ÎII T T ÎII T {φ} III. T n n n T T δ( nt ){φ} exp( int t){φ} φ(nt ) n III {φ}. T φ( n) (gracias a la Fórmula de Poisson (3)). T Teniendo en cuenta la conocida fórmula de derivación de Leibnitz, n ( ) n (fg) (n) f (k) g (n k), k k 8

19 se puede demostrar que si la señal α satisface α (k) CSG para todo k N, (4) entonces, para toda señal φ S se tiene que αφ S. Veámoslo. Para ello, calculamos las derivadas n ( ) n (αφ) (n) α (k) φ (n k). k k Como α (k) CSG y φ (n k) S para todo k n, se tiene que las funciones α (k) φ (n k) pertenecen a S para todo k n y, por tanto, también se tiene que (αφ) (n) S. Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada x G, el producto generalizado (α x){φ} x{φ α}. Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada x G, el producto generalizado (α x){φ} x{φ α}. Por otra parte, la convolución de señales generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supongamos que las señales β, β, β, pertenecen a S. Entonces, para toda señal x G se define el producto de convolución (β x){φ} : x(t)(φ β)(t)dt, donde β(t) : β( t). Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad: Teorema (Producto y Convolución) Sean α(t) verificando (4) y x G. Entonces α x α x. Demostración. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β α satisface las condiciones necesarias para definir el producto de convolución β x, puesto que β α α. Sea ϕ S. Entonces, para toda señal φ S se tiene que (ϕα){φ} (ϕα)(t) φ(t)dt α(t)( φ(t)ϕ(t))dt α(t) (φ ϕ)(t)dt α(t)(φ ϕ)(t)dt α(t)(φ ϕ)(t)dt ( α ϕ)(t)φ(t)dt ( α ϕ){φ} 9

20 lo que demuestra que (ϕα) ( α ϕ) siempre que ϕ S. En particular, hemos dado una prueba explícita de que para toda señal ϕ S se tiene que ϕ α S y, por tanto, el producto de convolución α x{φ} está bien definido. Terminamos la demostración calculando α x{φ} explícitamente: (α x){φ} x(t)α(t) φ(t)dt α(t)( φ(t)x(t))dt α(t) (φ x)(t)dt α(t)(φ x)(t)dt α(t)(φ x)(t)dt ( α x)(t)φ(t)dt ( α x){φ} 3. Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos de filtros Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a través de la convolución contra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx x h, donde h Lδ). Si tomamos la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puede representar en el dominio de la frecuencia como ŷ F(Lx) F(x)F(h) x ĥ Generalmente, se emplea la notación siguiente: X(w) x(w) representa la entrada del sistema e Y (w) ŷ(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, la señal H(w) ĥ(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La señal H(w) recibe el nombre de función de transferencia del sistema. Evidentemente, la fórmula Y (w) X(w)H(w), que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es más sencilla (en principio) que la correspondiente fórmula en el dominio del tiempo. Esto, además, posee importantes aplicaciones para el diseño de filtros: veamos por qué. 2

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2 Funciones analíticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto

Más detalles

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com Variable Compleja José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación

Más detalles

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Tema 3 Problemas de valores iniciales 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Estudiaremos las soluciones aproximadas y su error para funciones escalares, sin que ésto no pueda extenderse para funciones

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ester Simó Mezquita Matemática Aplicada IV 1 1. Transformada de Laplace de una función admisible 2. Propiedades básicas de la transformada de Laplace

Más detalles

DELTA DE DIRAC. NOCIONES BÁSICAS

DELTA DE DIRAC. NOCIONES BÁSICAS DELTA DE DIRAC. NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Consideremos la gráfica de la función h ǫ ( a) definida por la Fig. 1: 1 ǫ,a R, ǫ > 0. a ǫ a a+ ǫ 2 2 Fig. 1 Formalmente, dado a R, ǫ > 0, la función definida por

Más detalles

El Teorema de existencia y unicidad de Picard

El Teorema de existencia y unicidad de Picard Tema 2 El Teorema de existencia y unicidad de Picard 1 Formulación integral del Problema de Cauchy El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchy para un SDO de primer

Más detalles

Series y Probabilidades.

Series y Probabilidades. Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Sea f(x) una función definida para todo x, con periodo. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICION La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia,

Más detalles

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1

Teorema de Green. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es. 1. Introducción 1 Teorema de Green ISABEL MAEO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Teorema de Green en regiones simplemente conexas 1 2.1. urvas de Jordan.........................................

