La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.
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- Ana Macías del Río
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1 CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d C f./ d D f./ d: (.) Est propiedd proviene de l ditividd del áre se puede ver gráficmente en l siguiente figur: D f./ c Donde el áre jo l curv D f./ sore el eje desde hst c es lo mismo que el áre desde hst, más el áre desde hst c, ddo que ess dos regiones no se trslpn su unión form l región desde hst Oserve que un epresión equivlente (.) es f./ d D f./ d f./ d; (.). cnek.zum.m: / /
2 Nomre del liro que equivle decir que si l áre totl jo f./ entre D & D c le restmos el áre comprendid entre D & D, entonces nos quedrá sólo el áre entre D & D Z Ahor ien, hst quí h un significdo pr el símolo f./ d considerndo que <, pero no h Z un significdo pr el signo f./ d si <. Pr esto convenimos: f./ d D f./ d. Es decir, un integrl en l que el etremo inferior es un número mor que el etremo superior es el negtivo de l integrl con los etremos puestos en el orden contrrio (el etremo inferior menor que el etremo superior). Z Con esto tenemos un significdo pr el símolo f./ d no importndo si < o ien si >. Un consecuenci inmedit de est convención es Y que f./ d D. f./ d D f./ d C f./ d D f./ d f./ d D : Z Z Por supuesto, tmién podemos concluir que f./ d D, rgumentndo que f./ d es el áre del segmento de rect jo f./ sore el eje, considerdo como un rectángulo de se cero. Ejemplo.6. Determinr el vlor de l integrl H Z d D Z d D Ejemplo.6. Clculr el vlor de l integrl H Por l propiedd enuncid ntes, d. (. 8 C 9/d. f./ d D, tenemos:. 8 C 9/ d D : ) D. 6/ D 6: Linelidd. Est propiedd se puede enuncir como sigue: pr funciones f./; g./ en Œ; que se puedn integrr constntes ; ˇ R: Œ f./ C ˇg./ d D f./ d C ˇ g./ d: (.) Est iguldd proviene de form csi direct de l propi definición de l integrl como límite de sums tles como: n n Œ f.i / C ˇg. i / i D Œ f.i / i C ˇg.i / i D id D id n f.i / i C ˇ id n g.i / i: Ests sums dn lugr ls integrles en (.) cundo se tom el límite.n! /. id
3 .6 Propieddes fundmentles de l integrl Positividd. Si f./ en el intervlo Œ;, entonces: f./ d : Esto es clro pues l integrl es un límite de sums de términos de l form f. i / i, en los que tnto f. i / como i son, por ser el límite de un sum de términos, el resultdo finl es. Monotoní. Si f./ g./ pr todo en el intervlo Œ;, entonces: Como f./ f./ d g./ en el intervlo Œ;, entonces: g./ d: Œf./ g./ d ) f./ d g./ d ) f./ d g./ d : Ests propieddes se hn utilizdo implícitmente con nterioridd, por ejemplo, cundo se hizo l estimción de que, si m f./ M en el intervlo Œ;, entonces: m. / f./ d M. Ls epresiones m. /, M. /, pueden interpretrse como integrles de ls funciones constntes m & M respectivmente, pues como se oservó ntes podemos ver hor prtir de l definición, pr culquier constnte C prtición P D f D < < : : : < n D g: [ C d D lím n n! id D C lím D C. n! id C i D lím n! C ] n i D id n. i i / D C lím. n / D C lím. / D n! n! /: /: Ejemplo.6. Evlur l integrl H. C /d. Usndo linelidd: Z Z Z (. C / d D d C d D ) C. / D 8: Ejemplo.6. Clculr l integrl H De nuevo por l linelidd,. C /d. Z Z Z Z. C / d D d d C d D ( ) C./ D C D 8 6 : Convención pr funciones negtivs. Hst el momento hemos considerdo el cálculo del áre de regiones jo l gráfic de un función f./ con gráfic sore el eje. Sin emrgo, l definición de l integrl de un función como límite de sums no implic que ls funciones den ser positivs. Si un función g./ es negtiv en todo un intervlo Œ;, entonces es clro que su negtiv g./ es positiv en el mismo intervlo.
