Estudio de una ecuación del calor semilineal en dominios no-cilíndricos

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1 XXI Congreo de Ecuacione Diferenciale y Aplicacione XI Congreo de Matemática Aplicada Ciudad Real, eptiembre 2009 (pp. 1 8) Etudio de una ecuación del calor emilineal en dominio no-cilíndrico P. E. Kloeden 1, P. Marín-Rubio 2, J. Real 2 1 Intitut für Mathematik, Johann Wolfgang Goethe-Univerität, D Frankfurt am Main, Germany. 2 Dpto. Ecuacione Diferenciale y Análii Numérico., Univeridad de Sevilla, Apdo. Correo 1160, 41080, Sevilla. Palabra clave: ecuación del calor emilineal, dominio no-cilíndrico, itema dinámico noautónomo, atractore pullback. Reumen En eta comunicación preentaremo reultado de exitencia y unicidad de olucione que verifican una igualdad de energía para una ecuación emilineal en dominio no-cilíndrico (cf. [3]) baándono en alguna idea de [1, 2]. En la prueba e ua un método de penalización para un problema má regular y pao al límite. Tra ello, y con hipótei adicionale, e coniguen etimacione uniforme que permiten etudiar el comportamiento aintótico del problema. 1. Introducción y planteamiento del problema El dearrollo en la última década del comportamiento aintótico de itema dinámico infinito-dimenionale aociado a problema obre dominio cilíndrico ha ido amplio, tanto en dominio acotado como no acotado, aí como coniderando teoría de atractore autónomo o divera verione no-autónoma. Durante el mimo periodo e han tratado en profundidad también problema en dominio no-cilíndrico (eto e, donde el dominio epacial varía a lo largo del tiempo). Sin embargo, la mayoría de reultado en ete último ámbito tratan el problema de la exitencia y unicidad de olución, pero no u comportamiento aintótico (algo en parte lógico i e tiene en cuenta que eto itema on intrínecamente no-autónomo, iendo alguno reultado obre dinámica no-autónoma y u atractore relativamente reciente). En particular, el cao de dominio encajado ha ido particularmente fructífero (aí como otro cao má generale no creciente o decreciente etrictamente, ino fluctuante 1

2 P. E. Kloeden, P. Marín-Rubio, J. Real en ambo entido pero en lo que e imponen otra condicione obre dicha variación). También e reeñable que, hata donde conocemo, igualdade de energía (y no ólo deigualdade) para dicho problema e han obtenido ólo en cao lineale. En eta nota tratamo una ecuación del calor emilineal en un dominio no cilíndrico con eccione epaciale creciente con el tiempo. Obtenemo exitencia y unicidad de olución atifaciendo una igualdad de energía, baándono en un método de penalización imilar a [1]. Finalmente, bajo una hipótei adicional obre la fuerza externa, obtendremo acotacione uficiente para aegurar la exitencia de atractor pullback para el itema dinámico no-autónomo aociado. y Sea {O t } t R una familia de ubconjunto acotado no vacío de R N tale que Q,T := t (,T ) Ademá, denotamo Σ,T := < t O O t, (1) O t {t} e un ubconjunto abierto de R N+1 para cualquier T >. (2) t (,T ) Q := t (,+ ) O t {t}, R, O t {t}, Σ := t (,+ ) O t {t}, < T. Conideramo un problema de valor inicial para una ecuación del calor emilineal, con condición Dirichlet homogénea en la frontera: u t u + g(u) = f(t) en Q, u = 0 obre Σ, (3) u(, x) = u (x), x O, y para cada T >, conideramo el problema auxiliar u t u + g(u) = f(t) en Q,T, u = 0 obre Σ,T, u(, x) = u (x), x O, (4) donde R, u : O R y f : Q R on dado, y iendo g C 1 (R) otra función dada para la cuál exiten contante no negativa α 1, α 2, β y l, y p 2 tale que β + α 1 p g() β + α 2 p R (5) 2

