TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar. Renato A. Lewin

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1 TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar Author address: Renato A. Lewin Pontificia Universidad Católica de Chile, Facultad de Matemáticas, Casilla Correo 22, Santiago CHILE.

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3 Indice CAPITULO 1. Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel 5 1. El Lenguaje Formalizado L 7 2. Los Axiomas de la Teoría ZF. Conceptos Fundamentales 9 CAPITULO 2. Teoría Elemental Operaciones Relaciones Funciones Relaciones de Equivalencia Relaciones de Orden 44 CAPITULO 3. Ordinales Números Naturales Ordinales Inducción Transfinita Recursión Funciones Normales Ordinales y Buenos Ordenes Aritmética Ordinal La Jerarquía Acumulativa de Conjuntos 101 CAPITULO 4. El Axioma de Elección Equivalencias del Axioma de Elección Aplicaciones 111 CAPITULO 5. Cardinales Definiciones y Resultados Básicos Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos Aritmética Cardinal Cardinales Regulares y Singulares La Hipótesis del Continuo 146 Bibliografía 151 Glosario 153 3

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5 CAPITULO 1 Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es una colección (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto. En toda teoría axiomática debemos partir de términos que no podemos definir para no correr el riesgo de caer en un círculo vicioso. Tal es el caso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teoría de Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el desarrollo de la teoría no es necesario contar con estas intuiciones. Una teoría axiomática es un modelo formal de una realidad que queremos estudiar. Está compuesta por axiomas, o sea, oraciones a partir de las cuales, usando sólo reglas lógicas, podamos obtener todas las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan de establecer las características y propiedades esenciales de los objetos que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal sería en primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que todas y sólo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan obtener a partir de nuestra lista. Diversas teorías axiomáticas de conjuntos han logrado en mayor o menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio, obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ésto es muy sencillo: no se puede. En efecto, los resultados obtenidos por el lógico Kurt Gödel alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatización completa de la Teoría de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teorías matemáticas como la teoría de números. Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin embargo ésto no es así, sólo nos advierte que el ideal es imposible. De hecho numerosos matemáticos han logrado establecer teorías axiomáticas que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi toda la matemática. Estudiaremos una de ellas en estas páginas, a saber, la teoría de Zermelo Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del 5

6 trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teoría en los primeros años de este siglo. Un conjunto está definido por los objetos que contiene. Nuestra intuición nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, es decir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjunto formado por los números 1, 2,..., 99, le corresponde la propiedad ser número entero mayor que cero y menor que cien. A la inversa, a toda propiedad le debe corresponder un conjunto, la colección de todos los objetos que verifican dicha propiedad. Temprano en el desarrollo de la teoría de conjuntos se descubrió que esta intuición conducía a contradicciones y que debía descartarse. A fines del siglo pasado, el matemático inglés Bertrand Russell dió con la siguiente paradoja. Consideremos el conjunto R definido por la propiedad un objeto pertenece al conjunto R si y sólo si no pertenece a si mismo. En símbolos 1 R = {x : x x}. La pregunta entonces es pertenece R a R?, o en símbolos, R R?. Si la respuesta es afirmativa, entonces R verifica la propiedad que define a R, o sea, R R. Si la respuesta es negativa, entonces, por definición, R R. En cualquier caso obtenemos la contradicción R R R R. La paradoja de Russell (y otras) nos dice que el concepto de propiedad es más delicado de lo que suponemos y que definitivamente no debe corresponder a lo que llamamos un conjunto. Debemos tomar medidas para evitar que esta paradoja y ninguna otra se produzca en nuestra teoría. Sin embargo, la noción de que a cada propiedad debería corresponder la colección de objetos que la verifican o extensión de la propiedad, tiene fuerte arraigo en nuestra intuición. Algunos matemáticos no han querido deshacerse de ella y han elaborado teorías bastante complejas, que incluyen dos tipos de objetos, conjuntos y clases propias. Deciamos antes que lo que caracteriza a los conjuntos es sus elementos y por ende para poder afirmar que algo es un conjunto, es preciso ser capaz de determinar exactamente cuales son los elementos de dicho conjunto. Las clases son las extensiones de propiedades. Si ésta pertenece a otra clase, entonces decimos que es un conjunto, si no, hablamos de 1 Supondremos que el lector está familiarizado con la terminología y simbología conjuntista pero lo prevenimos de que estos tendrán un sentido muy preciso en nuestra teoría y el que, a veces, difiere del popularizado en la enseñanza básica y media. 6

