O(0, 0) verifican que. Por tanto,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "O(0, 0) verifican que. Por tanto,"

Transcripción

1 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O en l mism gráic. cundo todo punto de l gráic de tiene P, Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del origen y sus coordends ' veriicn que ' P' ', ' Por tnto, Un unción es simétric respecto del origen O, cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Ls unciones simétrics respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del origen, ésts tienen todos sus eponentes impres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del origen: L unción y que Su gráic como sbemos es hipérbol equiláter : L unción y que L unción y que FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

2 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS OY. FUNCIONES PARES: Se : D. Se dice que es simétric respecto del eje de ordends OY cundo todo punto de l gráic de tiene su simétrico respecto de OY en l mism gráic. Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del eje OY y sus coordends veriicn que P' ', ' P, ' ' Un unción es simétric respecto del eje de ordends OY cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Geométricmente signiic que si doblmos el ppel por el eje OY, ls dos prtes de l gráic coinciden. Ests unciones reciben tmbién el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del eje OY, ésts tienen todos sus eponentes pres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del eje de ordends: L unción cudrátic y que. L unción vlor bsoluto y que L unción y que Sus respectivs gráics serín: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

3 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIÓN PERIÓDICA: Se : D. Se dice que es periódic si eiste un número rel, no nulo, T, llmdo PERIODO, tl que pr todo D, T D y se veriic que T. De l propi deinición se deduce que si T es un periodo de l unción, tmbién lo es T, T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principl o propio. El conocimiento de l gráic de un unción en un periodo nos permite construir por periodicidd tod l gráic. Ejemplos de unciones periódics: Tods ls unciones circulres: Ls unciones seno y coseno tienen por periodo T π, mientrs que l unción tngente y l cotngente tienen por periodo T π. L unción deciml o mntis: su periodo principl es. FUNCIONES ACOTADAS. Funciones cotds superiormente. Un unción se dice que está cotd superiormente si eiste un número rel M tl que M ' M Dom Este número rel M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es superior l vlor M y, por tnto, l gráic de l unción estrá por debjo de l rect y M. M NOTA: Si M es un cot superior de l unción, culquier otro número rel M myor que M, tmbién es cot superior de. En consecuenci, si un unción está cotd superiormente siempre tendrá un conjunto de cots superiores. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

4 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones cotds ineriormente. Un unción se dice que está cotd ineriormente si eiste un número rel m tl que m Dom Este número rel m recibe el nombre de COTA INFERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es inerior l vlor m y, por tnto, l gráic de l unción estrá por encim de l rect y m. NOTA: Si m es un cot superior de l unción, culquier otro número rel m menor que m, tmbién es cot inerior de. En consecuenci, si un unción está cotd ineriormente siempre tendrá un conjunto de cots ineriores. Funciones cotds. Un unción se dice que está cotd si lo está inerior y superiormente. m ' m Por estr cotd superiormente, eistirá un número rel M que es myor o igul que tods ls imágenes de l unción y por estr cotd ineriormente, eistirá otro número rel m que es menor o igul que tods ls imágenes de l unción. En consecuenci, m, M / m M Dom lo cul signiic que tods ls imágenes de nuestr unción estrín comprendids entre m y M y, por tnto, geométricmente, l gráic de l unción estrí en l bnd comprendid entre ls rects y m e y M. Ejemplo: L unción sen es un unción cotd y que está cotd superiormente por M e ineriormente por m. y sen y Un deinición equivlente de unción cotd serí l siguiente: k R k Dom * está cotd / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 54

5 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Podrímos demostrr que l sum y el producto de unciones cotds es otr unción cotd y, en consecuenci, el conjunto de unciones cotds tendrí l mism estructur que el conjunto de unciones reles de vrible rel. Funciones cotds en un punto. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D D. Se dice que está cotd superiormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd superiormente. Se dice que está cotd ineriormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd ineriormente. Se dice que está cotd en el punto D si está cotd superior e ineriormente en el punto D Result evidente que si un unción está cotd en su dominio D estrá cotd en cd uno de los puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué veriicrse: un unción puede estr cotd en cd uno de los puntos de su dominio y, sin embrgo, no estr cotd en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, l unción cudrátic : está cotd en todos sus puntos y no está cotd en su dominio. Etremo superior. Máimo bsoluto. Se llm etremo superior de un unción l menor de ls cots superiores de dich unción. Se represent por sup. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de máimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un máimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. Etremo inerior. Mínimo bsoluto. Se llm etremo inerior de un unción l myor de ls cots ineriores de dich unción. Se represent por in. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un mínimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 55

