REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol., 29, No. 3, , 2008

Transcripción

1 REVISA INVESIGACIÓN OERACIONAL Vo. 9 No CONRIBUCIONES AL MANOVA-BILO: REGIONES DE CONFIANZA ALERNAIVAS I. R. Amaro * J. L. Vcete-Vardó** Mª.. Gado-Vardó**. *Uersdad Cetra de Veezuea Facutad de Igeería Núceo de Cagua. Cagua. Veezuea. **Uersdad de Saamaca. Departameto de Estadístca. Saamaca España. RESUMEN E este trabao se propoe regoes de cofaza eíptcas para e Maoa-Bpot e ugar de as regoes crcuares tradcoamete usadas. E a costruccó de estas regoes se cosdera a arabdad muestra de os ees de a represetacó y se toma como puto de partda e desarroo matemátco usado or KRZANOWSKI 989 e e cotexto de Aáss de Varabes Caócas. E ua apcacó de os resutados teórcos a u couto de datos se obsera que e área de as epses es cosderabemete más grade que e área de os círcuos. Itutamete es de esperarse etoces que as regoes eíptcas tega más exacttud probabístca que as crcuares. ABSRAC We propose eptca cofdece regos for the Maoa-Bpot stead of the tradtoay used cofdece crces. hese regos are costructed take to accout the sampe arabty of the represetato axes ad are based o the mathematca deeopmet used by Krzaowsk 989. A appcato of the theoretca resuts to a data set shows that the areas of the epses are cosderaby greater tha the areas of the crces. hese suggest that eptca cofdece regos are probabstcay more accurate tha the tradtoa crces. KEY WORDS: Bpot MANOVA Maoa-Bpot Cofdece regos. MSC 6H5. INRODUCCIÓN E Maoa-Bpot es ua técca estadístca mutarate utzada e stuacoes expermetaes dode se dspoe de aras arabes respuesta y se quere buscar as dferecas etre aros grupos. Fue deomada Maoa-Bpot por Gabre auque també se e cooce como Bpots Caócos por Vcete-Vardó 99 y Gower Y Had 996. E Maoa-Bpot para dseños de dos ías fue troducdo por Amaro et a E e presete trabao se propoe regoes de cofaza para e Maoa-Bpot costrudas cosderado a arabdad de os ees y tomado como puto de partda os desarroos matemátcos usados por Krzaowsk 989 e e cotexto de Aáss de Varabes Caócas. A dfereca de Aáss de Varabes Caócas e e Maoa-Bpot además de terpretar as dferecas-semeazas etre os grupos; també podemos terpretar as reacoes etre as arabes; y as reacoes etre grupos y arabes. Adcoamete e Maoa-Bpot os proporcoa meddas de a cadad de represetacó tato de medas de grupo como de as arabes que os permte ua meor terpretacó de os resutados. E os casos e os que se tee arregos de tratametos co dos factores o más es ecesaro e uso de Maoa y por o tato e Maoa-Bpot además permte estudar a teraccó e efecto de factor fa y e efecto de factor couma.. MÉODOS :amaror@hotma.com 3

