ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

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1 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis de vrible rel, Lbortorio de Mtemátics, Cálculo Diferencil, Cálculo Integrl, Ecuciones Diferenciles. Plbrs clve: funciones reles de vrible rel, función eponencil, función logrítmic, logritmos, cmbios de bse de logritmos, gráfics de funciones. Estructur del Tem: 1. Introducción Funciones de un vrible rel: dominio, rngo, gráfic.. L función eponencil..1. Definición ejemplos... Propieddes. 3. L función logrítmic Definición ejemplos. 3.. Propieddes Conteto: Se resumen mu brevemente en este documento los conocimientos previos del tem que los estudintes de l especilidd de Metodologí hn dquirido trs sus estudios de los tres primeros cursos el l Fcultd de Ciencis Mtemátics. Son estos los conocimientos básicos los que necesitn pr preprr l tre descrit en el Escenrio. En este documento no se incluen los spectos relciondos con l modelizción con GeoGebr por encontrrse dichos spectos desrrolldos en los mteriles complementrios incluidos en los mteriles (mnul de uso de GeoGebr, ejercicios con GeoGebr, clse imprtid por profesor eperto). Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 1

2 1. Introducción Funciones de un vrible rel: dominio, rngo gráfic. Recordmos l definición de función de un vrible rel con vlores reles. Dmos l definición de dominio rngo revismos tmbién l ide de gráfic de un función incluendo ejemplos. Un función de un vrible rel con vlores reles es un regl que sign cd elemento de un subconjunto de l rect rel A un elemento de un subconjunto de l rect rel B. Se denot sí: f : A B. El conjunto A de número reles donde l función está definid se denomin dominio de l función. El rngo (recorrido o imgen) de l función f : A B, es el subconjunto de B de posibles vlores de f ( ) cundo vrí en el dominio de l función. Ejemplo 1: Considermos l función f( ) = +. El dominio de l función consiste de los números reles que hcen mor o igul 0 el rdicndo. Concretmente: Dom( f) = : =,. El rngo de l función es { } [ ) = { } = [ ). Rngo( f) : 0 0, 1 Ejemplo : Considermos l función f( ) =. El dominio de l función consiste de los números reles que hcen el denomindor no nulo. Concretmente: Dom( f) = : 0 = \ 0,1 =,0 0,1 1,. { } { } ( ) ( ) ( ) Ejemplo 3: Considermos hor l siguiente función definid trozos l evlumos en los puntos pedidos. sin, si < g ( ) =, g( π )?, g()?, g( π )? 3 + 1, si L función está definid pr todos los reles, con lo que Dom( f ) =. Evlumos l función en los puntos ddos observndo en qué prte de l división del dominio cen. g( π) = 3π + 1, g() = 13, g( π) = π sin π = 0. Concretmente: ( ) Pr terminr est sección recordmos l noción de gráfic de un función rel de un vrible rel. L gráfic de un función es el método más común pr visulizrl. Por definición, l gráfic de un función f : A B es el subconjunto del plno siguiente: {(, ) : f( ), A} =. A modo de ejemplos incluimos l gráfic de un función linel, de un polinomil de grdo de un polinomil de grdo 3. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón

3 Ejemplo 4: Gráfic de l función linel = 1. Ejemplo 5: Gráfic de l función polinomil de grdo : = 1. Ejemplo 6: Gráfic de l función polinomil de grdo 3: 3 = 1. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 3

4 . L función eponencil..1. Definición ejemplos. Se llm función eponencil en bse, con > 0 1, l función siguiente: f : ; f( ) =. Recordemos qué signific esto. Si = n es un entero positivo, entonces n 0 n 1 = (n veces). Entonces, = 1 =, si n es un entero positivo. n pq q p Además, =, p, q. Definimos l función en los irrcionles por un proceso de proimción recordndo que todo irrcionl se puede epresr como límite de un sucesión de rcionles. Ejemplo 1: Consideremos l función f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente creciente, cuo crecimiento demás es mu rápido. Incluimos un comprción con l gráfic de l función cudrátic = continución. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 4

5 Ejemplo : Consideremos l función 1 f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente decreciente, cuo decrecimiento hci cero demás es mu rápido. Ejemplo 3: Consideremos l función f : ; f( ) =. Si representmos l función gráficmente con ud del progrm DERIVE, obtenemos lo siguiente: Observmos que se trt de un función estrictmente decreciente, cuo decrecimiento hci menos infinito demás es mu rápido. De tods ls bses posibles pr un función eponencil, eiste un que es l más conveniente pr todos los propósitos del Cálculo sus plicciones. Queremos elegir l bse de l función eponencil de mner que l pendiente de l rect tngente l gráfic de l función en el punto de corte con el eje de ordends, el punto (0,1) se 1. El único número que cumple es propiedd se denot sí: número e pues sí lo eligió el mtemático suizo Lehonhrd Euler l utilizrlo en 177. Este número se encuentr entre 3. Incluimos pr finlizr est sección l gráfic de l función = e. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 5

