UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TAMAULIPAS UNIDAD ACADÉMICA MULTIDISCIPLINARIA REYNOSA-RODHE SIMULACIÓN DE SISTEMAS

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1 UNIDAD MÉTODOS DE MONTECARLO II 2.1 Definición Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios. Bajo el nombre de Método Montecarlo o Simulación Montecarlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios. 2.2 Historia La invención del método de Montecarlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en Advirtió que resultaba mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que calcular todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación podría aplicarse a su trabajo en Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegrodiferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico. Dado de la naturaleza de azar que esto representaba fue relacionado con la capital de los juegos de azar que en aquella época era Montecarlo, un casino de Mónaco (Hoy probablemente se les bautizaría con el nombre de Métodos de Las Vegas ) 2.2 Cobertura El Método de Montecarlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método Montecarlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo. A veces la aplicación del método Montecarlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. La simulación de Pag 2-1 Gustavo León 2013

2 Montecarlo también fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante. 2.3 Aplicaciones Flujos de Tráfico Pronóstico de comportamiento de Acciones de Bolsa de Valores Exploración de yacimientos y minas Evolución de mantos estelares Diseño de reactores nucleares Comportamiento de nanoestructuras Estudios de reproducción de células cancerígenas Procesamiento/Generación de Imágenes por computadora Comportamiento de ambientes contaminados 2.4 Proposición formal El método de Montecarlo está basado en la generación de múltiples pruebas para determinar el valor esperado de una variable aleatoria. El método está basado Si X es una variable aleatoria y definimos su valor esperado como A = E[X]. Si podemos generar n variables aleatorias independientes X 1, X 2, X n con una distribución uniforme, entonces podemos decir que En donde Pag 2-2 Gustavo León 2013

3 2.5 La variable aleatoria Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x 0, x 1, x 2,... x n-1 }, con probabilidades {p 0, p 1, p 2,... p n-1 }. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar monedas, los posibles resultados son {cara, cruz}, y sus probabilidades son {1/2, 1/2}. En la experiencia de lanzar dados, los resultados posibles son {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sus probabilidades respectivas son {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6}. 2.6 Ejercicios prácticos de los Métodos de Montecarlo A continuación se plantean diversos problemas resueltos utilizando Excel. Nota: EN caso de que aparezca un mensaje #VALUE! Instalar el Analysis ToolPak desde el menú de Tools Add-Ins y presionar la tecla de función F9 despues de instalar el ToolPak En el caso de versiones de Office 2010 y posteriores utilizar File Options Add-Ins Pag 2-3 Gustavo León 2013

4 2.6.1 Generador de números aleatorios Aleatorio RAND() Devuelve un número aleatorio entre 0 y 1. Sintáxis: RAND() Listas de Números Aleatorios Abra una hoja de Excel. En la columna A generar una lista de 100 números utilizando la función RAND(). Ingrese la función en la celda A2 y copie 99 celdas hacia abajo hasta la celda A101 Introduzca Los encabezados mostrados en la figura de abajo en el renglón 1 y observe que pasa con los números aleatorios (cambian después de cada enter ). Observe qué pasa al presionar la tecla de función F9. En la columna C (Encabezado X) genere valores secuenciales del 1al 100. En Y1 genere una secuencia de rango de.01 a 1 y en Y2, Y3 y Y4, copie valores fijos de la columna A a D,E,F y G. y sortearlos ascendentemente de manera independiente para hacer una comparación de linealidad. Compárelos gráficamente Pag 2-4 Gustavo León 2013

5 Listas de números aleatorios en rangos especificados Utilizando la función =RAND() Genere una lista de 1000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores continuos min=0 max=100 Genere una lista de valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores discretos min=1 max=6 o Valores continuos min=-1 max=1 o Valores binarios 0 y Listas de números aleatorios en rangos especificados Utilizando la función =RANDBETWEEN() Genere una lista de 1000 valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores continuos min=0 max=100 Genere una lista de valores cuyos valores caigan en los siguientes rangos o Valores discretos min=1 max=6 o Valores continuos min=-1 max=1 o Valores binarios 0 y Lanzamiento de una moneda Planteamiento Utilizando un generador de número aleatorios en Excel determine la probabilidad de que al lanzar una moneda, esta caiga de una sola cara (digamos Sol), para 10, 100, 1000 y lanzamientos (volados). Genere una gráfica que muestre la tendencia de la probabilidad. Pag 2-5 Gustavo León 2013

6 Solución Variantes de Probabilidad Dos Soles Calcular la probabilidad de que una sola cara (digamos Sol), cara caiga dos veces consecutivas 10, 100, 1000 y lanzamientos (volados). Pag 2-6 Gustavo León 2013

7 Tres Soles Calcular la probabilidad de que una sola cara (digamos Sol), cara caiga tres veces consecutivas 10, 100, 1000 y lanzamientos (volados). Pag 2-7 Gustavo León 2013

8 Pag 2-8 Gustavo León 2013

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