LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 LA RANSFORMADA DE LAPLACE (pun crio por Dr. Mnul Prgd). INRODUCCIÓN Enr l rnformcion má uul qu oprn con funcion f(x) cumplindo condicion dcud n I[,b, pr obnr or funcion n I, án por jmplo : L oprción D d drivción : [ D f ( x) f ( x) L oprción I d ingrción : I [ f ( x ) L rnformción M g dfinid por : [ indo g(x) un función concr. x f ( )d M g f ( ) g ( ) ( ) En cd co, hy qu ignr lgun rricción l funcion f(x) l qu plic un rnformción dd. Aí, n l primr jmplo, f(x) db r drivbl n un ciro inrvlo, c. L r rnformcion cid on linl, dcir, qu vrificn : [ c f ( x ) c f ( x ) c [ f ( x ) + c [ f ( x ) c, R + c Un cl imporn dnro d l rnformcion linl, on l llmd rnformcion ingrl. S conidrn l funcion f(x) dfinid n un inrvlo finio o infinio x b y cog un función fij K(,x) d l vribl x y l prámro. Enonc l corrpondin rnformd ingrl á dd por : b [ f ( x ) K(, x ) f ( x )d x F( ) L función K(,x) llm núclo d l rnformción. S mur fácilmn qu linl, culquir qu l K(,x).

2 En l mmáic plicd udin vrio co pcil d rnformd ingrl, dpd l rolución d divro problm : rnformd d Fourir, rnformd d Fourir d no, ídm d cono, rnformd d Hnkl, d Mllin, c. S r d udir hor l rnformción d Lplc pcilmn indicd pr implificr l proco d rolvr problm d vlor inicil, cuy cucion difrncil n linl, y primordilmn cundo incluyn funcion diconinu. E muy uilizd n orí d circuio. An d nrr n u pliccion, v comnzr inroducindo rnformd d Lplc í como u propidd fundmnl y má úil.. DEFINICIÓN Y RANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENALES Dfinición S f() dfinid n (, ). S dfin l rnformd d Lplc d f(), como l función [f() F(), dfinid por l ingrl L [ f ( ) - f ( )d F( ) [ Dbrá xiir l ingrl impropi y dpndin dl prámro, dcir, dbrá r convrgn pr ciro vlor d. Sólo nonc podrá dcir qu xi l rnformd d Lplc d f(), o qu f() - rnformbl. No El prámro conidrrá quí rl. E o uficin pr l pliccion con cucion difrncil linl d coficin conn y lgun d coficin vribl. En oro co ncrio rbjr n l cmpo compljo, conidrndo como compljo. Ejmplo : S f(), d lim d lim λ lim λ λ λ [ λ λ

3 [, > pu l ingrl divrg pr No Si fu compljo, dcir, + i, nonc ( + i ) ( ) co in y l ingrl impropi nrior ólo convrg i >, dcir R () >. Ejmplo : S f(), [ d ( ) d E l co nrior cmbindo por -. Lugo: [, > Ejmplo 3: S f(), R, [ d [ x x x + d Lugo: G( + ) [ + Cmbio: x. Enonc: x i > > d x, d y En priculr : n [ n! > n N n+ [ > [, > Ejmplo 4: S f() co ó f() in [ co co d Ingrndo do vc por pr co, > + [ L > + Análogmn : [ i n, 3

4 Podrí obnr mjor í : rbjndo como n lo jmplo y, uiuyndo por i ( R), rul: i [ Por no: [ Lugo, pr R ( - i) >, dcir > i rl. i i + i + co R ( ) + i R + n Im ( ) + i Im + i [ [ i [ [ + +, >, > Ejmplo 5: S l función clón unidd u ( - ) o función d Hviid. u ( - ),, < ( > ) E [ u( ) u( ) d d En priculr: [ u [ ( ), >, > 3. EXISENCIA DE LA RANSFORMADA En lo jmplo nrior h vio por cálculo dirco qu l ingrl [ xi rlmn pr l funcion conidrd, n lgún inrvlo d vlor d. Pro o no ocurr í impr. Por jmplo, l ingrl impropi d [ no convrg pr ningún vlor d i f() ó f(), por crcr funcion dmido rápido cundo + o rpcivmn. Aforundmn xi l rnformd pr l myor pr d l funcion qu prcn n pliccion dond inrvinn cucion difrncil linl. S r hor d blcr un conjuno rzonbl d condicion qu grnicn l xinci d rnformd pr l funcion qu l cumpln. 4