Más detalles

2.6. La integral de convolución

2.6. La integral de convolución 2.6. La integral de convolución 141 2.6. La integral de convolución La convolución entre dos funciones es un concepto físico importante en muchas ramas de la ciencia. Sin embargo, como sucede con muchas

Más detalles

Tema 3. Secuencias y transformada z

Tema 3. Secuencias y transformada z Ingeniería de Control Tema 3. Secuencias y transformada z Daniel Rodríguez Ramírez Teodoro Alamo Cantarero Contextualización del tema Conocimientos que se adquieren en este tema: Concepto de secuencia

Más detalles

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano

Más detalles

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace 2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

82 2. Análisis de Fourier. Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). 2/a dx+ +

82 2. Análisis de Fourier. Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). 2/a dx+ + 82 2. Análisis de Fourier Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). sen(πax)/(πn) para (n )/a x n/a. Entonces sen(πax) /a 0 πax dx sen(πax) 2/a π dx+ sen(πax) 2π dx+ + 0 /a = n/a π sen(πax)

Más detalles

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION RAFAEL POTRIE Resumen. La idea es dar una prueba elemental del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si U R n es un abierto homeomorfo

Más detalles

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6 VARIABLE COMPLEJA #6 FAMILIAS NORMALES Recordemos que F C(D, C) es una familia normal cuando cada sucesión en F tiene una subsucesión que converge en C(D, C). Esto es lo mismo que decir que cerr(f) es

Más detalles

Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro

Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro Capítulo 12 Integrales impropias. Integrales dependientes de un parámetro Integrales impropias. Paso al límite bajo la integral. Continuidad y derivabilidad de las integrales dependientes de un parámetro

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Complementos de matemáticas. Curso 2004-2005

Complementos de matemáticas. Curso 2004-2005 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería Técnica Industrial Complementos de matemáticas. Curso 004-005 Colección de ejercicios del tema 1 Las soluciones aparecen en color azul, y si disponéis de la posibilidad

Más detalles

Anexo 2: Demostraciones

Anexo 2: Demostraciones 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-

Más detalles

el Capítulo 5, Transform Analysis of Time-Invariant Systems 6.1. Idea de la demostración del Teorema de Cauchy

el Capítulo 5, Transform Analysis of Time-Invariant Systems 6.1. Idea de la demostración del Teorema de Cauchy 6 Transformada Z La bibliografía para el estudio de este tema es: el Capítulos 3, Z Transform y el Capítulo 5, Transform Analysis of Time-Invariant Systems del libro de Oppenheim, A., Schafer, R., Discrete-Time

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE

ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE Javier Pérez González Departamento de Análisis Matemático septiembre 2006 Índice general 1. Números complejos. Series. Exponencial

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales

Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales 1 Introducción 2 2 Existencia y unicidad de las soluciones 4 3 Dependencia de las condiciones iniciales 8 4 Ecuaciones diferenciales autónomas 9 4.1 Orbitas

Más detalles

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m

Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Diferenciabilidad de funciones de R n en R m Cálculo II (2003) En este capítulo generalizamos la noción de diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial, que también llamamos aplicaciones.

Más detalles

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL OPERADORES NO ACOTADOS

CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL OPERADORES NO ACOTADOS CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP OPERADORES NO ACOTADOS 1. Extensiones de operadores lineales Sea A un operador

Más detalles

Variable compleja. Juan Manuel Tejeiro. 1 Algebra de los números complejos

Variable compleja. Juan Manuel Tejeiro. 1 Algebra de los números complejos Variable compleja Juan Manuel Tejeiro Algebra de los números complejos La teoría de las funciones complejas es uno de los campos de la matemática más interesantes y tal ve una de las herramientas más útiles

Más detalles

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo Capítulo 8 Anillos Especiales 8.1 Conceptos Básicos En este capítulo nos dedicaremos al estudio de algunos anillos especiales que poseen ciertas condiciones adicionales, aparte de las propias de la definición,

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación Universidad de Alcalá José Enrique Morais San Miguel 27 de septiembre de 2004 Índice general I VARIABLE COMPLEJA 1 1. Funciones de

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Funciones

Conjuntos, Relaciones y Funciones Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo

Grupos. 2.1 Introducción. Capítulo Capítulo 2 Grupos 2.1 Introducción La estructura de grupo es una de las más comunes en toda la matemática pues aparece en forma natural en muchas situaciones, donde se puede definir una operación sobre

Más detalles

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto -generalmente en los primeros años de secundariaal estudio de los polinomios. Durante una temporada que parecía

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam. Notas de Análisis Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.mx Marzo del 2005 2 Contenido 1 Topología de espacios métricos

Más detalles

PROGRAMA ANALÍTICO INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA

PROGRAMA ANALÍTICO INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA PROGRAMA ANALÍTICO DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS CARRERA: INGENIERÍA ELECTRICISTA - INGENIERÍA MECÁNICA ASIGNATURA: CÁLCULO III CÓDIGO: 0403 AÑO ACADÉMICO: 2014 PLAN DE ESTUDIO: 2004 2005 UBICACIÓN EN

Más detalles

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz Análisis Real: Primer Curso Ricardo A. Sáenz Índice general Introducción v Capítulo 1. Espacios Métricos 1 1. Métricas 1 2. Métricas en espacios vectoriales 4 3. Topología 9 Ejercicios 17 Capítulo 2.

Más detalles

Series y Transformada de Fourier

Series y Transformada de Fourier Series y Transformada de Fourier Series de Fourier Transformada de Fourier Series de Fourier Las series de Fourier describen señales periódicas como una combinación de señales armónicas (sinusoides). Con

Más detalles

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. SISTEMAS PLANOS. TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON. La aplicación de Poincaré Recordemos que un subconjunto H de R n es una subvariedad de codimensión uno (o una

Más detalles

2.1 Sistemas discretos en tiempo. 2.1.1 Sistemas lineales. 2.1.2 Sistemas invariantes en tiempo

2.1 Sistemas discretos en tiempo. 2.1.1 Sistemas lineales. 2.1.2 Sistemas invariantes en tiempo 2.1 stemas discretos en tiempo Un sistema discreto en el tiempo se define matemáticamente como la transformación o el operador que traza una secuencia de entrada con valores x[n], en una secuencia de salida

Más detalles

Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace

Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace La transformada de Laplace... 29 Concepto e interés práctico... 29 Definición... 30 Observaciones... 30 Transformadas de Laplace funcionales...

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Matemáticas. David Jornet, Vicente Montesinos

Matemáticas. David Jornet, Vicente Montesinos Matemáticas David Jornet, Vicente Montesinos Índice general Introducción VII 1. Variable compleja 1 1.1. El plano complejo......................... 1 1.2. Preliminares............................ 3 1.3.

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones

Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones Métodos de Elementos Finitos y Aplicaciones Teoremas de Extensión para espacios de Sobolev Formulación del problema Dado un dominio abierto Ω R N y el espacio de Sobolev W 1,p (Ω) correspondiente, se busca

Más detalles

Dominios de factorización única

Dominios de factorización única CAPíTULO 3 Dominios de factorización única 1. Dominios euclídeos En la sección dedicada a los números enteros hemos descrito todos los ideales de Z. En este apartado introducimos una familia de anillos

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004

Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004 Solución del examen de Variable Compleja y Transformadas I. T. I. Electrónica y Electricidad 29 de enero de 2004. Estudia si existe alguna función de variable compleja f() entera cuya parte real sea x

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

1 Sucesiones de números reales

1 Sucesiones de números reales 1 Sucesiones de números reales 1.1 Números reales En el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones binarias, suma y producto, y una relación de orden (a, b) a + b (a, b) ab a b. Ellos

Más detalles

Notaciones y Pre-requisitos

Notaciones y Pre-requisitos Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto

Más detalles

Teoremas de Stokes y Gauss

Teoremas de Stokes y Gauss Lección 9 Teoremas de Stokes y Gauss Presentamos a continuación los dos resultados principales del Cálculo Vectorial. Por una parte, el Teorema de Stokes generaliza la fórmula de Green, estableciendo la

Más detalles

Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría

Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría XXIII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS Teoría geométrica de funciones: el punto de encuentro entre variable compleja y geometría José Manuel Rodríguez García José María Sigarreta Almira Eva Tourís Lojo

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

Tema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa

Tema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Tema 5.: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 8-9 Enrique de Amo, Universidad de Almería En

Más detalles

6.1 Transformada de Fourier

6.1 Transformada de Fourier 6 Función de Green II. Dominios no acotados 23 a t e a PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS t i c a s 2 o Ing. Telecomunicaciones CURSO 2009 2010 6 Función de Green II. Dominios no acotados 6.1 Transformada

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES

LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES Índice: 1.Funciones reales de variable real-------------------------------------------------------------- 1 2. Límite finito de una función en un punto.---------------------------------------------------

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Análisis espectral de señales periódicas con FFT

Análisis espectral de señales periódicas con FFT Análisis espectral de señales periódicas con FFT 1 Contenido 7.1 Introducción a la Transformada Discreta de Fourier 3-3 7.2 Uso de la Transformada Discreta de Fourier 3-5 7.3 Método de uso de la FFT 3-8

Más detalles

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1 Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial

Más detalles