INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

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1 INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El inglés Isaac Newton (6-77) y el alemán Gottfried Leibniz (66-76), aunque antagonistas, los dos principales creadores del cálculo infinitesimal. MATEMÁTICAS II º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

2 I) CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA (Ver pág. 8 del libro de ed. Anaya) Dada f()= nos preguntamos qué función F() es tal que al derivarla nos da f()? Claramente es F()=, pero no sólo esa sino también F()= +, F()= -5,... y en general F()= +C (siendo C cte.). A F() se le llama "primitiva de f()". La notación que se sigue es: f() d = F() + C F'() = f() integrando primitiva de f() cte. de integración A f() d se le llama "integral (indefinida) de f()". Nótese que una f() puede tener infinitas primitivas, que se diferencian, como vemos, en una constante. Ejemplos: a) ( ) I d = + C pq. = b) d = c) cos d = d) e d = e) d = f) d = La cte. de integración C a veces se omite pues se sobreentiende. Nótese que la integración es la operación contraria de la derivación, por lo que la tabla de integrales (ver aneo final de este libro) es prácticamente idéntica a la de derivadas pero al revés. Vamos a justificar, por ejemplo, el caso de la integral de una potencia, que, por cierto, es la más utilizada (el resto se haría igual): n+ n I n n + (n + ) n d = puesto que = = (C.Q.D.) n + n + n + Ejercicio: Utilizando la tabla, hallar las siguientes integrales inmediatas, y efectuar la comprobación: a) d = b) d = e) d = c) d = f) d = d) d = g) d = h) d = En el próimo tema veremos el concepto de integral definida, y entonces comprenderemos que el obtener una primitiva de una función es relevante, pues nos permitirá obtener el área bajo una curva. Más adelante veremos que no todas las funciones tienen por qué tener una primitiva, al menos "elemental".

3 II) PROPIEDADES DE LA INTEGRAL (Ver pág. 8 del libro de ed. Anaya) Son consecuencia de las propiedades de la derivada: ) f() ± g() = f() ± g() es decir, la integral de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de las integrales. ) k f() d = k f() d es decir, las constantes multiplicativas pueden entrar o salir de la integral. La utilización conjunta de ambas propiedades, junto con la tabla, nos permite resolver un gran número de integrales. Para ello, a veces tendremos que introducir o etraer una constante en el integrando, según convenga, como veremos en el siguiente Ejercicio: Resolver las siguientes integrales inmediatas (al margen figura cada primitiva); se recomienda efectuar la comprobación: ) ( ) + + d = ) 6 d = ) ( ) + + d = ) ( ) + d = (de formas) = C = C ( + ) 5) ( ) 50 + d = 6) ( ) + d = 7) ( ) d = 5 ( + ) 5 ( + ) 5 ( ) 0 8) d = = + C 9) + d = ( ) = ln C

4 (*) 0) d = = arctg + C + (de formas) ) d = = ln C + 8 ) d = = + C ) ctg d = = ln sen + C ) tg d = = ln sec + C 5) 5 5 d = = + C 6) sen d = + sen = ln( + sen ) + C 7) + e d = + e 8) d = ln 9) e d = e 0) sen cos e d = = e sen + C ) cos d = sen ) sen( + 8) d = ) cos( + ) d = cos( + 8) = + C sen( + ) ) cos(ln ) d = = sen(ln ) + C

5 (*) 5) tg d = = + tg + C (*) 6) tg d = tg = + ln(cos ) + C 7) sen cos d = sen 8) cos d = = cosec + C sen (*) 9) 5 ( tg ) + tg d = tg 0) + d = = + ln + C ) d = = arcsen + C ) d = = arcsen + C ) e e d = = arcsen e + C ) d = = arcsen ln + C ln (*) 5) d = = arcsen + C CONSECUENCIA: Para adquirir una buena técnica de integración es condición previa el saberse perfectamente la tabla de derivadas 6) + d = arctg 7) + 6 d = arctg 8) ( ) d = = + C (*) 9) d + + = = + C +