5 ) Dfinición: S dic qu f() ccionlmn coninu ( o coninu rozo) n [, b I, i f() coninu n odo lo puno d I, xcpo quizá n un nº finio d llo, n lo qu f() dbrá nr lími lrl finio S dic qu f() ccionlmn coninu n [,, i lo n [,, > Si f() ccionlmn coninu n [α, β, ingrbl n [α, β f() α β b ) Dfinición S dic qu f() d ordn xponncil cundo fi, i xin conn α poiiv M, l qu: f ( ) < M > E dcir qu f() no crc má rápido qu un función d l form M α. Son por jmplo d ordn xponncil l funcion,, n, n b, co b, n, co b,.... No lo, pu crc má rápidmn qu α, culquir qu α y qu : lim lim ( ) c ) Noción S dignrá con l ímbolo A, l conjuno d funcion f(), l qu: Son ccionlmn coninu n [,) Son d ordn xponncil cundo 5

6 d ) orm d xinci Si f() A, nonc xi [f, myor qu un ciro α E dcir qu f() A condición uficin pr qu xi L [f() y dmá, l mno pr odo > α. Dmorción f() d ordn xponncil M, > y α R / f() < M α > f ( ) d convrg pu - f() ccionlmn coninu n [,. E - f() < M -(-α) > y α [ ( M α) ( ) M M d M d lim ( ) α λ α λ α i α Lugo f ( )d convrg bolumn i > α. Por no, xi [f() f ( ) d + f ( ) d i α No Pud dmorr dmá qu l dominio d dfinición d F() d l form ( o, ) ó [ o, ). No cumpl n gnrl l rcíproco dl orm, dcir qu l condición no ncri. por jmplo, f() -/ A, pu in diconinuidd infini n y por no no ccionlmn coninu n [,. Pro in rnformd, pu : [ -/ Γ( ) π, > Aí 6

7 4. PROPIEDAD DE LINEALIDAD Pr hblr d rnformción linl, dbn blcr prvimn lo pcio vcoril. A vidnmn un pcio vcoril rl con l dfinicion uul d um d funcion y produco por clr. S l conjuno d funcion rl dfinid n inrvlo ( o,) ó [ o,). mbién pcio vcoril rl, i dd do funcion F, G, dfin F+G n l form uul, n l inrcción d lo dominio d F y G. S conidrrán dmá como igul do funcion n i coincidn n un inrvlo d l form (α, ). Enonc plicción dl pcio vcoril A n l Con conidrcion, vrific : orm un oprdor linl, dcir : Si f, g in rnformd invr d Lplc pr > α, y, b R, nonc f+bg in rnformd pr > α y f()+bg() f() + b g() > α En fco : [ [ f + bg ( ) f ( ) + bg( ) d f ( ) d + b g( ) d [ [ f + b g F( ) + bg( ), > α c.q.d. Ejmplo 6: Clculr [ n co { } + > 4 ( + 4 ), E [ n [ [ co 7

8 Ejmplo 7: Clculr [ Ch y [ Sh [ Ch + + +, > Análogmn [ Sh, > 5. PROPIEDADES DE RASLACIÓN Y CAMBIO DE ESCALA ) Primr propidd d rlción: Si f A y [f() F(), > α, nonc [ f() F(-), - > α En fco : [ f() ( ) f ( ) d F( ) Ejmplo 8: Clculr [ co b - > α [ b [ b co co, + b + b ( ) > Ejmplo 9: Clculr [ [ [ 4! + 3 ( + 3) 5, > 3 b) Sgund propidd d rlción, < No prvi: L función u(-) f(-) l obnid por rldo d f( ), > f() unidd l drch, omndo dmá l vlor, pr < 8