6 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: L unción está cotd ineriormente por el cero y culquier vlor negtivo. L myor de ls cots ineriores serí el cero, por lo que nuestr unción tiene etremo inerior y como eiste un punto en el dominio en el que se lcnz este etremo inerior, diremos que nuestr unción tiene un mínimo bsoluto en el punto. L unción tmbién tiene como cot inerior máim el vlor k ; sin embrgo, est unción no lcnz el vlor cero en ningún punto de su dominio, por lo que tiene etremo inerior y no tiene máimo bsoluto. Máimos y mínimos reltivos de un unción. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. Se dice que un unción tiene un máimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. Se dice que un unción tiene un mínimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. si eiste un si eiste un L plbr reltivo nos indic que estmos comprndo l imgen de en el punto con l imgen de puntos próimos l punto. En consecuenci, no debemos conundir los máimos y mínimos bsolutos de un unción con los máimos y mínimos reltivos de l mism: mientrs que los primeros son únicos, los segundos no tienen por qué serlos puede hber más de uno. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 56

7 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tmbién debemos tener en cuent que los máimos y mínimos bsolutos son l mismo tiempo reltivos, pero l recíproc no siempre es ciert: un máimo o mínimo reltivo no tiene por qué ser bsoluto. En el ejemplo cuy gráic se djunt vemos que l unción tiene un máimo y un mínimo reltivos, pero no tiene etremos bsolutos. FUNCIONES MONÓTONAS. Un unción se dice que es monóton en un punto cundo se creciente, estrictmente creciente, decreciente o estrictmente decreciente en ese punto. Funciones crecientes en un punto. Un unción es creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r: si > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente crecientes en un punto. Un unción es estrictmente creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: > FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 57

8 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 58

9 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd En resumen: Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. > :, en es r V D estrictmente decreciente decreciente estrictmente creciente creciente Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis cero:, r V > En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente positiv en culquier entorno de cero, l unción cúbic es estrictmente creciente en el punto de bscis. Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis uno:,. r V En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente negtiv en culquier entorno de uno, l unción dd es estrictmente decreciente en el punto de bscis. Demostrr que l unción es estrictmente decreciente en todo punto., r V que no conteng l punto cero. Funciones monótons en un intervlo. Se un unción deinid de D en. Se dice que es en un intervlo decreciente estrictmente decreciente creciente estrictmente creciente I D I ', si, se veriic l siguiente relción > ' ' ' ' ' ' ' ' FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 59

10 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Es evidente que si un unción es monóton en D, lo es en cd uno de sus puntos. Sin embrgo, el recíproco es lso: un unción puede ser monóton en todos sus puntos y no serlo en su dominio. En l práctic, el método más cómodo pr estudir l monotoní de un unción es medinte l ts de vrición medi. Operndo igul que en l monotoní de un unción en un punto llegmos l siguiente deinición de unción monóton en un intervlo equivlente l nterior: Se un unción deinid de D en. creciente estrictmente creciente es en decreciente estrictmente decreciente I D, ' I : ' > ' Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción linel b según los distintos vlores de Clculmos el cociente incrementl: ' b ' b ' ' ' ' ' ' Al ser el cociente incrementl igul, tendremos: Si >, entonces l unción será estrictmente creciente. Si, entonces l unción será estrictmente decreciente. Demostrr que l unción Clculmos el cociente incrementl: ' ' ' ' es estrictmente creciente en R. ' ' ' ' Por tnto, l unción cúbic es estrictmente creciente en R. ' ' >, ' R EJERCICIOS.. Clculr el dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: Al ser un unción rcionl su dominio será el conjunto de números reles slvo los puntos que nuln el denomindor. Por tnto: Dom R {, } Pr clculr los ceros de l unción igulmos cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6

