1. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su continuidad en x = 1:

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1 Mtemátics II UNIDAD : Continuidd de ls unciones ACTIVIDADES INICIALES-PÁG 96 Represent gráicmente l guiente unción y estudi su continuidd en : > En l imgen oservmos que l unción es discontinu en Los ites lterles en son distintos En cd cso, hll que vlor dee tener l unción en - pr que se continu en él: g L unción y no está deinid en - El ite en ese punto vle: Si deinimos - - l unción es continu en - L unción y g no está deinid en - El ite en ese punto vle: g Si deinimos g - - l unción es continu en - Estudi l continuidd de l guiente unción deinid trozos: 9

2 Mtemátics II 5 7 < < Estudimos l continuidd en los puntos de scis - y En el resto de puntos l unción es continu l ser unciones polinómics ls que precen en su deinición Estudimos los ites lterles en - : 6 5 Como los ites lterles son distintos, l unción no es continu en - Estudimos los ites lterles en : 5 7 Como los ites lterles coinciden y, demás -, l unción es continu en Por tnto, l unción es continu pr culquier número rel ecepto pr - Puede verse en su gráic 9

3 Mtemátics II ACTIVIDADES de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG Primos gemelos Hy ininitos pres de números primos gemelos, es decir, de primos cuy dierenci es Ejemplo: 7 y 5 son primos gemelos, y que 7 5 Encuentr cutro pres de primos gemelos Est es un conjetur que está n demostrr Hst el número podemos encontrr vrios primos gemelos: 5 y 7; y ; 7 y 9; 9 y ; y ; 7 y 7 Número primos generdos El polinomio n n, cuy indetermind n es enter, gener números primos cundo n v desde hst Este polinomio, gener primos pr culquier entero n? En eecto, el polinomio n n gener número primos pr vlores de n comprendidos entre y Por ejemplo: n 5, entonces 5 5 6, que es un número primo Pr culquier vlor de n no gener números primos, pues, por ejemplo, pr n, que es un número compuesto Número mágico Tom un número de tres cirs Form el número que se otiene l escriir l derech del nterior el número repetido Este número de 6 cirs lo dividimos por 7 y el cociente otenido, por, y el último cociente, por Qué se oserv? Tommos un número de tres cirs culquier, 79, y le plicmos lo que dice el prolem y otenemos: Oservmos que otenemos el número de prtid Vemos que esto se cumple con culquier número y pr ello prtimos de un número culquier yz yzyz y z y z y z 7 yz Por tnto, l dividir yzyz por 7, por y por, otenemos el número de prtid yz Conjetur de Colltz o n Compruél pr los vlores de n: 7,, 7 y Indicmos con y sí sucevmente por cuestiones de escritur Pr n 7: 7 ; 7 ; 7 ; 7 7; 5 7 5; 6 7 6; 7 7 ; 7 ; 9 7 ; 7 ; 7 5; 7 6; 7 ; 7 ; 5 7 ; 6 7 Pr n : 6; ; ; 5; 5 6; 6 6 ; 7 ; ; 9 Pr n 7: 7 5; 7 6; 7 ; 7 ; 5 7 ; 6 7 ; 7 7 5; 7 6; 9 7 ; 7 ; 7 ; 7 9

4 Mtemátics II Pr n : 5; 6; ; 7; 5 5; 6 6; 7 5; 6; 9 ; ; ; ; 5; 6; 5 ; 6 ; 7 ; 7 ; ACTIVIDADES de NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG Estudi, de orm nlític y gráic l continuidd de l unción cos < π / sen π / π Hllmos los ites lterles en y otenemos: π cos y sen π π En l imgen pueden verse los vlores de los ites determindos con l Vist Cálculo Simólico CAS: Representmos gráicmente l unción y otenemos: En l imgen puede verse que l unción no es continu en π 9

