PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES - E.T.S.I.T. CURSO 2005/06

Transcripción

1 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES - E.T.S.I.T. CURSO 200/06 1. Utilizar el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones lineales siguiente: 2 x 1 2 x 2 x x 1 3 x 2 x 3 3 x 4 6 a. 3 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 0 x 1 3 x 2 x 3 x Calcularlainversadelamatriz Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. La matriz asociada a la aplicación lineal f : C 3 C 2 definida por f z 1, z 2, z 3 i z 1 z 2, z 2 iz 3 es: i i b. Si A es una matriz regular de orden nxn, entonces det Adj A det A n 1. c. Si e 1, e 2,..., e n es una base del espacio vectorial V K, siempre es posible encontrar n escalares 1, 2,..., n K no todos nulos tales que: 1 e 1 2 e 2... n e n 0 d. Las coordenadas del vector nulo de R n son 0,0,.. n..,0 independientemente de la base que se considere en dicho espacio vectorial. Es decir, las coordenadas del vector nulo no varían al efectuar un cambio de base. e. Se considera el vector de v R 3 de coordenadas 1,0, 1 en la base canónica. Entonces, sus coordenadas en la base 4,9,2, 1,3,1, 7, 2,1 son 1, 3,0. f. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica de R 3 es: entonces la matriz asociada a f respecto de la base 2,1, 3, 3,2,, 1, 1,1 de R 3 es:

2 A g. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica de R 3 es: entonces se tiene que dicha aplicación es biyectiva, es decir, Im f R 3 y Ker f Utilizar el método de eliminación de Gauss o el de Gauss-Jordan para resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones: x 1 2x 2 x 3 x 4 2 3x 1 2x 3 2x 4 8 4x 2 x 3 x 4 1 x 1 3x 3 x 4 3. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 definida por f x,y,z x 2y z, 2x y, 2y z. Si es la base canónica de R 3 y 1,0,1, 0,1,1, 0,0,1 es otra base de R 3, se pide calcular la matriz asociada a f en los siguientes casos: Respecto a las bases canónicas. Respecto a y [f : R 3, R 3, ]. Respecto a y [f : R 3, R 3, ]. Además, se pide calcular f 1,1, 2 en cada uno de los casos anteriores. 6. Seconsideralamatriz Hallar los autovalores, los autovectores y una matriz que permita la diagonalización de A. 7. Dada la matriz: se pide calcular: a. Determinante de A. b. Rango de A.

3 c. Inversa de A (si existe). d. Autovalores de A. e. EsA diagonalizable?. En caso afirmativo determinar la matriz diagonal D semejante a A. 8. Dado el sistema de ecuaciones: x y z 3t 1 2x z 2 t 3 x y z t 2 se pide determinar si es compatible cuando 2,yentalcasosolucionarlo. 9. Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. Si e 1, e 2, e 3 es una base del espacio vectorial R 3, entonces e 1 2 e 2 3 e 3 0. b. Si e 1, e 2, e 3, e 4, e,, e 10 es una base del espacio vectorial V K, entonces también puede ser base de dicho espacio el siguiente conjunto de vectores e 4, e,, e 10. c. Dada una matriz A de orden 3x4, el rango máximo que puede alcanzar A es 4. d. Sean A y B dos matrices tales que es posible efectuar los productos B y B A. Entonces, las matrices A y B son matrices cuadradas. 10. Resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales: x y z 2 x 2 y z 3 x y a 2 z a Determinar los valores de a para los que el sistema es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. 11. Sea Determinar la matriz Adj A. Calcular det A y verificar que: Adj A T det A I 3. Calcular A Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales AX B, donde , B para los distintos valores de los parámetros y. 13. Dada una matriz A cualquiera, determinar cuál de las siguientes opciones es falsa: a. El producto AA T está definido cualquiera que sea el tamaño de A. b. El producto A A T A está definido para cualquier tamaño de A. 1 2

