TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA

Transcripción

1 MATEMÁTIAS II TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA. Primitiva d una función El objtivo d st tma s l studio dl procso contrario al d drivación. Si drivamos la función partimos d f tnmos y dirmos qu s una primitiva d. Dcimos qu F s una primitiva d f si F f f. Si prsntamos la situación al rvés y Nos plantamos l problma invrso al d obtnr la drivada d una función: dada una función f, dbmos ncontrar una función F cuya drivada sa f. Ejmplos:. Si f cos F sn, ya qu F cos. Si. Si. Si f F, ya qu f F, ya qu F, ya qu F f F F También podría sr una primitiva d y cualquira d las funcions,, 8, 7,..., por so n gnral si F s una primitiva d f, también son primitivas d f todas las funcions d la forma F, sindo R. Intgral Indfinida Llamarmos intgral indfinida d f al conjunto formado por todas las primitivas d la función f. Lo rprsntarmos: f d. Si F s una primitiva cualquira d f, la intgral indfinida d f s : f d F La constant s dnomina constant d intgración. La función qu s dsa intgrar, f, s llama intgrando. La difrncial d, d, indica la variabl rspcto d la cual s intgra. Notar qu sin d no s podría contstar a intgrals como? l rsultado pud sr, y, t,.sgún sa la variabl qu considrmos. d, dt t, o bin dy y Intgración f F Drivación / IBR- IES LA NÍA

2 MATEMÁTIAS II. Propidads d la intgral indfinida Son conscuncia dircta d la propia dfinición d intgral y d las rglas d drivación:. f d f snd cos sn Ejmplo:. [ ] f g d f d g d Ejmplo: ln sn cos d d d cos d ln sn. k f d k f d Ejmplo: d d. Intgrals Inmdiatas Por aplicación dircta d las rglas d drivación s obtin la siguint tabla d intgrals inmdiatas: Funcions lmntals F. idntidad: d F. potncial: n * * n n n d n d ln F. ponncial: d Funcions trigonométricas: Funcions trigonométricas invrsas: a a d ln a Función compusta n n f f f d n f d ln f f f f f d f f a a f d ln a snd cos f s n f d cos f cos d sn f cos f d s n f cos f d tg f cos f d tg arcsn d arccos f f arcsn f f d arccos f d arctg f f d arctg / IBR- IES LA NÍA

3 MATEMÁTIAS II Ejmplos:. Podmos intgrar cualquir polinomio utilizando las propidads y : d d d d d d d. Potncial: La rgla d intgración más important s la d la potncia d d d d,. Logaritmo npriano: ln d d d ln d ln 7 7 ;. Eponncial: 0 d 0 d 0 d ln. Trigonométricas: snd cos ; d cos cos d sn ; 6. Trigonométricas invrsas: d arcosn d arccos ; d arctg d tg Ejrcicios: º Dada la función f, halla la primitiva F qu pasa por l punto,6. [ F ] º Halla la función G, tal qu G 6, G0, G0. [ //] º Halla un polinomio cuya drivada sa ²-6 y tal qu l valor d su máimo sa vcs mayor qu l d su mínimo. [/ /²-67/] º Dtrmina la función F para qu F y F. º alcula las siguints intgrals indfinidas: d 9 dt / IBR- IES LA NÍA

4 MATEMÁTIAS II d d d 6 d 7 d cos 8 d 9 0 d d d d d. d 9 d sn cos cos, d, sn sn d d 6 d 7 d 6 8 tgd 9 cotgd 0 d d d cos d sn d cos. sn. d 6 d 7 d 8 d,, d d. Intgración d funcions racionals Vamos a studiar las intgrals dl tipo P d, dond tanto P como Q son polinomios. Q Si gradop grado Q dbmos hacr la división d los polinomios: P omo P Q R R R, s un Q Q R polinomio, por tanto su intgral s inmdiata, y la fracción Q cumpl grador < por sr R l rsto d una división cuyo divisor s Q. gradoq Lugo, simpr podmos consguir una fracción cuyo numrador tnga grado strictamnt mnor qu l dl dnominador. Suponmos ya qu gradop < grado Q. Pasamos a dscomponr n factors l dnominador. Para llo dbmos calcular las raícs d Q. Nos podmos ncontrar con qu Q tin: P Q / IBR- IES LA NÍA