3 Una ecuación del calor emilineal en dominio no-cilíndrico y g () l R. (6) Ello implica que exiten contante no negativa α 1, α 2, β tale que β + α 1 p G() β + α 2 p R, (7) donde G() := 0 g(r) dr. 2. Concepto de olución, igualdad de energía y alguno reultado previo Definimo lo epacio H r := L 2 (O r ) y V r := H 1 0 (O r) para cada r R y denotamo por (, ) r y r el producto ecalar uual y la norma aociada en H r y por ((, )) r y r el producto ecalar de lo gradiente y la norma aociada en V r repectivamente. Para cada < t conideramo V como un ubepacio cerrado de V t con la funcione de V extendida trivialmente por cero fuera de O. De (1) e tiene que {V t } t [,T ] e una familia de ubepacio cerrado de V T para cada T > con < t V V t. (8) También denotaremo por (, ) r la dualidad entre L p/p 1 (O r ) y L p (O r ). Ademá, H r erá identificado con u dual topológico H r a travé del teorema de Riez, y V r erá coniderado entonce un ubepacio de H r, donde cada v V r e identificado con el elemento f v H r definido por f v (h) = (v, h) r, h H r. La dualidad entre V r y V r e denotará por medio de, r. Finalmente, para cada T >, denotamo U,T := {φ L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ) : φ L 2 (, T ; H T ), φ() = φ(t ) = 0, φ(t) V t e.c.t. (, T )}, donde Q,T := O T (, T ), y uponemo dado u L 2 (O ) y f L 2 (Q,T ), con la extenione triviale (por cero) cuando ea conveniente. Definición 1 Una olución variacional de (4) e una función u que atiface C1) u L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ), C2) para toda φ U,T, [ (u(t), φ ] T (t)) T + ((u(t), φ(t))) T + (g(u(t)), φ(t)) T dt = (f(t), φ(t)) T dt, C3) u(t) V t e.c.t. (, T ), C4) lím t (t ) 1 u(r) u 2 T dr = 0. 3

4 P. E. Kloeden, P. Marín-Rubio, J. Real Definimo Q := T > Q,T. Definición 2 Una olución variacional de (3) e una función u : Q R tal que para cada T > u retricción a Q,T e una olución variacional de (4). Lo do reultado que e enuncian a continuación on pao previo para obtener una poible igualdad de la energía para la() olución(e) del(de lo) problema(). Lema 3 Supongamo que v L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ) y que exiten ξ L 2 (, T ; V T ) y η L p/p 1 ( Q,T ) tale que (v(t), φ (t)) T dt = ξ(t), φ(t) T dt (η(t), φ(t)) T dt para cualquier función φ U,T. Para cada 0 < h < T, e define v h como h 1 (v(t + h) v(t)) e.c.t. (, T h); v h (t) := 0 e.c.t. (T h, T ). Entonce lím h 0 (v h (t), w(t)) T dt = ξ(t), w(t) T dt + (η(t), w(t)) T dt para toda función w L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ) tal que w(t) V t e.c.t. (, T ). Lema 4 Sean v i L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ), i = 1, 2, do funcione tale que v i (t) V t e.c.t. (, T ) para i = 1, 2. Supongamo que exiten ξ i L 2 (, T ; V T ), η i L p/p 1 ( Q,T ), i = 1, 2, tale que (v i (t), φ (t)) T dt = ξ i (t), φ(t) T dt (η i (t), φ(t)) T dt i = 1, 2, para toda función φ U,T. Entonce, para cualquier par < t T de punto Lebegue de la función producto ecalar (v 1, v 2 ) T e tiene que = (v 1 (t), v 2 (t)) T (v 1 (), v 2 ()) T ξ 1 (r), v 2 (r) T dr lím h 0 h 1 (η 1 (r), v 2 (r)) T dr + h ξ 2 (r), v 1 (r) T dr (η 2 (r), v 1 (r)) T dr (v 1 (r + h) v 1 (r), v 2 (r + h) v 2 (r)) T dr. 4

