ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1

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1 ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse se puede representr por el siguiente esquem. Ls componentes principles de l elipse se pueden otener de l figur nterior, ls cules son: Focos: Vértices: F F + cu F F cu V F + u V F u B F + u B F u Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág.

2 Centro: F F + F L rect que ps por los focos se denomin eje focl. L rect que ps por el centro de l elipse perpendiculr l eje focl se llm eje norml. El segmento de l rect que v de V V se llm eje myor. El segmento de rect que v desde el centro hst uno de estos vértices se llm semieje myor. El segmento de l rect que v de B B se llm eje menor. El segmento de rect que v desde el centro hst uno de estos vértices se llm semieje menor. El segmento de l rect que v desde un punto de l elipse otro punto de l elipse y que ps por uno de los focos, perpendiculr l eje focl se llm ldo recto. Se un punto P que pertenezc l elipse, entonces cumple con: P F + x` u + u y de l definición de l elipse: P F + P F Donde l constnte es, por convenienci, como se verá más delnte. Como y se conoce F, F y P se sustituyen en l definición nterior: P F F + x` u + u F cu x` u+ u + cu ( ' ) P F x + c u + u P F F + x` u + u F + cu x` u + u cu ( ' ) P F x c u + u Oteniendo ls mgnitudes, siendo que l mgnitud de u u es igul uno, P F + c + P F c + Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág.

3 Sustituyendo en l definición de l elipse: P F + P F x ' + c + + c + Quitndo el rdicl de mos términos, elevndo l cudrdo y después de simplificr l expresión: + c + c + ( c ) + ( c ) Dividiendo mos miemros entre c : + c ( ) plicndo l relción c, donde > c, de cuerdo ls distncis los ejes, entonces se c > otiene. Entonces: + Por lo que l ecución de l elipse está dd por: P F + x` u + u donde + Que es conocid como l ecución vectoril de l elipse. Los prámetros son x` y prámetro. y`, y l ecución +, se puede entender como l vrición del Pr otener l ecución crtesin de l elipse lo que se puede hcer es: de l ecución P F + x` u + u ordenrl como, P F x` u + u Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 3

4 Pr otener x `, se multiplic por el vector u ( ) ( ` + ' ) P F iu x u y u i u ( P F ) i u ( x ` u i u + y ' u i u ) ( P F ) i u x ` ( u i u ) + y '( u i u ) como ( u u) Y pr otener P F u x i por ser ortogonles, y ( ui u) i ` y`, se multiplic por el vector i ( ` + ' ) P F u x u y u iu ( P F ) u ( x ` u u y ' u u i i + i ) u ( P F ) u x ` ( u u ) y '( u u i i + i ) como ( uiu ) por ser ortogonles, y ( i ) Sustituyendo en P F u y i ` u, entonces, u u u, entonces, +, se otiene l ecución crtesin de l elipse (( ) i ) ( ) ( i ) P F u P F u + Otr mner de otener uns ecuciones prmétrics es, que se oserv que se puede utilizr un identidd en l ecución vectoril de l elipse, es decir: Por lo que, sen cos θ + θ ' ' ' ' + x y x y + θ + + θ cos sen Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 4

5 es decir, θ cos cos θ sen sen oteniéndose ls siguientes dos relciones: cosθ senθ θ θ y sustituyendo en P F + x` u + u, se otiene otr ecución vectoril de l elipse, θ θ θ [ ] P F x u y u h k u u sen u u + ` + ', + cos, +, / ;π Uns ecuciones prmétrics, x` h+ cosθu senθ u y` k + cosθu + senθ u ; θ [ ; π ] A prtir de los vectores se pueden determinr los elementos de l elipse como: Centro: F ( hk), Focos: F F + cu ( h, k) + c( u, u ) F F cu ( h, k) c( u, u ) Vértices: (, ) (, ) V F + u h k + u u (, ) (, ) V F u h k u u (, ) (, ) B F + u h k + u u B F u ( h, k) ( u, u ) Relciondos por: + c Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 5