5 Mtemátics II Hll el vlor de pr el cul est unción es continu en todo R, > Hllmos los ites lterles en y hcemos coincidir el vlor de estos Resolvemos l ecución resultnte y otenemos que est unción es continu pr, como podemos ver en l imgen 9

6 Mtemátics II Pr otros vlores del prámetro l unción es discontinu 9

7 Mtemátics II ACTIVIDADES de NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG Estudi, de ls dos orms, nlític y gráic, l continuidd de ls unciones guientes: π sen 6 < < π L unción present dos discontinuiddes en y - Hllndo los ites, como vemos en l imgen tenemos que en present un discontinuidd evitle y en - un discontinuidd no evitle de primer especie con slto ininito En l guiente gráic podemos ver l discontinuidd en - 95

8 Mtemátics II Pr est unción trozos estudimos l continuidd en y en En l imgen vemos que pr es continu y no lo es pr Por tnto l unción es continu en todo su dominio ecepto en En l gráic vemos l continuidd de l unción 96

9 Mtemátics II ACTIVIDADES FINALES-PÁG 6 Estudi l continuidd lterl de ls unciones representds en ls gráics, en los puntos de scis -,, L unción y : Es continu por l izquierd en -, y que se cumple: No es continu por l derech en -, l cumplirse: Es continu por l izquierd y por l derech en, y que se cumple: Es continu por l izquierd en, y que se cumple: No es continu por l derech en, l cumplirse: L unción y g : Es continu por l izquierd y por l derech en -, y que se cumple: g g g No es continu por l izquierd en, y que se cumple: g g Es continu por l derech en, y que se cumple: g g No es continu por l izquierd en, y que se cumple: g g Es continu por l derech en, y que se cumple: g g L unción y h : 97

10 Mtemátics II No es continu por l izquierd en -, y que no está deinid Es continu por l izquierd en, y que se cumple: h h No es continu por l derech en, y que se cumple: h h Es continu por l izquierd en, y que se cumple: h h No es continu por l derech en, y que no está deinid Anliz l continuidd de ls guientes unciones en los intervlos que se indic: < < en [, ] g en [, c h en [-, ] L unción y es continu en [, y que: - Es continu en el intervlo, - Es continu por l derech en : - No es continu por l izquierd en : L unción y g es continu en, c L unción y h es continu en [-, ] y que: - Al serlo en : h - Es continu por l derech en - : h - Es continu por l izquierd en : h Clcul k, en cd cso, de modo que ls guientes unciones sen continus en todo R k > c k k k > 9

11 Mtemátics II L unción y es continu el culquier punto no nulo l ser sus epreones polinomios Estudimos l continuidd en Hllmos los ites lterles en el punto citdo y otenemos: k k k L unción y es continu el culquier punto, distinto de, l ser l epreón rcionl Estudimos l continuidd en Hllmos el ite en y otenemos: c L unción y es continu el culquier punto, distinto de, l ser sus epreones polinomios y rcionles Estudimos l continuidd en Hllmos los ites lterles en el punto citdo y otenemos: k o k k k k k k k Estudi l continuidd de ls guientes unciones pr los distintos vlores del prámetro > > e L unción y es continu pr culquier vlor del prámetro endo distinto de l ser sus epreones unciones polinómics Vemos que ocurre en : Estudio: Si - l unción y es continu en todo R Si - l unción y es continu en R {} L unción y es continu pr culquier vlor del prámetro endo distinto de l ser sus epreones unciones eponenciles o polinómics Vemos que ocurre en : e Estudio: Si l unción y es continu en todo R 99

12 Mtemátics II Si l unción y es continu en R {} 5 Anliz y descrie los puntos de discontinuidd de l unción y representd en l gráic L unción y es discontinu en: -, donde present un discontinuidd no evitle con slto ininito, donde present un discontinuidd no evitle con slto inito, donde present un discontinuidd evitle, donde present un discontinuidd evitle