5 MATEMÁTIAS II A Raícs rals simpls: d 0 ± Vamos a scribir l intgrando como suma d fraccions simpls, cada una d llas corrspond a cada uno d los factors d Q: A B Para dtrminar l valor d las constants A y B sumamos las fraccions igualamos los numradors, pusto qu los dnominadors son iguals: A B A B A B, pusto qu sta igualdad db cumplirs para cualquir valor d, n particular s cumpl para las raícs B B d Q: A A Lugo d d ln ln ln 6 B Raícs rals múltipls: d, comnzamos dividindo los polinomios P R pusto qu gradop grado Q, R 7 ; como Q Q 6 d 7 7 d d * 7 La intgral qu tnmos qu calcular ahora s d, con gradop < grado Q Pasamos a dscomponr n factors l dnominador: 0, raíz dobl.. D nuvo vamos a scribir l intgrando como suma d fraccions simpls: A B A B 7 si la raíz fura d multiplicidad, pondríamos trs faccions con dnominadors:, y. B Dando valors a :. Lugo: 0cualquir valor A B A d 7ln d 6 Volvindo a *: d 7ln, Raícs compljas. Vamos a mpzar por l caso más sncillo: dnominador d grado dos y numrador d M N grado mnor qu dos: d. a b c La intgral s obtin como suma d dos intgrals, una d tipo ln y otra d tipo arctg. d ± 8, primro intntamos factorizar l dnominador / n R. / IBR- IES LA NÍA

6 MATEMÁTIAS II º Buscamos un ln. Ncsitamos n l numrador la drivada dl dnominador, -. Para llo multiplicamos y dividimos por la intgral, y sumamos y rstamos : d d d d d ln d * º Buscamos un arctg n d. Dbmos prsar l dnominador como la suma d un cuadrado más un númro ral. a a a comparando los términos n a, sisumamos : f d d, como buscamos una prsión dl tipo f d d d d nos falta f d arctg Volvindo a *: d ln arctg Si l dnominador s d grado suprior a dos dbmos dscomponr n fraccions simpls d la siguint forma: A Por cada raíz ral simpl α, introducimos un término d la forma α, qu s intgra como un ln. Por cada raíz ral β, d multiplicidad n, introducimos n fraccions: A A An... n β β β, qu s intgran la primra como ln, y las dmás como potncia d ponnt ngativo A k k β Por cada término d sgundo grado irrducibl dos raícs compljas M N introducimos l término:, qu s intgra con ln y arctg, como hmos a b c indicado ants. 6/ IBR- IES LA NÍA

7 MATEMÁTIAS II Ejrcicios: 6º alcula las siguints intgrals d funcions racionals: d d rals 9 6 d rals 6 9 d d y d I, ln d 7 d ln tripl I, arctg 8 d 9 d,- dobl y,ln 9 d d d 0 arctg ln arctg d d ln 8 arctg d ln arctg d 6 d ral compljas ln ln arctg 6. Intgración por parts Est método d intgración s dduc a partir d la rgla d drivación dl producto d dos funcions, y s basa n la igualdad: Ejmplo: U. dv U. V V. du d d U dv d du d V Obsrvamos qu al drivar al intgrar s simplifica y qu no s complica. El método d intgración por parts nos prmit rsolvr intgrals d productos d dos funcions polinómicas, ponncials, trigonométricas, logarítmicas, y también algunas funcions solas como logaritmos o arcos. 7/ IBR- IES LA NÍA

