Generalidades y ángulos en la circunferencia. Matemática I III Medio 2018
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- Inmaculada Crespo Medina
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1 Generalidades y ángulos en la circunferencia Matemática I III Medio 2018
2 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 2. Área y perímetro 3. Propiedades de ángulos
3 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.1 Definición Círculo O Región del plano limitada por una circunferencia Circunferencia Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.
4 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.2 Radio (r) y diámetro (d) O: centro de la circunferencia r O d r r B OB: radio = r Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. B: diámetro = d = 2r Es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias, es decir, rco B = rco B
5 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.3 Cuerda y secante B: Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia. B El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud. B: Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.
6 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.4 Tangente Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado punto de tangencia o punto tangencial. O: centro de la circunferencia O r O: radio : Punto de tangencia L: Tangente L O L
7 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.5 rco de circunferencia Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj). B B : arco de circunferencia Los puntos y B de la circunferencia, determinan el arco B.
8 1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.6 Sector y segmento circular O r a r B Sector circular O: centro de la circunferencia r : radio B : arco de circunferencia Es una fracción del área del círculo determinada por dos radios y un arco. O : centro de la circunferencia O r r B B : cuerda B : arco de circunferencia Segmento circular Es una fracción del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco.
9 2. Área y perímetro 2.1 Área del círculo Si r es el radio, entonces: Área círculo = p r 2 Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm. Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, el área del círculo es: = p 10 2 = 100p cm 2
10 2. Áreas y perímetros 2.2 Perímetro de la circunferencia Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Perímetro = 2 p r ó Perímetro = p d Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm. P = 2 p 15 P = 30 p cm.
11 2. Áreas y perímetros 2.3 Longitud de un arco de circunferencia O: centro de la circunferencia r : radio O r r B B : arco de circunferencia : ángulo del centro Longitud de arco = B = 2pr 360 Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2 p r) o del arco completo (360 ). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ( ).
12 2. Áreas y perímetros 2.4 Área y perímetro de un sector circular sector = pr O r r B P sector = B + 2r 2pr P sector = + 2r 360 O: centro de la circunferencia r : radio B : arco de circunferencia : ángulo del centro
13 2. Áreas y perímetros 2.5 Perímetro de un segmento circular P segmento = B + B r O r B P segmento = 2pr + B 360 Segmento circular O: centro de la circunferencia B : cuerda B : arco de circunferencia
14 Ejemplo Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura. O: centro de la circunferencia. sector = 60 p O 60º 3 B sector = 1 p 9 6 sector = 3 p 2 2p 3 60 P sector = P sector = p + 8
15 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito. Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y mide lo mismo que el arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco B = 45º, entonces = 45º O 45º B 45 O: centro de la circunferencia
16 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito B. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco B = 50º, entonces = 25º 25 B 50
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18 3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. O: centro de la circunferencia O 2 B demás, se cumple que: = g + d 2 O 2 d g
19 Ejemplo En la figura, si el ángulo del centro OB mide 70, entonces el ángulo inscrito CB mide 35. C 35º O 70º B O: centro de la circunferencia
20 3. Ángulos en la circunferencia 3.2 Igualdad de ángulos inscritos Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces miden lo mismo. b g = b = g
21 3. Ángulos en la circunferencia 3.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.. O 180 O: centro de la circunferencia
22 3. Ángulos en la circunferencia 3.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. Ejemplo: 92º b 110º g 70º d 88º + δ = 180 g + β = 180
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24 3. Ángulos en la circunferencia 3.5 Teorema del ángulo exterior Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces: D C B = B CD 2
25 3. Ángulos en la circunferencia 3.6 Teorema del ángulo interior Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces: B D C = B + CD 2
26 3. Ángulos en la circunferencia 3.7 Teorema del ángulo semi-inscrito Si es ángulo semi-inscrito a la circunferencia, entonces: B C = B 2
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