5 Una ecuación del calor emilineal en dominio no-cilíndrico Tra el reultado anterior, obviamente e conigue el iguiente Corolario 5 Si u e una olución variacional de (4), entonce para todo punto Lebegue t (, T ) de u 2 T e tiene que u(t) 2 T + 2 = u 2 T + 2 u(r) 2 T dr + 2 (f(r), u(r)) T dr + lím h 0 h 1 (g(u(r)), u(r)) T dr h u(r + h) u(r) 2 T dr. De forma natural, nuetro objetivo e coneguir una olución variacional u de (4) tal que u(t) 2 T + 2 = u 2 T + 2 u(r) 2 T dr + 2 (g(u(r)), u(r)) T dr (f(r), u(r)) T dr e.c.t. t (, T ). (9) En tal cao diremo que u atiface la igualdad de la energía e.c.t. (, T ). Análogamente, i u e una olución variacional de (3), diremo que u atiface la igualdad de la energía e.c.t. (, + ) i para cada T > la retricción de u a Q,T atiface la igualdad de la energía (9) e.c.t. (, T ). Para cualquier función v L 2 (, T ; H T ) y cualquier t (, T ] e define η v,t (t) := lím up h 0 h h 1 v(r + h) v(r) 2 T dr. Obervación 6 η v,t e una función no decreciente. Por tanto, del Corolario 5, e deduce que una olución variacional u de (4) atiface la igualdad de la energía e.c.t. (, T ) i y ólo i η u,t (t) = 0 para todo t (, T ). En realidad, uando la continuidad de la aplicación t [, T ] u 2 T + 2 [ (f(r), u(r))t u(r) 2 T (g(u(r)), u(r)) T ] dr R, e tiene que una olución variacional u de (4) atiface la igualdad de la energía e.c.t. (, T ) i y ólo i η u,t (T ) = 0. El iguiente lema da una condición uficiente para que u atifaga la igualdad de la energía e.c.t. (, T ). Lema 7 Sea u una olución variacional de (4) y upongamo que exite una uceión {t n } (, T ) de punto Lebegue de u 2 T tal que t n T y lím up u(t n ) 2 T u 2 [ T + 2 (f(r), u(r))t u(r) 2 ] T (g(u(r)), u(r)) T dr. n Entonce, u atiface la igualdad de la energía e.c.t. (, T ). 5

6 P. E. Kloeden, P. Marín-Rubio, J. Real Propoición 8 Sean u y u do olucione variacionale de (4) con dato iniciale u, u L 2 (O ) repectivamente, y tale que atifacen la igualdad de la energía e.c.t. (, T ). Entonce u(t) u(t) 2 T + 2 u(r) u(r) 2 T dr e 2l(t ) u u 2 T e.c.t. t (, T ). Una conecuencia inmediata e el iguiente reultado de unicidad. Corolario 9 Dada u L 2 (O ), exite a lo má una olución variacional de (4) atifaciendo la igualdad de la energía e.c.t. (, T ). 3. Solución verificando la igualdad de energía a travé de un método de penalización Conideremo fijado un valor T > y para cada t [, T ] denotamo V t := {v V T : ((v, w)) T = 0 w V t } el ubepacio ortogonal de V t con repecto al producto ecalar en V T P (t) L(V T ) el proyector ortogonal de V T en Vt, con lo que y denotamo por P (t)v V t, v P (t)v V t, para cada v V T. Finalmente, e define P (t) = P (T ) para todo t > T, con lo que obérvee que P (T ) e el cero de L(V T ). Aproximaremo P (t) por operadore má regulare en tiempo. Conideremo la familia p(t;, ) de forma bilineale imétrica obre V T dada por p(t; v, w) := ((P (t)v, w)) T v, w V T, t. Gracia a (8), e puede probar que la aplicación [, + ) t p(t; v, w) R e medible para todo par v, w V T. Má aún, p(t; v, w) v T w T. Para cada entero k 1 y cada t e define 1/k p k (t; v, w) := k p(t + r; v, w) dr v, w V T, t, 0 y denotamo por P k (t) L(V T ) el operador aociado definido por ((P k (t)v, w)) T := p k (t; v, w) v, w V, t. La funcione {p k } k y lo operadore {P k } k tienen buena propiedade (no exponemo toda ella aquí por brevedad), como por ejemplo, que para cualquier uceión v k L 2 (, T ; V T ) débilmente convergente hacia v en L 2 (, T ; V T ), e tiene que lím inf p k (t; v k (t), v k (t)) dt p(t; v(t), v(t)) dt. k + 6

