ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2"

Transcripción

1 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis de vrible rel, Lbortorio de Mtemátics, Cálculo Diferencil, Cálculo Integrl, Ecuciones Diferenciles. Plbrs clve: funciones reles de vrible rel, función eponencil, función logrítmic, logritmos, cmbios de bse de logritmos, gráfics de funciones. Estructur del Tem: 1. Introducción Funciones de un vrible rel: dominio, rngo, gráfic.. L función eponencil..1. Definición ejemplos... Propieddes. 3. L función logrítmic Definición ejemplos. 3.. Propieddes Conteto: Se resumen mu brevemente en este documento los conocimientos previos del tem que los estudintes de l especilidd de Metodologí hn dquirido trs sus estudios de los tres primeros cursos el l Fcultd de Ciencis Mtemátics. Son estos los conocimientos básicos los que necesitn pr preprr l tre descrit en el Escenrio. En este documento no se incluen los spectos relciondos con l modelizción con GeoGebr por encontrrse dichos spectos desrrolldos en los mteriles complementrios incluidos en los mteriles (mnul de uso de GeoGebr, ejercicios con GeoGebr, clse imprtid por profesor eperto). Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 1

2 1. Introducción Funciones de un vrible rel: dominio, rngo gráfic. Recordmos l definición de función de un vrible rel con vlores reles. Dmos l definición de dominio rngo revismos tmbién l ide de gráfic de un función incluendo ejemplos. Un función de un vrible rel con vlores reles es un regl que sign cd elemento de un subconjunto de l rect rel A un elemento de un subconjunto de l rect rel B. Se denot sí: f : A B. El conjunto A de número reles donde l función está definid se denomin dominio de l función. El rngo (recorrido o imgen) de l función f : A B, es el subconjunto de B de posibles vlores de f ( ) cundo vrí en el dominio de l función. Ejemplo 1: Considermos l función f( ) = +. El dominio de l función consiste de los números reles que hcen mor o igul 0 el rdicndo. Concretmente: Dom( f) = : =,. El rngo de l función es { } [ ) = { } = [ ). Rngo( f) : 0 0, 1 Ejemplo : Considermos l función f( ) =. El dominio de l función consiste de los números reles que hcen el denomindor no nulo. Concretmente: Dom( f) = : 0 = \ 0,1 =,0 0,1 1,. { } { } ( ) ( ) ( ) Ejemplo 3: Considermos hor l siguiente función definid trozos l evlumos en los puntos pedidos. sin, si < g ( ) =, g( π )?, g()?, g( π )? 3 + 1, si L función está definid pr todos los reles, con lo que Dom( f ) =. Evlumos l función en los puntos ddos observndo en qué prte de l división del dominio cen. g( π) = 3π + 1, g() = 13, g( π) = π sin π = 0. Concretmente: ( ) Pr terminr est sección recordmos l noción de gráfic de un función rel de un vrible rel. L gráfic de un función es el método más común pr visulizrl. Por definición, l gráfic de un función f : A B es el subconjunto del plno siguiente: {(, ) : f( ), A} =. A modo de ejemplos incluimos l gráfic de un función linel, de un polinomil de grdo de un polinomil de grdo 3. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es

3 Ejemplo 4: Gráfic de l función linel = 1. Ejemplo 5: Gráfic de l función polinomil de grdo : = 1. Ejemplo 6: Gráfic de l función polinomil de grdo 3: 3 = 1. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 3

4 . L función eponencil..1. Definición ejemplos. Se llm función eponencil en bse, con > 0 1, l función siguiente: f : ; f( ) =. Recordemos qué signific esto. Si = n es un entero positivo, entonces n 0 n 1 = (n veces). Entonces, = 1 =, si n es un entero positivo. n pq q p Además, =, p, q. Definimos l función en los irrcionles por un proceso de proimción recordndo que todo irrcionl se puede epresr como límite de un sucesión de rcionles. Ejemplo 1: Consideremos l función f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente creciente, cuo crecimiento demás es mu rápido. Incluimos un comprción con l gráfic de l función cudrátic = continución. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 4

