Tema 3: Problemas de Satisfacción de Restricciones

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1 Tema 3: Problemas de Satisfacción de Restricciones Universidad de Granada

2 Tema 3: Satisfacción de Restricciones Contenido Problemas de satisfacción de restricciones Métodos de búsqueda Búsqueda local para problemas de satisfacción de restricciones

3 Problemas de Satisfacción de Restricciones Un tipo particular de problemas que van a tener asociados Métodos de búsqueda particulares Heurísticas de propósito general

4 Problemas de Satisfacción de Restricciones (PSRs) Un problema de búsqueda standard Un estado puede ser cualquier estructura de datos que se pueda evaluar y de la que podamos calcular los sucesores. Un problema de satisfacción de restricciones Un conjunto de variables (X 1,..., X n ) Cada variable X i toma valores en un dominio D i. Un conjunto de restricciones C 1,..., C m. PSRs: objetivo Encontrar una asignación para todas las variables X 1 = a 1,...,X n = a n que verifique todas las restricciones. Podemos diseñar algoritmos específicos para estos problemas, más potentes que los de propósito general.

5 Ejemplo: Colorear mapas Western Australia Northern Territory South Australia Queensland New South Wales Victoria Tasmania Variables WA, NT, Q, NSW, V, SA, T Dominios D i = {rojo, verde, azul} Restricciones: las regiones adyacentes tienen que tener colores distintos WA NT (si tenemos un lenguaje que permita esta expresión), o de forma extensiva (WA, NT) {(rojo, verde),(rojo, azul),(verde, rojo),(verde, azul),...}

6 Ejemplo: Colorear mapas Western Australia Northern Territory South Australia Queensland New South Wales Victoria Tasmania Las soluciones son asignaciones completas que verifican todas las restricciones: {WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde, V = rojo, SA = azul, T = verde}

7 Problemas de Satisfacción de Restricciones (PSRs) Una asignación que no viola ninguna restricción se llama consistente. Una asignación completa es una asignación en la que aparecen todas las variables. Una solución es una asignación completa y consistente. Algunos PSRs requieren una solución que maximiza una función objetivo

8 Problemas de Satisfacción de Restricciones (PSRs) Saber si existe una solución de una problema PSR es, en general, es NP-completo La obtención de soluciones óptimas es NP-difícil Se requiere una gran eficiencia en los procesos de búsqueda

9 Ejemplo: Colorear mapas Western Australia Northern Territory South Australia Queensland New South Wales Victoria Tasmania Las soluciones son asignaciones completas que verifican todas las restricciones: {WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde, V = rojo, SA = azul, T = verde}

10 Grafo de restricciones Problema binario: Cada restricción involucra, a lo más, dos variables. Grafo de restricciones: los nodos son variables, los arcos muestran restricciones. WA NT Q SA NSW V Victoria Los algoritmos pueden usar esta estructura para mejorar la búsqueda. Por ejemplo, se ve que la asignación de Tasmania es una problema independiente. T

11 Tipos de enfoques Formulación incremental Estado inicial: la asignación vacía {} Función sucesor: un valor se puede asignar a cualquier variable no asignada, a condición de que no suponga ningún conflicto con variables antes asignadas Test objetivo: la asignación actual es completa Costo del camino: un costo constante para cada paso Propiedades Esta formulación es idéntica para todos los PSRs Cada solución aparece a la misma profundidad n. Podemos buscar en profundidad. El camino a la solución es irrelevante. Hay n!d n hojas!!!!

12 Tipos de enfoques Formulación completa de estados Dado que el camino que alcanza una solución es irrelevante, se pueden manejar estados con asignaciones completas. Uso de métodos de búsqueda local.

13 Tipos de problemas Variables discretas y dominios finitos Si d es el tamaño máximo del dominio de cualquier variable, entonces el número de posibles asignaciones es O(d n ). Dominios infinitos Lenguaje de restricciones Comienzo1 + 5 Comienzo2 Restricciones lineales Restricciones no lineales

14 Tipos de restricciones Restricciones absolutas Restricciones unarias. Restricciones binarias. Un PSR binario es un problema sólo con restricciones binarias y puede representarse como un grafo de restricciones. Restricciones de orden más alto. Restricciones de preferencia A veces, la preferencia está asociada a un coste por cada valor de cada variable

15 Puzzles cripto-aritméticos Hipergrafo de restricciones T W O + T W O F O U R F T U W R O X 3 X 2 X 1 Variables: F, T, U, W, R, O, X 1, X 2, X 3 Dominios: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Restricciones: TodasDistintas(F, T, U, W, R, O) O + O = R + 10 X 1, etc.

