Departamento de matemáticas

Transcripción

1 Análisis con solución (Límites, derivadas y aplicaciones) Problema 1: Determina los valores de a y b para los cuales Problema 2: Calcula Problema 3: Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 10 m de altura. Sabiendo que la persona mide 1,70 m, calcula: a) La longitud de la sombra cuando la persona está a 5 m de la base del farol. b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar. Problema 4: Para la función f(x) = (x + 2)e x, se pide: a) Estudia su dominio y continuidad. b) Determina sus puntos de corte con los ejes. c) Obtén las coordenadas de los máximos y mínimos relativos. d) Determina las coordenadas de los puntos de inflexión. (Recuerda que e x 0, x R) Problema 5: Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. Problema 6: La función en ese punto. no está definida para x = 0. Definir f(0) para que la función sea continua Problema 7: Determina los valores de a y b R para que la función f(x) = x 3 + ax 2 6x + b pase por el origen de coordenadas y su recta tangente en x = 1 tenga pendiente 3

2 Problema 8: Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f: R R definida por f(x) = x 2 e x y a su función derivada f. Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f Problema 9: Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular. Cuáles son los valores x e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados sea máxima? Problema 10: Se considera la función definida por a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f(x) b) Estudia la posición de la gráfica de f(x) respecto de sus asíntotas. Problema 11: Sea la función real de variable real a) Razona si la función es continua en toda la recta real. b) Razona si la función es derivable en toda la recta real. Problema 12: Calcula, para intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

3 Problema 13: Contesta a las siguientes cuestiones: a) Obtén la derivada de la función f(x) = ax + b + sen x. Calcula a y b si O(0, 0) es un punto de la curva y = ax + b + sen x, cuya recta tangente en O(0, 0) es el eje X b) Justifica que la función se anula en dos puntos del intervalo [0, π] Problema 14: Calcula Problema 15: Resuelve las siguientes cuestiones: i) Calcula la recta tangente a la curva f(x) = ln x 2 en el punto x = 2 ii) Calcula el punto de corte de dicha recta con el eje Y Problema 16: Estudia (dominio, crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función Problema 17: De la función definida por f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = 1, que su gráfica corta al eje X en el punto de abscisa x = 2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9 Problema 18: Se considera la función definida por para x 1 a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f(x) b) Estudia la posición de la gráfica de f(x) respecto de sus asíntotas. Problema 19: Sea f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Determínense a, b, c, y d para que la recta y + 1 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto A(0, 1), y la recta x y 2 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto B(1, 1)

4 Problema 20: Estudia y representa gráficamente la función: Problema 21: Dada la función donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, halla un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje X Problema 22: Calcula: Problema 23: Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica el eje X en el punto de corte de f(x) con Problema 24: Dada la función, determina razonadamente: a) El dominio. b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si es que las tiene. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. e) Su representación gráfica. Problema 25: La potencia f(x) en watios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia, x, en ohmios viene dada por la expresión: Halla la potencia máxima correspondiente al valor de x

5 Problema 26: Sea la función. Calcula las asíntonas de la función. Problema 27: Sea f: R R la función definida por f(x) = x 2 x ; estudia la derivabilidad de f Problema 28: Estudia el dominio, asíntotas, crecimiento, máximos y mínimos relativos y la concavidad de la función f : (0, + ) R definida por Problema 29: En los ejemplos siguientes f(2) = f( 2) pero no hay ningún valor c ( 2, 2) tal que tal que f (c) = 0. Justifica en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle. Problema 30: Estudia si la función es continua en los puntos x = 1 y x = 2. Representa gráficamente dicha función. Problema 31: Sea la función a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a c) Para a = 4, haz un dibujo aproximado de su gráfica Problema 32: Cuál es el dominio de la función?

6 Problema 33: Existen máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = cos (x) + 1 en el intervalo [0, π]? Justifica la respuesta y calcúlalos. Problema 34: Halla el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuación asíntota que pasa por el punto (1, 3) posee una Problema 35: Resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula el valor de a y b para que la función sea continua para todo valor de x b) Estudia la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. Problema 36: Se considera la curva definida por la función:. Se pide: a) Dominio de definición, corte con los ejes y simetrías. b) Asíntotas. c) Intervalos de crecimiento de la función. Tiene extremos la función? d) Representación aproximada de la curva. e) Cuál será la gráfica de la curva? Problema 37: De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima. Problema 38: Estudia, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por

7 Problema 39: Dada la función en el intervalo 0 < x < 2π, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. Es constante esta función f(x)? Problema 40: Sea la función intervalo [0, 2π], calcula su dominio de definición y sus máximos y mínimos en el

8 Soluciones Problema 1: Si el límite debe ser 1, se debe imponer que b = 0, ya que si no fuese así, el límite sería infinito. Luego, si b = 0: Para a = 1/2 y b = 0, el límite pedido vale 1 Problema 2: Problema 3: a) Aplicamos el teorema de Thales. b) En primer lugar calculamos la longitud de la sombra s cuando lleva andado 3t segundos, aplicando de nuevo el teorema de Thales se tiene:

9 Problema 4: a) Dom(f) = R = (, + ). Continuidad: es continua siempre porque es el producto de dos funciones continuas, una polinómica, x + 2, y otra exponencial, e x b) Corte con los ejes: Eje X: A( 2. 0). Eje Y: B(0, 2) c) Máximo relativo: no tiene. Mínimo relativo: C( 3, 1/e 3 ) d) Punto de inflexión: D( 4, 2/e 4 ) Problema 5: a) Datos e incógnitas. Primer sumando: x Segundo sumando: y b) Función que hay que minimizar: f(x, y) = x 3 + y 2, sujeta a la restricción: x + y = 8 y = 8 x c) Se escribe la función con una sola variable f(x) = x 3 + (8 x) 2 = x 3 + x 2 16x + 64 d) Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 3x 2 + 2x 16; 3x 3 + 2x 16 = 0 x = 2, x = 8/3 (no es válido por ser negativo) e) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 6x + 2 f (2) = 14 > 0 (+) Para x = 2 se alcanza el mínimo. f) Solución Para x = 2, y = 6 se alcanza el mínimo. Problema 6:

10 Problema 7: Si pasa por el origen de coordenadas f(0) = 0 b = 0 Si la recta tangente en x = 1 tiene de pendiente 3 f (1) = 3 f (x) = 3x 2 + 2ax 6, f (1) = 3 + 2a 6 = 2a 3 2a 3 = 3 a = 3 Se obtiene: a = 3, b = 0 Problema 8: En x = 2, la gráfica a tiene un máximo relativo y la b vale cero, luego la a es la función f y la b es su derivada f. También para x = 0, la gráfica a tiene un mínimo relativo y por tanto su derivada vale cero. Lo mismo podemos razonar con el crecimento, cuando la gráfica a es creciente la gráfica b es positiva; y cuando la gráfica a es decreciente la gráfica b es negativa Problema 9: a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar c) Se escribe la función con una sola variable d) Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 25 x; 25 x = 0 x = 25 e) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 1 f (25) = 1 < 0 ( ) Para x = 25 se alcanza el máximo. f) Solución El área máxima se alcanza para un cuadrado de lado 25 m Problema 10: a) Asíntotas verticales: x 2 2x = 0 x = 0; x = 2 Asíntotas horizontales: Asíntotas oblicuas: no tiene b) Posición relativa de f respecto de las asíntotas verticales: Posición relativa de f respecto de la asíntota horizontal:

11 Problema 11: Las funciones definidas en los dos trozos son continuas y derivables en cada uno de los intervalos de definición. En el primer trozo la función es polinómica y en el segundo es racional que no es continua, ni derivable para x = 2, que no pertenece a su intervalo de definción. Solo tenemos que estudiar el punto x = 2 a) Para que la función f sea continua en x = 2, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función. f(2) = 9 b) Para que exista la derivada de f, las derivadas laterales deben ser iguales. Problema 12: Problema 13: a) f (x) = a + cos x Como f(0) = 0 b = 0 Como f (0) = 0 a + 1 = 0 a = 1 La función es: f(x) = x + sen x b) La función es continua en [0, π] Se calculan los valores de la función en los extremos del intervalo:

12 g(0) = 0; g(π) = 2 Se estudia el crecimiento de la función en el origen: Como la función es continua, g(x) debe tener un máximo y pasar, en ése valor, a ser decreciente con lo que la función debe cortar al eje de nuevo. Luego la función se anula para x = 0 y al menos en un valor de (0, π) Problema 14: Problema 15: i) Para x = 2 f(2) = ln 4 Ecuación de la recta tangente: y y 1 = f (x 1 )(x x 1 ) f (x) = 2/x f (2) = 1 y ln 4 = 1 (x 2) y = x 2 + ln 4 ii) Para x = 0 y = 2 + ln 4, el punto es P(0, 2 + ln 4) Problema 16: Problema 17: f (x) = 3ax 2 + 2bx + c f (x) = 6ax + 2b

13 a) f ( 1) = 0 3a 2b + c = 0 b) f( 2) = 0 8a + 4b 2c + d = 0 c) f (0) = 0 2b = 0 d) f (2) = 9 12a + 4b + c = 9 Resolviendo el sistema: a = 1, b = 0, c = 3, d = 2 Problema 18: a) Asíntotas verticales: x 1 = 0; x = 1 Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división se obtiene y = x 1 b) Posición relativa de f respecto de la asíntota vertical: Posición relativa de f respecto de la asíntota oblicua: Problema 19: Si y + 1 = 0 es la recta tangente a la gráfica en el punto A(0, 1), entonces la gráfica pasa por el punto A(0, 1) y la derivada de la función en ese punto es igual a la pendiente de la recta tangente. f(0) = 1 d = 1 f (x) = 3ax 2 + 2bx + c, f (0) = c; y + 1 = 0 y = 1 y = 0; c = 0 Si x y 2 = 0 es la recta tangente a la gráfica en el punto B(1, 1), entonces la gráfica pasa por el punto B(1, 1) y la derivada de la función en ese punto es igual a la pendiente de la recta tangente. f(1) = 1 a + b 1 = 1 a + b = 0 f (x) = 3ax 2 + 2bx, f (1) = 3a + 2b; x y 2 = 0 y = x 2 y = 1; 3a + 2b = 1 Resolviendo el sistema: Se obtiene: a = 1, b = 1, c = 0, d = 1 Problema 20:

14 Problema 21: La pendiente de la recta tangente a la curva en x = a es f (a). Como la recta tangente es paralela al eje X, se tiene f (x) = 0 f (x) = 0 x 2 = 0 x = 2 El punto es: (2, ln 4) Problema 22: Problema 23: Se resuelve la ecuación (x + 1)e x = 0 x = 1, el punto es A( 1, 0) Ecuación de la recta tangente: y y 1 = f (x 1 )(x x 1 ) f (x) = xe x f ( 1) = e y 0 = e(x + 1) y = ex + e Problema 24: a) b) Corte con los ejes: eje X: no lo corta. Eje Y: A(0, 2) c) Asíntotas: verticales: x = 1, x = 1. Horizontales: y = 0. Oblicuas: no tiene d) Máximos relativo: A(0, 2). Mínimos relativo: no tiene.

15 Problema 25: Se calcula el máximo de la función: La potencia máxima se alcanza para x = 12 ohmios y es de 1/12 watios. Problema 26: Asíntotas verticales: x 2 4 = 0 x = 2, x = 2 Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división y se obtiene y = 3x Problema 27: Escribimos la función como si estuviese definida a trozos: Primero tenemos que estudiar la continuidad de la función en x = 0. Para que la función f sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función. f(0) = 0 En segundo lugar tenemos que estudiar la derivabilidad. Para que exista la derivada de f, las derivadas laterales deben ser iguales.

16 f (0 ) f (0 + ) La función no es derivable en x = 0 Problema 28: Problema 29: a) Para que se cumpla el teorema de Rolle, la función f(x) debe ser continua en [ 2, 2] y derivable en ( 2, 2) La función no es derivable en x = 0 y por tanto no contradice el teorema de Rolle. Problema 30: Se estudian los límites laterales:

17 Problema 31: Las funciones definidas en los tres trozos son continuas y derivables en cada uno de los intervalos de definición, solo tenemos que estudiar los puntos de abscisas x = 2, x = 0 a) Para que la función sea continua los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función: Cuando a = 4, la función es continua, si a 4 la función es discontinua en x = 0 b) Para que exista la derivada, las derivadas laterales deben ser iguales. Para todos los valores de a R la función no es derivable en x = 0 c) El primer trozo es una parábola con el eje en x = 3 y vértice V( 3, 1); en el segundo trozo es una recta y el tercer trozo es la función cos x multiplicada por 4

18 Problema 32: Problema 33: La función es continua en [0, π]. Se calculan los máximos y mínimos relativos: f (x) = sen x; sen x = 0 x = 0, x = π f(0) = 2 A(0, 2); f(π) = 0 B(π, 0) f (x) = cos x f (0) = 1 < 0 A(0, 2) es un máximo relativo de la función. f (π) = 1 > 0 B(π, 0) es un mínimo relativo de la función. Como estos valores coinciden con los extremos del intervalo, el máximo absoluto se alcanza en A(0, 2) y el mínimo absoluto en B(π, 0) en el intervalo [0, π] Problema 34: La función no tiene asíntotas verticales ya que x para todo valor de x. Tampoco tiene asíntotas horizontales ya que el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Luego tiene una asíntota oblicua. La asíntota oblicua es y = x + k Como pasa por (1, 3) 3 = 1 + k k = 2 Problema 35:

19 Las funciones definidas en los tres trozos son continuas y derivables en cada uno de los intervalos de definición, solo tenemos que estudiar los puntos x = 0, x = π Problema 36: a) Dom(f) = R = (, + ). Corte con los ejes: eje X: O(0, 0), eje Y: O(0, 0). Es impar, simétrica respecto del origen O(0, 0) b) Asíntotas: verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. Oblicuas: y = x c) Máximos relativo: no tiene. Mínimos relativo: no tiene. d) Dibujo de la curva y su asíntota. e) La gráfica de la curva es la gráfica de la curva trasladada una unidad hacia arriba. Problema 37:

20 a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar: c) Se escribe la función con una sola variable d) Se calculan los máximos y los mínimos e) Se comprueba en la 2ª derivada f) Solución El área máxima se alcanza en un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden Problema 38: La función es continua para todo x 0 por ser cociente de funciones continuas. Por tanto, para α = β = 0 la función es continua en x = 0 Problema 39: La derivada es cero siempre, por tanto la función es constante. Problema 40:

21 Dom(f) = R, porque el seno, el coseno y el cociente están siempre definidos, salvo en las raíces del denominador, pero 2 cos x nunca se anula porque cos x esta siempre entre 1 y 1