5 Ejemplo : Consideremos l función 1 f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente decreciente, cuo decrecimiento hci cero demás es mu rápido. Ejemplo 3: Consideremos l función f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente decreciente, cuo decrecimiento hci menos infinito demás es mu rápido. De tods ls bses posibles pr un función eponencil, eiste un que es l más conveniente pr todos los propósitos del Cálculo sus plicciones. Queremos elegir l bse de l función eponencil de mner que l pendiente de l rect tngente l gráfic de l función en el punto de corte con el eje de ordends, el punto (0,1) se 1. El único número que cumple es propiedd se denot sí: número e pues sí lo eligió el mtemático suizo Lehonhrd Euler l utilizrlo en 177. Este número se encuentr entre 3. Incluimos pr finlizr est sección l gráfic de l función = e. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 5

6 Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 6

7 . Propieddes de l función eponencil. Resumimos en est sección ls propieddes más importntes de l función eponencil. El dominio de l función eponencil es todo el rngo de l función eponencil son todos los reles positivos: ( 0, ). Además, en todos los csos l función eponencil f : ; f( ) = cort l eje de ordends en el mismo punto: el ( 0,1 ). Además siempre tiene como síntot horizontl el eje de bsciss. Si l bse es mor que 1 l función es siempre creciente, si l bse es menor que 1 es siempre decreciente. Por último, destcmos que l función eponencil es siempre un función biectiv entre ( 0, ), por tnto eiste su función invers (ver sección 3). Lees de los eponentes: Si, b> 0,, entonces: + = ; = ; ( ) = ; ( b) = b. L función eponencil prece mu menudo en los modelos mtemáticos de l nturlez de l sociedd. Surge, por ejemplo, pr describir el crecimiento de l poblción l desintegrción rdioctiv. Ejemplo 1: ( ) Algunos tipos de bcteris se reproducen por "mitosis", dividiéndose l célul en dos cd espcios de tiempo mu pequeños, en lgunos csos cd 15 minutos. Cuánts bcteris se producen en estos csos, prtir de un, en un dí? Min: 15, 30, 45, 60,... Bct: , siendo los intervlos de 15 minutos:.. 4 = 16 en un hor, 8 = 56 en dos hors, = 96 = 7, en un dí! Esto nos d ide del llmdo crecimiento eponencil!, epresión que se utiliz cundo lgo crece mu depris (vénse gráfics en Ejemplo 1 de sección nterior). Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 7

8 3. L función logrítmic. Trdicionlmente, el estudio de los logritmos h ido inevitblemente compñdo de ls tbls logrítmics del estudio de conceptos tles como el de mntis, crcterístic, cologritmo...ho en dí esto no es necesrio. Con l creciente utilizción de ls clculdors los ordendores en todos los niveles, el cálculo logrítmico se h simplificdo enormemente. 3.1 Definición ejemplos. Comenzmos con un poco de histori. L invención de los logritmos (plbr de origen griego: logos (logos) = trtdo, rithmos (riqmos) = números), se debe l mtemático escocés John Npier, brón de Merchiston ( ), quien se interesó fundmentlmente por el cálculo numérico l trigonometrí. En 1614, trs veinte ños de trbjo, publicó su obr Logrithmorum cnonis descriptio, donde eplic cómo se utilizn los logritmos, pero no relt el proceso que le llevó ellos. Un ño después, en 1615, el mtemático inglés Henr Briggs ( ), visitó Npier le sugirió utilizr como bse de los logritmos el número 10. A Npier le grdó l ide se comprometieron elborr ls tbls de los logritmos decimles. Npier muere l cbo de dos ños escsos se qued Briggs con l tre. En 1618, Briggs publicó Logrithmorum Chilies prim, primer trtdo sobre los logritmos vulgres o de Briggs, cu bse es el número 10. Briggs hizo el cálculo de ls tbls de logritmos de de En 160, el hijo de Npier publicó l obr de su pdre Mirifici logrithmorum cnonis constructio ( Descripción de l mrvillos regl de los logritmos ) donde se eplic el proceso seguido por Npier, medinte l comprción de progresiones l utilizción de uns vrills cifrds, llmds vrills o reglets de Npier, pr llegr sus resultdos sobre los logritmos. L función logrítmic, o función logritmo, se define como l función invers de l función eponencil. Est función eiste l ser l función eponencil biectiv entre su dominio su rngo. Entonces, l función logritmo se denot sí: g: ( 0, ) ; g( ) = log. Es decir, ls epresiones siguientes son equivlentes: = log =. Observemos entonces que: log log ( ), = =, > 0. Ls funciones logrítmics más usules son en bse 10 e. El logritmo en bse e recibe el nombre especil de logritmo neperino o logritmo nturl, se denot sí: = ln. En prticulr podemos rescribir ls propieddes nteriores pr el logritmo neperino sí: = ln e =, ( ln ) ln e =, e =, > 0. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 8

