Modulo I: Oscilaciones (9 hs)

Transcripción

1 Modulo I: Oscilaciones (9 hs 1. Movimieno rmónico Simple (MS. Oscilaciones moriguadas 3. Oscilaciones forzadas y resonancia 4. Superposición de MS 3.1 Oscilaciones forzadas 3. Esado ransiorio y esado esacionario 3.3 Resonancia 3.4 oencia suminisrada al oscilador 3.5 acor de calidad y ancho de la resonancia Biliografía: Tipler y Mosca Capíulo 14 17//1 Masoller, II 1

2 3.1 Oscilaciones forzadas Sore el sisema, además de la fuerza elásica y de la fuerza viscosa, acúa una fuerza exerna periódica ( forzamieno que maniene la oscilación (sino evenualmene el sisema se deiene. v kx d x d ma m dx d cos k m x x x x ( arámero de amoriguamieno: m recuencia angular naural del sisema: ma cos / m cos /( m k / m Ecuación diferencial ordinaria de º orden lineal y NO homogénea recuencia angular de la fuerza exerna: 17//1 Masoller, II

3 Solución de Solución general de la ecuación dif. no homogénea x( x ( x ( h x x x ( Solución de la ecuación dif. homogénea p / m cos Solución paricular de la ecuación dif. no homogénea x x x x h ( he cos( h h Esado ransiorio: oscilación amoriguada x p ( cos( Esado esacionario: MS de frecuencia angular 17//1 Masoller, II 3

4 3. Esado ransiorio y esado esacionario x( xh( xp( h e cos( h h cos( Oscilación MS amoriguada h y h son consanes que dependen de las condiciones iniciales x( y v(. y NO dependen de las condiciones iniciales. Luego de un ciero iempo (4-5, =1/ el esado ransiorio desaparece y queda solo el esado esacionario. Calculamos y susiuyendo en la ecuación diferencial: x( cos( x sin( x cos( x x x ( / m cos cos( sin( cos( ( / m cos 17//1 Masoller, II 4

5 Deerminación de y Junando érminos ( cos( sin( ( / m cos cos( cos cos sin sin Usamos que sin( sin cos cos sin cos( sin( cos( ( / m cos cos cos sin sin sin cos cos sin ( / m cos ( Reordenamos érminos ( cos sin / m cos ( sin cos sin [coeficiene 1] cos + [coeficiene ] sin = Esa igualdad se verifica para odo iempo si y solo si los dos coeficienes son nulos 17//1 Masoller, II 5

6 17//1 Masoller, II 6 4 / m an Deerminación de y cos sin ( / sin cos ( m sin cos ( / m Usamos que ( ( an 1 1 cos ( ( an 1 an sin Y susiuimos en la Ecuación (I Ecuación (I ( ( ( ( ( / m coeficiene 1 coeficiene

7 La ampliud ( y la fase ( dependen de la frecuencia angular del forzamieno exerno ( x( cos( 4 an / m 1 3 cos 1 cos cos 3 17//1 Masoller, II 7 Línea negra: (, línea de color, x(

8 Ejemplo: máquina giraoria (M que iene un elemeno (m que no esa equilirado m realiza un MCU, x ( es un MS x acos( El reso de la máquina (M-m realiza una fuerza sore m ma m aceleración de m Ecuación del movimieno de el reso de la máquina: ( M m x donde m( x i x m( x kx x or la 3ª Ley de Newon, m hace una fuerza conraria (- sore el reso de la máquina (M-m x i kxx m( x x ( M m x kxx m x Mx M x x kx m ma cos( 17//1 Masoller, II 8 x x acos( Oscilación forzada con =m a

9 3.3 Resonancia (m En un oscilador forzado la ampliud de oscilación es función de la frecuencia del forzamieno: 6 x Si (forzamieno muy leno: /m = /m(k/m= /k Si (forzamieno muy rápido: 4 Hay una frecuencia de forzamieno que nos da una ampliud de oscilación máxima. es máximo cuando el denominador es mínimo max max = frecuencia de resonancia en ampliud max depende de = /15 = /6 = /3 / m = 36 rad s -1 /m=1 m Si << max (rad/s 17//1 Masoller, II 9

10 Resonancias caasróficas Millenium Bridge hp:// XW8 Tacoma Bridge hp:// rolema 7 Después de colocar un moor elécrico de masa M=18 kg sore una viga horizonal, ésa se flexiona Δx=6 mm. Deerminar: a Velocidad angular (en rpm que deemos eviar para que el sisema no enre en resonancia. Si el roor del moor iene una masa m=8 kg y esá descenrado una disancia a=.5 cm, qué ampliud endrán las oscilaciones de la viga cuando el moor gire a 35 rpm? (suponer β << ω Solución: = 386 rpm = 1.3 cm 17//1 Masoller, II 1