4 Nomre del liro D g./ R C R D g./ L gráfic de g./ es el reflejo de g./ con respecto l eje, de mner que el áre de l región R C entre l gráfic de g./, el eje mide lo mismo que el áre de l región R entre l gráfic de g./ el eje. Además, el áre encim del eje es A.R C / D g./ d D g./ D A.R /: Z Donde identificmos, como prece rzonle, A.R / con g./ d, lo que nos llev de mner nturl tomr l convención de que ls áres de regiones dejo del eje se deen considerr como negtivs. En generl, ls áres de regiones por encim del eje se tomn con signo positivo ls regiones por dejo del eje con signo negtivo. De quí que, en el conteto de áres, l integrl definid Z f./ d es un sum lgeric de áres cuo resultdo puede ser positivo, negtivo o cero. Ejemplo.6. Clculr f./ d de l siguiente figur. D f./ D C Z H De cuerdo con l convención nterior, l integrl definid f./ d pr l función f./ D es cero, porque (vése figur) dich función tiene un gráfic simétric con respecto l origen, por ser un función impr, cort l eje en, en. El áre entre l gráfic el eje de Z. / d se tom con signo C. Z El áre entre l gráfic el eje de. / d se tom con signo. Z Por simetrí, ls áres son igules, por lo tnto. / d D.
5 .6 Propieddes fundmentles de l integrl A continución enuncimos dos resultdos importntes de l integrl definid. Teorem. Si f./ es un función continu en el intervlo cerrdo Œ;, entonces eiste l integrl definid f./ d: Esto es, tod función continu es integrle en intervlos cerrdos cotdos. Si l función no es continu en el intervlo cerrdo Œ;, no se puede segurr l eistenci de l integrl Z definid f./ d. Ejemplo.6.6 L función f./ D no es continu en el intervlo Œ;. H f./ R (no está definido) demás lím f./ D lím! C! C D C: D f./ D Aquí, no se puede segurr l eistenci de l integrl definid: f./ d D d: Teorem. Del vlor medio pr integrles. Si f./ es un función continu en el intervlo Œ;, entonces eiste l menos un punto c en el intervlo Œ; tl que f./ d D f.c/. /: D f./ M f.c/ m c
6 6 Nomre del liro Est propiedd estlece un hecho que se puede deducir de l figur nterior. L función tiene un vlor mínimo m un máimo M, por ser continu en el intervlo cerrdo Œ;. Entonces, ddo que el rectángulo con se Œ; ltur m se encuentr contenido en l región R jo f./, sore el eje, entre D, D, l vez est región R qued inscrit dentro del rectángulo con l mism se ltur M, vemos: m. / A.R/ D f./ d M. /: Tmién se puede escriir, de mner equivlente, m f./ d M: Ahor ien, por el teorem del Vlor Intermedio pr funciones continus, ddo que el número D f./ d se encuentr entre m & M, ddo que f es continu, eiste l menos un punto c en el intervlo Œ; de mner que f.c/ D. Es decir, f.c/ D f./ d o ien f./ d D f.c/. /: Al número f.c/ se le denomin vlor promedio de f./ en el intervlo Œ;. Por esto, podemos decir que tod función continu tiene un vlor promedio en culquier intervlo cerrdo. Ejemplo.6. Encontrr el vlor promedio de f./ D k pr k D ; ; en el intervlo Œ;. H. Pr l función f./ D en el intervlo Œ; : d D D : El vlor promedio uscdo es un f.c/ con c en Œ; que cumple f.c/ D f./ d D d D ( ) D : Ddo que f./ D, dicho vlor promedio se otiene cundo c D. f./ D Z f./ d D f.c/ f.c/ c 6
7 .6 Propieddes fundmentles de l integrl. El vlor promedio pr f./ D en el intervlo Œ; dee cumplir f.c/ D f./ d D d D ( ) D : Por lo tnto, como f./ D, se dee cumplir c D, de donde c D p es el punto en el que f.c/ D. f./ D Z f./ d D f.c/ f.c/ c. Pr l función f./ D en el intervlo Œ; el vlor promedio f.c/ dee stisfcer f.c/ D f./ d D d D ( ) D : El punto c donde se otiene dicho vlor cumple c D, de donde c D p es el punto en el que f.c/ D. f./ D Z f./ d D f.c/ f.c/ c