7 una clase propia. Es decir, las clases propias son las extensiones de una propiedad que de alguna manera son demasiado grandes, no las podemos aprehender. Ejemplos de estas últimas son la clase R definida anteriormente o la clase V formada por todos los conjuntos (o clase universal). En nuestra teoría, ZF, no existen las clases propias, sólo conjuntos. Esto implica que, por ejemplo, no podemos hablar de la clase R. Sin embargo, la situación no es tan mala como parece. Si bien no podemos hablar de R, nada nos impide hablar de la propiedad x x. Así, aunque no podemos afirmar a R (porque R no existe dentro de la teoría), podemos perfectamente decir a a que significa lo mismo. En otras palabras, si queremos hablar de una clase propia, en ZFdebemos hacerlo mediante la propiedad que la define. La noción de propiedad no la hemos definido pero de lo anterior se desprende que es central en nuestro estudio. Vamos a continuación a definir este concepto. Como dijimos, una teoría axiomática se desarrolla a partir de ciertos enunciados o axiomas mediante la aplicación de reglas lógicas. Por ello, es fundamental que el lenguaje usado sea lo más preciso posible. Esto se logra mediante la formalización del lenguaje. Sólo aquellas expresiones escritas en éste serán aceptables en nuestra teoría y representaran propiedades. No es el propósito de este texto introducir al lector a la Lógica Matemática. Tampoco suponemos que éste sepa lógica más allá de los conocimientos que se aprende en un curso universitario de Introducción al Algebra o similar. Cierta madurez matemática es desde luego necesaria para mantener la fluidez de las demostraciones. Usaremos por lo tanto un estilo semi formal el que, por un lado, es habitual en el tema y por el otro, no apabulla al lector con un rigor tedioso y excesivo. 1. El Lenguaje Formalizado L Un lenguaje formalizado está constituido por un conjunto de símbolos básicos y por reglas que nos permiten formar expresiones más complicadas a partir de esos símbolos originales. Los símbolos de L serán: 1. Variables: x, y, z, X, Y, Z, x 1, x 2,..., en general, las últimas letras del alfabeto latino, minúsculas o mayúsculas, con o sin subíndices. Su significado es el habitual en matemáticas y su rango son los conjuntos. 2. Constantes: a, b, c, A, B, C,..., en general, las primeras letras del alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntos específicos. 7

8 3. Símbolo de pertenencia: 4. Símbolo de igualdad: = 5. Conectivos lógicos:,,,,, es decir, los símbolos habituales para la negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia. 6. Cuantificadores:,, con su significado habitual. 7. Paréntesis: (, ). Usados como signos de puntuación. Cualquier cadena finita formada por estos símbolos es una expresión del lenguaje, pero no toda expresión es aceptable o significativa. Sólo aceptaremos aquellas a las que llamaremos fórmulas de L. Una fórmula de L es una expresión de L construida como sigue: 1. X Y, X = Y son fórmulas de L para cualquiera dos variables o constantes X e Y no necesariamente distintas. La primera se lee X pertenece a Y o bien Y contiene a X y la segunda X es igual a Y. Su significado intuitivo es el obvio. Estas se llamarán fórmulas atómicas. 2. Si ϕ y ψ son fórmulas de L, entonces también lo son (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ). Estas fórmulas corresponden respectivamente a la disyunción, conjunción, implicación y equivalencia de ϕ y ψ. 3. Si ϕ es una fórmula de L, entonces ϕ también es una fórmula de L. La fórmula ϕ corresponde a la negación de ϕ. También usaremos los símbolos auxiliares X / Y y X Y para escribir (X Y ) y (X = Y ), respectivamente. 4. Si ϕ es una fórmula de L y x es una variable, xϕ, xϕ son fórmulas de L. Estas se leen cualquier conjunto x verifica ϕ y existe (por lo menos) un conjunto x que verifica ϕ, respectivamente. Su significado es también evidente. Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicación de (un número finito de) estas reglas es una fórmula de L. Si ϕ es una fórmula de L y x una variable que aparece en ϕ, decimos que x aparece ligada en ϕ si su aparición se produce bajo la influencia de un cuantificador x o x. En caso contrario decimos que x aparece libre en ϕ. Por ejemplo, en x x y, la variable x aparece ligada pero y aparece libre y en x(x y z x z), las variables x y z aparecen ligadas e y aparece libre. Una fórmula que no contiene variables libres se llama una oración. Una oración de L es siempre verdadera o falsa ( pero puede ser que no 8

9 seamos capaces de determinar cuál de las dos se cumple!). Una oración hace una afirmación acerca de los conjuntos a los que se refiere, una fórmula que contiene variables libres no hace ninguna afirmación, pero si asignamos interpretaciones a sus variables libres, entonces sí estaremos afirmando algo. A menudo escribiremos ϕ(x 1, x 2,..., x n ) para dejar en claro que las variables libres de ϕ están entre x 1, x 2,..., x n. Como hemos dicho, sólo aceptaremos fórmulas de L para hablar de objetos y hacer afirmaciones en ZF. Sin embargo, la expresión en L de conceptos bastante sencillos puede resultar increiblemente complicada. Así, aceptaremos abreviaciones que faciliten la lectura. Por ejemplo el concepto de subconjunto se denota x y se puede expresar en terminos de los símbolos básicos de L mediante: x y ssi z(z x z y). Entonces, como ya sabemos que x y puede escribirse en el lenguaje L, permitiremos el símbolo en nuestras fórmulas. Lo mismo sucederá con otros símbolos. Más aún, en general usaremos expresiones del castellano y no su formalización en L para trabajar con el concepto intuitivo y no con la a menudo ilegible fórmula de L. Lo importante es que dicha traducción sea posible para que, llegado el caso, podamos hacer una demostración rigurosa de nuestras afirmaciones. 2. Los Axiomas de la Teoría ZF. Conceptos Fundamentales A1. Axioma de Extensionalidad: Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X, entonces X es igual a Y. Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales. Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un conjunto son sus elementos. En L, este axioma se escribe X Y ( z(z X z Y ) X = Y ). Definición 1.1. Decimos que X es subconjunto de Y, en símbolos, X Y, si y sólo si todo elemento de X es un elemento de Y. O sea, X Y x(x X x Y ). Con esta definición A1 puede escribirse más abreviadamente X Y (X Y Y X X = Y ). A2. Axioma del conjunto vacío: Existe un conjunto que no contiene ningún elemento. 9

10 En L escribimos X x x X. Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto. Lema 1.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento. Demostración. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin elementos. Por A1 x((x a x b) (x b x a)), una contradicción. Luego hay un único conjunto vacío. Definición 1.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vacío y se le denota. Obsérvese que el símbolo no es la letra griega ϕ. A3. Axioma de Separación: Si ϕ(x) es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ(x). En L escribimos X Y z(z Y (z X ϕ(x)). Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto es único. Definición 1.3. Si ϕ(x) es una fórmula de L y A un conjunto, el conjunto cuya existencia está garantizada por A3 se denotará con el símbolo {x A : ϕ(x)} y se lee el conjunto de los elementos de A tales que ϕ(x). Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedad cualquiera ϕ(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción evita que se produzca la paradoja. Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A, el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto R = {x A : x x}. 10

11 En este caso tenemos que si R R, entonces R A y R R, lo cual es una contradicción, luego R / R, lo que, a diferencia de antes, no es contradictorio, sólo implica que R / A. Teorema 1.2. No existe el conjunto de todos los conjuntos. Demostración. Supongamos que si existe y llamemoslo V. Entonces en virtud de A3 podemos construir el conjunto de Russell R = {x V : x x}, contradicción. Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema. En efecto, para cada fórmula ϕ(x) de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de instancias de este axioma. A4. Axioma de Pares: Dados dos conjuntos X elementos son X e Y. Su expresión en L es e Y, existe un conjunto cuyos únicos X Y Z x(x Z (x = X x = Y )). Resulta claro por A1 que este conjunto es único. Lo denotamos {X, Y }. y lo llamamos el par no ordenado X, Y. El axioma A1 también garantiza la existencia del conjunto cuyo único elemento es el conjunto X {X, X} = {X}, el que a menudo recibe el nombre de singleton X. A5. Axioma de Uniones: Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de X. En L escribimos X Y z(z Y u(z u u X)). Nuevamente por A1, este conjunto es único, se llama la unión de X y se le denota X. 11