2 E Aáss Mutarate de a Varaza o MANOVA por sus sgas e ges es ua técca muy coocda que comeza co ua matrz de datos X que se supoe partcoada e k grupos e -ésmo de os cuaes esta formado por dduos...k k ; y sea x e ector de p obseracoes de as arabes x x... x sobre e -ésmo dduo... de -ésmo p grupo que se supoe es ua muestra aeatora de ua pobacó N μ Σ. Los k grupos se cosdera muestras que depede de parámetros descoocdos y sgue e Modeo Lea Geera Mutarate X A B U para ua casfcacó de ua ía y se asume que tee araza comú estmada por Ε que es a matrz de sumas de cuadrados y productos detro de grupos y H es a matrz de sumas de cuadrados y productos etre grupos. Se quere probar a Hpótess Lea Geera: H 0 : C B M 0. E Maoa-Bpot se costruye a partr de a descomposcó e aores sguares geerazada: R D E U D V dode: R C A A C D C B M C A A A XM omado como marcadores para as fas grupos: R UD y como marcadores para as coumas arabes a: Q E V E dos dmesoes as dos prmeras coumas de a matrz cotee as coordeadas de as medas de grupo. Las regoes de cofaza mas usadas ha sdo círcuos arededor de estas medas. 3. REGIONES DE CONFIANZA ALERNAIVAS E obeto es costrur regoes de cofaza para as medas de grupo e e Maoa-Bpot tomado e cosderacó a arabdad muestra de os ees. La descomposcó Maoa-Bpot de a ecuacó estabece que a matrz R UD cotee os marcadores de os grupos e a represetacó Bpot. E a proyeccó e dos dmesoes teemos que as coordeadas muestraes de cetrode de grupo so: p. k Dode so as coordeadas sobre e prmer ee y cetrode de grupo. Etoces se quere costrur ua regó de cofaza para 3 as coordeadas sobre e segudo ee de p.

3 Cuadras 996 pág. 35 estabece que s a... a a es u puto de espaco Eucídeo R C x x... x taes es ua matrz defda posta y b es ua costate e couto de putos que: costtuye u epsode de x a C x a b R de cetro e a. Basado e esto a teoría estádar de a dstrbucó orma mutarate que puede erse por eempo e Marda et a. 979 pág. 38 Morrso 978 pág. 87 Seber 984 pág. 9; estabece e sguete resutado geera: s ζ es astótcamete orma co meda cero y matrz de arazas y coarazas Σ etoces: ζ a Σ ζ a χ α Dode χ es e puto crítco de a dstrbucó Ch-cuadrado. De ta forma que ua regó de cofaza α de 00- α % para a -ésma meda de grupo es u epsode cetrado e a y defdo por: ζ a Σ ζ a χ α S se supoe que os ees so fos etoces a matrz Σ es a detdad CuadraS 996 pág. 356 y se tee: ζ a ζ a χ α que es a tradcoa regó de cofaza ua hperesfera cetrada e a. Cuado se proyecta sobre os dos prmeros ees resuta círcuos de rado regoes más usadas e estos aáss. 33 χ α. Estas so as Aguas apcacoes reatamete recetes de Maoa-Bpot usado regoes crcuares puede erse e: Vcete M. A. et a. 00 Iñgo A. C. et a. 004 y VARAS M. J. et a Los ees Bpot de a represetacó gráfca se costruye a partr de os ectores propos asocados a os aores propos de a descomposcó. Los so as proyeccoes de as medas de -ésmo grupo sobre e ee por o tato puede escrbrse e fucó de os ectores propos asocados uego a araza Var depederá de a arabdad de cada ee. Cuado os ees o se cosdera fos a dstrbucó muestra exacta de os aores propos y de os ectores propos asocados es muy compea para ser usada e a práctca auque Aderso 984 pág. 545 estuda sus dstrbucoes astótcas y ecuetra que s k E sgue ua dstrbucó de Wshart co f k grados de bertad y parámetro Σ metras que k H sgue ua dstrbucó de Wshart depedete o cetra co f k grados de bertad y parámetro

4 34 μ μ μ μ Φ y 0 > f f etoces os mometos astótcos aproxmados so: ' co ar f f E E a a a A partr de aquí se demuestra que: E ξ a poscó de a -ésma meda pobacoa co refereca a -ésmo ee y utzado expresoes para e cácuo de esperazas codcoaes que puede erse por eempo e Rao 973 pág Krzaowsk 989 ecuetra que para...k...s: k s Var ξ ξ 3 y k Co ξ ξ 4 Dode os parámetros ξ so os parámetros pobacoaes que so estmados usado dstrbucoes aproxmadas por / k y respectamete y k k smk- p. Supoedo ormadad astótca de os y apeado a teorema cetra de ímte tomado e cueta que p o debe ser muy pequeño se tee etoces que os tee aproxmadamete ua dstrbucó orma co meda dada por: E ξ araza dada por 3 y coaraza por 4. De ta forma que para costrur as regoes de cofaza de as medas de grupo e as dos prmeras arabes como ees e ector de medas de -ésmo grupo tee ua dstrbucó orma co meda ξ ξ y matrz de dspersó: c c Dode está dados por as ecuacoes 3 co respectamete; metras que c es dado por 4 co respectamete.