13 Mtemátics II ACTIVIDADES FINALES-PÁG 7 6 Determin el vlor de los prámetros y pr que ls unciones que guen sen continus en sus dominios de deinición < < / cos < < ln e Estudimos l continuidd en y Otenemos: cos Los vlores uscdos son y Estudimos l continuidd en y Otenemos: e e e [ ] ln ln ln Resolviendo el stem resultnte en ls incógnits y, otenemos y 7 Hll los puntos de discontinuidd de ls guientes unciones y clíclos: > e c > < < < 5 Los resultdos son: En - l unción tiene un discontinuidd no evitle con slto ininito En present un discontinuidd evitle En l unción tiene un discontinuidd no evitle con slto inito c En l unción tiene un discontinuidd no evitle con slto inito

14 Mtemátics II En l unción present un discontinuidd evitle l no estr deinid en ese punto y tener ite Si l unción y es continu en y <, eiste un entorno de en el cul es negtiv? Por el teorem de conservción del gno, como es continu en y, eiste un entorno de en el cul el gno de es el mismo que en, en este cso negtivo 9 Estudi ls guientes unciones veriicn el teorem de Bolzno en los intervlos indicdos en cd un de ells: en [-, ] sen en, π L unción es continu en [-, ] y demás < y >, es decir, veriic ls hipótes del teorem de Bolzno Por tnto, eiste c -, de modo que c π π L unción sen es continu en [, π/] y cumple > y >, por tnto, no veriic ls hipótes del teorem de Bolzno No podemos segurr que eist un vlor que nule l unción en el intervlo ddo Anliz ls guientes ecuciones tienen soluciones en los intervlos ddos: e en [, ] ln en [, ] L unción e es continu en [, ] y demás e > y 6 e <, por tnto, veriic ls hipótes del teorem de Bolzno Eiste c, de modo que c, es decir, l ecución dd tiene solución en ese intervlo L unción ln - es continu en [, ] y demás - < y - ln <, por tnto, no veriic ls hipótes del teorem de Bolzno No podemos segurr que l ecución dd teng solución en el intervlo citdo L unción y sec tom vlores de distinto gno en los etremos del intervlo [π/, π/] pero no se nul en ningún punto de este intervlo Contrdice esto el teorem de Bolzno? Pr que se cumpl l tes del teorem deen cumplirse ls hipótes En es tución l unción sec no es continu en cos el intervlo del enuncido Tiene un discontinuidd no evitle con π π π slto ininito en, l cumplirse: y π cos π cos Al no ser continu l unción, unque tome vlores de distinto gno en los etremos del intervlo, no se nulrá en ningún punto del citdo intervlo

15 Mtemátics II En l gráic puede verse lo que ocurre Rzon que ls gráics de ls unciones 5 y g e se cortn en lgún punto con scis entre y Si y g se cortn en un punto con scis c -,, l unción F g tendrá un cero en c, es decir: F c c - g c L unción F 5 - e cumple: F < e F > Como F es continu en [-, ], por el teorem de Bolzno eiste c -, tl que F c, por tnto c g c L scis del punto en el que se cortn ls gráics de y g es c Puede verse en el diujo djunto Sen y g dos unciones continus en [, ] y tles que > g y < g Demuestr que eiste un vlor c, tl que c g c Se l unción F deinid por F g Est unción cumple: - Por ser ls unciones y g continus en [, ], l unción F - g es continu en [, ] - Al ser > g se cumple que F g > - Al ser < g se cumple que F g < Por cumplirse ls tres condiciones nteriores, según el teorem de Bolzno, eiste l menos un c, tl que: F c c g c c gc Se l unción, puede irmrse que eiste un vlor c, tl que c 6 L unción y, por ser polinómic, es continu pr culquier número rel Además, y Según el teorem de Drou o de los vlores intermedios, como 6 está entre y, eistirá un número c, tl que c 6 5 Prue que l unción tom el vlor en lgún vlor del intervlo π π, sen

