VALENCIA JUNIO ª 2ª 1ª

Transcripción

1 VALENCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que sólo se harán tres de los cuatro problemas. Los tres problemas puntúan por igual. EJERCICIO A Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas. PROBLEMA. Dadas las matrices 4 A, B y C Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB C. AXB C A AXBB A CB X A CB 4 ª ª ª 4 A Fila 4 Fila Fila A 4 B ª Fila ª Fila ª Fila 4 ª ª ª Fila Fila + Fila B X

2 PROBLEMA. Un banco dispone de 8 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 4% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular este. X: cantidad dedicada a préstamos de riesgo alto Y: cantidad dedicada a préstamos de riesgo medio f( x, y).4x+.7 y sa.. x + y 8 x + y 8 y 4 y 4 x 4 5x 4y y 5 Haciendo los vértices y valorando la función objetivo: x+ y 8 5(8 y) 4y 9 9y y ; x 8 5x 4y A(8,) f(8,) 8 B(, 4) f(, 4) 8 5x 4y x 3 C(3, 4) f(3, 4) 78 y 4 D(,8) f(,8) 6 Luego el máximo está en B(8,) y el máximo beneficio es de 8.

3 PROBLEMA 3. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I( x) 8x + 36x, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función Gx ( ) 44x + x+ 7 donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo. c) El beneficio máximo. a) Bx Ix Gx x x x x x x ( ) ( ) ( ) b) 4 B '( x) 3x + 4 x 75 unidades 3 B''( x) 3 < c) B x ( ) 6(75) euros PROBLEMA 4. El 6% de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran españolas. De éstos el 4% eran menores de años. En cambio, de los que no eran españoles, tenían menos de años el 3%. Calcular: a) La probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de años. b) Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de que no sea español y tenga años o más. A españoles que visitaron un museo B menores de años PA ( ) ; PA ( B) ; PA ( B) a) PB ( ) PA ( B) + PA ( B) b) PA ( B) PA ( B) PA ( B) ( PA ( ) + PB ( ) PA ( B)) P( A) P( B) + P( A B)

4 EJERCICIO B Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas. PROBLEMA. Juan decide invertir una cantidad de euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4 %, las de B un 5% y las de C han perdido un % de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 43.5 euros. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas. X cantidad que invierte en A Y cantidad que invierte en B Z cantidad que invierte en C x+ y+ z x+ y+ z x ( y+ z) x y z.4x.5y.z x+.5y.z y+ 3z y+ z 4.7z 87.5.y+.6z 47.5.y+.6z 47.5 z 5; y 75; x 8

5 PROBLEMA. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 7 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son 54 euros por vagón de coches y 36 euros por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. X vagones que transportan coches Y vagones que transportan motocicletas f ( xy, ) 54x+ 36 ysa.. x+ y 7 x+ y 7 x x x y x y Calculamos los vértices y valoramos la función objetivo: A(,5) f(,5) 88 B(, 6) f(, 6) 864 x+ y 7 y 9; x 8 C (8,9) f(8,9) 96 y x 8 vagones para coches y 9 vagones para motocicletas 96 euros de beneficio

6 PROBLEMA 3. La parte superior de una pared de metros de base tiene una forma parabólica determinada por la expresión.5x + x +, donde x mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcular la superficie de dicha pared utilizando una integral..5 y x + x+ ± 3.5x + x+ x Puntos de corte : (.73,); (.73,); (,) x y y' x+ x ; y().5 (,.5) máximo y '' convexa Como la pared tiene m de base: 3 x x.5x + x+ dx x u 3

7 PROBLEMA 4. Las máquinas A y B producen 5 y 5 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del %, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas fabricadas en una hora y elegimos una pieza al azar. Calcular: a) La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B. b) La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa. P( defectuosa en A) P( defectuosa en B) 5 P( máquina A) P( máquina B) a) P( no defectuosa fabricada en B) P( en A defectuosa) 6 b) P( en A / defectuosa) P( defectuosa)