5 Etoces de acuerdo a a ecuacó a regó de cofaza de 00-α % para a meda de grupo - ésmo proyectado sobre os dos prmeros ees es ua epse cetrada e y defda por: ξ ξ ξ c χ c α ξ Dode χ α es e puto crítco de a dstrbucó ch-cuadrado co dos grados de bertad. Hacedo: c c c c c Lamado x y a as coordeadas de os putos sobre a epse. Después de u desarroo matrca se ega a que a ecuacó de esa epse puede ser escrta e a forma: x c x y y c χ α 5 Se puede demostrar que a excetrcdad de esta epse es teror es π c χ. α c y que su área Estas regoes de cofaza que so epses co os ees rotados se ha costrudo usado as arazas y coarazas expresadas por as ecuacoes 3 y 4 que usa e su costruccó a arabdad de os ees que es o que se buscaba. 4. ALICACIÓN Co e f de ustrar e Maoa-Bpot co regoes de cofaza eíptcas se apcará esta técca a famoso couto de datos de Fsher er MARDIA et a. 979 que cotee 50 obseracoes de 4 característcas de a for de Ls arabes: V:Logtud de sépao SepaLe V:Acho de sépao SepaWd V3:Logtud de pétao etale y V4:Acho de pétao etawd para tres especes grupos de geero s: G: setosa G: erscoor y G3: rga. ota de obseracoes: 50. Ates de estudar a apcacó de método es ecesaro cosderar certos aspectos como so: e exame preo de a matrz de datos mutarates dode se cuye a deteccó de outers y e tratameto de datos ausetes y a erfcacó de os supuestos de aáss mutarate de a araza. Los resutados de estos aáss o se muestra aquí ya que este couto de datos ha sdo ampamete usado e a teratura para eempfcar aras téccas estadístcas como por eempo e Aáss Dscrmate y MANOVA er por eempo MARDIA et a. 979 MORRISON 978. Es ecesaro señaar que a ormadad mutarate además de ser u requsto para MANOVA també es ecesara para a costruccó de as regoes de cofaza eíptcas que se propoe e este trabao y este requsto es cumpdo por este couto de datos. 5. MANOVA-BILO 35

6 odos os aáss fuero reazados utzado programas desarroados por os autores bao MALAB er. 7. E prmer ugar se preseta e a taba os aores propos ercas e ercas acumuadas para e Bpot. Ee aba : Vaores propos ercas e ercas acumuadas. Vaores orcetae Ierca propos de erca acumuada Se puede obserar que e porcetae de arabdad expcado por e prmer pao factora es 00 % que es gua a a bodad de auste e e pao. Las cadades de represetacó para as medas se muestra e a sguete taba: aba : Cadades de represetacó de as medas e e Bpot. Grupos Ee Ee Acumuada G G G odemos obserar e a taba que para cada grupo os dos prmeros ees recoge e 00 % de a arabdad de as medas por o que as dferecas etre os grupos puede terpretarse sobre e prmer pao. aba 3: Cadades de represetacó de as arabes e e Bpot. Varabes Ee Ee Ee 3 Acumuada V V V V Las cadades de represetacó para as arabes se muestra e a sguete taba: Las arabes V3 y V4 tee ua ata cadad de represetacó e os dos prmeros ees: y respectamete. or o que estas dos arabes puede ser terpretadas e estos ees. No así as 36