16 Mtemátics II L unción y, por ser cominción de unciones continus, es continu pr culquier número rel Además: π sen π π sen π Según el teorem de Drou o de los vlores intermedios, como está entre - π/ y π/, eistirá un número c π π, tl que c 6 Es continu l unción estos intervlos? en el intervlo [, ]? Y en el intervlo [, ]? Está cotd en L unción no es continu en [, ], puesto que no es continu en L unción sí es continu en [, ], por lo que podemos segurr, por el teorem de cotción en un intervlo cerrdo que está cotd en [, ] 7 Se puede irmr que l unción intervlo [-, ]? está cotd en el intervlo [, ]? Y en el L unción dd no es continu en, por tnto no es continu en el intervlo [, ], no podemos irmr que esté cotd En cmio es continu en el intervlo [-, ], por lo que podemos segur, por el teorem de cotción en un intervlo cerrdo que está cotd en [-, ] Justiic cuáles de ls guientes unciones tienen máimo y mínimo soluto en el intervlo correspondiente En el cso de tener etremos solutos, encuéntrlos 5 en [-, ] c h - en [-, ] 5 g en [, ] d i en -, L unción y, por ser polinómic, es continu pr culquier número rel, y, por tnto lo es en el intervlo [-, ] El teorem de Weierstrss no segur que: Un unción continu en un intervlo cerrdo, lcnz en este el máimo y el mínimo soluto

17 Mtemátics II En este cso, el máimo soluto es el punto -, y el mínimo soluto es, L unción y g no es continu en el intervlo [, ] y que en present un discontinuidd no evitle con slto ininito En este cso no podemos plicr el teorem de Weierstrss c L unción y h, por ser polinómic, es continu pr culquier número rel, y, por tnto, lo es en el intervlo [-, ] Aplicndo el teorem de Weierstrss otenemos el máimo soluto es el punto, y el mínimo soluto es -, - d En este cso no podemos plicr el teorem de Weierstrss l ser el intervlo ierto 9 L unción tg no tiene máimo soluto en el intervlo [, π] Contrdice este hecho el teorem de Weierstrss? π No contrdice el teorem de Weierstrss, puesto que tg no es continu en ; por tnto, no es continu en el intervlo [, π] Deido esto, no se le puede plicr el teorem de Weierstrss ACTIVIDADES ACCESO UNIVERSIDAD-PÁG Estudi l continuidd de l unción g o, endo y g ls unciones deinids en R por: g < 5

18 Mtemátics II L unción y es < > L unción g o es g > Est unción es continu pr culquier número rel Estudi l continuidd de l unción: < > Teniendo en cuent el vlor soluto del enuncido podemos deinir l unción en l orm: < < > Ls epreones de l unción son polinomios, por tnto, estudiremos l continuidd en los puntos en los que cmi de epreón l unción En -, - y los ites lterles son: y En -, - y los ites lterles son: y En, y los ites lterles son: y Concluimos que l unción es continu en R - {} L unción posee un discontinuidd evitle en Hll y y estudi el resto de discontinuiddes que puedn precer en l unción Al presentr un discontinuidd evitle en, deemos estudir el ite de l unción en el citdo punto Otenemos: 6

19 Mtemátics II El numerdor y el denomindor deen nulrse: y - ; es decir, 5 y Pr estos vlores l unción es: 5 7 Est unción present discontinuiddes evitles en y Además present un discontinuidd no evitle de primer especie con slto ininito en - 7; l cumplirse: y y Hll los vlores de y pr que se pued plicr el teorem de Bolzno l guiente unción: sen cos cos π < π π < π Clcul el punto c - π, π en el que l unción se nul L unción tiene que ser continu y pr ello dee cumplirse: sen cos π π cos cos L otrs hipótes tmién se cumple: - π > y π - < Clculmos el vlor c - π, π tl que c : sen sen -, est ecución no tiene soluciones π cos cos, π cos cos, est ecución no tiene soluciones 7