12 Un caso particular que merece una notación especial es el siguiente. Si X e Y son conjuntos, entonces existe {X, Y }. ( Por qué?) Entonces x {X, Y } (x X x Y ). {X, Y } se llama la unión de X e Y y se le denota X Y. Corresponde al conjunto de todos los conjuntos que pertenecen ya sea a X o a Y (o a ambos). Más generalmente, dados los conjuntos X 1, X 2,..., X n de manera análoga al caso de la unión de dos conjuntos, definimos de tal manera que X 1 X 2 X n = {X 1, X 2,..., X n }. x X 1 X 2 X n x X 1 x X 2 x X n. El lector seguramente está familiarizado con el concepto de unión de dos o de una cantidad finita de conjuntos, el axioma A5 generaliza este concepto a la unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de conjuntos. Observemos que para definir la unión de dos conjuntos son necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el Axioma de Extensionalidad (para garantizar unicidad). Usando la definición de unión de dos conjuntos, podemos también definir triples no ordenados {x, y, z} = {x, y} {z} y, en general, iterando el proceso, podemos definir n tuplas no ordenadas {x 1, x 2,..., x n }. Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de un conjunto no vacío X, en símbolos, X, definida por X = {x X : y(y X x y)}. Observemos que en virtud de A5 y de A3, X es efectivamente un conjunto. Por qué debemos exijir que X sea no vacío? La intersección de dos conjuntos X e Y, X Y, se define por y en general X Y = {X, Y } X 1 X 2 X n = {X 1,..., X n }. En rigor, para definir x y no necesitamos A5. Cómo podríamos hacerlo? Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si X Y =. 12

13 A6. Axioma del Conjunto Potencia: Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X. Esto es X Y z(z Y z X)) (En rigor deberiamos excribir X Y z(z Y u(u z u X)) sin embargo, como la lectura de la fórmula se complica bastante y ya sabemos cómo definir usando sólo y los símbolos lógicos, preferimos la escritura abreviada). Creemos que este axioma se explica por sí mismo. El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el conjunto potencia de X. A7 Axioma de Regularidad: Todo conjunto no vacío contiene un elemento con el que no comparte ningún elemento. En L escribimos x(x y(y x y x = )). A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este axioma impide la existencia de un conjunto a tal que a a o incluso a b a, o a c b a, etc. Como veremos en su oportunidad, intuitivamente este axioma dice que, considerada como una relación entre conjuntos,verifica una condición análoga a la del orden de los números naturales, ésta es, que todo conjunto no vacío tiene un menor elemento. Teorema 1.3. i) x x x. ii) x y(x y y x). iii) En general, no existen a 1, a 2,..., a n tales que a 1 a 2 a n a 1. iv) No existen conjuntos a 1, a 2, a 3,..., a n,... tales que a n a 2 a 1. Demostración. i) Supongamos que existe a tal que a a, entonces A = {a} contradice a A7. ii) Idem i) con A = {x, y} iii) Idem i) con A = {a 1, a 2,..., a n }. iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisamente a 1, a 2, a 3,.... Llamemoslo A. Entonces A contradice a 13

14 A7 ya que para cualquier y A, digamos y = a m para algún m, a m+1 a m y a m+1 X, o sea y X. El problema entonces se reduce a verificar que existe tal conjunto A. Sin embargo para poder hacerlo no bastan los axiomas que tenemos hasta ahora, necesitamos dos axiomas más. La demostración deberá posponerse hasta entonces. (Ver ejercicio 7.) Aunque la mayor parte de las matemáticas puede desarrollarse sin el axioma de regularidad es más cómodo contar con él. A8. Axioma del Conjunto Infinito: Existe un conjunto que tiene infinitos elementos. Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresión que no es muy transparente. X( X y(y X y {y} X). Es claro que el conjunto así formado es intuitivamente infinito, basta verificar que contiene a los siguientes conjuntos, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... por supuesto que habría que demostrar además que todos estos conjuntos son distintos. Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de fórmula de L. Una fórmula ϕ(x, y) de L con dos variables libres x e y se dirá función proposicional si para todo conjunto a existe un único conjunto b tal que ϕ(a, b) se verifica. Ejemplos de éstas son las fórmulas ϕ(x, y) siguientes: y = x, y = Px, donde a es un conjunto fijo, etc. y = x {x}, y = x a, A9. Axioma de Reemplazo: Si ϕ(x, y) es una función proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ(a, b) para algún a A. Expresado en L, tenemos X Y y(y Y x(x X ϕ(x, y))). 14