7 arabes V y V cuyas cadades de represetacó so baas e e prmer pao 4.6 y 4.9 respectamete por o que o se terpreta E a taba 4 se muestra as arazas cacuadas usado a ecuacó 3. aba 4: Varazas segú ecuacó 3. Grupo Ee Ee G G G Y as coarazas cacuadas co a ecuacó 4 se muestra e a taba 5. aba 5: Coarazas segú ecuacó 4. Grupo Coaraza G G G Co os aores mostrados e as tabas 4 y 5 se costruye as ecuacoes de as epses de cofaza de 95 % para os cetrodes de grupo segú e procedmeto descrto ates ecuacó 5. E a taba 6 se muestra as ecuacoes de as epses de cofaza para cada grupo. aba 6: Ecuacoes de as epses de cofaza. Grupo G G G3 Ecuacó de a epse 0.64x x.3 y y x x 0.5 y y x x.7 y y Se puede obserar e a taba 7 que as epses tee dferetes águos de cacó arado desde e grupo G co u águo muy pequeño de.7 º hasta e grupo G3 co 3.º. Así msmo as áreas de as epses so dferetes. E a fgura se muestra a represetacó Bpot e e prmer pao factora. Usado as propedades de Maoa-Bpot e a fgura podemos obserar que as epses de cofaza o se tercepta o que sgfca que hay dferecas etre os tres grupos es decr que as tres especes so dferetes e as cuatro arabes estudadas smutáeamete. Las característcas más mportates de estas epses está mostradas e a taba 7. 37

8 Grupo Cetro aba 7: Característcas de as epses de cofaza. Águo De Icacó Logtud de ee mayor Logtud de ee meor Área G º G º G º Sguedo co as propedades se puede comparar u grupo co e promedo de otros dos. Así por eempo e promedo de as medas de os grupos G y G es e puto medo de segmeto que ue os cetrodes de G y G. Y así se puede comparar os otros casos. MANOVA BILO DE UNA VIA ee G G V V4 V G3 V ee Fgura.-Represetacó Bpot co Epses y Círcuos. De a represetacó se deduce que os tres grupos so dferetes e a arabe V3 ogtud de os pétaos porque a proyectar sus epses de cofaza sobre e ector que represeta a esa arabe as proyeccoes so dsutas. Co este msmo argumeto també se tee que os tres grupos so dferetes e a arabe V4 acho de os pétaos. De a taba se tee que e prmer ee expca e 99. % de a aracó etre grupos y e a taba 9 se obsera que a arabe V3 es a que tee a mas ata correacó co e ee 97.0 es por esto que e a fgura aparece e grupo G opuesto a os otros dos grupos dcado que obseracoes fores co 38

9 aores atos para a arabe V3 pétaos más argos aparece stuadas a a derecha de gráfco. Es decr a espece s setosa tee os pétaos mas cortos seguda de a espece Ls erscoor y famete co os pétaos más argos a espece Ls rga. Se e etoces e e ado zquerdo de gráfco a espece s setosa co ogtud y acho de pétao pequeños metras que e e otro extremo a a derecha a espece s rga co ogtud y acho de os pétaos más grades. ambé e a fgura obseramos que a arabe que más fuye e a separacó de os grupos G y G3 es V3 porque e ector que represeta a esta arabe es cas paraeo a a recta que pasa por os cetrodes de G y G3. La desacó estádar de a arabe V4 es mayor que a de a arabe V3 esto es: e ector que correspode a V4 tee mayor ogtud que e que correspode a V3. A pesar de que e a fgura aparece más argo e ector que represeta a V esa arabe o es terpretabe e este pao por teer muy baa cadad de represetacó. Otro aspecto mportate es e que tee que er co e área de as epses. or a forma como se ha costrudo e área de as epses está reacoada co a arabdad muestra de cada grupo y co e tamaño muestra. Así obseramos que a epse correspodete a grupo G tee mayor área y este es e grupo co mayor arabdad. aba 8: Leyeda para a fgura. GRUOS G: Ls setosa G: Ls erscoor G3: Ls rga VARIABLES V: Logtud de sépao V: Acho de sépao V3: Logtud de pétao V4: Acho de pétao E a fgura está represetadas as regoes eíptcas y as crcuares cuyos rados ee dados por a expresó: χ α Se obsera e esta fgura que todos os círcuos tee e msmo rado porque os datos so baaceados. Hay ua gra dfereca etre e área de os círcuos y e de as epses: e área de as epses es cosderabemete más grade que e área de os círcuos. Itutamete es de esperarse etoces que bao dferetes muestras de estas pobacoes e u mayor úmero de eces as regoes eíptcas cotedrá a a erdadera meda pobacoa e ugar de as regoes crcuares. 6. DISCUSIÓN aba 9: Correacoes de as arabes co os ees. Correacoes Correacoes a cuadrado x 00 Varabes Ee Ee Ee Ee V V V V E e eempo presetado se ha mostrado ua metodoogía para costrur regoes de cofaza eíptcas para os cetrodes e u Maoa-Bpot cosderado a arabdad muestra de os ees de a represetacó. 39