16 Problemas de Propagación de Restricciones Reales Problemas de asignación (por ejemplo, asignación de profesores a clases) Problemas de horarios (horas y aulas de las clases) Problemas de configuración de hardware Problemas de transporte Organización de trabajos Asignación de presupuestos

17 Técnicas de búsqueda sin información Uso de búsqueda en anchura: se genera un árbol con n! d n hojas. Propiedad crucial común a todos los PSRs: la conmutatividad (el orden de aplicación de cualquier conjunto de acciones no tiene ningún efecto sobre el resultado). [WA = red, NT = green] es lo mismo que [NT = green, WA = red] Debido a la conmutatividad, hay d n hojas En cada nodo consideramos la asignación de un valor a una nueva variable. La búsqueda en profundidad donde en cada paso se asigna sólo un valor a una variable, se llama algoritmo de vuelta atrás. Pueden resolver el problema de las n-reinas para n 25.

18 Algoritmo de vuelta atrás Se llama a la función recursiva VUELTAATRAS({}, PSR) VUELTAATRAS(Asignacion, PSR) 1: if Asignacion es completa then 2: return Asignacion 3: Seleccionar una variable no asignada X 4: for Valor posible de X do 5: if X = Valor es consistente con las asignaciones then 6: Añadir X = Valor a Asignacion 7: Sol VUELTAATRAS(Asignacion, PSR) 8: if Sol no es No-Solucion then 9: return VUELTAATRAS(Asignacion, PSR) 10: return No-solucion

19 Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrás

20 Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrás

21 Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrás

22 Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrás

23 Árbol de nodos

24 Comparación de algoritmos Tabla del número de nodos analizados

25 Mejoras del algoritmo básico Qué variable debe asignarse después, y en qué orden deberían intentarse sus valores? Cuáles son las implicaciones de las variables actuales para el resto de variables no asignadas? Cuando un camino falla, puede la búsqueda evitar repetir este fracaso en caminos siguientes? Podemos aprovechar la estructura del problema?

26 Variable y ordenamiento de valor Mínimos valores restantes Grado heurístico Valor menos restringido

27 Mínimo Valores Restantes Heurística MVR o variable más restringida Elegir la variable a la que le quedan menos valores posibles (está más restringida).

28 Comparación de algoritmos Tabla del número de nodos analizados

29 El Grado Heurístico Intenta reducir el factor de ramificación sobre futuras opciones, Selecciona la variable, entre las no asignadas, que esté implicada en el mayor número de restricciones La heurística MVR es más poderosa, pero el grado heurístico es útil en casos de empate

30 La Selección del Valor Valor menos restringido Dada una variable, elegir el valor que restringe menos los valores de las variables no asignadas. Allows 1 value for SA Allows 0 values for SA Se elige la opción Q = Roja. Combinando estas heurísticas se puede resolver el problema de las 1000-reinas.

31 Propagación de la información a través de las restricciones Comprobación hacia delante Propagación de restricciones Manejo de restricciones especiales Vuelta atrás inteligente

32 Comprobación hacia delante Idea Siempre que se asigne una variable X, el proceso de búsqueda hacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionada con X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valor que sea inconsistente con el valor elegido para X. Si hay una variable sin valores posible vuelve atrás.

33 Comprobación hacia delante Idea Siempre que se asigne una variable X, el proceso de búsqueda hacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionada con X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valor que sea inconsistente con el valor elegido para X. Si hay una variable sin valores posible vuelve atrás. WA NT Q NSW V SA T

34 Comprobación hacia delante Idea Siempre que se asigne una variable X, el proceso de búsqueda hacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionada con X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valor que sea inconsistente con el valor elegido para X. Si hay una variable sin valores posible vuelve atrás. WA NT Q NSW V SA T

35 Comprobación hacia delante Idea Siempre que se asigne una variable X, el proceso de búsqueda hacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionada con X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valor que sea inconsistente con el valor elegido para X. Si hay una variable sin valores posible vuelve atrás. WA NT Q NSW V SA T

36 Comprobación hacia delante Idea Siempre que se asigne una variable X, el proceso de búsqueda hacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionada con X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valor que sea inconsistente con el valor elegido para X. Si hay una variable sin valores posible vuelve atrás. WA NT Q NSW V SA T

37 Comparación de algoritmos Tabla del número de nodos analizados

38 Propagación de restricciones La comprobación hacia delante no descubre todas las inconsistencias, por ejemplo, después de asignar AO=R y Q=V, tanto TN como AS están Obligadas a tomar el valor A, pero como son adyacentes no pueden tomar el mismo valor. WA NT Q NSW V SA T