8 8 Nomre del liro Ejemplo.6.8 Encontrr el vlor promedio de l función f./ D. Z en que se cumple f.c/ D f./ d. H L gráfic de l función se muestr en l figur: / en el intervlo Œ; el o los puntos c D f./ D. / Se dee cumplir pr el punto c: f.c/ D f./ d D. / d D. / d D ( D d ) ( ) d D D D : Es decir, f.c/ D c/ D, sí que c c D 6 o ien c c C 6 D. Entonces, c D D c D p I c D C p. 6, de modo que el vlor promedio es se lcnz en los puntos D f./ D. / c c Ejercicios.6. Propiedes de l integrl. Soluciones en l págin. En el plno se represent el osquejo de l gráfic de l función impr f./. El áre de tods ls regiones somreds es de 6 u. f./ 8
9 .6 Propieddes fundmentles de l integrl 9 Clculr:.. f./d; f./d; d. f./d; f./d; e. f. f./d; f./d.. Considere el osquejo de l gráfic de l función pr h./ que se muestr continución: h./ Otener ls siguientes integrles si: h./d D 8 & h./d D 6:.. h./ d; h./ d; d. h./ d; h./ d; e. h./ d.. Ddo el osquejo de l gráfic de l función definid por prtes g./: g./ 8 Considere: g./d D ; g./d D 9 & g./d D : Clcule: 9
10 Nomre del liro.. g./ d; g./ d; d. 8 g./ d; g./d C 8 g./ d; e. g./dc g./ d.. Considere el osquejo de l gráfic de l función impr definid por prtes h./ que se muestr continución. h./ c c Oteng:.. h./d C c h./d C h./ d h./d C h./ d; h./d C c h./ d; h./ d; d. e. h./d C h./d C h./ d; h./d C h./ d.. El osquejo presentdo es de l gráfic de l función impr g./. El áre de l región somred es de 8 u. g./ Clcule ls siguientes integrles:. g./ d;. g./ d; g./ d; d. g./ d. 6. El plno muestr el osquejo de l gráfic de l función impr f./. El áre de l región somred es de 8 u.
11 .6 Propieddes fundmentles de l integrl f./ 6 Clcule ls siguientes integrles:. f./d;. f./d; f./d; d. f./d.. En el plno se present el osquejo de l gráfic de l función g./. El áre de tods ls regiones somreds es de u. g./ 6 Clcule:.. 6 g./ d; g./ d; d. 6 6 g./ d; g./ d; e. f. g./ d; g./ d; g. h. g./ d; g./ d. 8. En el siguiente plno se muestr el osquejo de l gráfic de l función pr h./. El áre de l región somred es de 6. C / u.
12 Nomre del liro h./ 8 8 Oteng el resultdo de ls siguientes integrles:.. 8 h./ d; h./ d; d. 8 h./ d; h./ d; e. f h./ d; h./ d; g. h. 8 8 h./ d; h./ d. 9. Clcule el áre de ls región somred. g./. ; / 6 Y oteng el resultdo de ls siguientes integrles:.. g./ d; g./ d; d. 6 g./ d; g./ d; e. f. 6 g./ d; g./ d.. Considerndo l gráfic de l semicircunferenci /, clcule ls siguientes integrles: /. / d;. 6 / d; 6 / d; d. 6 / d.. Considerndo el osquejo de l gráfic de un semicircunferenci f./ con un rdio de u,
13 .6 Propieddes fundmentles de l integrl f./ clcule ls siguientes integrles:. f./d;. f./d; f./d; d. f./d.. Clcule ls siguientes integrles: Z 8..t / dt. Z 6.. C / d. Z. C / d.. Clcule ls siguientes integrles: Z.. C / d. Z. d. Z. C / d.. Encuentre el vlor promedio de ls siguientes funciones en los intervlos ddos:. f./ D en Œ; 6.. f./ D en Œ ;. f./ D k en Œ; pr k D ; ; con < <.
14 Nomre del liro Ejercicios.6. Propiedes de l integrl. Pregunts, págin d d.. 9. d. 8 C D. e.. f. 8. e.. e. C D. Z.. h./ d. Z c. h./ d. Z h./ d. Z c d. h./ d. Z c e. h./ d d d e.. g.... d. 6. f.. h e.. g. 6 C.. 8. d. 6. f. 6. h e.... d.. f d d :.. : c D :68.. c D. f./ D k en Œ; pr k D ; ; con < <. i. Pr D, c D. C /. r C C ii. Pr D, c D. r iii. Pr D, c D C C C.
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