Sistemas Lineales y Matrices

Transcripción

1 Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia 2014

2 Ejemplo Solución de sistemas de ecuaciones lineales, usaremos este ejemplo para introducir el método de solución conocido como reducción Gauss-Jordan en matrices. Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas: x + 3y = 4 (1) 4x + 6y = 10 (2) Existen varios métodos para resolver este sistema, por la similitud con el método que expondremos en esta sección destacamos el de eliminación.

3 Ejemplo 1 Sumar un múltiplo de una ecuación a otra ecuación con el objetivo de eliminar una de las variables, por ejemplo la operación -4 Ecuación(1) + Ecuación(2) elimina la variable x y produce la ecuación 6y = 6. 2 Multiplicar una ecuación por una constante no cero con el objetivo de simplicarla, por ejemplo si multiplicamos la nueva ecuación 6y = 6 por 1 obtenemos y = Si multiplicamos esta última ecuación (y = 1) por -3 y se la sumamos a la Ecuación (1), obtenemos x = 1. Finalmente la solución al sistema está dada por los valores: x = 1 y y = 1.

4 Definición Una matriz real es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n columnas a 11 a 1n ; a m1 a mn donde a ij es un número real para i = 1,..., m y j = 1,..., n. A esta matriz se le llama una matriz de tamaño m n. Ejemplo Al sistema lineal [ ] x + 2y = 3 le corresponde la matriz de coeficientes 4x + 5y = 6

5 Definición Una matriz real es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n columnas a 11 a 1n ; a m1 a mn donde a ij es un número real para i = 1,..., m y j = 1,..., n. A esta matriz se le llama una matriz de tamaño m n. Ejemplo Al sistema lineal [ ] x + 2y = 3 le corresponde la matriz de coeficientes 4x + 5y = 6

6 Ejemplo [ ] 1 1 A = es una matriz de tamaño 2 2. Esta matriz la definimos en 2 0 MatLab de la siguiente forma: >> A = [1, 1; 2, 0] y MatLab guardaría la matriz como el arreglo rectangular A =

7 Teorema Sean A, B y C matrices de tamaños m n, α y β escalares, entonces tenemos 1. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + ( 1A) = 1A + A = O 5. α(a + B) = αa + αb 7. (αβ)a = α(βa) 2. A + O mn = O mn + A = A 4. A + B = B + A 6. (α + β)a = αa + βa 8. 1A = A

8 Teorema Sean A y C matrices de tamaños m n y n q respectivamente, entonces se tiene lo siguiente: 1. I ma = A y AI n = A. En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AI n = I na = A. 2. O km A = O kn y AO nk = O mk para cualquier k = 1, 2, 3,. En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AO nn = O nna = O nn. 3. (A + B)C = AC + BC, donde B es una matriz de tamaño m n. 4. A(B + C) = AB + AC, donde B es una matriz de tamaño n q.

9 Definición (Inversa de una Matriz) Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, decimos que A es invertible si existe una matriz B de tamaño n n tal que AB = BA = I n. Teorema Toda matriz se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Mas concretamente, si A es una matriz de tamaño m n, existen matrices elementales E 1,..., E k todas de tamaño m m y una matriz escalonada reducida A tal que A = E 1 E k A.

10 Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la derecha. 2. El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m. 3. rango(a) = m = número de filas de A. 4. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva.

11 Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A tiene inversa a la izquierda. 2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R m. 3. La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es inyectiva. 4. El sistema Ax = θ m tiene solución única. 5. rango(a) = n = número de columnas de A.