Ejercicios para el tema de Continuidad. 1. En cada uno de los siguientes casos, encontrar un tal que, f ( x) iv)

Transcripción

1 Ejercicios pr el tem de Continuidd. En cd uno de los siguientes csos, encontrr un tl que, f ( ) l pr todo que stisfce 0 i) ii) f ( ) ; l f( ) ;, l iv) f( ) Sen ; 0, l 0 v) f ( ) ; 0, l 0 iii) f ( ) ;, l vi) f ( ) ;, l Los siguientes ejercicios los puedes consultr en el libro: Cálculo de Arizmendi, Crrillo y Lr.. Determínese si ls siguientes funciones son continus en donde se indic: f( ) [0,] en 0 h ( ) 0 0 en 0 0 g ( ) [0,] ( ) [,] en 0 d) k ( ) s( ) (, b] t( ) [ b, en 0 (Si s ( ) y t( ) son continus en b ) b. Usndo directmente l definición de función continu, medinte el límite, demuestre que ls funciones siguientes son continus en el punto indicdo. f ( ) 5 en 0 g( ) en 0 f ( ) 5 en 0 0 d) g( ) en 0

2 e) h ( ) en 0 f) k( ) en 0 g) f( ) k en 0, k 0 h) g( ) [ ] en i) h( ) en 0 j) f ( ) 5 en 0 (Ver ejemplo de l págin 05) 4 Resuelv lo siguiente: Los ejercicios siguientes los puedes consultr en el Libro de Cálculo de M. Spivk. Es cierto que si f es continu, entonces f es continu? Si f es un función que stisfce f ( ). Demostrr que f es continu en 0. (Obsérvese que f (0) debe ser igul 0). Dr un ejemplo de un función que no se continu en ningún punto, ecepto en 0. d) Si g es continu en 0, g (0) 0 y f ( ) g( ). Demostrr que f es continu en 0. e) Dr un ejemplo de un función f que no se continu en ningún punto, pero tl que f se continu en todos los puntos. f) Pr todo número, hllr un función que se continu en, pero que no lo se en ningún otro punto. h) Hllr un función f que se discontinu en,,,..., pero continu en todos los demás puntos. i) Hllr un función f que se discontinu en,,,..., y en 0, pero continu en todos los demás puntos. 5. Supóngse que f stisfce que f ( y) f ( ) f ( y ) y que f es continu en 0, demostrr que f es continu en,.

3 6. Demostrr que si f es continu en, entonces tmbién lo es f. Demostrr que tod función continu f puede escribirse como l sum de dos funciones continus, un pr y l otr impr. Demostrr que si f y g son continus, tmbién lo son: m( f, g ) y min( f, g ). 7. Supóngse que g y h son continus en, y que g( h( ). Defínse f( ) como g ( ) si y h ( ) si. Demostrr que f es continu en. Supóngse que g es continu en [ b,, ] h es continu en [ bc, ] y g( h( b ). Se f( ) g( ) si [, b]. Demostrr que f ( ) es h( ) si [ b, c ] continu en [ c., ] (Así pues ls funciones continus puede soldrse ). 8. Si lim f( ) eiste, pero es distinto de f( ), entonces se dice que f( ) tiene un discontinuidd evitble en. Si f( ) sen pr 0 y f (0), Tiene f un discontinuidd evitble en 0?, Y si f( ) sen pr 0 y f (0)?. Demostrr que tod función continu f puede escribirse como l sum de dos funciones continus, un pr y l otr impr. Supóngse que f tiene un discontinuidd evitble en. Se f ( ) g( ) pr y se g ( ) lim f( ). Demostrr que g es continu en. (No tomrse demsido trbjo; esto es muy fácil). 9. Pr cd un de ls siguientes funciones polinómics f, hllr un entero n, tl que f( ) 0 pr lgún entre n y n+. f ( ) f 5 4 ( ) 5 5 f ( ) d) f ( ) 4 4

4 0. Demostrr que eiste lgún número, tl que: cos( ) d) 4 ( ). Supóngse que f y g son continus en [ b, ] y que f ( g( ), pero f ( g( b ). Demostrr que f ( ) g( ) pr lgún [, b ]. (Si l demostrción no es muy cort es que no está bien).. Supóngse que f es un función continu en [0,] y que f( ) está en [0,] pr todo. Demostrr que f( ) pr lgún número.. Sen f y g dos funciones tles que f g es continu en. Son f y g necesrimente continus en? 4. Sen f y g dos funciones tles que fg es continu en. Son f y g necesrimente continus? Los siguientes ejercicios los puedes consultr en el libro: Cálculo de Arizmendi, Crrillo y Lr. 5. Se f :(, R continu en 0 (, b ). Pruébese que si f( ) 0, entonces eiste un vecindd de 0 en donde f es positiv. 6. Ve si en los siguientes incisos se cumple el teorem del vlor intermedio y en ese cso, clcule un vlor intermedio. f ( ) en [,] h( ) 4 4 en [0,] d) g( ) en [0,] k( ) en [,] 7. Pruebe que ls ecuciones dds, tiene un ríz en el intervlo que se señl: en [.,0.] en [.,.5] en [.,.5]

5 d) e) sen( ) 0 en [,] cos( ) 0 en [,.5] Ejercicios opcionles. Hllr el supremo y el ínfimo (si eisten) de los siguientes conjuntos. Igulmente encontrr los máimos y mínimos (si eisten). Septiembre 00