6 Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 6

7 . Propieddes de l función eponencil. Resumimos en est sección ls propieddes más importntes de l función eponencil. El dominio de l función eponencil es todo el rngo de l función eponencil son todos los reles positivos: ( 0, ). Además, en todos los csos l función eponencil f : ; f( ) = cort l eje de ordends en el mismo punto: el ( 0,1 ). Además siempre tiene como síntot horizontl el eje de bsciss. Si l bse es mor que 1 l función es siempre creciente, si l bse es menor que 1 es siempre decreciente. Por último, destcmos que l función eponencil es siempre un función biectiv entre ( 0, ), por tnto eiste su función invers (ver sección 3). Lees de los eponentes: Si, b> 0,, entonces: + = ; = ; ( ) = ; ( b) = b. L función eponencil prece mu menudo en los modelos mtemáticos de l nturlez de l sociedd. Surge, por ejemplo, pr describir el crecimiento de l poblción l desintegrción rdioctiv. Ejemplo 1: (http://w3.cnice.mec.es/descrtes/bch_cnst_1/funcion_eponencil/funep1.htm ) Algunos tipos de bcteris se reproducen por "mitosis", dividiéndose l célul en dos cd espcios de tiempo mu pequeños, en lgunos csos cd 15 minutos. Cuánts bcteris se producen en estos csos, prtir de un, en un dí? Min: 15, 30, 45, 60,... Bct: , siendo los intervlos de 15 minutos:.. 4 = 16 en un hor, 8 = 56 en dos hors, = 96 = 7, en un dí! Esto nos d ide del llmdo crecimiento eponencil!, epresión que se utiliz cundo lgo crece mu depris (vénse gráfics en Ejemplo 1 de sección nterior). Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 7

8 3. L función logrítmic. Trdicionlmente, el estudio de los logritmos h ido inevitblemente compñdo de ls tbls logrítmics del estudio de conceptos tles como el de mntis, crcterístic, cologritmo...ho en dí esto no es necesrio. Con l creciente utilizción de ls clculdors los ordendores en todos los niveles, el cálculo logrítmico se h simplificdo enormemente. 3.1 Definición ejemplos. Comenzmos con un poco de histori. L invención de los logritmos (plbr de origen griego: logos (logos) = trtdo, rithmos (riqmos) = números), se debe l mtemático escocés John Npier, brón de Merchiston ( ), quien se interesó fundmentlmente por el cálculo numérico l trigonometrí. En 1614, trs veinte ños de trbjo, publicó su obr Logrithmorum cnonis descriptio, donde eplic cómo se utilizn los logritmos, pero no relt el proceso que le llevó ellos. Un ño después, en 1615, el mtemático inglés Henr Briggs ( ), visitó Npier le sugirió utilizr como bse de los logritmos el número 10. A Npier le grdó l ide se comprometieron elborr ls tbls de los logritmos decimles. Npier muere l cbo de dos ños escsos se qued Briggs con l tre. En 1618, Briggs publicó Logrithmorum Chilies prim, primer trtdo sobre los logritmos vulgres o de Briggs, cu bse es el número 10. Briggs hizo el cálculo de ls tbls de logritmos de de En 160, el hijo de Npier publicó l obr de su pdre Mirifici logrithmorum cnonis constructio ( Descripción de l mrvillos regl de los logritmos ) donde se eplic el proceso seguido por Npier, medinte l comprción de progresiones l utilizción de uns vrills cifrds, llmds vrills o reglets de Npier, pr llegr sus resultdos sobre los logritmos. L función logrítmic, o función logritmo, se define como l función invers de l función eponencil. Est función eiste l ser l función eponencil biectiv entre su dominio su rngo. Entonces, l función logritmo se denot sí: g: ( 0, ) ; g( ) = log. Es decir, ls epresiones siguientes son equivlentes: = log =. Observemos entonces que: log log ( ), = =, > 0. Ls funciones logrítmics más usules son en bse 10 e. El logritmo en bse e recibe el nombre especil de logritmo neperino o logritmo nturl, se denot sí: = ln. En prticulr podemos rescribir ls propieddes nteriores pr el logritmo neperino sí: = ln e =, ( ln ) ln e =, e =, > 0. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 8

9 Al definirse l función logritmo como l invers de l función eponencil, su gráfic es simétric respecto de l rect = de l de l función eponencil. Incluimos l gráfic del logritmo neperino modo de ejemplo. Ejemplo 1: Gráfic de l función = ln Observmos que l función es siempre creciente, l gráfic ps siempre por el punto ( 1, 0 ). 3. Propieddes. Resumimos en est sección ls propieddes más importntes de l función logrítmic (teniendo en cuent que l hemos definido como invers de l función eponencil). El dominio de l función logrítmic es el intervlo( 0, ) el rngo de l función logrítmic son todos los reles:. Además, en todos los csos l función logrítmic g: ; g( ) = log cort l eje de bsciss en el mismo punto: el ( 1, 0 ). Lees de los logritmos: Si, > 0, entonces 1. log ( ) = log + log. log = log log 3. log = rlog ; r. r ( ) Por último, recordemos cómo cmbir de bse en los logritmos: log ln =. ln Pr ver esto, bst con tomr logritmos neperinos en mbos miembros de l epresión: = despejr, que de prtid es log. Proecto de Innovción Eductiv. Contcto: Prof. Inés Gómez-Chcón 9

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