20 Mtemátics II En l imgen puede verse que π c 5 Se puede plicr el teorem de Bolzno l unción en lgún intervlo? Demuestr que l unción nterior y g se cortn en l menos un punto L unción es continu en todo R, y que el denomindor nunc se nul Como > pr todo R, no se puede plicr el teorem de Bolzno en ningún intervlo Si y g se cortrn en lgún punto, pr ese vlor de, se cumplirí: Llmmos, unción continu en R Como F y F, l unción F cmi de gno en, l menos, un R, por lo que, según el teorem de Bolzno, F c, lo que indic que c g c; es decir, y g se cortn, l menos, en ese punto c Todo lo nterior puede verse en ls imágenes Comprue que l unción tg tom el vlor en el intervlo este intervlo pr el cul c 6, π y clcul el vlor c de L unción y es continu en el intervlo, π π Además, y

21 Mtemátics II π Según el teorem de Drou o de los vlores intermedios, como está entre y eistirá un número c, π tl que c Clculmos el vlor c citdo: tg c tg c tg c tg c c π rd 6 7 Prue que l unción e tom todos los vlores del intervlo [, e ] Oservmos que se cumple: - L unción se nul, es decir, e pr - L unción tom el vlor e, es decir e e pr L unción dd es continu en el intervlo [, ], plicndo el teorem de Drou, podemos irmr que lcnz todos los vlores del intervlo [, ] [, e ] Demuestr que l unción π sen vle en lgún punto del intervlo, Mencion los resultdos teóricos empledos y justiic su uso π L unción sen es continu en, por ser compoción de unciones continus Oserv que el rdicndo es empre potivo en, Los vlores que tom l unción en los etremos del intervlo son: 9

22 Mtemátics II π sen π sen π sen sen π Por el teorem de Drou o de los vlores intermedios, tom todos los vlores comprendidos entre y, en prticulr,, es decir, eiste c, tl que c 9 Demuestr que l ecución π e tiene solución en, Lo cumple tmién l ecución φ e, endo φ el número de oro? Pr ver l ecución π e tiene soluciones en,, vemos l unción π e veriic ls hipótes del teorem de Bolzno en [, ]: - es continu en [, ] - π e e < - π e π e > Por tnto, veriic ls hipótes de Bolzno y eistirá c, tl que, es decir, π c e Pr ver l ecución φ e tiene soluciones en,, vemos l unción φ e veriic ls hipótes del teorem de Bolzno en [, ]: - es continu en [, ] - φ e e < - φ e φ e < Como los gnos de y de coinciden, no se puede plicr el teorem de Bolzno y no podemos segurr que eiste un solución en, L unción lcnz máimo y mínimo solutos en el intervlo [-,? En cso irmtivo, hálllos L unción es continu en el intervlo ddo, por el teorem de Weierstrss, l unción lcnz el máimo y el mínimo solutos en ese intervlo El máimo soluto es y lo lcnz en y el mínimo soluto es y lo lcnz pr o - Demuestr que lgun de ls ríces del polinomio P es negtiv

23 Mtemátics II Demuestr que P tiene lgun ríz potiv L ríces de P son los ceros de l unción F, unción continu y derivle en R Se cumple: F - < > Por el teorem de Bolzno, eiste El vlor c es un ríz negtiv de P En este cso, se cumple: F - < > Por el teorem de Bolzno, eiste, El vlor c es un ríz potiv de P Lo nterior puede verse en l imgen que gue c, tl que F c c tl que F c PROYECTO DE INVESTIGACIÓN-PÁG 9 Un propiedd de ls cúics Utilizndo lgún medio tecnológico clculdor gráic o progrm con representción gráic represent l unción cúic 9 75 y hll l Ventn gráic decud pr que el