11 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6 {} C Simetrí: clculmos pr comprrlo con Por tnto, no tiene simetrí respecto del eje OY ni respecto del origen. 8 6 Dominio: Vemos cules son estos puntos: } 8 6 / { R Dom Por tnto, ] ] [ [ ] [, 4,, 4 Dom Ceros: L Dominio: el dominio de l unción logrítmic es el conjunto de puntos que hcen el rgumento estrictmente positivo. Entonces: { / } Dom > puesto que siempre es estrictmente myor que cero. Ceros: L Simetrí: L L Por tnto, es un unción pr y es simétric respecto del eje OY.. Dd l unción deciml rzon si: dec. Es periódic o no. L prte deciml de un número rel es un unción que tom siempre vlores comprendidos entre y : cd vez que incrementmos un número rel en un unidd, se repite l mism imgen sólo vrí su prte enter. Es, por tnto, un unción periódic de período T. b. Está cotd superiormente e ineriormente. Al tomr siempre vlores comprendidos entre y, l unción estrá cotd superior e ineriormente; luego, estrá cotd: dec

12 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Cots superiores {vlores myores o igules que } Cots ineriores {vlores menores o igules que } c. Tiene etremo superior y etremo inerior. d. Tiene máimo y mínimo. sup {menor cot superior} in {myor cot inerior} No tiene máimo puesto que el vlor no lo lcnz en ningún punto mientrs que si tiene mínimo y que el vlor cero se lcnz en culquier punto de bscis enter. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Clculr dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: sen L. Hllr rzondmente el máimo o el mínimo de ls siguientes unciones:. Demuestr l vercidd o no de ls siguientes proposiciones:. L sum de dos unciones pres es un unción pr. b. El producto de dos unciones pres es un unción pr. c. L sum de dos unciones impres es un unción impr. d. El producto de dos unciones impres es un unción impr. 4. Clculr l epresión nlític de ls siguientes unciones: Sen ls unciones dds por y Clculr: g, g,, g Sus dominios máimos. g, g,, g g g, 6. Un unción es tl que el máimo y el mínimo coinciden, qué se puede decir de ell? Si eiste lgun representrl. 7. Demuestr que l sum y el producto de unciones cotds en un dominio D es otr unción cotd. 8. Qué dierenci eiste entre etremo superior inerior y máimo mínimo de un unción? Pueden coincidir? Poner un ejemplo que clre l respuest. 9. Demuestr que si es creciente, tmbién lo es k, siendo k un constnte.. Demostrr que si y g son crecientes en un dominio D, tmbién lo es g.. Estudir el sentido de vrición de y / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso.

Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso. Límite de un unción en un punto Diremos que () b si podemos logrr que los vlores de ( ) sen tn próimos b como quermos, con tl de tomr vlores de tn próimos como se preciso. Podemos dr un deinición más orml

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A.

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A. CÁLCULO DIFERENCIAL MATEMÁTICAS II Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci 1.- CONCEPTO DE DERIVADA. Se un unción rel deinid en un entorno del punto. Deinición: Se dice que es derivle en

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Funciones trascendentes

Funciones trascendentes Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2. FUNCINES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2.. Límite de un unción en un punto 2.2. LÍMITES Se = () un unción deinid en un entorno del punto R (unque

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e Selectividd CCNN 5. [ANDA] [JUN-A] Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f: definid por f() = e y su función derivd f'. ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - ) OLCOMA II Elimintori

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0 FUNCIONES FUNCIÓN: RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN ÚNICO VALOR DE Y X: vrible independiente Y: vrible dependiente f()= Notción: f(2)=4, si =2, entonces =4

Más detalles

Límite - Continuidad

Límite - Continuidad Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor? En generl, pr tener un ide de l respuest

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales

NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales Indicdores NÚMEROS REALES Identific ls propieddes de los números reles, determinndo el vlor de verdd de proposiciones. Clcul el vlor de epresiones lgebrics usndo ls propieddes del vlor bsoluto. Evlú y

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b. TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo

Más detalles

UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES

UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES I.E.S. Rmón Girldo. FUNCIONES AFINES UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES Ls funciones fines son funciones de l form f : donde y b son números reles no nulos. f b Si b0 y 0, entonces l función recibe el nombre

Más detalles

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de, Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:

TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda: I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

( ) ( ) DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Examen Final (sólo 2ª parte) de Análisis Matemático 21-Mayo-2015 GRADOS ECO y ENI NOMBRE: D.N.I.

( ) ( ) DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Examen Final (sólo 2ª parte) de Análisis Matemático 21-Mayo-2015 GRADOS ECO y ENI NOMBRE: D.N.I. DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Emen Finl (sólo ª prte) de Análisis Mtemático -Mo-05 GRADOS ECO ENI NOMBRE: DNI TURNO: TEST 45 PUNTOS (Cd pregunt contestd correctmente sum 05 puntos, contestd errónemente rest

Más detalles

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas Fich 4. Funciones lineles y cudrátics ) Deinición de unción linel Sen A y B dos conjuntos no vcíos y un unción deinid de A hci B ( : A B ), entonces se le llm un unción linel si su criterio es de l orm

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica Función Cudrátic. Si f ( ), determine su form cnónic. Determine el ámbito de l función ( 4). Hlle l ecución de l prábol que tiene vértice V (,) y cort l eje y en el punto (0,5). 4. Grfique l función f

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

una función acotada. a) Cuántas particiones puede tener el intervalo [ ab, ]?. c) Cuántos puntos como máximo puede tener una partición de [ ab, ]?.

una función acotada. a) Cuántas particiones puede tener el intervalo [ ab, ]?. c) Cuántos puntos como máximo puede tener una partición de [ ab, ]?. Ejercicios del Tem de Integrles Cálculo Diferencil e Integrl II ) Sen A y B dos conjuntos no vcíos de números reles, tles que B A y A está cotdo superiormente Demostrr que B está cotdo superiormente y

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bch 1 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de un función en un punto f () l Se lee: El

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

a) Determínense los valores de a y b que hacen que f sea continua en x = 1 y que f = ( ) ( ) ( ) 1 b

a) Determínense los valores de a y b que hacen que f sea continua en x = 1 y que f = ( ) ( ) ( ) 1 b Modelo 4. Problem B.- (Cliicción máim: puntos) Se b > ) Determínense los vlores de y b que hcen que se continu en y que 4. Pr que l unción se continu en, se debe cumplir: ( ) ( b) b b : b b Además, b 4

Más detalles

Unidad Temática Integral definida

Unidad Temática Integral definida Integrl definid Unidd Temátic 5 5.2 Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y

Más detalles

CONTINUIDAD PUNTUAL DE UNA FUNCIÓN REAL.

CONTINUIDAD PUNTUAL DE UNA FUNCIÓN REAL. INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: Conceptul y ejercitción PERIODO GRADO FECHA

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

TEMA 1: NÚMEROS REALES. 2. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

TEMA 1: NÚMEROS REALES. 2. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números: I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrigo Deprtmento de Mtemátics Conjuntos numéricos. Relción entre ellos.. Complet: TEMA : NÚMEROS REALES Números reles. Indic el menor conjunto numérico l que pertenecen los siguientes

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces.

17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces. Tem 1.- V de números 1.1.- Números pr contr. Un de ls primers ctividdes intelectules que reliz el ser humno es l de contr: el número de flechs, el número de ovejs, el número de enemigos, etc. En Mtemátics

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

SECCIÓN 3 DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

SECCIÓN 3 DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES SEMANA I I I Números Positivos y Negtivos Representción gráfic: SECCIÓN DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES -5-4 - - - 0 4 5 Sentido izquierdo Sentido derecho El cero represent l usenci de l cntidd, y es

Más detalles

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre ) Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

IES Fernando de Herrera Curso 2012/13 Primer Examen 2ª evaluación 4º ESO 30 de enero de 2013 NOMBRE

IES Fernando de Herrera Curso 2012/13 Primer Examen 2ª evaluación 4º ESO 30 de enero de 2013 NOMBRE IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 NOMBRE ) Resolver: 7 ( punto) ) Resolver: + 9 + + (, puntos) ) Resolver: log + log 6 ( punto) 6 ) Resolver: (, puntos) 8 8 )

Más detalles

UNIDAD 0.- Repaso (parte II)

UNIDAD 0.- Repaso (parte II) UNIDAD 0. Repso (prte II). INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llm desiguldd tod relción entre epresiones numérics o lgebrics unids por uno de los cutro signos de desiguldd,

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles