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1 ases Matemáticas I - Pagina 1 de 20 Tema 2: ases Matemáticas I Números utilizados en los sistemas digitales Introducción. El sistema de numeración decimal es familiar a todo el mundo. Este sistema utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El sistema decimal es posicional. Veamos porqué; consideremos el número decimal El 7 está en la posición o lugar de las unidades. El 9 está en la posición de las decenas, y por lo tanto agrega nueve decenas al número final o sean 90 unidades. Otro 9 está en la posición de las centenas, o sea nueve centenas, y por ello agrega 900 unidades. Por último el 1 está en la posición de las unidades de mil y representa una unidad de mil o sean 1000 unidades. Sumando = 1997 se obtiene finalmente el número decimal. La Figura 1 ilustra este procedimiento. Sistema de Numeración Decimal x 1000 x 100 x 10 x = 1997 Figura 1. Podríamos decir que cada dígito, debido a su posición, tiene un peso distinto en la formación del número. Estos pesos, comenzando con el de la derecha (el de menor peso), son: 1, 10, 100, 1.000, ,...,etc. Podemos ver que el peso de una posición se obtiene multiplicando por 10 el anterior. El sistema de numeración decimal también se llama sistema de base 10. Se denomina de base 10 porque tiene 10 símbolos diferentes.

2 ases Matemáticas I - Pagina 2 de Numeración inaria. En los sistemas digitales, por razones tecnológicas, se usan los números binarios (base 2). Este sistema utiliza solo dos símbolos (0, 1). Cada dígito binario se denomina bit. También el sistema de base 2 es un sistema posicional. En la Figura 2 se muestra como son las reglas x 8 x 4 x 2 x = 13 Figura 2. Note que ahora los pesos de las posiciones son 1, 2, 4, 8, 16,... etc. Es decir si aparece un 1 en la posición que está más a la derecha se debe agregar 1 a la cuenta. Si aparece un 1 en la que sigue se debe agregar 2 y así sucesivamente. Observe también que los pesos se obtienen multiplicando por dos el peso anterior. DECIML INRIO l igual que con los números decimales se puede contar en binario. quí está la tabla de los 21 primeros números. Figura 3. Consultando la tabla de la Figura 3, veamos como se forma por ejemplo el número 18. sí resulta:

3 ases Matemáticas I - Pagina 3 de x x x x x 16 = = 18. Tomemos un ejemplo un poco más complicado, ver Figura 4. Qué número representa el binario , en numeración decimal?. Empezando por el bit de la derecha tenemos: Qué número representa? x 1 = 1 (peso igual a 1) 1 x 2 = 2 (peso igual a 2) 0 x 4 = 0 (peso igual a 4) 1 x 8 = 8 (peso igual a 8) 1 x 16 = 16 (peso igual a 16) 0 x 32 = 0 (peso igual a 32) 0 x 64 = 0 (peso igual a 64) 1 x 128 = 128 (peso igual a 128) 1 x 256 = 256 (peso igual a 256) = 411 Figura 4. Vamos ahora a mostrar cómo pasar de decimal a binario. Para ello nos planteamos el siguiente problema. Cuál es el número binario que corresponde a 57?. La Figura 5, nos muestra un método adecuado. 57 / 2 = 28 resto 1 28 / 2 = 14 resto 0 14 / 2 = 7 resto 0 7 / 2 = 3 resto 1 3 / 2 = 1 resto 1 1 / 2 = 0 resto Figura 5.

4 ases Matemáticas I - Pagina 4 de 20 Dejamos al lector verificar que el número corresponde al ritmética binaria. Sumar números binarios es una tarea muy simple a poco que adquiramos práctica. En realidad sumar dos números binarios es similar a sumar dos números decimales. Las reglas (tabla de sumar) para la suma binaria se muestran en la Figura 6. Las tres primeras reglas son obvias. La regla 4 dice que, en binario, = 10 (decimal 2). El 1 de la suma debe ser arrastrado (me llevo) a la siguiente columna, como en la suma decimal que conocemos. Suma rrastre Regla = 0 Regla = 1 Regla = 1 Regla = 0 1 = 10 Figura 6. Para comprender mejor tratemos de realizar las siguientes sumas binarias:

5 ases Matemáticas I - Pagina 5 de 20 Para restar números binarios usamos un procedimiento similar. También como en la resta de dos números decimales, aparece un pido, esto se manifiesta en la 2ª regla. En la Figura 7 se muestran las reglas para restar. Resta Pido Regla = 0 Regla = 1 1 Regla = 1 Regla = 0 Figura 7 pliquemos estas reglas para restar dos números binarios: Las reglas para multiplicar con binarios son muy simples. Compare el lector y recuerde lo engorroso que fue aprender las tablas de multiplicar cuando cursó la escuela primaria. La tabla de multiplicar números binarios se muestra en la Figura 8: Producto Regla 1 0 x 0 = 0 Regla 2 0 x 1 = 0 Regla 3 1 x 0 = 0 Regla 4 1 x 1 = 1 Figura 8. Tomemos como ejemplo las siguientes multiplicaciones.