24 Mtemátics II diujo de l gráic prezc como se muestr en l imgen Cuáles son ls ríces de l unción y? Conirm los vlores utilizndo el teorem del resto Tom ls ríces de dos en dos y hll ls ecuciones de ls rects tngentes en los puntos de scis igul l medi ritmétic de cd pr de ríces c Hll el punto donde cd un de ests rects tngentes cort de nuevo l curv Ocurre empre lo mismo se cul se el pr de ríces utilizdo? Ocurre lo mismo pr otrs unciones cúics milres? Puedes pror ls propieddes oservds u otenids? Investig ls propieddes nteriores con unciones cúics que tengn: un ríz triple, dos ríces reles, un de ells dole, c o un ríz rel y dos ríces complejs

25 Mtemátics II L prte gráic de est investigción se h relizdo con GeoGer Introducimos l epreón de l unción 9 75, justmos l Ventn gráic y hllmos l intersección de l gráic de y con el eje OX, oteniendo los puntos: A -, ; B,5; y C 5, Ls ríces son A -, B,5 y C 5 Compromos, con el teorem del resto, que es sí: A B,5,5 9,5,5 75 A Los puntos, sore el eje OX, de scis l medi ritmétic de ls ríces son: De A -, y B,5; es M -,5; De A -, y C 5, es M, De B,5; y C 5, es M,75; Hllmos los puntos P, Q y R, sore l gráic, cuy scis es l de los puntos M, M y M : M -,5 -,5 9 -,5 -, , M 9 75 M,75,75 9,75, ,9 Todos los puntos pueden verse en l imgen que gue: Puntos, en color negro, cuys sciss son ls ríces: A -, ; B,5; y C 5,

26 Mtemátics II Puntos, en color zul, cuys sciss son ls medis ritmétics de ls ríces: M -,5; ; M, y M,75; Puntos, en color verde, cuys sciss son ls medis ritmétics de ls ríces y están sore l gráic de l unción: P -,5; 79,; Q, y R,75; -, 9 Pr hllr ls ecuciones de ls tngentes en los puntos P, Q y R, hllmos los vlores de ls pendientes de ls tngentes citds L derivd de l unción y es 6 Ls pendientes de ls tngentes son: m P -,5 6 -,5 -,5-5, m Q 6 - m R,75 6,75,75 -, Hllmos ls ecuciones de ls rects tngentes En el punto P -,5; 79,: y 79, - 5,,5 y - 5, 75,6 Compromos que ps por el punto C 5, : y 5-5, 5 75, 6 En el punto Q, : y - - y - Compromos que ps por el punto B,5; : y,5 -,5 En el punto R,75; -, 9: y,9 -,,75 y -, 9,7

27 Mtemátics II Compromos que ps por el punto A -, : y - -, - - 9,5 Oservmos que l rect tngente en los puntos de l gráic cuy scis es l medi ritmétic de dos culesquier de ls ríces ps por el punto del eje OX cuy scis en l tercer ríz Todo lo nterior puede verse en l imgen que gue: L rect tngente en P en trzo puntedo ps por el punto C L tngente en Q en trzo continuo ps por el punto B y l tngente en R en trzo discontinuo ps por el punto A En l imgen djunt, que se corresponde con l Ventn Algeric, pueden verse l ecución de l de l unción en rojo, los puntos con sus coordends en negro, zul y verde y ls ecuciones de ls rects tngentes en color zul Pr poder oservr ocurre lo mismo con otrs unciones 5