6 (*) 0) + + d = + = + ln + + C ) 5 + d = = ln + C ) ( ) + + d = 7 5 = C 7 5 ) ( ) d = 5 = + + C 5 ) + d = + = + ln( + ) + C 5) sen d = = ln cos + C cos 6) e + e d = Ejercicios final tema: a 5 Ejercicios PAEG: sept 0 A, jun 0 A, sept 005 B Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 9: ; pág. 0: y ; pág. : y ; pág. 5: y ; pág. 56: a III) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN o CAMBIO DE VARIABLE (Ver pág. libro de ed. Anaya) Se trata de resolver una integral no inmediata º) Escogemos el cambio apropiado: =g(t) f() d mediante el siguiente procedimiento:

7 y calculamos la diferencial en ambos miembros: d=g'(t) dt º) Sustituimos las dos epresiones anteriores ( y d) en la integral a resolver (con lo que ahora pasará a depender de t), simplificamos y, si hemos escogido el cambio adecuado, obtendremos una integral inmediata en t, que resolveremos. º) Una vez resuelta deshacemos el cambio, es decir, ponemos la epresión obtenida de nuevo en función de El saber elegir el cambio de variable apropiado en cada caso a veces puede resultar complicado, y en cualquier caso lo da la práctica. A veces es algo intuitivo, pero en ciertas integrales (trigonométricas, tipo arco tangente, etc.) pueden darse algunas reglas orientativas:. En las integrales NO inmediatas en las que haya, suele funcionar el cambio RADICANDO=t. aparezcan de distinto índice, puede funcionar el mcm de los índices cambio RADICANDO=t. En las integrales NO inmediatas en las que aparezca a, puede ensayarse a =t. Para integrales trigonométricas NO inmediatas eisten ciertos cambios establecidos, como veremos en el apdo. VII, al final del tema. Ejemplo: Resolver d mediante 5 el cambio t =- Ejercicios final tema: 6 Ejercicios PAEG: jun 007 A, jun 00 B Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 58 y ss.: 5, 6, y 6 IV) INTEGRAL TIPO ARCOTANGENTE A) Vamos a ver, en primer lugar, un caso particular fácil de resolver: Ejemplo: + 9 d = De momento bastará con saber que la diferencial de una función es igual a la derivada de dicha función, multiplicada por su incremento d correspondiente (es decir, el d sería como una especie de unidad de medida). Ejemplos: d( )= d, d(t )=t dt, etc. y, en general, =g(t) d=g'(t) dt En la PAEG, algunas veces se indica al alumno el cambio a realizar, pero no siempre 5 En este tipo de integrales con una sola raíz cuadrada puede funcionar el siguiente cambio: radicando=t

8 Ejercicio PAEG: jun 0 B B) Veamos ahora el caso general: d a + b + c donde a +b+c se resuelve º) Hallando sus raíces complejas a ± bi no tiene raíces reales º) Haciendo el cambio -a=bt se transforma 6 en dt + t Ejemplo: d + + = Ejercicios final tema: 7 C) Si el numerador es un binomio de er grado, se resuelve análogamente, pero la integral resultante será de tipo neperiano-arcotangente: M + N a + b + c d donde a +b+c no tiene raíces reales se resuelve º) Separando en dos integrales: una tipo ln (inmediata) y otra tipo arctg, para lo cual habrá que ajustar constantes en el numerador. º) La ª integral, la tipo arctg, se resuelve como en el caso anterior, haciendo el cambio -a=b t IMPORTANTE!: No conviene invertir los dos pasos anteriores, pues entonces se obtiene una primitiva cuya epresión no es del todo correcta 7. Ejemplo: Ejercicio 8a 6 Eiste otro procedimiento, llamado completar el cuadrado, pero el que aquí indicamos suele resultar más sencillo. 7 En realidad sí podría procederse de esa forma, pero al final habría que simplificar la primitiva resultante