10 La corporacó de estas regoes debe coducr a aáss más precsos que os obtedos co as regoes crcuares cáscas. Las regoes de cofaza propuestas está basadas e ua sere de aproxmacoes y os resutados arroa cosderabes dferecas etre as áreas de as epses y de os círcuos por o que se patea a ecesdad de futuras estgacoes e este setdo. Se recomeda reazar u estudo comparato posbemete utzado téccas de smuacó Bootstrap etc. La metodoogía propuesta dea aberta a posbdad de futuras estgacoes e otros aspectos como so: geerazacó a dseños de dos factores o más Maoa-Bpot Robustos Aáss de a Coaraza Aáss de erfes Modeos Mxtos etc. 7. CONCLUSIONES.-Es posbe costrur regoes de cofaza eíptcas para os cetrodes de os grupos e u Maoa- Bpot y a partr de aquí terpretar gráfcamete dferecas etre grupos as arabes resposabes de as dferecas y otros cotrastes de terés..-las regoes de cofaza eíptcas se ha costrudo tomado e cosderacó a arabdad muestra de os ees o que corpora formacó fereca que permtrá hacer aáss más precsos. 3.-Se apcó e Maoa-Bpot co regoes de cofaza eíptcas para aazar u couto de datos de a bbografía y comparádoo co as regoes de cofaza crcuares cáscas tutamete parecera que as ueas regoes tee más exacttud probabístca que as crcuares. 4.-Se poe de mafesto e a apcacó as etaas de Maoa-Bpot respecto a Aáss de Varabes Caócas sobre todo e cuato a aspectos como so: a represetacó e e msmo gráfco de os cetrodes de os grupos de as arabes y de as regoes de cofaza; y e uso de meddas de as cadades de represetacó. REFERENCIAS Receed March 007 Resed Juy 008 [] ANDERSON. W. 984: A Itroducto to Mutarate Statstca Aayss. d ed. Wey New York. [] AMARO I. R. VICENE-VILLARDÓN J. L. y GALINDO-VILLARDÓN M.. 004: Maoa Bpot para arregos de tratametos co dos factores basado e modeos eaes geeraes mutarates. Iterceca [3] CUADRAS C. M. 996: Métodos de aáss mutarate. Eubar Barceoa. [4] GABRIEL K.R. 97: Aayss of meteoroogca data by meas of caoca decomposto ad Bpots. Joura of Apped Meteoroogy : [5] GABRIEL K. R. 995: MANOVA Bpots for two-way cotgecy tabes. E: Recet Adaces Descrpte Mutarate Aayss. W. KRZANOWSKI ed.. Caredo ress Oxford [6] GOWER J. C. y HAND D. J. 996: Bpots. Chapma ad Ha Lodo [7] IÑIGO A. C. VICENE-AVERA S y RIVES V. 004: MANOVA-Bpot statstca aayss of the effect of artfca ageg Freezg/hawg o the coour of treated grate stoes. Coor research ad appcato [8] KRZANOWSKI W. J. 989: O cofdece regos caoca arate aayss. Bometrka

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