28 Mtemátics II cúics milres eplicmos l construcción relizd con GeoGer en el prtdo nterior, que dee servirnos pr culquier unción cúic que teng tres ríces reles y distints Los psos seguir con GeoGer: º Introducimos y representmos l unción cúic y º Con l herrmient Desplz Vist Gráic justmos l ventn gráic de orm que prezc l gráic de l unción con sus puntos notles máimo, mínimo y punto de inleión, sí como los cortes de l gráic con el eje OX º Usndo l herrmient Intersección hllmos los puntos A, B y C, intersección de l gráic con el eje OX, cuys sciss son ls ríces de l unción cúic º Utilizndo l herrmient Punto Medio o Centro determinmos los puntos M, M, y M, sore el eje OX, cuys sciss son ls medis ritmétics de ls sciss de los puntos A y B, A y C, B y C, respectivmente 5º Diujmos los puntos P, Q y R sore l gráic de y teclendo en l ventn de entrd: P M _, M _ Pr el punto P, teclemos: Pr el punto Q, teclemos: M _, M _ Q Pr el punto R, teclemos: M _, M _ R 6º Finlmente, con l herrmient, Tngentes, diujmos ls rects tngentes l gráic de y en los puntos P, Q y R 7º En ls Propieddes de los ojetos unción, puntos, rects ponemos el color, estilo nuestro gusto En l imgen puede verse los resultdos otenidos pr l unción 6,5,5 Los puntos son: A -, ; B -,5; ; C,5; ; M -,5; ; M -,75; ; M, ; P -,5;,; Q -,75; - 7,59 y Q, -,5 Ls rects tngentes son: En P: y -,,69 En Q: y -, 5,9 En R: y -,5,5 6

29 Mtemátics II En ls imágenes pueden verse los resultdos otenidos pr Por último, mostrmos lo que ocurre con l unción - 6 Intentmos pror que: 7

30 Mtemátics II En ls unciones cúics con tres ríces reles y distints, ls rects tngentes en los puntos de l gráic cuy scis es l medi ritmétic de dos culesquier de ls ríces psn por el punto del eje OX cuy scis en l tercer ríz Condermos, n pérdid de generlidd, un unción cúic con tres ríces reles y distints,, y, es decir, que l gráic de l unción cúic cort l eje OX en los puntos A,, B, y C, Los puntos del eje OX cuys sciss son ls medis ritmétics de los puntos nteriores son:,, ;, M y M M Todo esto puede verse en l imgen djunt L epreón de l unción cúic es, es decir, Hllmos ls ordends de los puntos,, ;, R y Q P : L derivd de l unción es Vemos que l rect tngente en el punto P coincide con l rect que ps por los puntos, P y C, L pendiente de l rect tngente en el punto, P es: m P L pendiente de l rect que ps por los puntos, P y C, es:

31 Mtemátics II y y m P C P C PC Ls pendientes de ls rects coinciden y como ms psn por el punto P, ls rects coinciden Vemos que l rect tngente en el punto Q coincide con l rect que ps por los puntos, Q y B, L pendiente de l rect tngente en el punto, Q es: m Q L pendiente de l rect que ps por los puntos, Q y B, es: y y m Q B Q B QBC Ls pendientes de ls rects coinciden y como ms psn por el punto Q, ls rects coinciden Por último, vemos que l rect tngente en el punto R coincide con l rect que ps por los puntos, R y A, L pendiente de l rect tngente en el punto, R es: m R L pendiente de l rect que ps por los puntos, R y A, es: y y m A R A R RA Ls pendientes de ls rects coinciden y como ms psn por el punto R, ls rects coinciden Con esto qued prodo lo que pretendímos 9

32 Mtemátics II Investigmos ls propieddes nteriores con unciones cúics que tengn: un ríz triple, dos ríces reles, un de ells dole, o c un ríz rel y dos ríces complejs En el cso de un unción cúic con un ríz triple, por ejemplo: solo eiste un punto de corte los tres puntos, A, B y C coinciden en uno sólo y, por tnto, el resto de elementos puntos y rects no están deinidos Puede oservrse en ls imágenes que guen En el cso de un unción cúic con dos ríces reles, un de ells dole, por ejemplo: - 5, eisten dos puntos de corte, A y B el tercer punto C h coincidido con uno de los nteriores, por tnto, eiste uno de los puntos M i con su correspondiente punto sore l gráic y su rect tngente que, puede oservrse en l imgen que gue ps por el punto dole

33 Mtemátics II c En el cso de un unción cúic con un ríz rel y dos ríces complejs, por ejemplo, ls ríces, i y i, que dn lugr l unción: solo eiste un punto de corte y, por tnto, el resto de elementos puntos y rects no están deinidos Puede oservrse en ls imágenes que guen

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