9 D) Si el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, se efectúa previamente la división polinómica, se reconstruye a continuación el integrando (mediante la regla D=d C+R), y se integra finalmente aplicando los procedimientos anteriores. Ejercicios final tema: 8 Ejercicios PAEG: sept 000 A, jun 99 B, sept 006 A (caso particular, con división previa), jun 009 A (caso particular, con separación previa) V) INTEGRACIÓN POR PARTES (Ver pág. del libro de ed. Anaya) Esta utilísima técnica se utiliza para hallar, en ciertos casos, la integral de un producto de funciones. Se basa en la diferencial 8 de un producto: d(u v)=v du+u dv u dv=d(u v)-v du u d v = u v v du Eisten infinidad de reglas mnemotécnicas para esta fórmula, como por ejemplo: "Un día vi un viejo soldadito vestido de uniforme". Ejemplo: e d = integramos ambos miembros Consejos para elegir u y dv: ) Hay que elegir un u cuya derivada no se complique más. Eiste una sencilla regla mnemotécnica para elegir u: ) El dv restante ( se tiene que llevar siempre el d!) ha de resultar fácil de integrar. A arcsen, arccos, arctg, etc. L logaritmo P polinomio (o cociente de polinomios) E eponencial S sen, cos, tg, etc. 8 Recordar que la diferencial de una función es igual a la derivada de dicha función, multiplicada por su incremento d correspondiente. Por lo tanto, conserva las mismas propiedades que la derivada; en particular, para la diferencial del producto, se cumple que d(u v)=v du+u dv

10 Observaciones:. En el caso ep onencial trigonométrica d podemos tantear ambas posibilidades. Ejercicios: ) cos d =. Es muy frecuente que, al resolver una integral por partes, haya que aplicar la fórmula dos o más veces (como en el apdo. 5 del siguiente ejercicio).. En algunos casos, para que dv resulte una integral inmediata, hay que partir el polinomio, como en el apdo. 7 del siguiente ejercicio.. En otros casos, al aplicar la fórmula, vuelve a aparecer la integral del principio, pero cambiada de signo: en tal caso llamaremos a ésta I, y la despejaremos (Es lo que se conoce como iteración, como en el apdo. 6 del siguiente ejercicio). ) ln d = = sen + cos + C ) arctg d = = ln + C = arctg ln + + C ) arcsen d = 5) cos d = (Hay que proceder veces) = arcsen + + C = sen + cos sen + C

11 6) e cos d = (Por iteración) e (sen + cos ) 7) e d = + = + C e Ejercicios final tema: 9 Ejercicios PAEG: sept 00 B, sept 009 A, jun 98 A, sept 99 B, sept 97 A Ejercicios libro ed. Anaya: pág. : y ; pág. : y ; pág. 57: y VI) INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES Se trata de hallar P() d Q() donde: Q() es factorizable (es decir, tiene raíces reales) grad P()<grad Q() (en caso contrario los dividimos) NOTA: Interesa previamente comprobar si el numerador es la derivada del denominador, pues en ese caso sería inmediata: u (aunque, como puede imaginarse, algo tan sencillo no es lo habitual...) u El tipo de integral que nos ocupa se resuelve por el MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. Dependiendo de cómo sean las raíces de Q() tendremos casos: º) SÓLO RAÍCES REALES SIMPLES: (Ver pág. 6 libro de ed. Anaya) Ejemplo: + + d

12 I) Descomponemos el denominador, teniendo en cuenta que sus raíces son = y =: -+=(-)(-) II) Descomposición del integrando en fracciones simples 9 : + A B = + + (*) III) Determinación de las constantes A y B: para ello, multiplicamos ambos miembros de la epresión anterior por el m.c.m. de los denominadores, esto es -+=(-)(-): +=A(-)+B(-) A continuación, lo que funciona es dar a los valores de las raíces (recuérdese que la epresión anterior se cumple para todo ): = =-A; A=- = 5=B IV) Sustituimos en (*) los valores obtenidos de A y B e integramos cada sumando por separado: + 5 ( ) d = d + d = ln( ) + 5 ln( ) + C, o bien = ln + C + ( ) 5 e Ejercicios: ) Resolver d haciendo previamente 0 el cambio e =t e Soluc : ln e + C e ) Resolver d mediante el cambio =t Soluc : arctg + C 7 5 Ejercicios PAEG: jun 0 B (+ trigonométrica inmediata), jun 000 A, Sept 98 A, jun 008 A Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 57: 5; pág. 58: 5 d º) APARECEN RAÍCES REALES MÚLTIPLES: (Ver pág. 7 libro ed. Anaya) Ejemplo: + 5 d + I) Factorizamos el denominador por Ruffini, obteniendo las raíces =- y = doble: - -+=(+)(-) II) Descomposición del integrando en fracciones simples : 9 Este resultado debería ser demostrado, pero ello supera las pretensiones de este estudio. Esta descomposición sólo funciona si grad P()<grad Q(). 0 Para las dos integrales de este ejercicio recordar los consejos del apdo. III a la hora de escoger un cambio de variable. También debería ser demostrado.