9 Al definirse l función logritmo como l invers de l función eponencil, su gráfic es simétric respecto de l rect = de l de l función eponencil. Incluimos l gráfic del logritmo neperino modo de ejemplo. Ejemplo 1: Gráfic de l función = ln Observmos que l función es siempre creciente, l gráfic ps siempre por el punto ( 1, 0 ). 3. Propieddes. Resumimos en est sección ls propieddes más importntes de l función logrítmic (teniendo en cuent que l hemos definido como invers de l función eponencil). El dominio de l función logrítmic es el intervlo( 0, ) el rngo de l función logrítmic son todos los reles:. Además, en todos los csos l función logrítmic g: ; g( ) = log cort l eje de bsciss en el mismo punto: el ( 1, 0 ). Lees de los logritmos: Si, > 0, entonces 1. log ( ) = log + log. log = log log 3. log = rlog ; r. r ( ) Por último, recordemos cómo cmbir de bse en los logritmos: log ln =. ln Pr ver esto, bst con tomr logritmos neperinos en mbos miembros de l epresión: = despejr, que de prtid es log. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón igomezchcon@mt.ucm.es 9

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl CONCEPTOS BÁSICOS Se llm función rel de vrible rel culquier plicción f : D R con D Œ R, es decir, culquier

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

Funciones trascendentes

Funciones trascendentes Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í

Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Autoevlución Págin Clcul los siguientes lmites: ) b) e log( ) 6 5 c) ) ` j 6 5 ( ) ( ) 6 ( 5 ) 6 5 6 6 ( 5 )( 5 ) 6 5 b) e log( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 c) k ( ) ( ) ( )(

Más detalles

Funciones Algebraicas

Funciones Algebraicas 1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver

Más detalles

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica Función Cudrátic. Si f ( ), determine su form cnónic. Determine el ámbito de l función ( 4). Hlle l ecución de l prábol que tiene vértice V (,) y cort l eje y en el punto (0,5). 4. Grfique l función f

Más detalles

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b. TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo

Más detalles

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde

Más detalles

(1) Representar gráficamente las siguientes funciones lineales o afínes (forma general ). Su gráfica es una línea recta. *( c )

(1) Representar gráficamente las siguientes funciones lineales o afínes (forma general ). Su gráfica es una línea recta. *( c ) Lcdo E. Monto & P.Perz Funciones Reles de Vrible Rel Repúblic Bolivrin de Venezuel Ministerio del Poder Populr pr l Educción Escuel Técnic Robinsonin P.S. S. S. Venezuel Brins Edo Brins Hoj de trbjo *III

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

TEMA 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas. Tema 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas 1

TEMA 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas. Tema 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas 1 TEMA : Logritmos y ecuciones rítmics Tem : Logritmos y ecuciones rítmics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Logritmos...- Logritmo de un número rel...- Logritmos decimles y neperinos..- Propieddes de los ritmos..-

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones

Límite y Continuidad de Funciones CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

NÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS.

NÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS. Números Reles NÚMEROS REALES 1º Bchillerto CC. SS. Reles R Irrcionles I Enteros Rcionles Z Q Nturles Nturles N 1,,,... EnterosZ, 1, 0, 1,... Rcionles Q 7,, 6'... 5 N Irrcionles I π,, 7'114... Números Reles

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

UNIDAD 0.- Repaso (parte II)

UNIDAD 0.- Repaso (parte II) UNIDAD 0. Repso (prte II). INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llm desiguldd tod relción entre epresiones numérics o lgebrics unids por uno de los cutro signos de desiguldd,

Más detalles

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada 1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien

Más detalles

IES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer trimestre 4º ESO 16 de octubre de 2012 Números reales. Potencias y radicales NOMBRE:

IES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer trimestre 4º ESO 16 de octubre de 2012 Números reales. Potencias y radicales NOMBRE: IES Fernndo de Herrer Curso 01 / 1 Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles NOMBRE: 1) ) Representr en un mism rect rel: 1 9 1/ 0 1 Decir qué números representn b: 0 1

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( )

LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( ) LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-630) MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que

Más detalles

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES

2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Águed Mt Miguel Rees, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 2. FUNCINES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2.. Límite de un unción en un punto 2.2. LÍMITES Se = () un unción deinid en un entorno del punto R (unque

Más detalles

UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES

UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES I.E.S. Rmón Girldo. FUNCIONES AFINES UNIDAD 7: FUNCIONES ELEMENTALES Ls funciones fines son funciones de l form f : donde y b son números reles no nulos. f b Si b0 y 0, entonces l función recibe el nombre

Más detalles

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

Módulo 12 La División

Módulo 12 La División Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Mtemátics Nivel Medio Mtemátics Ap.CC.SS.I Mrtes 0 de noviembre de 01 1 hor NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Oper medinte notción rdicl y simplific l máximo: (0 puntos). Resuelv ls siguientes cuestiones

Más detalles

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b.

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b. FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1.

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1. Pág. de 7 x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = x + k si x > se continu en x =. b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1

BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1 II BLOQUE II ANÁLISIS Págin 3 3x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = continu en x =. x + k si x > se b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =,

Más detalles

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. .. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión pr orientr el prendizje) Cpítulo I Funciones INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos de myor importnci y trscendenci en ls mtemátics es el de función, que constituye un herrmient fundmentl

Más detalles

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles.

Más detalles

Números Naturales. Los números enteros

Números Naturales. Los números enteros Números Nturles Con los números nturles contmos los elementos de un conjunto (número crdinl). O bien expresmos l posición u orden que ocup un elemento en un conjunto (ordinl). El conjunto de los números

Más detalles

EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN

EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN Se presentn dos funciones de grn importnci en l mtemátic, como son: l función eponencil y l función rítmic. Función eponencil Definición: Se un número rel positivo. L función

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

En el trabajo con números, Álgebra y Geometría usaremos el lenguaje de conjuntos. Por lo tanto recordaremos algunas cosas:

En el trabajo con números, Álgebra y Geometría usaremos el lenguaje de conjuntos. Por lo tanto recordaremos algunas cosas: to 018 MATEMÁTICA Prof SWeinberger ALGO DE CONJUNTOS-REVISIÓN: En el trbjo con números, Álgebr y Geometrí usremos el lenguje de conjuntos Por lo tnto recordremos lguns coss: Definición de conjuntos: Un

Más detalles

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:

Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: Funciones eponenciles y ritmics Doc. Luis Hernndo Crmon R Funciones Eponenciles Ejemplos: f ( ) Es un función eponencil con bse. Vemos con l rpidez que crece: f () 8 f (0) 0 04 f (0) 0,07,74,84 Funciones

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de

Más detalles

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

Descomposición elemental (ajustes por constantes) Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión

Más detalles

Concepto de funcio n y funciones elementales

Concepto de funcio n y funciones elementales Concepto de uncio n unciones elementles Ls unciones describen enómenos cotidinos, económicos, psicológicos, cientíicos Tles unciones se obtienen eperimentlmente, medinte observción. Después, se idelizn

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función exponencial Función eponencial La función eponencial viene de la generalización de la función polinomial. Si consideramos la función: =, por ejemplo, cabe preguntarnos, «cómo se comportaría la función si cambiamos

Más detalles