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1 AMORTIZACION En general, los individuos solicitan prestamos a instituciones financieras para financiar un proyecto, adquisición de un bien, etc. Todo préstamo que se adquiere debe pagarse por una parte unos intereses por concepto del uso y disfrute del capital recibido y por otra, reembolsar dicho capital en una o varias épocas, previamente acordadas. Para determinar el pago de intereses y el control de la amortización o reembolso del capital en préstamo suele aplicarse uno de los tres sistemas siguientes: Sistema Francés o de Amortización Progresiva. Sistema Americano o Fondo de Amortización. Sistema Alemán o de Amortización Constante. Sistema Francés o de Amortización Progresiva En este sistema el deudor se compromete a cancelar una cantidad constante (anualidad o término de la renta), al finalizar o comenzar cada período de tiempo convenido la cantidad que se desglosará en dos partes, la primera para cancelación de intereses y la segunda para la amortización de una parte del capital tomado en préstamo. En consecuencia, al ser las anualidades constantes, al comenzar la amortización del capital comenzará a disminuir la parte destinada al pago de intereses y aumentando la parte destinada a la amortización del capital en cada período, por cuyo motivo, a este método también se le conoce con el nombre de sistema de amortización Progresiva. El sistema Francés o de amortización Progresiva es ampliamente aplicado en los créditos a mediano y largo plazo. Los principales símbolos que se emplean son los siguientes: D = Deuda primaria pendiente de amortización R = Término de la renta compuesto por: interés simple del período (I) más cantidades destinada a amortización de la deuda (t). Es decir R = t + I I = Interés simple de la deuda pendiente de amortización, correspondiente a un período. t = Amortización real de la deuda correspondiente a un período. Z = Deuda amortizada. P = Deuda pendiente de amortización. Para suministrar cualquier tipo de información que pueda ser requerida referente al préstamo, se acostumbra preparar el denominado Cuadro de Amortización de una deuda. 1

2 Por esta razón, se realizará un ejemplo en donde se prepara un cuadro de amortización. Ejemplo: Se compra un vehículo cuyo valor es de Bs La forma de pago es: Inicial del 30 % y el saldo restante que es Bs , se financia a través del Banco Hipotecario XXX a una tasa efectiva del 18 % anual. Para la amortización y pago de intereses se destinarán 20 cuotas mensuales constantes vencidas. Es necesario calcular lo siguiente: Valor de la anualidad R Preparar un cuadro de amortización. D = n = 20 meses i = 0,18 anual / 12 = 0,015 mensual Anualidad de Amortización Real (t) Sistema Francés En el cuadro de amortización para obtener la anualidad de amortización real de un determinado período, es necesario conocer la deuda pendiente de amortización al comenzar ese período. Generalmente, se conoce la anualidad R (término o anualidad de la renta), pero no la deuda pendiente a un determinado período. La siguiente formula nos permitirá calcular el valor de la anualidad de amortización REAL tx, en función de la anualidad constante R (término de la renta) (Sistema Francés). tx = R V n x + 1 2

3 Aplicando esta formula al ejemplo que hemos desarrollado, es decir: Determinar la anualidad de amortización real para el período nueve(9) en un préstamo de Bs ,00 a una tasa de interés anual del 18%, el cual se cancelará en 20 meses en base a cuotas vencidas de Bs ,18 tx = R V n x + 1 Intereses de un período Sistema Francés En algunas ocasiones desearemos conocer a cuánto asciende los intereses de un determinado período. La siguiente fórmula nos permitirá calcular el valor de los intereses correspondiente a un período x, en función de la anualidad R (Sistema Francés). Ix = R ( 1 V n x + 1) Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve tendremos lo siguiente: Ix = R ( 1 V n x + 1) Deuda Amortizada 3

4 Sistema Francés En la amortización de un préstamo también es importante conocer la deuda amortizada al finalizar un determinado período. La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al final del período después de haber cancelado la anualidad R (Sistema Fránces). Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve tendremos lo siguiente: Deuda Pendiente de Amortización Sistema Francés Para conocer la deuda pendiente de amortización o deuda insoluta después de cancelar la anualidad de un determinado período, debemos aplicar la siguiente fórmula: Aplicando la fórmula al ejemplo que desarrollamos en el cuadro de amortización para el período nueve tendremos lo siguiente: 4

5 Sistema Americano Fondo de Amortización Sinking Fund En este Sistema de Amortización el deudor, durante el plazo del préstamo, abonará al acreedor el interés simple sobre el total del capital tomado en préstamo, en los períodos de tiempo convenido y, al mismo tiempo, deberá depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales junto con sus intereses, formarán el monto que reembolsará, en su vencimiento, la totalidad del capital tomado en préstamo. Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo del préstamo, cubrirán únicamente los intereses del préstamo, el cual será reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades ingresadas al fondo de amortización. Este sistema tiene muy poca aplicación práctica, pues el deudor, pocas veces cumple con el compromiso de depositar en el fondo de amortización las cantidades periódicas que formarán el monto para reembolsar el préstamo. En este sistema nos encontramos con dos tipos de tasas, generalmente diferente, las cuales distinguiremos por: i = tasa de interés que produce el fondo de amortización. r = tasa de interés del préstamo. Anualidad para formar el Fondo y cancelar intereses. El principal problema con que nos encontramos en este sistema será del determinar la correspondiente anualidad que, desglosada en dos partes, cancele los intereses correspondientes del préstamo y forme el fondo, el cual, en la época de vencimiento, reembolse monto del préstamo. La siguiente fórmula nos proporcionará la anualidad R, la cual cancelará el interés simple del préstamo, correspondiente a un período t, que formará el fondo de amortización (sistema americano). 5