13 + 5 A B C = ( ) (**) III) Quitamos denominadores en la epresión anterior multiplicando por el m.c.m. de estos, es decir, - -+=(+)(-) : +5=A(-) +B(+)(-)+C(+) A continuación, damos a los valores de las raíces y, además, otro valor sencillo como por ejemplo =0 (recuérdese que la anterior epresión se cumple para todo ): obteniéndose finalmente B= -/ y C= =- =A; A=/ = 8=B+C =0 5=A-B+C IV) Finalmente, sustituimos en (**) los valores obtenidos de las constantes e integramos cada sumando por separado: + 5 d = d + d + d = d d + ( ) d ( ) ( ) + = ln( + ) ln( ) + = ln + ln + C,obien, = ln + C Ejercicios: ) + + d + Soluc : ln ( ) ( + ) + + C ( + ) ) d Soluc : ln + + C + Ejercicios PAEG: sept 0 A, sept 00 A, sept 00 A, jun 97 A, sept 007 A, jun 006 A Ejercicios libro ed. Anaya: pág. 8: y ; pág. 57: 6 (se recomienda, además, realizar los ejercicios resueltos de las págs. 9 a 5) º) APARECEN RAÍCES COMPLEJAS : Ejemplo: d + I) Factorizamos el denominador por Ruffini: +=(+)( -+) (Nótese que tiene una única raíz real, =-, y dos raíces complejas) Este tipo de integrales no entran en la PAEG de Castilla-La Mancha, al menos en el presente curso 0-0, salvo el caso sencillo tipo arcotangente visto en el apdo. IV A

14 II) Descomposición del integrando en fracciones simples: A M + N = (***) III) Quitamos denominadores en la epresión anterior multiplicando por el m.c.m. de estos, es decir, +=(+)( -+): =A( -+)+(M+N)(+) A continuación, damos a el valor de la única raíz real, =-, y además, otros dos valores arbitrarios sencillos: =- =A; A=/ =0 =A+N obteniéndose finalmente M=-/ y N=/ = =A+(M+N) IV) Finalmente, sustituimos en (***) los valores recién obtenidos de las constantes e integramos cada sumando por separado: d = d + d = inmediata tipo ln-arctg Ejercicios: ) d + 5 Soluc : ln 5 arctg( ) C + + ( ) ) 6 + d + Soluc : ln + arctg + C Ejercicios final tema: 0 Ejercicios PAEG: jun 00 A

15 RESUMEN: PROCESO LÓGICO A LA HORA DE INTEGRAR COCIENTES DE POLINOMIOS P() Q() d? Es P() la derivada de Q()? SÍ P() Q() d = ln Q() + C NO Es grad P() grad Q()? SÍ Dividimos P() entre Q() y reconstruimos el integrando NO Q() tiene raíces complejas a±bi? SÍ Haciendo el cambio -a=b t se convierte en tipo arctg, o lnarctg (Apdo. VI, º) NO Q() tiene raíces IR simples? SÍ Descomposición en fracciones simples del integrando (Apdo. VI, º) NO Q() tiene raíces IR múltiples Descomposición en fracciones simples del integrando (Apdo. VI, º)