11 Desfasaje enre el forzamieno, (, y la velocidad de la parícula, v( En el esado esacionario: 17//1 Masoller, II 11 1 an 1 an an cos( ( x cos( / cos( sin( ( v cos( ( cos ( v es el desfasaje enre la fuerza y la velocidad an

12 Impedancia ( del oscilador 17//1 Masoller, II 1 cos( cos( ( max v v k m 4 m max 4 / ( m v 4 / m /( m k / m es mínimo cuando = : min = v max v max máxima mínimo ejercicio cos v max max,

13 Resonancia en energía. Gráfica de v max = = o / v max / m 4 Máximo en La energía cinéica del oscilador es proporcional al cuadrado de su velocidad máxima k m (rad m/s =/3 =/6 =/15 /m =1, = 36 rad s -1 Definición: Un oscilador esá en resonancia cuando su energía cinéica es máxima (rad/s Condición de resonancia: frecuencia del forzamieno exerno = frecuencia naural del oscilador k / m 17//1 Masoller, II 13

14 En resonancia se cumple que: Represenación fasorial 1 k / m cos cos m 4 x cos( an 4 / m v( cos( an m Desfasaje enre x( y ( / m / m / m ( / m Desfasaje enre v( y ( x( cos( 6 an vmax v( cos( 17//1 Masoller, II 14

15 3.4 oencia suminisrada al oscilador En el esado esacionario el movimieno es un MS La energía del oscilador es consane La poencia suminisrada por la fuerza exerna es igual a la poencia disipada por la fuerza de fricción cos a cos acos sin asin v cos cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin ( cos cos Oservar que la poencia suminisrada por unidad de iempo (insanánea puede ser negaiva en algún momeno de la oscilación 17//1 Masoller, II 15 cos a cos cos cos cos sin sin 1 cosa, 1 cos cos sin a cos a sina sin sin a cos acos sin asin

16 oencia media suminisrada cos / cos T 1 T T d 1 cos d cos d T / d Valor medio del cos(- en una oscilación = 4 ( / m La gráfica de la poencia media suminisrada es similar a la gráfica de la energía: 1 máximo en y ancho aumena con T 1 cos cos d T La poencia media suminisrada es posiiva (es = no hay fricción ( = /15 = /6 = /3 cos cos = 36 rad s -1 /m=1 m (rad/s 17//1 Masoller, II 16

17 f( 3.5 acor de calidad y ancho de la resonancia res /( m En resonancia es mínimo ( res = Es una magniud normalizada enre y 1 m 4 ( Res Se puede demosrar que si << el ancho de la resonancia es acor de calidad si << : Q En resonancia es máximo 17//1 Masoller, II res = /15 = /6 = / (rad/s Q

18 Resumen: oscilaciones forzadas Cuando un sisema ligeramene amoriguado se ve forzado a oscilar por la acción de una fuerza exerna periódica, el sisema oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza exerna y con una ampliud que depende de la frecuencia de esa fuerza. ma kxv /( m cos k / m x( e cos( cos( x x x ( / m cos h h h En esado esacionario: Resonancia: Transiorio: oscilación amoriguada v( cos( an Esacionario: MS an / m 4 17//1 Masoller, II 18

19 (m Resumen Resonancia mpliud de la oscilación Velocidad máxima = 6 x = /15 = /6 = /3 (rad m/s =/3 =/6 =/ (rad/s 4 / m (rad/s m 4 17//1 Masoller, II 19

20 f( Resumen Resonancia oencia media oencia media normalizada = /15 = /6 = / = /15 = /6 = /3 ( (rad/s cos (rad/s Q 17//1 Masoller, II ( Res Q

21 regunas V 1. En régimen esacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el amoriguamieno es igual a la inroducida por la fuerza oscilane.. La poencia media suminisrada a un oscilador forzado decae exponencialmene con el iempo. 3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un ejemplo de oscilador resonane. 4. Si ω < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor que ω. 5. Después de un periodo ransiorio, la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado es 6. Las unidades del facor de calidad de un oscilador son las mismas que la de la frecuencia angular. 7. En el esado esacionario, si ω iende a ω el desfase enre la fuerza impulsora y la velocidad iende a cero. 17//1 Masoller, II 1

22 Superposición de MS 4.1 Linealidad y rincipio de Superposición 4. Superposición de dos MS en la misma dirección 4.3 Superposición de dos MS en direcciones perpendiculares Biliografía: 1. punes del rofesor Calaf en enea,. Guion de la pracica de laoraorio, 3. ísica con Ordenador: hp:// hp:// 17//1 Masoller, II