4 c. El producto A A T A T está definido para cualquier tamaño de A. d. El producto AA T está definido sólo si A es cuadrada. 14. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y no singulares (es decir, que admiten matriz inversa). Si A y B conmutan, probar que AB 1 B 1 A. 1. Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. Toda matriz rectangular es una matriz simétrica. b. Toda matriz simétrica es una matriz cuadrada. c. Toda matriz cuadrada es una matriz simétrica. 16. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro : x 2y z t 1 x 4y 2z 4t 2 1 x y z 2t 1 x 2 t Si A es una matriz no singular (det A 0) de orden 3, entonces: a. det Adj A 2det A b. det Adj A 0 c. det Adj A det A 2 d. det Adj A Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: S1 x y 1 x y 0 S2 x 2y 3 x 3y 1 Se verifica que: a. El rango de la matriz asociada al sistema (S1) coincide con el de la matriz asociada al sistema (S2), por lo que ambos sistemas son equivalentes. b. El rango de la matriz de los coeficientes del sistema (S1) coincide con el de la matriz de los coeficientes del sistema (S2), por lo que ambos sistemas son equivalentes. c. Los sistemas dados no son equivalentes. d. El sistema (S2) se obtiene del sistema (S1) mediante operaciones elementales. 19. Si X 1 y X 2 son soluciones del sistema de ecuaciones AX B, entonces: a. X 1 X 2 es solución del sistema homogéneo AX 0. b. 2X 1 3X 2 es solución del sistema AX B. c. X 1 X 2 es solución del sistema homogéneo AX 0. d. X X 2 es solución del sistema AX B. 20. Dadalamatriz a. No existe A , entonces la matriz inversa de A es:

5 b c (d) Dado un sistema de ecuaciones lineales de 30 ecuaciones con 70 incógnitas, si el rango de la matriz de los coeficientes es 30 y el rango de la matriz ampliada es 30, entonces el sistema es: a. Incompatible (c) Compatible indeterminado b. Compatible determinado (d) Tiene solución única. 22. Dada una matriz cuadrada A de orden 23 y R, entonces el determinante det A es igual a: (a) det A (b) ( 23 det A (c) 23 det A (d) det A 23. Sean las matrices A,B M 4x3, C M 3x4 y D M 4x4, siendo D no singular (det D 0. Cuál de las siguientes operaciones no es correcta? (a) B CD 1 (b) D 1 B C (c) BCD 3 (d) DC B. 24. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro : 3x y 2z 1 x 4y z 2x y z 0 2. Si A M nxn es una matriz que tiene exactamente n 1 elementos no nulos, entonces se verifica que: a. Rango A n 1 c det A 0 b. det A 1 d Rango A Sean A y S dos matrices cuadradas del mismo orden, siendo S simétrica. Entonces: a. AS Sc det A det S b. A T SA es simétrica d traza A traza S 27. Dada la matriz simétrica A (A T A) y la matriz antisimétrica B (B T B), se verifica que: a. traza B traza A c traza AB traza A b. traza B traza B d traza AB traza B. 28. Resolver el sistema de ecuaciones lineales: 2x y 4 z 3x 2 y z 3 y z Razonar la certeza o falsedad de los siguientes enunciados: 92

6 a. La matriz inversa de una matriz rectangular existe y es única. b. Cualesquiera tres vectores en R 3 forman una base para R 3. c. Todo espacio vectorial posee una única base. 30. Dada la aplicación f : R 2 R 3 definida por: f x,y 2x, y, 3z a. Comprobar que f es una aplicación lineal. b. Hallar la matriz asociada a f (respecto a las bases canónicas). c. DadalabasedeR 3 : 1 1,1,1, 1,1,0, 1,0,0 determinar la matriz asociada a f cuando en R 2 se tiene la base canónica y en R 3 la base Dada la matriz: hallar los autovalores, los autovectores y una matriz que permita la diagonalización de A. 32. Utilizar el método de eliminación de Gauss para resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales: x 1 3 x 2 x 3 x x 1 x 2 2x 3 7 x 2 x Sea a un número real positivo. Calcular la inversa de la matriz : 1 a a a Calcular el siguiente determinante: Sea la aplicación lineal f : R 3 R 2 cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es: Si consideramos las nuevas bases 1,1,0, 0,1,1, 0,0,1 y

