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1 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O en l mism gráic. cundo todo punto de l gráic de tiene P, Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del origen y sus coordends ' veriicn que ' P' ', ' Por tnto, Un unción es simétric respecto del origen O, cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Ls unciones simétrics respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del origen, ésts tienen todos sus eponentes impres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del origen: L unción y que Su gráic como sbemos es hipérbol equiláter : L unción y que L unción y que FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

2 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS OY. FUNCIONES PARES: Se : D. Se dice que es simétric respecto del eje de ordends OY cundo todo punto de l gráic de tiene su simétrico respecto de OY en l mism gráic. Si P, es un punto de l gráic, su simétrico P' ', ' pertenece tmbién l mism gráic: Si considermos l siguiente igur, los puntos P y P ' son simétricos respecto del eje OY y sus coordends veriicn que P' ', ' P, ' ' Un unción es simétric respecto del eje de ordends OY cundo pr todo punto del dominio D se tiene que pertenece D y. Geométricmente signiic que si doblmos el ppel por el eje OY, ls dos prtes de l gráic coinciden. Ests unciones reciben tmbién el nombre de FUNCIONES PARES. Este nombre proviene de que en el cso de que se trte de unciones polinómics simétrics respecto del eje OY, ésts tienen todos sus eponentes pres. Ejemplos de unciones simétrics respecto del eje de ordends: L unción cudrátic y que. L unción vlor bsoluto y que L unción y que Sus respectivs gráics serín: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

3 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIÓN PERIÓDICA: Se : D. Se dice que es periódic si eiste un número rel, no nulo, T, llmdo PERIODO, tl que pr todo D, T D y se veriic que T. De l propi deinición se deduce que si T es un periodo de l unción, tmbién lo es T, T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principl o propio. El conocimiento de l gráic de un unción en un periodo nos permite construir por periodicidd tod l gráic. Ejemplos de unciones periódics: Tods ls unciones circulres: Ls unciones seno y coseno tienen por periodo T π, mientrs que l unción tngente y l cotngente tienen por periodo T π. L unción deciml o mntis: su periodo principl es. FUNCIONES ACOTADAS. Funciones cotds superiormente. Un unción se dice que está cotd superiormente si eiste un número rel M tl que M ' M Dom Este número rel M recibe el nombre de COTA SUPERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es superior l vlor M y, por tnto, l gráic de l unción estrá por debjo de l rect y M. M NOTA: Si M es un cot superior de l unción, culquier otro número rel M myor que M, tmbién es cot superior de. En consecuenci, si un unción está cotd superiormente siempre tendrá un conjunto de cots superiores. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 5

4 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones cotds ineriormente. Un unción se dice que está cotd ineriormente si eiste un número rel m tl que m Dom Este número rel m recibe el nombre de COTA INFERIOR de l unción. Geométricmente signiic que ningun imgen es inerior l vlor m y, por tnto, l gráic de l unción estrá por encim de l rect y m. NOTA: Si m es un cot superior de l unción, culquier otro número rel m menor que m, tmbién es cot inerior de. En consecuenci, si un unción está cotd ineriormente siempre tendrá un conjunto de cots ineriores. Funciones cotds. Un unción se dice que está cotd si lo está inerior y superiormente. m ' m Por estr cotd superiormente, eistirá un número rel M que es myor o igul que tods ls imágenes de l unción y por estr cotd ineriormente, eistirá otro número rel m que es menor o igul que tods ls imágenes de l unción. En consecuenci, m, M / m M Dom lo cul signiic que tods ls imágenes de nuestr unción estrín comprendids entre m y M y, por tnto, geométricmente, l gráic de l unción estrí en l bnd comprendid entre ls rects y m e y M. Ejemplo: L unción sen es un unción cotd y que está cotd superiormente por M e ineriormente por m. y sen y Un deinición equivlente de unción cotd serí l siguiente: k R k Dom * está cotd / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 54

5 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Podrímos demostrr que l sum y el producto de unciones cotds es otr unción cotd y, en consecuenci, el conjunto de unciones cotds tendrí l mism estructur que el conjunto de unciones reles de vrible rel. Funciones cotds en un punto. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D D. Se dice que está cotd superiormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd superiormente. Se dice que está cotd ineriormente en el punto D si eiste un entorno V, r, en el cul l unción está cotd ineriormente. Se dice que está cotd en el punto D si está cotd superior e ineriormente en el punto D Result evidente que si un unción está cotd en su dominio D estrá cotd en cd uno de los puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué veriicrse: un unción puede estr cotd en cd uno de los puntos de su dominio y, sin embrgo, no estr cotd en su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, l unción cudrátic : está cotd en todos sus puntos y no está cotd en su dominio. Etremo superior. Máimo bsoluto. Se llm etremo superior de un unción l menor de ls cots superiores de dich unción. Se represent por sup. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de máimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un máimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. Etremo inerior. Mínimo bsoluto. Se llm etremo inerior de un unción l myor de ls cots ineriores de dich unción. Se represent por in. Si este vlor lo lcnz l unción en lgún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo bsoluto. Por tnto, se dice que un unción tiene un mínimo bsoluto o globl en un punto D si se veriic que D. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 55

6 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: L unción está cotd ineriormente por el cero y culquier vlor negtivo. L myor de ls cots ineriores serí el cero, por lo que nuestr unción tiene etremo inerior y como eiste un punto en el dominio en el que se lcnz este etremo inerior, diremos que nuestr unción tiene un mínimo bsoluto en el punto. L unción tmbién tiene como cot inerior máim el vlor k ; sin embrgo, est unción no lcnz el vlor cero en ningún punto de su dominio, por lo que tiene etremo inerior y no tiene máimo bsoluto. Máimos y mínimos reltivos de un unción. Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. Se dice que un unción tiene un máimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. Se dice que un unción tiene un mínimo reltivo en un punto D entorno de, V, r, en el cul se veriic que V, r D. si eiste un si eiste un L plbr reltivo nos indic que estmos comprndo l imgen de en el punto con l imgen de puntos próimos l punto. En consecuenci, no debemos conundir los máimos y mínimos bsolutos de un unción con los máimos y mínimos reltivos de l mism: mientrs que los primeros son únicos, los segundos no tienen por qué serlos puede hber más de uno. FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 56

7 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tmbién debemos tener en cuent que los máimos y mínimos bsolutos son l mismo tiempo reltivos, pero l recíproc no siempre es ciert: un máimo o mínimo reltivo no tiene por qué ser bsoluto. En el ejemplo cuy gráic se djunt vemos que l unción tiene un máimo y un mínimo reltivos, pero no tiene etremos bsolutos. FUNCIONES MONÓTONAS. Un unción se dice que es monóton en un punto cundo se creciente, estrictmente creciente, decreciente o estrictmente decreciente en ese punto. Funciones crecientes en un punto. Un unción es creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r: si > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente crecientes en un punto. Un unción es estrictmente creciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: > FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 57

8 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Funciones decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: Funciones estrictmente decrecientes en un punto. Un unción es decreciente en un punto si pr culquier vlor perteneciente un entorno de, se veriic que: si V, r : si > > Podemos observr como medid que v umentndo el originl, ls imágenes vn disminuyendo. Est relción tmbién puede epresrse en unción de l ts de vrición de l siguiente orm: psndo todo l primer miembro de ls desigulddes obtenemos si si > > Por tnto, si dividimos l vrición de l imgen entre l vrición del originl, tnto si el punto está l izquierd como si está l derech del punto, el cociente ts de vrición medi será myor o igul que cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 58

9 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd En resumen: Se un unción deinid de D en y se un punto perteneciente D. > :, en es r V D estrictmente decreciente decreciente estrictmente creciente creciente Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis cero:, r V > En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente positiv en culquier entorno de cero, l unción cúbic es estrictmente creciente en el punto de bscis. Estudir l monotoní de l unción en el punto de bscis. Pr ello clculmos l ts de vrición medi de l unción en el punto de bscis uno:,. r V En consecuenci, l ser l ts de vrición medi estrictmente negtiv en culquier entorno de uno, l unción dd es estrictmente decreciente en el punto de bscis. Demostrr que l unción es estrictmente decreciente en todo punto., r V que no conteng l punto cero. Funciones monótons en un intervlo. Se un unción deinid de D en. Se dice que es en un intervlo decreciente estrictmente decreciente creciente estrictmente creciente I D I ', si, se veriic l siguiente relción > ' ' ' ' ' ' ' ' FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 59

10 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Es evidente que si un unción es monóton en D, lo es en cd uno de sus puntos. Sin embrgo, el recíproco es lso: un unción puede ser monóton en todos sus puntos y no serlo en su dominio. En l práctic, el método más cómodo pr estudir l monotoní de un unción es medinte l ts de vrición medi. Operndo igul que en l monotoní de un unción en un punto llegmos l siguiente deinición de unción monóton en un intervlo equivlente l nterior: Se un unción deinid de D en. creciente estrictmente creciente es en decreciente estrictmente decreciente I D, ' I : ' > ' Ejemplos: Estudir l monotoní de l unción linel b según los distintos vlores de Clculmos el cociente incrementl: ' b ' b ' ' ' ' ' ' Al ser el cociente incrementl igul, tendremos: Si >, entonces l unción será estrictmente creciente. Si, entonces l unción será estrictmente decreciente. Demostrr que l unción Clculmos el cociente incrementl: ' ' ' ' es estrictmente creciente en R. ' ' ' ' Por tnto, l unción cúbic es estrictmente creciente en R. ' ' >, ' R EJERCICIOS.. Clculr el dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: Al ser un unción rcionl su dominio será el conjunto de números reles slvo los puntos que nuln el denomindor. Por tnto: Dom R {, } Pr clculr los ceros de l unción igulmos cero: FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6

11 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6 {} C Simetrí: clculmos pr comprrlo con Por tnto, no tiene simetrí respecto del eje OY ni respecto del origen. 8 6 Dominio: Vemos cules son estos puntos: } 8 6 / { R Dom Por tnto, ] ] [ [ ] [, 4,, 4 Dom Ceros: L Dominio: el dominio de l unción logrítmic es el conjunto de puntos que hcen el rgumento estrictmente positivo. Entonces: { / } Dom > puesto que siempre es estrictmente myor que cero. Ceros: L Simetrí: L L Por tnto, es un unción pr y es simétric respecto del eje OY.. Dd l unción deciml rzon si: dec. Es periódic o no. L prte deciml de un número rel es un unción que tom siempre vlores comprendidos entre y : cd vez que incrementmos un número rel en un unidd, se repite l mism imgen sólo vrí su prte enter. Es, por tnto, un unción periódic de período T. b. Está cotd superiormente e ineriormente. Al tomr siempre vlores comprendidos entre y, l unción estrá cotd superior e ineriormente; luego, estrá cotd: dec

12 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Cots superiores {vlores myores o igules que } Cots ineriores {vlores menores o igules que } c. Tiene etremo superior y etremo inerior. d. Tiene máimo y mínimo. sup {menor cot superior} in {myor cot inerior} No tiene máimo puesto que el vlor no lo lcnz en ningún punto mientrs que si tiene mínimo y que el vlor cero se lcnz en culquier punto de bscis enter. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Clculr dominio, ceros y simetrís de ls siguientes unciones: sen L. Hllr rzondmente el máimo o el mínimo de ls siguientes unciones:. Demuestr l vercidd o no de ls siguientes proposiciones:. L sum de dos unciones pres es un unción pr. b. El producto de dos unciones pres es un unción pr. c. L sum de dos unciones impres es un unción impr. d. El producto de dos unciones impres es un unción impr. 4. Clculr l epresión nlític de ls siguientes unciones: Sen ls unciones dds por y Clculr: g, g,, g Sus dominios máimos. g, g,, g g g, 6. Un unción es tl que el máimo y el mínimo coinciden, qué se puede decir de ell? Si eiste lgun representrl. 7. Demuestr que l sum y el producto de unciones cotds en un dominio D es otr unción cotd. 8. Qué dierenci eiste entre etremo superior inerior y máimo mínimo de un unción? Pueden coincidir? Poner un ejemplo que clre l respuest. 9. Demuestr que si es creciente, tmbién lo es k, siendo k un constnte.. Demostrr que si y g son crecientes en un dominio D, tmbién lo es g.. Estudir el sentido de vrición de y / FUNCIONES MONOTONAS, ACOTADAS, SIMÉTRICAS, PERIÓDICAS. 6

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