6 Ejemplo: Se obtiene un préstamo de Bs ,00 para ser reembolsado en 6 años a una tasa efectiva anual del 15% con cancelación de intereses por anualidades vencidas. Se exigen depósitos por anualidades vencidas que formarán Bs ,00 al finalizar el plazo del préstamo. El fondo produce una tasa efectiva anual del 12%. D = ,00 r = 0,15 i = 0,12 n = 6 6

7 Comprobación: Sabemos que: t = R D r por lo tanto t = , (0,15) t = , t = ,11 Determinemos si con anualidades vencidas de Bs ,11 a una tasa de 12% en 6 años, formaremos un monto de Bs el cual servirá para reembolsar el préstamo. Aplicando la fórmula: Deuda en función de Anualidad R Sistema Americano La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda que podemos contraer en función de la anualidad R, tasa del préstamo, tasa del fondo y tiempo (sistema americano). 7

8 Ejemplo: Determinar que capital podemos tomar en préstamo durante 6 años, a una tasa anual efectiva de 15%, si disponemos de anualidades de Bs ,11 para la cancelación de los intereses periódicos anuales y formación de un fondo de amortización que produce una tasa anual efectiva del 12%. R = ,11 r = 0,15 i = 0,12 n = 6 Cuadro para Fondo de Amortización de Préstamo Sistema Americano 8

9 Para poder seguir la situación del fondo de amortización se suele preparar un cuadro que representa la formación de una renta de imposición. Este es muy simple, pero requiere mucho cuidado para su preparación. Como ejemplo prepararemos el cuadro de amortización del ejercicio que hemos desarrollado en los puntos anteriores. Cuadro de un Fondo de Amortización, para el reembolso de un préstamo por Bs concedido el 01/03/2000 con vencimiento el 01/03/2006. Intereses del préstamo: 15% anual. Intereses del Fondo: 12% anual efectivo. Anualidades vencidas. Intereses sobre Anualidad Intereses sobre Total Desembolsos el Préstamo Destinada al El Fondo Abonado al Valores del Fechas Anual "R" 15% anual Fondo 12% anual Fondo Fondo 01/03/ , , , , ,11 01/03/ , , , , , ,27 01/03/ , , , , , ,42 01/03/ , , , , , ,54 01/03/ , , , , , ,79 01/03/ , , , , , ,52 Totales , , , , ,52 Sistema Alemán o Amortización Constante El deudor se compromete a cancelar cantidades variables (anualidades o términos de la renta), al finalizar o comenzar cada período de tiempo convenido (generalmente lapsos equidistantes). Cada cantidad se desglosará en dos partes, la primera CONSTANTE e igual a la enésima parte del capital tomado en préstamo, se aplicará a la amortización del mismo; la segunda, VARIABLE, se aplicará a la cancelación de intereses sobre el saldo del préstamo. La cantidad destinada a la amortización real del préstamo es constante. En cada período se amortizará una parte del préstamo, con lo cual disminuirán los intereses y la cantidad destinada a la cancelación de los mismos también disminuirá y en consecuencia las anualidades o términos de la renta serán VARIABLES. Este sistema también se le denomina: amortización real CONSTANTE. La siguiente fórmula nos permitirá calcular la anualidad de amortización real: El valor de la primera anualidad de amortización de capital y pago de intereses: R1 será igual a: R1 = t1 + I1 Ejemplo: Se obtiene un préstamo por Bs ,00 a tasa efectiva del 12% anual, el cual se amortizará en base a 8 anualidades de amortización real vencida iguales y consecutivas. 9

10 D = m = 1 n = 8 i = 0,12 Intereses del primer año serán: I1 = D1 = (0,12) = Bs ,00 La anualidad de amortización real será: R1 = t1 + I1 R1 = Cuadro de Amortización Sistema Alemán Deuda al Intereses del Deuda Amortizada Deuda Comienzo Anualidad Amortización Periodo al Final del Amortizada al Periodo Disponible Período 12% anual Período Final del Periodo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Totales , , , ,00 Intereses de un Determinado Periodo Sistema Alemán La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de los intereses de un determinado período en función de la 10

11 deuda inicial y de la anualidad de amortización real (sistema Alemán). IX = [ D (x 1) t1]i Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente: D = t1 = x = 6 i = 0,12 I6 = [ (6 1) ]0,12 I6 = [ (5) ]0,12 I6 = [ ]0,12 I6 = [ ]0,12 I6 = Bs Valor de la Anualidad `R' de un Determinado Periodo Sistema Alemán La siguiente fórmula nos proporcionará el valor de la anualidad variable RX para un determinado período en función de la deuda inicial y de la anualidad de amortización real (sistema Alemán). RX = t1 + [ D (x 1) t1]i Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente: D = t1 = x = 6 i = 0,12 R6 = [ (6 1) ]0,12 R6 = [ (5) ]0,12 R6 = [ ]0,12 R6 = [ ]0,12 R6 = R6 = Bs Deuda Amortizada Sistema Alemán La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda amortizada al finalizar un determinado período en función de la anualidad de amortización real (sistema Alemán). Recordemos que, en el sistema alemán, la anualidad de amortización real es CONSTANTE. 11

12 ZX = x t1 Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente: D = t1 = x = 6 Z4 = 6( ) Z4 = Bs Deuda Pendiente de Amortización Sistema Alemán La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda pendiente de amortización al finalizar un determinado período, en función de la deuda inicial y la anualidad de amortización real (sistema Alemán). PX = D xt1 Si calculamos los intereses correspondientes al período seis, tendremos lo siguiente: D = t1 = x = 6 P4 = ( ) P4 = P4 = Bs

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