16 VII) INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS En algunos casos se resuelven transformando el integrando mediante identidades trigonométricas; he aquí algunas de las más habituales: sen + cos = sen = cos sen = cos cos = sen cos = sen = cos + sen cos = cos sen + cos = cos + cos cos = cos = sen cos sen = Ejemplos: ) sen d = sen = + C ) cos d = cos ( sen ) d = sen = sen + C ) cos cos sen d = d = ) sen ( sen ) d = d = + sen (+ sen )( sen ) sen sen = + + C 8 5) d = = + tg sec + C (Haciendo el cambio de variable =sen t) arcsen = + + C Puede ensayarse, o bien utilizar la identidad trigonométrica correspondiente (lo más rápido y recomendable), o bien por partes, eligiendo u=sen, y reemplazando a continuación cos =-sen, con lo cual saldrá por iteración (proceso muy tedioso ). También puede intentarse por partes, eligiendo u=sen, y reemplazando posteriormente cos =-sen ; finalmente, habrá que aplicar iteración.

17 También pueden resolverse, en ciertos casos, mediante el apropiado cambio de variable; básicamente, hay tres casos principales, que se presentan a continuación, junto con todos los elementos restantes para hacer el cambio: º Si el integrando es impar en sen : cos = t sen = cos sen d = dt d = dt t sen = t º Si el integrando es impar en cos : sen = t cos = sen cos d d = = dt dt t cos = t º Si el integrando es par en sen y cos : tg = t + tg = cos sen = tg cos (+ tg ) d = dt dt d = + t cos = + t sen = t + t Los dos primeros cambios suelen funcionar muy bien, no así el tercero, que suele conducir a integrales racionales muy arduas, con raíces complejas múltiples. Finalmente, conviene saber que eiste un cambio general, tg/=t, aunque también puede dar lugar a un desarrollo laborioso. Ejemplos: 6) cos d = (Haciendo el cambio de variable sen =t) 7) 5 sen d = (Haciendo el cambio de variable cos =t) sen = sen + C Ejercicios final tema: a 5 Ejercicios PAEG: sept 008 A (teórico-práctico) Ejercicios libro ed. Anaya: págs. 57 y ss.: 7 a,,,, 5, 56 y 57 (integrandos de todo tipo) págs. 58 y ss.: 7 a 0, a, 7 a 9, 5 y 60 (teórico-prácticos) 5 cos cos cos +C = + 0

18 TABLA de INTEGRALES INMEDIATAS FUNCIONES SIMPLES FUNCIONES COMPUESTAS d = k d = k 5 6 n + n+ n d = (n ) d = ln a d a = ln a u n + n+ n u u d = (n ) u u u = u a = ln u u a ln a u u e d = e u e = e 7 cos d = sen u cos u = sen u 8 sen d = cos u sen u = cos u u d = + tg d = sec d = tg ( ) 9 ( ) cos 0 ( ) = u + tg u = u sec u = tg u cos u u d = + ctg d = cosec d = ctg ( ) sen u d = arcsen u d = arctg + u = u + ctg u = u cosec u = ctg u sen u + u = arcsen u = arctg u En esta tabla, k y n son números reales, a es un número real positivo, y u es una función.

19 EJERCICIOS de INTEGRAL INDEFINIDA º BACH.. Calcular las siguientes integrales potenciales (se recomienda hacer la comprobación): a) d b) 5 d c) d d) 6 d e) t t dt f) d g) t dt h) d i) d j) d t m) d n) d o) d p) + d k) ( t ) dt l) d (Soluc: a) / b) 6 /6 c) j) d) k) t 7 /7 l) m) e) t 6 /6 f) n) o) 5 g) t / h) p) + ) i) 6 6. Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas: a) ( + ) d b) (7 + 5) d c) ( + ) d d) ( + ) d e) t (t + ) dt ( + ) d g) ( + ) d 7 h) ( + ) d i) d j) ( + ) f) + ( + + ) k) dt l) d m) + d n) 6 d o) ( + )( + + 5) d t + t p) d q) d r) (6 + ) (8 + 5) d ( + ) + s) + d t) + u) cos sen d v) cos sen d w) sen cos d ) arctg d y) + z) ε) (*) ln d α) arctg d + d β) ln d γ) ln arcsen d - δ) + + d cos d sen d d arcsen (Soluc: a) (+) / b) (7+5) / c) ( +) / d) ( +) / e) (t +) / f) ( +) /6 g) h) ( + ) 8 ( + ) 6 m) ( + ) n) ( ) i) ( + ) j) + + o) ( ++5) 7 / p) 9( + ) k) t + l) ( + ) q) + r) (8 +-5) / s) + t) + u) sen / o -cos / v) sen / w) cos / ) y) cosec z) ln / α) /ln β) ln / γ) ε) arctg arc sen ) NOTA: En todas las soluciones se omite, por razones de espacio, la cte. de integración C. arc tg δ) arc sen