7 Una ecuación del calor emilineal en dominio no-cilíndrico Sea J : V T V T el iomorfimo de Riez Jv, w T := ((v, w)) T v, w V T, y para cada entero k 1 y cada t [, T ] denotamo A k (t) := + kjp k (t). Obviamente, A k (t) L(V T, VT ), t [, T ], e una familia de operadore lineale continuo tale que la aplicación t [, T ] A k (t) L(V T, VT ) e medible y acotada, y atiface A k (t)v, v T v 2 T v V T t [, T ]. Supongamo ahora dado u H T y para cada k 1 conideremo el problema (u k (t), v) T + = (u, v) T + A k (r)u k (r), v T dr + (g(u k (r)), v) T dr (f(r), v) T dr t [, T ], v V T L p (O T ). (10) El iguiente reultado e obtiene gracia a la monotonía de lo operadore decrito. Teorema 10 Supongamo que e atifacen (1), (2), (5) y (6). Entonce, para cada k 1, f L 2 (, T ; H T ) y u H T exite una única olución u k L 2 (, T ; V T ) L p ( Q,T ) de (10). Má aún, u k C([, T ]; H T ). Ademá, i u V T L p (O T ), entonce u k L (, T ; V T ) L (, T ; L p (O T )), u k L2 (, T ; H T ), y u k (t) 2 T dt + u k 2 L (,T ;V T ) +k ((P k (t)u k (t), u k (t))) T dt + 2 α 1 u k p L (,T ;L p (O T )) [ (3 + T ) u 2 T + k((p k ()u, u )) T + 2 α 2 u p L p (O T ) + 4 β O T + donde α 1, α 2 y β on contante dada en (7). ] f(r) 2 T dr, Como conecuencia del reultado anterior, haciendo k +, e tiene el iguiente Teorema 11 Bajo la condicione (1), (2), (5) y (6), para cada f L 2 (, T ; H T ) y u L 2 (O ) exite una única olución variacional u de (4) atifaciendo la igualdad de energía e.c.t. (, T ). Ademá, u C([, T ]; H T ) y atiface la igualdad de la energía (9) para todo t [, T ]. Má aún, i u V L p (O ), entonce u también verifica u L (, T ; V T ) L (, T ; L p (O T )), u L 2 (, T ; H T ). 4. Exitencia de D λ1 atractor pullback Por brevedad en eta nota ólo damo equemáticamente alguna indicacione de nuetro reultado obre exitencia de atractor (para lo detalle, véae [3]). Supongamo que T > + 1 y f L 2 loc (RN+1 ) atiface C f,t := up t T t 1 f(r) 2 T dr < +. (11) 7

8 P. E. Kloeden, P. Marín-Rubio, J. Real Entonce, para cualquier u L 2 (O ) la correpondiente olución variacional u de (4) atifaciendo la igualdad de la energía en (, T ) también cumple que u(t) V T + 1 t T, y u(t) 2 T α 3 u 2 e λ 1,T ( t+2) + [4 β + 2α 3 β(1 + λ 1 1,T )] O T ( α 3 λ 1 1,T (1 e λ 1,T ) 1) C f,t, (12) para todo + 1 t T, donde α 3 := (1 + α 2 α 1 1 ), y iendo λ 1,T el primer autovalor del operador en O T con condicione de Dirichlet homogénea. Definimo entonce la aplicación U(t, )u := u(t;, u ), < t < +, u H, que gracia a lo reultado previo, genera un proceo U(, ) para la familia de epacio de Hilbert {H t ; t R}, i.e. U(t, ) : H H t e continuo para todo par t, U(, ) =Id, para todo R, y e cumple que U(t, ) = U(t, r)u(r, ) para toda terna r t. Entonce, la teoría de D atractore pullback puede er adaptada a ete marco nocilíndrico iendo el univero D = D λ1 definido como la clae de toda la familia D = {D(t); D(t) H t, D(t), t R} tale que D(t) B(0, r D(t)) para algún r D R λ1, donde B(0, r D(t)) e la bola cerrada de H t de centro el origen y radio r D(t), y donde R λ1 e el conjunto de toda la funcione r : R (0, + ) tale que lím t etλ 1,t r 2 (t) = 0, iendo λ 1,t el primer autovalor del operador en O t con condición Dirichlet homogénea en la frontera. La acotación (12) implica que exite una familia pullback aborbente formada por acotado de V t y por tanto compacto de H t, de donde Teorema 12 Supongamo que e atifacen la hipótei del Teorema 11 y que f L 2 loc (RN+1 ) verifica (11). Entonce exite un único D λ1 atractor pullback para el proceo U, y pertenece a D λ1. Agradecimiento Trabajo parcialmente ubvencionado por el Miniterio de Educación y Ciencia, proyecto MTM Peter Kloeden también fue parcialmente ufragado por el mimo Miniterio dentro del Programa de Movilidad del Profeorado univeritario epañol y extranjero, ayuda SAB Referencia [1] M. L. Bernardi, G. A. Pozzi and G. Savaré, Variational equation of Schroedinger-type in noncylindrical domain, J. Differential Equation 171 (2001), [2] S. Bonaccori and G. Guatteri, A variational approach to evolution problem with variable domain, J. Differential Equation 175 (2001), [3] P. E. Kloeden, P. Marín-Rubio and J. Real, Pullback attractor for a emilinear heat equation in a non-cylindrical domain, J. Differential Equation 244 (2008),

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