7 1,2, 1,3 de R 3 y R 2 respectivamente, se pide calcular la matriz asociada a f respecto a estas nuevas bases. 36. Dada la matriz: se pide calcular: a. Determinante de A. b. Rango de A. c. Inversa de A (si existe). d. EsA diagonalizable?. En caso afirmativo determinar la matriz de paso P yla matriz diagonal D semejante a A. 37. Dado el sistema de ecuaciones: x 2y 3z 4t 1 x 3z 4t 1 t 0 4x 3y 2z t 1 se pide determinar si es compatible y, en tal caso, solucionarlo. 38. Dado el conjunto de vectores U 1, 1,0,4, 2,0,0,3, 3,3,0,2, 4, 4, 1,1 de IR 4 determinar la dimensión del subespacio vectorial generado por los mismos. Es U una base de IR 4?. 39. Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. Si S e 1, e 2,..., e n es una base del espacio vectorial V, siempre es posible expresar alguno de los vectores de S como combinación lineal de los restantes vectores de dicho conjunto S. b. LamatrizdepasoP, que relaciona las coordenadas respecto de dos bases diferentes, es siempre una matriz regular (det P 0). c. Dada una matriz cuadrada arbitraria A, siempre se tendrá que la matriz producto AA T es una matriz simétrica. d. En un espacio vectorial todas las bases tienen el mismo número de vectores. 40. Discutir, en función del parámetro, el siguiente sistema de ecuaciones y resolverlo cuando sea compatible: x y z 1 x y z x y z Sea (a) Determinar la matriz Adj A

8 (b) Calcular det A y verificar que: Adj A T det A I 3. (c) Calcular A Razonar la certeza o falsedad del siguiente enunciado: Sea la aplicación lineal f : R 3 R 2 cuya matriz asociada es: entonces la matriz asociada a f respecto de las bases 1 3,0,1, 1,1,0, 0,2,1 y 2 1,0, 2, 1 es: Seconsideralamatriz Hallar los autovalores, los autovectores y una matriz que permita la diagonalización de A. 44. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a. ax y z 1 x ay z 1 x y az 1 x 2 y z t u 0 3 x y t u 6 b. 6 x y t u 1 x 2 y 2 z 2 t 4. Hallar sin utilizar determinantes la inversa de la matriz Sean a, b y c tres números reales cualesquiera. a. Probar que los vectores 1,a,b, 0,1,c y 0,0,1 del espacio vectorial real R 3 R forman una base. b. Determinar la matriz de transición (o cambio de base) desde la base canónica a esta nueva base. 47. Sean x, y, z tres vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial real V. a. Se puede asegurar que x depende linealmente de los otros dos? b. Se puede asegurar que uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros

9 dos?. 48. Se considera la aplicación f : R 3 R 2 dada por f x,y,z x y, y z a. Probar que f es una aplicación lineal. b. Hallar la matriz asociada a f respecto a las bases 1,1,1, 0,1, 1, 1,0,0 y 1,2, 0,1 49. Seconsideralamatriz Hallar los autovalores, los autovectores y una matriz que permita la diagonalización de A. 0. Es diagonalizable la matriz ? 1. Para que valores de la matriz siguiente tiene inversa?. Calcular dicha matriz inversa para esos valores. 2. Dada la aplicación f : IR 3 IR 3 x,y,z 2x, x y, 0 se pide: a. Probar que f es lineal. b. Obtener la expresión matricial de f respecto de las bases canónicas. c. Hallar kerf, una base de kerf ysudimensión. 3. Dadalamatriz a. Calcular los autovalores de A. b. Calcular los vectores propios asociados a dichos autovalores. c. EsA diagonalizable?. 4. Dada la matriz:

10 se pide: a. Calcular los autovalores de A. b. Calcular los vectores propios asociados a dichos autovalores. c. EsA diagonalizable?.. Dada la aplicación f : IR 3 IR 3 x,y,z x 3y, 0,z x se pide: a. Probar que f es lineal. b. Obtener la expresión matricial de f respecto de las bases canónicas. c. Hallar kerf, una base de kerf ysudimensión. 6. Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales a 1 x y z 3 x 2y az 4 x ay 2z 2a 7. Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple M t M I, donde I es la matriz identidad. Comprobar que la matriz es ortogonal. 8. Dada la matriz: se pide calcular: a. Determinante de A. b. Rango de A. c. Inversa de A (si existe). d. Autovalores y autovectores de A. EsA diagonalizable?. En caso afirmativo determinar la matriz de paso P y la matriz diagonal D semejante a A. 9. Dado el conjunto de vectores U 1, 1,0,4, 2,0,0,3, 3,3,,2, 4, 4, 1,1 de IR 4 determinar la dimensión del subespacio vectorial generado por los mismos. 60. Considera el conjunto de vectores U del ejercicio anterior es una base de IR 4?. Caso de que lo sea determinar las coordenadas respecto de U del vector x que en la base canónica de IR 4 tiene por coordenadas 1, 1,2,. 61. Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

11 ax z 1 a. x 2y 3z 2 x 3y z 0 se pide determinar los valores del parámetro a para que el sistema sea incompatible. 62. Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. Si e 1, e 2,..., e n es una base del espacio vectorial V, siempre es posible encontrar n escalares 1, 2,..., n R no todos nulos tales que: 1 e 1 2 e 2... n e n 0 b. Toda matriz cuadrada es diagonalizable. c. Toda matriz simétrica es diagonalizable. 63. Dado el sistema de ecuaciones: x 2z t 9 2y z 2t 1 3x z t 4 x 4y 3z t se pide calcular: a. Determinante de la matriz de los coeficientes de dicho sistema.. b. Rango de la matriz ampliada del sistema. c. A la vista de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, puede afirmarse que el sistema tiene solución?. En caso afirmativo será única?. d. Si el sistema fuese compatible, utilizar el método de eliminación de Gauss para resolverlo. 64. Dada la matriz: calcular los autovalores y autovectores de A. EsA diagonalizable?. En caso afirmativo determinar la matriz de paso P y la matriz diagonal D semejante a A. 6. Dado el conjunto de vectores S 1, 3,, 3, 1, 4, 2,3,0, 0,1, 1 de IR 3 determinar la dimensión del subespacio vectorial generado por los mismos. 66. Considera el conjunto de vectores S del ejercicio anterior puede extraerse de él una base de IR 3?. En caso afirmativo determinar las coordenadas (respecto de la base que hayas encontrado) del vector x que en la base canónica de IR 3 tiene por coordenadas 1,0, Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones: a. EnunespaciovectorialV cualquier conjunto de vectores linealmente independientes es una base. b. Toda matriz cuadrada es simétrica. c. Toda matriz simétrica es cuadrada. d. Si A es una matriz que admite inversa, entonces det A Dada la matriz:

12 se pide calcular: a. Determinante de A. b. Rango de A. c. Inversa de A (si existe). d. EsA diagonalizable?. En caso afirmativo determinar la matriz de paso P yla matriz diagonal D semejante a A. 69. Dado el sistema de ecuaciones: 2y t 2 x 3t 3 x y t 2 x 4y z t 1 se pide determinar si es compatible y, en tal caso, calcular la solución. 70. Dado el conjunto de vectores U 0,1,1, 1, 2,0,1, 4, 0,0,0, 1, 1,3,1, 1 de IR 4 determinar la dimensión del subespacio vectorial generado por los mismos. es U una base de IR 4?. 71. Sea la matriz a. Rang A 3, R. c Si 1, entonces Rang A 2 b. Si 1, entonces Rang A 3. d Si 1, entonces Rang A Si A es una matriz no singular (det A 0) de orden 4, tal que A 1 A T, entonces: a. det A 1 ó det A 1 c det A 4ódet A 4 b. det A 4 d det A 2 ó det A Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x 8y 6z x 7y 9z 10y 10z Se pide decidir cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a. Siempre es incompatible. b. Siempre es compatible indeterminado. c. Siempre es compatible determinado. d. Existen valores de para los que no es compatible determinado. 74. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

13 x y z 2x 3y z 1 3x 4y 2z 2 Se pide decidir cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a. Siempre es incompatible. c Siempre es compatible determinado. b. Siempre es compatible indeterminado. d Es compatible si y sólo si 1.