20 . Calcular las siguientes integrales de tipo logarítmico: a) d b) d c) d d) d e) + 5 a + b + f) d g) d h) d i) e d j) sen cos d + e sen + cos k) d l) ln d (+ ) arctg m) d arcsen n) sec d + tg o) (*) d cos d sen (Soluc: a) ln b) ln (-) c) ln + 5 d) 6 g) ln ( + + ) h) ln i) ln ( e ) m) ln (arcsen ) n) ln ( + tg ) o) ln sen ) ln (a + b) e) a 9 ln + f) ln j) ln k) ln (ln ) l) ln (arctg ) sen + cos. Calcular las siguientes integrales de tipo eponencial: a) e d b) e d c) - e d d) + e d e) -+ e d f) e d g) e - d h) e + d i) ( + ) e + d j) sen cos e d k) e ln d l) tg sec e d m) p) (6 ) d q) arctg e d n) + 7 d r) (Soluc: a) -/e b) e / c) h) e + i) o) /ln p) 6 /ln6 q) d e arcsen d) e + / e) e -+ e / f) e d o) d g) e + j) e sen k) l) e tg m) e arctg n) e arcsen (7 / 5) ln7 5 r) 5 ln 5 ) e 5. Calcular las siguientes integrales trigonométricas sencillas: a) cos( ) d b) sen d c) f) sen( + ) d g) cos( + 6) d h) sen d i) cos d d) sen ( + ) d e) cos( + 5) d cos( + 55) d j) sen( k) cos( 5) d l) 7 sen( + 5) d m) cos d n) sen d o) p) cos (arctg ) d + cos ln d + 7) d (Soluc: a) sen b) cos c) sen d) cos (+) e) sen( + 5) f) cos (-+)

21 g) sen( + 6) h) m) sen n) cos cos i) sen( +55) j) cos ( + 7) k) 6 o) sen (ln ) p) sen(arctg )) sen ( 5) l) 7cos ( + 5) 6 6. Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución o cambio de variable: + d mediante +=t b) d haciendo t =- c) d con t=e e + e a) ( ) 0 d) ( + ) d haciendo +=t e) d + f) ( + ) 0 d (Soluc: a) ( + ) ( + ) b) ( ) ( ) f) ( + ) ( + ) ( + ) Ln ) 0 9 Recordar algunos consejos: c) arc tg e d) + + ( + ) e) ( arctg ). En las integrales NO inmediatas en las que haya, suele funcionar el cambio RADICANDO=t. aparezcan de distinto índice, puede funcionar el cambio mcm de los índices RADICANDO=t. En las integrales NO inmediatas en las que aparezca a, puede ensayarse a =t. Para integrales trigonométricas NO inmediatas ver los cambios vistos en el tema. 7. Calcular las siguientes integrales de tipo arco tangente: a) d b) + + f) a d g) + a d c) d d) e d e) e d h) + 9 d i) d ( + ) j) sec d + tg (+ ln ) d k) ( + 7) d l) d m) + d n) + + d + (Soluc: a) arctg(+) b) arctg ( + ) c) arctg d) arctg e e) f) ln( + a ) ln a g) arctg h) arctg i) arctg j) arctg(ln) k) arctg( + 7) l) arctg ln ln 6 m) arctg( + ) n) arctg ) 8. Calcular las siguientes integrales de tipo neperiano-arco tangente: a) d b) f) k) d + d g) d c) d d) + d e) d + + h) + + d i) d j) + d d

