Tema 8 Integral definida

Transcripción

1 Tem 8 Integrl definid ) Integrl definid Se y = f() un función ositiv y continu en el intervlo (, ). Consideremos el trecio mitilíneo, S, determindo or f(), f(), f() y el eje OX y dividmos el intervlo (, ) en n rtes igules, trzndo sus ordends corresondientes f() y = f() f() S n =, = n Sen : S re del trecio mitilíneo s Sum de los rectángulos interiores s i e Sum de los rectángulos eteriores n n n i ( ) ( ) ( n) i i n e n i i s f f f f s f ( ) f ( ) f ( ) f lim se si f ( ) f limse si lim f ( ) f n n n n lim s s lim s lim s como s S s lim S lim s lim s e i e i i e e i n n n n n n este límite se reresent or f ( ) d y se lee integrl definid entre y de efe de diferencil de siendo: = límite inferior de integrción y = límite suerior de integrción

2 ) Relción entre l integrl definid e indefinid En el trecio mitilíneo hcemos fij l scis inicil y vrile l scis finl medinte. de este modo, el áre es un función de y l llmmos S() Áre rectángulo interior = f() Áre rectángulo suerior = f() ( + ), entonces: f() < S() < f() S Dividiendo or : + S S f ( ) f lim f d S f d d S f d S f d Por tnto, el áre es un función rimitiv de f() ) Regl de Brrow. Vlor de l integrl definid Se f ( ) d F( ) C En el trecio mitilíneo hcemos fij l y vrile l medinte. Se S( ) f ( ) d F( ) C Si =, el áre vle cero. S( ) f ( ) d F( ) C C F( ) sustituyo el vlor de S( ) f ( t) dt F( ) F( ) hciendo =. S( ) f ( ) d F( ) F( ) F( ) Ejemlo: 9 7 d ) Proieddes de l integrl ) El vlor de l integrl definid deende de los límites de integrción y no de l vrile indeendiente: f ( ) d F( ) f ( t) dt F( t) ) Si se invierten los límites de integrción, cmi el signo de l integrl ero no el vlor soluto. c) Si c y d son dos untos intermedios del intervlo (, ), entonces: c d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d c d Desrrollndo el segundo miemro de l iguldd, otenemos:

3 F( ) c F( ) d F( ) F c F F d Fc () F F d F F c d 5) Integrl definid or sustitución l resolver un integrl definid or sustitución, hy que cmir los límites de integrción. Ejemlo: 7 dt 7 7 d ln t ln 7 ln ln t t t t 7 dt d 6) Integrl definid or rtes Pr l integrl or rtes, hllmos l integrl indefinid y desués sustituimos: f d u v v du 7) Áres de recintos limitdos or dos línes Consideremos l suerficie S limitd or ls dos gráfics, entonces: suerficie S suerficie cb db f d f d S f g d y = g() S B y = f() Pr hllr los límites de integrción se resuelve el sistem formdo or ls dos ecuciones. Ejercicios: ) Hll or integrción el áre del triángulo que determin l rect + 5y =, l cortr con los ejes coordendos ) Hll or integrción el áre de un círculo de rdio r = sen t = ; t = + y = r = r sen t y = r - d = r costdt = r sen t = ; t =

4 r r d r r sen t r cost dt r cos t dt = - = - = = é ù æö ( cos t) dt t sen t ê ú çè ø r r r r = - = - = = = ë û c) Hll el áre limitd or ls línes y = ; y = d) Hll el áre limitd or l curv y e el eje OX, l ordend en = y l ordend en el máimo e) Hll el áre de l orción de lno comrendid entre l curv y = ++6 y su tngente en el unto = y f) Hll el áre limitd or ls gráfics de ls funciones: f y g g) Hll el áre limitd or ls línes: f e, y =, = = h) Hll el áre limitd or l función i) Hll el áre limitd or l curv j) Hll el áre del recinto limitdo or ls curvs sen k) Hll el áre comrendid entre l rect = y ls curvs l) Hll: d 5 6 m) Hll: ln d f cos, el eje OX y ls rects = y = π f y ls rects = y = ½ f y ls rects =, y =, = π y, y 8 n) Hll el áre comrendid entre y el eje OX y ls rects =, f, f, f, f o) Determinr f() siendo que ) Se tiene sen d y cos d Not: Hllr: +, y otener los vlores de y q) Hllr el áre del recinto limitdo or ls curvs y, y 5 8) Volumen de un cuero de revolución Dividimos el intervlo (, ) en n rtes igules y trzmos sus ordends corresondientes. El volumen engendrdo or l suerficie B l girr 6º lrededor del eje OX es igul l sum de los volúmenes engendrdos or los infinitos rectángulos. Cd uno de ellos engendr un cilindro de ltur d y rdio de l se f(). El volumen de un cilindro elementl viene ddo or: : dv f d V f d Ejemlos: ) Hll or integrción el volumen de un

5 cono de rdio r y ltur h ) Volumen de un esfer de rdio r 9) Longitud de un rco de curv ln Se» B un rco de l curv y = f(), y en él un rco elementl dl (rco de longitud infinitmente equeño) en el límite l longitud de un rco y su cuerd se confunden dl d B dy d + dy d ædyö dl = d + dy = = + ç d = + y d d çèd ø l = + y d Ejercicios: ) Hllr l longitud de l circunferenci de rdio r t F = dt y desués resolver F() ) Clculr; ( ) c) Dd l función ( ) 8 f = + + ; hllr y r que l curv se or el unto (, 6) y dmit en ese unto un tngente horizontl. Hllr el áre engendrd or l curv el eje OX y ls rects =, = d) Hllr: - d - y = + + c, hllr y c r que resente un máimo en =, un e) Dd l función ( ) mínimo en = y clculr el áre limitd or l curv y el eje OX y = - y el eje OX f) Hllr el áre limitd or l curv ( ) Hllr l longitud del rco de l ráol =8y comrendido entre = y =