9 Si f A y [f() F(), > α.>., nonc pr > : [f(-) u(-) () - F(), > α En fco : [ f u( ) f ( ) u( ) d f ( ) d (Cmbio x ) + ( x ) f ( x) d x F( ) c.q.d. No: Eo dplzmino urgn n l prácic cundo hy impo d rro n l limnción d nrgí im lécrico (l limnción ocurr n > ) El fcor - qu prc n l rnformd, llm fcor d rrdo Ejmplo : Clculr [ g indo g E g() f(-) u(-) con f() 3 3 Por no: [ g( ) [ ( ) ( ) < 3 ( ) > 3!, 4 > c) Cmbio d cl Si f A y [f() F(), ( > α), nonc [f() F, > α En fco: [ x f f x ( ) d ( ) f ( x) d x F 9

10 6. RANSFORMADA DE DERIVADAS E INEGRALES ) rnformd d drivd S f() coninu n (,) y d ordn xponncil α y f ccionlmn coninu n [,). Enonc [f () F() - f( + ), ( > α) S.D. Si cumpln l condicion nrior, lvo qu f() in diconinuidd por lo n >, nonc : [ f () F() - f( + ) - - [f( + )-f( - ) Análogo i xin vri diconinuidd por lo. S.D. Si f, f,..., f (n-) on coninu n (,) y d ordn xponncil α y f (n) ccionlmn coninu n [,), nonc : [f (n) () () n F() - n- f( + ) - n- f ( + ) - - f (n-) ( + ), ( > α) Aí pr n [f () [f - f ( + ) [ F() - f ( + ) - f ( + ) [f () F() - f ( + ) - f ( + ). En gnrl, inducción. Aquí inuy l uilidd d l rnformd d Lplc pr rolvr problm d vlor inicil. S rmplz l drivción rpco, por muliplicción por, rnformándo un cución difrncil con coficin conn, n un lgbric.

11 Ejmplo : Clculr [ n, undo l xp rion pr [ f Pr f() n : f () co, f () - n, f(), f () Lugo [ f L[ i n L[ i n L f f () f () L [ [ i n Por no : L [ i n L[ in L i n E dcir : [ +. b) rnformd d ingrl [ f ( x) dx Si f A, nonc [ f ( x) dx F( ) F( ) f ( x) dx Dmorción pr l co priculr n qu f coninu n [,): S f ( x) dx g( ). Enonc : g ( ) f ( ), g() y g() coninu n [,). Lugo [ g ( ) Por no: G() [ [ f ( ) F( ) G( ) F( ) f ( x) d x c.q.d. F( ) mbién: [ f ( x) d x [ f ( x) dx [ f ( x) dx f ( x) dx 7. MULIPLICACIÓN POR n Y DIVISIÓN POR ) Muliplicción por n Si f A y [ f ( > α), n F( ) ( > α), nonc [ f ( ) ( ) n n d d n F( )

12 Por r f A, pud morr qu plicbl l rgl d Libniz n lo qu igu: [ f ( ) d f ( ) d [ f ( ) d F d ( ) d. Libniz d f d d d Por inducción mur l fórmul gnrl pr l drivd n-éim. Ejmplo : Clculr [ n y [ co d d d d [ n [ n + ( + ), > d d d d [ co [ co +, > ( + ) b) Diviión por [ Si f A y f ( ) f lim ( ) finio + F( ), nonc f ( ) F( u) d u, i xi En fco: S g () f ( ) d. Enonc: f() g(). Lugo F() d G( ), d dond G() F( u) du. Como gún vrmo lim G( ), rul : [ c.q.d. G( ) F( u ) d u F( u ) d u F( u ) d u Ejmplo 3: Clculr x x d x x E d x [ x d

13 + d + ln + ln, > Ejmplo 4: Clculr I co6 co4 d co6 co4 E I [ co6 co4 d d ln ln ln ln 3 8. COMPORAMIENO DE F() EN Y (n ólo nuncido) ) Compormino d F() cundo fi Si f() A, nonc: lim F( ) b) orm d vlor inicil o primr orm ubrino Si f() A, nonc: lim F( ) lim f ( ), i xin o lími + c) orm d vlor finl o gundo orm ubrino Si f() A, nonc: lim F( ) lim f ( ) i xin finio o lími 3

14 Ejmplo 5: Comprobr l orm d vlor inicil pr l función 3 - co E F() [3-co 3 + f() lim F( ), lim f ( ) 9. RANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES ) rnformd d funcion priódic Si f A y priódic con priodo, nonc: [ f ( ) f ( ) d En fco : [ E: ( n+ ) n n n f ( ) f ( ) d f ( ) d I ( x + n) ( n + ) ( x+ n ) n x n I f ( ) d f ( x + n) d x f ( x) d x n [ [ x f ( ) f ( x) d x x f ( x) d x c.q.d. < < Hllr f ( ) indo f ( ) < < Ejmplo 6: [ E: f ( ) d f ( ) d + d Lugo: [ f ( ) ( ) ( + ) ( + ) y con priodo 4

15 Pud hcr d oro modo, xprdo f() n érmino d l función clón. Evidnmn : f() u() - u(-) + u(-) - u( - 3) +..., > ( > ), rul : f ( ) Como [ u( ) [ [ b) Función clón unirio Y dfinió l función clón unirio ( o función d Hviid) como : < u( ) > ó u( ) < > ( > ) mbién blció qu : [ u( ) y [ u( ) L función clón, juno con l gund propidd d rlción o dplzmino, on muy úil n l rmino d funcion ccionlmn coninu. Ejmplo 7: Hllr [ f 3 < ( ), indo f ( ) < < 5 5 < E f() 3 u() - 4 u( - ) + 3 u( - 5) Lugo F( ) [ Ejmplo 8: Hllr [ g( ) u( ) Por l propidd gund d rlción : [ f ( ) u( ) [ f ( ) En l co dl jmplo, l f() l qu g () f (-) Por no : [ g( ) u( ) [ g( + ). f() g( + ). 5

16 c) Funcion impulo y función d () d Dirc S nind por función impulo I τ( ) < < τ l Iτ( ) τ > τ Pud rvir d modlo pr rprnr un furz o xcición d mgniud conn,,qu cú τ obr un im durn un impo τ, dd, proporcionndo l im un impulo ol unirio τ I τ( ) d S vrific : τ I τ ( )d d τ τ τ I ( ) d τ τ τ [ τ τ En l función impulo nrior, hcindo diminuir l impo τ durn l qu cú l furz o xcición τ, pud conidrr l iución qu produc cundo l furz impr un impulo unirio l im, n un impo rbirrimn pquño, prir d, lo qu podrí dignr como impulo unirio innáno n. (El impulo podrí no r unirio y n oro inn ) S uiliz id n im mcánico, circuio lécrico, c. Por jmplo, l golp d un mrillo, o un crg concnrd n un puno d un vig. Pr o co d furz violn d cor durción, o obr un pquñ cción, ul ur l llmd función dl d Dirc δ() o función impulo unirio innáno n. E un función ficici, proximd por I ( ) τ cundo τ +. No pud hblr d lim I ( ) pu no xi dicho limi, pro provchndo qu τ lim I τ ( ) d mdio d : τ + y [ τ τ τ τ lim I ( ) lim lim, dcrib δ() por τ τ τ τ δ( ) ; δ( ) d, [ δ( ) 6

17 No: Pr blcr l δ(), ul prir d l δ δ( x ) d x n n ( x) π nx, pr l cul mbién Lirlmn, no in nido lo nrior, pu i un función nul n odo lo puno, mno n uno, u ingrl n (-, ) nul. No por no δ() un función n l nido hbiul. E un co priculr d lo qu n l mmáic conoc como un función gnrlizd o diribución. Sin mbrgo l dcripción d δ() qu h hcho n l rcudro ulimo, ugir bin l id d l iución limi d I τ( ). Admá, r l juificcion mmáic mord por Lurn Schwrz, pud oprr con δ() n vri cuion obr ingrl y obr rnformd d Lplc, d mnr nálog lo blcido pr l funcion d l fmili A. mbién pud ur n form nálog l δ(-) pr dcribir un impulo unirio innáno n. E : δ( ) ; δ( ) d ; [ δ( ) S vrific mbién : δ( ) f ( )d f ( ) i f ( ) coninu n in rvlo qu conng Y δ( x ) d x u( ) No S obrv qu [ δ( ) cumpl qu lim [ ( ) No conrdic l propidd lim F( ), pu δ() A. δ 7

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