15 De hecho, este axioma parece más complicado de lo que es. La idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo dominio es A, f[a] = {f(x) : x A}, es también un conjunto. El problema se suscita cuando vemos que en nuestra teoría la función x Px no es, como veremos formalmente más adelante, un objeto de nuestra teoría, es decir, no es un conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos una clase propia. Como ya hemos dicho antes, nuestro lenguaje nos permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define, lo que para los efectos prácticos es casi lo mismo. Así, ϕ(x, y) no es una función dentro de nuestra teoría sino más bien una regla que nos permite asociar a cada elemento de un conjunto A un único elemento. Algunos matemáticos llaman a la fórmula que define una función, su gráfico. Siguiendo con esta nomenclatura, el problema aquí es que el dominio de esta función es la clase de todos los conjuntos que, como ya vimos, no es un conjunto. Sin embargo, cuando restringimos dicho dominio a un conjunto A, A9 garantiza que existe el recorrido de la función. Esta lista de axiomas conforman ZF. Junto con el Axioma de Elección, que estudiaremos en el capítulo 3, son suficientes para desarrollar casi toda la matemática. Inmediatamente se nos ocurren varias preguntas son estos axiomas independientes entre sí? Es decir, no pueden obtenerse unos de otros? La respuesta es no, el axioma de pares puede obtenerse a partir de los axiomas de reemplazo y del conjunto potencia. Por su parte el axioma del conjunto vacío puede obtenerse a partir del axioma de especificación y del axioma del conjunto infinito (habría que darle otra formulación a este último). El problema de la independencia del axioma de elección del resto de los axiomas es mucho más complicado. Fue resuelto positivamente por K. Gödel (1940). Más importante aún es el problema de la consistencia, es decir, es posible deducir una contradicción a partir de estos axiomas? Este problema no se ha resuelto y no parece probable que vaya a resolverse debido a los resultados de Gödel en Por supuesto no se ha descubierto ninguna contradicción (de no ser así, no tendría sentido el estudio de esta teoría) y se estima que sí son consistentes. El otro problema que surge naturalmente es el de la completud de este sistema de axiomas. Es decir, son suficientes estos para deducir todos los teoremas posibles sobre conjuntos? La respuesta es también no. Mas aún, sabemos (nuevamente en virtud de los trabajos de K. 15

16 Gödel en 1930) que no puede completarse, es decir, aunque agreguemos una lista de infinitos axiomas a ZF, seguirá siendo incompleto, es decir, siempre existirá una fórmula ϕ tal que ni ϕ ni ϕ puede demostrarse a partir de esa lista. Todos estos problemas requieren de conocimientos de Lógica Matemática y están fuera del alcance de esta obra. Nos parece interesante eso sí mencionarlos para que el lector investigue por su cuenta. Ejercicios. 1. Demuestre que el axioma de pares puede ser reemplazado por el axioma más débil: Dados dos conjuntos X e Y, existe un conjunto los contiene a ambos. 2. Demuestre que el axioma de uniones puede ser reemplazado por el axioma más débil: Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene a todos los elementos de los elementos de X. 3. Demuestre que el axioma del conjunto potencia puede ser reemplazado por el axioma más débil: Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de X. 4. Demuestre que el Axioma de Pares puede obtenerse a partir de los axiomas de Reemplazo y del Conjunto Potencia. 5. Demuestre el Axioma del Conjunto Vacío a partir de de los otros axiomas y el nuevo axioma Existe un conjunto infinito. 6. Indique cómo definir x y sin usar el axioma A5. 7. Use el axioma de reemplazo y el de conjunto infinito para demostrar que el conjunto A definido en la demostración del teorema 1.3 existe. 16

