Computabilidad y Lenguajes Formales: Teoría de la Computabilidad: Reducibilidad

Transcripción

1 300CIG007 Computabilidad y Lenguajes Formales: Teoría de la Computabilidad: Reducibilidad Pontificia niversidad Javeriana Cali Ingenieria de Sistemas y Computación Prof. Gloria Inés Alvarez V.

2 Reducibilidad Es un metodo para probar que los problemas son indecidibles. Reducir es convertir un problema en otro, de tal forma que la solución del segundo problema pueda ser usada para resolver el primero. También sucede en la vida diaria ejemplo: el problema de venir esta mañana a la se reduce al problema de tener transporte que se puede reducir al problema de tener el dinero para pagar un pasaje en bus Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

3 Reducibilidad para probar indecidibilidad Cuando el problema A se reduce al problema B: Si existe solución para B, entonces tambien hay solución para A. La solución de A no puede ser más difícil que la solución de B. Si B es decidible, A tambien lo es. Si A es indecidible, B tambien lo es.

4 Estrategia de emostración Para mostrar que un problema es indecidible, se debe mostrar que otro problema, que ya se sabe indecidible, reduce a el. En otras palabras, mostrar que si existiera una MT que decidiera este problema, podríamos decidir un problema que se sabe indecidible A continuación veremos algunos ejemplos.

5 HALT TM es Indecidible HALT TM = { <M, w> : M es una TM, y M se detiene para toda entrada w } emostración: por contradicción. Asumimos que alguna HALT TM es decidible y lo usamos para demostrar que A TM es decidible Si R es una TM que decide HALT TM, construimos S: S = con la entrada <M,w>: 1. Ejecuta R con la entrada <M,w> 2. Si R rechazó, entonces rechaza 3. Si R aceptó, entonces simula M con w hasta que se detiene, 4. Si M aceptó, entonces acepta; si M rechazó, entonces rechaza. Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

6 E TM es Indecidible E = {<M> M es una MT y L(M) es vacío }

7 Algunas propiedades Conjuntos Regulares CFL s CFL s Conjuntos Recursivos Conjuntos R. E. w L? Es L = Φ? Es L = *? Es L 1 = L 2?? Es L 1 L 2? Es L = R? (R es Regular) El complemento de L, es del mismo tipo? = ecidible; = indecidible;? = respuesta desconocida Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

8 PCP No es ecidible PCP: El problema de Correspondencia de Post na instancia de PCP consiste de dos listas de cadenas sobre algún alfabeto : A = w 1, w 2, w 3,, w k B = x 1, x 2, x 3,, x k La instancia de PCP tiene solución si hay una secuencia de enteros tales que: w i1 w i2 w i3 w im = x i1 x i2 x i3 x im La secuencia i 1, i 2, i 3,, i m es una solución a la instancia de PCP Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

9 PCP Ejemplo: Sea el = { 0, 1 }, y A, B definidos así: A B i w i x i Hay una solución: m=4, i 1 =2, i 2 =1, i 3 =1, i 4 =3 w 2 w 1 w 1 w 3 =x 2 x 1 x 1 x 3 = Ejemplo: Sea el = { 0, 1 }, y A, B definidos así: A i w i No hay solución B x i Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

10 PCP es Indecidible emostración: Por contradicción: Si PCP fuese decidible, A TM seria decidible. Crearemos una versión modificada de PCP: MCPC. MPCP: dadas dos listas de cadenas A y B sobre un alfabeto, la solución de MPCP es una lista de enteros 1, i 2, i 3,, i m, tal que w 1 w i2 w i3 w im = x 1 x i2 x i3 x im Si MPCP es decidible, entonces PCP es decidible, ya que PCP es una reducción de MPCP Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

11 PCP es Indecidible emostración: Reducimos A TM a MPCP, así: Para cada <M, w> construimos una instancia de MPCP, que si tiene solución, tiene una que empieza con q o w, y genera una cadena onde: # q o w#α 1 q i β 1 #...#α k q k β k # q k es un estado final (aceptación o rechazo) Las subcadenas entre #...# son pasos sucesivos de la computación de M con la entrada w. Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

12 PCP es Indecidible emostración: MPCP se construye así: Primera Cadena Grupo I Grupo II: Para todo q Q-F, p Q, X,Y,Z Γ Grupo III: Para todo q F, X,Y Γ Grupo IV Lista A # X # qx ZqX q# Zq# XqY Xq qy q## Lista B # q o w# X # Yp pzy Yp# pzy# q q q # Para cada X Γ δ(q,x)=(p,y,r) δ(q,x)=(p,y,l) δ(q, )=(p,y,r) δ(q, )=(p,y,l) Para todo q F Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

13 PCP es Indecidible emostración: Si M inicia en q 0 w, y alcanza un estado de aceptación, entonces la instancia de MPCP con las listas A y B tiene una solución. Si M no alcanza un estado de aceptación, no hay solución posible para MPCP (la cadena que se forma con la lista B excede en longitud a la que se forma con la lista A). Entonces, la instancia de MPCP tienen solución si y solo si M con la entrada w llega a un estado de aceptación. Por lo tanto, si hubiese un algoritmo para solucionar MPCP habria un algoritmo para reconocer A TM, lo cual es una contradicción. Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

14 Aplicación de PCP Para demostrar que el problema de determinar si una gramática libre de contexto es ambigua es indecidible. [Hopcroft] Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

15 Otros Problemas No ecidibles El problema No. 10 de Hilbert: 10. etermination of the solvability of a iophantine equation. El problema de la verificación formal de programas (dada una especificación verificar si un programa la cumple), es indecidible. El problema de determinar cuando una formula de lógica matemática(*) es verdadera o falsa, es indecidible. (*) Incluye símbolos and, or, not, y cuantificadores para todo, existe Pontificia. Javeriana Cali - Ingeniería de Sistemas y Computación 300CIG007

16 Reducibilidad por mapeo na función f: --> * es computablesi existe una MT que recibiendo w como entrada, termina con f(w) escrito en la cinta n lenguaje A es reducible por mapeo a un lenguaje B (denotado A< M B), si existe una función computable f: --> * donde para todo w: w pertenece a A <==> f(w) pertenece a B

17 Propiedad Si A< M B y B es decidible, A es decidible también Sea M la máquina que decide B y f la función de reducción de A a B. escribimos N que decide A: N = Sobre la entrada w: 1. Calcular f(w) 2. Ejecutar M sobre f(w) y devolver lo que devuelva M