8 MATEMÁTIAS II El método solo s útil si la intgral qu s nos planta n V. du s más sncilla qu la inicial. Para lgir adcuadamnt U y dv dbmos tnr n cunta qu: La función lgida como dv db podrs intgrar d forma inmdiata para obtnr V. Si ambas funcions pudn sr dv, dbmos lgir como U aqulla qu s simplifiqu al drivarla al obtnr du. Ejrcicios: 7º alcula por parts las siguints intgrals: cos d. d ln d ln d 8º alcula la primitiva d f arctg qu pasa por l punto,0 arctg arctg π.cos. d 6 sn d 7 arcsnd 7. Intgrals por cambio d variabl Est método consist n idntificar una part dl intgrando con una nuva variabl normalmnt t, con la finalidad d obtnr una intgral más sncilla. Tnmos qu consguir qu l intgrando dpnda solo d t, incluida la difrncial: Si u t d u t dt Una vz rsulta la intgral dbmos dshacr l cambio d variabl y volvr a prsar l rsultado n función d. Ejmplo: d ln, llamamos t t d t ln dt, sustituyndo n la intgral: t d dt dt t t ln lnln ln t t AMBIOS TRIGONOMÉTRIOS: Si tnmos qu calcular una intgral d la forma f sn,cos d y f s: o Impar n sn convin hacr l cambio: cost o Impar n cos convin hacr l cambio: snt Para intgrals n las qu aparc la prsión a, pud sr útil l cambio a snt o a cost Ejrcicios: 9º alcula las siguints intgrals mdiant un cambio d variabl adcuado: 8/ IBR- IES LA NÍA

9 MATEMÁTIAS II a. d b. d arctg c. d d. d d. ln f. d g. sn cos d sn h. sn d cos i. d cos j. d 0º Razona d qué tipo son las siguints intgrals inmdiatas: d.. d. d. d. d. n d. cosd. d. sn d d. 6. d d 7. ctgd tgd d 7. d 9. cos 8. sn cos d 9. cos 0. d sn cos d sn 0. tg cos7 d. d. cos sn d d.. ctgd. sn cos d cos. d. d sn. d. d cos 6. sn d. 7 d 7. d 6. d 7. d 8. d d d d d 0. d. d 6 sn cos. d sn cos. d. d. d 9 6. d 8 7. d 8. sn d 9. cos d sn 0. d cos d. sn. d cos. d. d sn. snd 6. d 7. d 8. d 9. d 60. d 9/ IBR- IES LA NÍA

10 sn 6. d sn cos 6. d sn 6. d 6. d MATEMÁTIAS II 6. d 66. cos sn d º Distingu ntr inmdiata y no inmdiata: d y d sn cos d y sn cos d d y d 6 6 d y d d, d y d d, d y d 6 º alcula las siguints intgrals: d 7 d 8 d 9 d 0 d.sln.d d snd 6 7 d 8 cos. d 9 d d d 7 6 arccos.d 7.ln. d 8 sn.cos d 0 sn d sn.cos. d 8 d d d d cosc cotg d - d.ln d 6 - d 0 cos d sc. d snd d - d.d - d d - d 6 º S considran las funcions rals f 8 9 y g 6 7, calcula la f función H d qu cumpl H. Jun-07[ H ln 6 7 ] g º Dadas las funcions rals f 0 y g, s pid calcular la f función H d qu cumpl H00. Sp-07 [ H ln ln ln ] g º S considran las funcions rals f 6 y g 9. S pid obtnr f π razonadamnt la función H d qu cumpl H Sp-09 g H π ln arctg 0/ IBR- IES LA NÍA

11 MATEMÁTIAS II SOLUIONES EJERIIO ln ; I; arcsn 7 sn sn; t ln ; cos I, potncial; cos 7 9 cos - 0PP; 9 9I, potncial; cos ln sn; 8t 9 ln 7PP; arccos ; 6 arctg ; t 6 ln 6 I; I, potncial; 8 - I, potncial; I, potncial; ln 0 ln 0 ln 9ln cos. ;, 8t ln ; ln 7t 6I; cos sn - PP; ln 0 ln 8 ln 9 cosln ln ; arcsn snt; 6 6 ln 0-9ln 8I, 7 ln 7 6ln arctg - - ln cos - ln I, dscomponindo n suma d fraccions, 7 6 t sn t sn sn sn sn sn PP arctg sn PP arcsn arctg sn PP arctg arctg arctg arctg arcsn / IBR- IES LA NÍA