39 Arcos consistentes Una forma más sofisticada de comprobar que los valores son consistentes Se basa en comprobar que toda arista ordenada (X, Y) del grafo de restricciones es consistente Si las restricciones no son binarias, se puede aplicar pero es más complejo. Habría que considerar las aristas consistentes para toda pareja ordenada (X, Y) tales que haya una restricción que involucre a ambas variables. La consistencia de los arcos se puede hacer al principio y, de forma recursiva, habría que comprobar la consistencia de todo arco (X, Z) después de que Z haya perdido alguno de sus valores posibles Arco consistente: Un arco (X, Y) es consistente si para todo valor posible x de X existe un valor posible y de la variable Y. Si una arco no es consistente, se eliminan todos los valores posibles de X para los que no exista un valor consistente de Y

40 Ejemplo WA NT Q NSW V SA T Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valor posible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.

41 Ejemplo WA NT Q NSW V SA T Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valor posible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.

42 Ejemplo WA NT Q NSW V SA T Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valor posible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.

43 Ejemplo WA NT Q NSW V SA T Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valor posible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.

44 Ejemplo WA NT Q NSW V SA T Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valor posible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.

45 Algoritmo AC-3 El siguiente algoritmo se aplica al principio a todos los arcos (X, Y) del grafo de restricciones y, se aplica a todo arco (Z, X) cada vez que X restringe el conjunto de valores posibles. 1: for Cada valor posible x de X do 2: if No existe un valor y de Y que sea compatible con x then 3: Eliminar x del conjunto de valores posibles de X

46 Inferencias Genéricas La propagación de arcos consistentes (AC-3) realiza una inferencia para eliminar posibles valores de las variables y determinar si hay inconsistencia en una asignación parcial. Sin embargo, este método no es completo: es posible que haya inconsistencia y no se detecte. Por ejemplo, si queremos determinar al principio si se puede colorear a Australia con 2 colores. Entonces, no es posible, pero AC-3 no lo detecta. Existen otros métodos más potentes. Por ejemplo, consistencia de caminos: (A, B, C) son consistentes, si para cada valor posible conjunto de A = a, existen valores B = b C = c que verifican todas las restricciones en las que aparecen estas variables. Incluso k-consistencia cuando estas restricciones involucran a k variables (A 1,..., A k ). Siempre hay que buscar el equilibrio entre el coste de la inferencia y lo que nos ahorramos en la búsqueda.

47 Manejo de Restricciones Especiales Restricciones todas distintas TodasDistintas(X 1,...,X n) Se puede ver que hay inconsistencia si el número de valores posibles de todas las variables es inferior al número de variables. Este criterio puede mejorar el criterio de arcos consistentes. Restricciones de recursos T 1, T 2, T 3 y T 4 número de personas asignadas a cuatro tareas: como maximo(10, T 1, T 2, T 3, T 4) Se puede comprobar la inconsistencia, sumando los valores mínimos posibles de cada variable. También se pueden suprimir los valores más altos de una variable que son inconsistentes con los valores mínimos de las otras variables. Dos vuelos, 271 y 272 con capacidades 156, 385 respectivamente: Vuelo271 pertenece [0, 165] y Vuelo272 pertenece [0, 385] Restricción adicional: los dos vuelos juntos deben llevar a 420 personas, entonces se deduce: Vuelo271 pertenece [35, 165] y Vuelo272 pertenece [255, 385] Esto se conoce propagación de límites.

48 Vuelta atrás inteligente Western Australia Northern Territory South Australia Queensland New South Wales Victoria Tasmania Vuelta atrás cronológica Se visita el punto de decisión más reciente Orden de actuación: Q, NGS, V, T, AS, AO, TN {Q = rojo, NGS = verde, V = azul, T = rojo} AS? Vuelta atrás a T inútil

49 Vuelta atrás inteligente: salto atrás Ejemplo Conjunto conflicto para la variable X es el conjunto de variables previamente asignadas Y, tales que el valor asignado a Y evita uno de los valores de X, debido a la restricción entre ambas. El método de salto-atrás retrocede a la variable más reciente en el conjunto conflicto. Conjunto conflicto para AS: {Q, NGS, V} El método salto-atrás retrocede a V sin considerar T La propagación hacia delante puede proporcionar el conjunto de conflicto inicial. Si desde X i volvemos hasta X j, porque X i se ha quedado sin valores, entonces debemos de actualizar el conflicto de X j con: Conf(X j ) Conf(X j ) Conf(X i ) {X j }.