17 CAPITULO 2 Teoría Elemental En este capítulo formalizaremos y profundizaremos las nociones de la teoría intuitiva de conjuntos que el lector probablemente ha estudiado en cursos de Algebra, Geometría u otros. Por tratarse de material familiar, la mayoría de las demostraciones se dejarán como ejercicio. Debemos cuidarnos eso sí de no dar a las intuiciones el carácter de teoremas y demostrar cuidadosamente todas nuestras afirmaciones a partir de los axiomas. Una de las dificultades que enfrenta el principiante en Teoría A- xiomática de Conjuntos es precisamente ese conocimiento intuitivo del tema. En nuestra teoría todo es un conjunto, así los elementos de un conjunto son a su vez, conjuntos que contienen elementos que a su vez son conjuntos. Es decir, la familiar distinción entre elemento y conjunto no existe y si se dice por ejemplo a es elemento de b es sólo para enfatizar que a y b satisfacen a b, pero no para separar a a y b en dos categorías distintas. Así, un mismo conjunto puede jugar ambos papeles en distintas situaciones, por ejemplo: { } { } {, { }}. Lo mismo puede decirse de pares ordenados, relaciones, funciones etc, etc, todo ente del cual hablemos será un conjunto. 1. Operaciones En el capítulo anterior hemos definido las operaciones x y y x y. Definiremos ahora una tercera operación Definición 2.1. Dados dos conjuntos a y b definimos el complemento relativo de b con respecto a a, o su diferencia como sigue a b = {x a : x / b}. Notese que en virtud de A3, a b es un conjunto. Como lo demuestra la siguiente proposición, la noción de complemento de un conjunto a, es decir, el conjunto de aquellos conjuntos que no pertenecen a a, no puede definirse en ZF. 17

18 Teorema 2.1. No existe el complemento, de ningún conjunto. Demostración. Sea a un conjunto. Si existiera su complemento llamémoslo a, entonces en virtud de A5, a a sería un conjunto, pero a a = V, la clase de todos los conjuntos que, como vimos, no es un conjunto. El siguiente teorema nos da las propiedades de estas tres operaciones. Teorema 2.2. (Algebra de Conjuntos). Para todo conjunto a, b, c : i) Asociatividad a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c. ii) Conmutatividad a b = b a, a b = b a. iii) Idempotencia a a = a, a a = a. iv) Absorción a (a b) = a, a (a b) = a. v) Neutro a = a, a =. vi) Distributividad a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c). vii) Leyes de De Morgan a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c). viii) a a = ix) a = (a b) (a b) Demostración. Ejercicio La relación a b se relaciona con las otras operaciones como sigue. Teorema 2.3. Para todo conjunto a, b, c, d. i) a b a y a b b. ii) Si c a y c b, entonces c a b. iii) a b si y sólo si a b = a. 18

19 iv) Si a c y b d, entonces a b c d. v) a a b y b a b. vi) Si a c y b c, entonces a b c. vii) a b si y sólo si a b = b. viii) Si a c y b d, entonces a b c d. Demostración. Ejercicio. Algunas propiedades del conjunto potencia de un conjunto son interesantes. Teorema 2.4. Para todo conjunto a, b: i) Pa y a Pa. ii) P = { }. iii) Si a b, entonces Pa Pb. iv) Pa Pb P(a b). v) Pa Pb = P(a b). vi) P(a b) (Pa P(b)) { }. Demostración. A modo de ejemplo demostraremos vi). El resto queda como ejercicio. Sea x P(a b), es decir, x a b. Si x =, entonces x (Pa Pb) { }. Si x, entonces para todo z x, z a y z / b, o sea, x a y x b, luego x Pa Pb. Ejercicios. 1. Determine si a pertenecea, es subconjunto, o ni pertenece ni es subconjunto de alguno de los siguientes conjuntos. (a) {{a}, a}, (b) a, (c) a, (d) {a} {{a}}, (e) {a} a, (f) {a} { }. 2. Sea a un conjunto. Si para todo conjunto b se tiene a b = b, probar que a =. 19