6 Longitud del eje myor: Longitud del eje menor: Longitud del ldo recto: LR.. Excentricidd: c e como c <, entonces e < (Pr el cso de l elipse) CASOS PARTICULARES ) Si u (, ), entonces los focos están sore un rect prlel l eje x. Sustituyendo u u en ls ecuciones de l elipse: (, ) (, ) `(, ) '( ) P x y h k + x + y, donde x h+ x` x` x h y k + y` y k + sustituyendo: ( x h) ( y k) + + Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 6

7 ) Si u (,), entonces los focos están sore un rect prlel l eje y. Sustituyendo u u en ls ecuciones de l elipse: (, ) (, ) `(, ) '( ) P x y h k + x + y, donde x h y` y` h x y k + x ` y k + sustituyendo: ( y k) ( h x) ( y k) ( x h) Ejemplo: Determinr l ecución vectoril, crtesin y uns prmétrics de l elipse que tiene sus focos en F ( 4, ) y en (, ) F y l longitud del semieje menor es uno. Diuje. Solución: L coordend de el centro se otiene por medio de: 5 F F + F 4, +,, Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 7

8 Y como el vector u es prlelo l vector que v del foco l foco. (u es unitrio) Por lo que, u FF FF FF F F 4,, 3, FF F F 4,, 3, u 3 3 FF FF 3, 3, 3, 3 y un vector ortogonl u, u 3 3, demás, como l longitud del semieje menor es uno, entonces, y l longitud de culquier de los focos l centro es c, ( 4, ),, + c F F F F 3 y con l relción c c Resumiendo,,, c L ecución vectoril vectoril de l elipse es de cuerdo como, P F + x` u + u donde + Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 8

9 P F + x` u + u, +, +, donde y pr otener l ecución crtesin, otenemos x` y Pr otener x `, se multiplic por el vector u ( ) ( ` + ' ) P F iu x u y u i u ( P F ) i u ( x ` u i u + y ' u i u ) ( P F ) i u x ` ( u i u ) + y '( u i u ) como ( u u) P F u x i por ser ortogonles, y ( ui u) i ` y`, por medio de, u, entonces, x ' y ' Y pr otener ( ) 5 3 x` P F iu x, y, 3, i x` x, y 3, 3 x 3 + ( y ) 3 i x` 3x+ 3y y`, se multiplic por el vector i ( ` + ' ) P F u x u y u iu ( P F ) u ( x ` u u y ' u u i i + i ) u ( P F ) u x ` ( u u ) y '( u u i i + i ) como ( uiu ) por ser ortogonles, y ( i ) P F u y i ` ( ) u u u, entonces, 5 3 y` P F iu x, y, 3, i Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág. 9

10 y` x, y i 3, 3 x 3 + ( y ) y` 3x+ 3y Sustituyendo en Desrrollndo +, se otiene l ecución crtesin de l elipse (( ) i ) ( ) ( i ) P F u P F u x+ 3y 3 3x+ 3y x xy+ y x+ y Multiplicndo por 7, mos ldos de l ecución pr no lterr l ecución, 8x xy 3y 8x 4y L cul es l ecución crtesin de l elipse del ejemplo. Pr otener l vectoril y ls prmétrics en términos de un solo prámetro, Si 7 cosθ cosθ senθ senθ ; θ [ ; π ] y sustituyendo en P F + x` u + u, se otiene l ecución vectoril de l elipse, θ θ θ [ ] P F x u y u h k u u sen u u + ` + ', + cos, +, / ;π P, +, +, P, + cos θ, + sen θ, / θ ; que es l ecución vectoril de l elipse Uns ecuciones prmétrics, [ π ] Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág.

11 5 3 x` cosθ 6 3 3senθ 3 y` + 7 3cosθ senθ ; θ [ ; π ] Y un diujo es: Cónics, Elipse Ing. Dvid G.C. Pág.

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