22 (Soluc: a) + ln arctg b) ln + + arctg( + ) c) + ln arctg d) + ln arctg e) ln arctg f) ln arctg 5 5 g) + h) + i) ln( + + ) + arctg ln + + arctg ln arctg j) ln( + ) + arctg k) ln( + ) + arctg ) 9. Calcular por partes las siguientes integrales: a) ln d b) ln d c) ln d d) ln d e) e d f) ln( + ) d g) arc cos d h) cos d i) - e d j) ( ) e d k) e sen d l) - ( + ) e d m) cos d n) + e d o) ( + ) sen d (Soluc: a) ln b) ln c) ln d) ln -ln+ 9 9 e) e ( -+) f) ln(+)-+ln(+) g) arccos h) sen+cos-sen i) + j) e ( + ) k) e m) sen + cos n) e e + e ) e (sen cos ) l) + + e 0. Calcular las siguientes integrales racionales: a) + d b) d c) d d) e) + 5 d f) 5 + d g) + + d h) + + i) d j) 9 + d k) 8 + d l) m) + d n) 8 d o) + d p) q) + + d r) + d e + d d d + 6 d (Soluc: a) ( ) ln ( ) 7 5 b) ln ( + ) 6 7 c) ln( ) d) 5 ln 5 e) ln + f) + + ln[( )( ) ] g) ln ( ) + + arctg( + ) h) ( + ) ln ( ) i) 5 ln ( + ) + arctg j) 9 ln( + ) + k) + ( ) 7 5 ln ( ) + + arctg ln( ) m) ln( ) 5 7 l) + n) ( ) ln 0 ( ) p) ln( ) q) + ln( ) r) ln(e + ) ) 9 o) ln( + 6)

23 . Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos: a) 5 cos d d) sen cos d g) cos d (Hacer sen=t) b) 5 sen d (Hacer cos=t) c) sen + tg d (Descomponer el integrando) cos e) sec d f) Sustituir ctg = cos ctg d sen 5 5 (Soluc: a) sen sen sen + b) cos cos + cos c) sec ln cos d) sen e) ln sen + f) cos ec sen g) sen 6 + ) sen. Calcular por el método más adecuado (entre paréntesis figura una ayuda) las siguientes integrales: a) (inmediata) b) (tipo ln) c) d d ( ) e d (por partes) ( ) d) ( ) ln d (por partes) e) d (raíces R simples) f) + 5 d (raícesr simpl + g) d (ln-arctg) h) + d (raíces R simples) i) sec d (cambio sen=t) j) + sen d (cambio sen=t) k) cos d sen cos cos (transformar el integrando) l) cos sen d (inmediata) m) sen d (por partes) n) arctg d (por partes) o) e d (por partes) p) d (ln-arctg) q) d (raícesr simples) r) ln( + ) d (por partes) + 9 s) ln d (inmediata) t) sen(ln) d u) - ln( + ) e d v) + d w) + d (hacer la división) ) d (hacer la división) + y) β) + d (hacer la división) z) d α) + 9 d (tipo arcsen) γ) ln ln ln + d (hacer ln =t) 7+ tg d cos (Sol: a) e) ln + 6 b) ln c) e e d) f) ( ) ln + ln g) + ln( + + 5) + arctg h) ( ) ln ( ) 65 i) ln sen ln sen + (sen ) (sen + ) j) sen ln k) --cosec-ctg l) cos sen 9 m) cos sen cos + + n) o) arctg arctg e e e + p) 6 ln( + 9) arctg 9 7 7

24 q) ln ln ( ) ln r) ln + + ln + s) ln t) (senln cosln ) u) y) ln ln + + v) arctg+ln( +) w) --ln(-) ) e ln( ) + + z) ln + 9 α) (7 tg) + γ) ln( ) + + ln (ln ) (ln + ) 6 (ln ) ). Calcular la primitiva de f()=ln que se anula en =e. Determinar f() sabiendo que f ()=, f(0)=0, f (0)= y f (0)= (Soluc: f()= + +) 5. Hallar un polinomio cuya derivada sea +-6 y tal que el valor de su máimo sea tres veces mayor que el de su mínimo. (Soluc: p()= /+ /-6+7/)