20 3. Demostrar que : (a) {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a, b, c, d, e, f}. (b) {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} = {a}. (c) {a} = a = {a}, para todo conjunto a. (d) ( a) ( b) (a b). 4. Probar que: (a) Si a c =, entonces a (b c) = a b. (b) Si a b =, entonces a b = a. (c) Si a b = y a b = c, entonces a = c b. (d) a (b c) = (a b) c. (e) (a b) c = (a c) (b c). (f) Si a b =, entonces a = y b =. 5. Definamos 0 =, 1 = 0 {0}, 2 = 1 {1}, 3 = 2 {2}, 4 = 3 {3}. Entonces: (a) Probar que 0, 1, 2, 3 y 4 son conjuntos. (b) Expresar 0, 1, 2, 3 y 4 usando sólo los símbolos {, }, y,. (c) Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes: (i) 1 2 (ii) 1 2 = 0 (iii) (0 2) 1 (iv) 1 2 (v) 1 2 = 2 (vi) 3 3 (vii) 4 4 (d) Expresar los siguientes conjuntos usando los conjuntos 0, 1, 2, 3 y 4. Simplifique., P,, PP,, PPP. (e) Si a = {{2, 3}, 4, {4}}, encontrar ( a 4). (f) Construir (P2 2). (g) Si a = {{1, 2}, {2, 0}, {1, 3}}, construir: a, a, a, a, a, a. 6. Dar contraejemplo de P(a b) = Pa Pb. 7. Probar que: (a) Pa = a. (b) a P a. (c) No es cierto que si a b, entonces Pa Pb. (d) Si a b, entonces Pa PP a. (e) {Px : x a} P a. (f) {, { }} PPPa, para todo conjunto a. (g) Si Pa = Pb, entonces a = b. 8. Se define a+b = (a b) (b a), para a y b conjuntos. Probar que si a, b, c son conjuntos, entonces: (a) a + = a (b) a + a = 20

21 (c) a + (b + c) = (a + b) + c (d) a (b + c) = (a b) + (a c) (e) a b a + b (f) a = b si y sólo si a + b = (g) Si a + c = b + c, entonces a = b (h) a c = b c si y sólo si a + b c (i) (a c) + (b c) = (a + b) c 9. Sean a = {x Z : x es divisible por 4} b = {x Z : x es divisible por 9} c = {x Z : x es divisible por 10} (a) Describir a b c. (b) Sean n, m Z. Si d = {x Z : x es divisible por n} e = {x Z : x es divisible por m}, describa d e. Qué pasa si m y n son números primos? Qué pasa si m = n? 10. Probar que si a, b, c son conjuntos, entonces (a b) c = a (b c) si y sólo si c a. 11. Para las siguientes oraciones, dar una demostración o un contraejemplo: (a) (a b) c = a (b c). (b) Si a b = a c, entonces b = c. (c) Si a b = a c y a b = a c, entonces b = c. (d) a b = (a b) b = a (a b). (e) a b = a (a b). (f) a (b c) = (a b) (a c). (g) a b = b a. (h) a (a b) = (a b). (i) (a b) b = a b. (j) (a b) b =. (k) (a b) b =. 12. Probar que la inclusión de conjuntos cumple: (a) a a ( reflexividad ); (b) Si a b y b a, entonces a = b ( antisimetría ); (c) Si a b y b c, entonces a c ( transitividad ). 13. Si a b y b c y c a, probar que a = b = c. 21

22 14. Si b a y c a, probar que b c si y sólo si (a c) (a b). 15. Sean b, c, d subconjuntos del conjunto a. Abreviaremos a x por x. Probar o dar contraejemplo de: (a) b c si y sólo si b c = (b) b c si y sólo si b c = (c) b c si y sólo si b c = a (d) b c si y sólo si b c b (e) b c si y sólo si b c c (f) b c si y sólo si b c d d 16. Probar o dar contraejemplo de: (a) a b c si y sólo si a b y a c (b) b c a si y sólo si b a y c a (c) Si a b c, entonces a b ó a c (d) Si b c a, entonces b a ó c a 17. Probar: (a) Si para todo c a existe d b tal que c d, entonces a b (b) {c : c = {x} b y x a} = ( {c : c = {x} y x a}) b (c) x = a (d) (e) x a x = a x a a ( b) = c b(a c) (f) Si d, entonces a b = c b(a c). 18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema

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