50 Salto atrás dirigido por conflicto Western Australia Northern Territory Queensland South Australia New South Wales Victoria Tasmania Orden de actuación: AO, NGS, T, TN, Q, V, AS Asignación parcial AO = Rojo, NGS = Rojo, T = Rojo Comprobar que cuando TN se queda sin valores, entonces su conjunto de conflicto es: {AO, NGS}. Cuando AS falla, su conjunto de conflicto es {AO, TN, Q}. Volvemos a Q, con conflicto {TN, NGS}, que queda actualizado a {AO, TN, NGS}. Volvemos a TN con conlicto {AO} que se actualiza a {AO, NGS}

51 Métodos de búsqueda local Volvemos a la formulación completa de estados para investigar el uso de algoritmos de búsqueda local sobre estados completos. Se aplican algoritmos de ascensión de colinas, enfriamiento simulado, genéticos, etc. Se consideran asignaciones completas, pero inconsistentes. Se elige una variable al azar con un valor conflictivo. Heurística de los mínimos conflictos: seleccionar el valor que cause el número mínimo de conflictos con otras variables

52 Mínimos conflictos

53 Comparación de algoritmos Tabla del número de nodos analizados

54 Mínimos conflictos: comportamiento Con un estado inicial aleatorio, con esta heurística se puede resolver el problema de las n-reinas en tiempo constante y con una alta probabilidad (por ejemplo con n = 10,000,000) Lo mismo parece ocurrir en una amplia gama de problemas de satisfacción de restricciones aleatorios excepto en una estrecha banda de la razón: R = número de restricciones número de variables CPU time critical ratio R

55 Búsqueda local para problemas de satisfacción de restricciones La técnica de los mínimos conflictos es sorprendentemente eficaz para muchos PSRs, en particular, cuando se parte de un estado inicial razonable. Por ejemplo, se ha utilizado para programar las observaciones del telescopio Hubble, reduciendo el tiempo utilizado para programar una semana de observaciones, de tres semanas a alrededor de 10 minutos. Otra ventaja es que se puede utilizar en ajuste online cuando las condiciones del problema cambian.

56 La estructura de los problemas Aprovecharse de la existencia de problemas independientes. Algoritmos eficientes en caso de estructuras de árbol. A C B D E F A B C D E F

57 Algoritmo en árboles 1: Elegir un nodo como raíz 2: Ordenar los nodos desde esta raíz a las hojas, de forma que el padre de cada nodo lo preceda en este orden. 3: Elegir todos los nodos X j en orden inverso y aplicar la consistencia de arco entre X i y X j, donde X i es el padre de X j. Eliminar los valores de X i que sea necesario. 4: Recorrer los nodos en orden directo empezando por la raíz. Para cada nodo X j elegir un valor que sea consistente con el elegido para su padre X i El algoritmo tiene complejidad O(nd 2 ) donde n es el número de variables y d el número de casos por variable.

58 Método del condicionamiento Si el grafo no es un árbol, se puede tratar de conseguir un conjunto pequeño de variables S, tal que si las quitamos del grafo de restricciones, nos queda un árbol. WA NT Q WA NT Q SA NSW NSW V Victoria V Victoria T T

59 Método de condicionamiento 1: Elegir un subconjunto S de variables que al quitarlas nos quede una estructura de árbol 2: for Cada posible asignacion consistente de valores s de S do 3: Quitar del resto de las variables, los valores inconsistentes con estos valores 4: Resolver el problema de satisfacción de restricciones para el resto de las variables (árbol) 5: Si se encuentra la solución, adjuntarla a S = s para obtener una solución al problema original y parar

60 Construcción de un árbol agrupando variables Los grafos de restricción pueden reducirse a árboles? Si. Mediante un proceso de agrupación de variables: Cada variable tiene que estar, al menos, en un grupo, pero puede estar en varios. Si dos variables están unidas en el grafo, debe de existir un grupo que las contenga Si una variable está en dos grupos, debe de estar en todo grupo que se encuentre en el camino entre ambas.

61 Problema 1 Plantear el problema de la consistencia en lógica proposicional como un problema de satisfacción de restricciones. 2 Resolver el problema para las cláusulas: p1; p1 p2; p1 p3; p1 p3 p4; [p5 p6; p5 p7 p5 p8; p7 p8 3 Determinar cómo se podrían llevar a cabo las heurísticas para selección de variables y valores. Sabrías determinar otras heurísticas que se podrían aplicar a este problema? 4 Plantearlo como un problema de búsqueda para estados completos. Cómo seleccionarías un estado inicial? Cómo se implementaría la heurística de mínimos conflictos? 5 Se puede descomponer el problema?

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