6 ases Matemáticas I - Pagina 6 de X X X X Códigos. Existen otras formas de representar los números en los sistemas digitales. Es lo que se conoce bajo el nombre de códigos. Un código muy usado es el código CD (decimal codificado en binario). En este código, cada dígito decimal es reemplazado por su equivalente en binario. La Figura 9 es muy ilustrativa para comprender este código Figura 9

7 ases Matemáticas I - Pagina 7 de 20 Otro código que es de uso corriente es el código siete barras o siete segmentos. Es útil cuando se quiere presentar un número, que está en CD, en un visor para que lo interprete un ser humano. En la Figura 10 se muestran las reglas. a b c d e f g a = 0 = 1 f e g d b c Figura 10. menudo se requiere representar además de números, también letras en los sistemas digitales. En este caso se emplean los códigos alfanuméricos. El código SCII (merican Standard Code for Information Interchange) es el código más usado (se pronuncia as-ki ). Se trata de un código de 7 bits y en él existe una representación binaria para cada tecla de un teclado normal de máquina de escribir. lgunas equivalencias se muestran a continuación: $ ( C Z Por ejemplo si desea expresar un monto de $193 en código SCII resultaría: $ Y el mensaje C sería: C

8 ases Matemáticas I - Pagina 8 de lgebra de oole Introducción. En los sistemas digitales es usual que los elementos que los constituyen tomen solo dos valores posibles. Por ejemplo: La lámpara L puede estar encendida o apagada (encendida o no encendida). El motor M puede estar funcionando o parado (funcionando o no funcionando). El fin de carrera F puede estar accionado o no accionado. Una válvula V puede estar abierta o cerrada (deja pasar o no deja pasar). En todos los casos los elementos L, M, F, V sólo pueden estar en dos estados bien definidos. estos estados podemos asignarles por comodidad valores numéricos también definidos. Por ejemplo podemos convenir que: Si la lámpara L está encendida entonces diremos L = 1; si no está encendida L = 0. Si el motor M está funcionando entonces M = 1; si no está funcionando M = 0. Si el fin de carrera F está accionado entonces F = 1; si no está accionando F = 0. Si la válvula V está abierta entonces V = 1; si no está abierta V = 0. Podríamos haber convenido los valores 1 y 0 al revés, pero se acostumbra por simplicidad dejar el valor 0 para expresar el estado natural o normal (sin conectar, sin activar, etc.). Una parte del álgebra que contempla estos casos es el lgebra de oole Principios. Cuando asignamos una letra a un elemento (en el párrafo anterior por ejemplo las letras L, M, F, V) en álgebra se dice que se le ha asignado una variable. El nombre es adecuado por que su valor no es fijo sino que puede, como vimos antes, tomar distintos valores. El álgebra de oole usa únicamente variables que puedan tomar solo dos valores, o sea variables binarias. En todo este curso estos valores van a ser 0 y 1. En el álgebra de oole existen solo tres operaciones: La operación O que la vamos a representar con el símbolo + (no confundir con la suma!). La operación Y que la vamos a representar con el símbolo.. La operación NO o inversión que la vamos a representar. Como muchos de estos temas o en los manuales que seguramente acompañan a los automatismos, están en inglés, estas operaciones traducidas son OR, ND, NOT.

9 ases Matemáticas I - Pagina 9 de Operación O (OR). La operación O también se denomina la operación cualquiera o todos. El esquema de la Figura 11 muestra la idea de la operación O. + + L _ Figura 11. La lámpara L se encenderá (L = 1) cuando o estén cerradas ( = 1 o = 1) y también cuando ambos estén cerrados. Esta relación entre ambas llaves y la lámpara podemos expresarla con la operación O del álgebra de oole: L = + Podemos poner en forma de tabla todas las posibles combinaciones de las llaves y, y el estado resultante de la lámpara L (Figura 12). Esta forma tabular se llama la Tabla de Verdad de la operación. Llaves Lámpara abierta abierta no encendida abierta cerrada encendida cerrada abierta encendida cerrada cerrada encendida Figura 12 Si en la tabla anterior realizamos los siguientes reemplazos: abierta = 0 ; cerrada = 1 ;

10 ases Matemáticas I - Pagina 10 de 20 no encendida = 0 ; encendida = 1 Llegamos a la Tabla de Verdad de la operación O que se muestra en la Figura 13. L = Figura 13 Existen otras formas de indicar que las variables y están ligadas por la operación O. Una, muy usada por los electrónicos, es con compuertas. El símbolo para la compuerta O se muestra en la Figura 14. L = + Figura 14.

11 ases Matemáticas I - Pagina 11 de La operación Y (ND). La operación Y también se denomina la operación todo o nada. El circuito con llaves de la Figura 15, explica la operación Y. L =. Figura 15. La lámpara L se encenderá (L = 1) cuando y estén cerradas ( = 1 y = 1). Esta relación entre ambas llaves y la lámpara podemos expresarla con la operación Y del álgebra de oole: L =. Siguiendo un procedimiento similar al realizado para la operación O, podemos poner en forma de tabla (Figura 16), todas las posibles combinaciones de las llaves y y el estado resultante de la lámpara L. Llaves Lámpara abierta abierta no encendida abierta cerrada no encendida cerrada abierta no encendida cerrada cerrada encendida Figura 16. Si en la tabla anterior realizamos los mismos reemplazos: abierta = 0 ; cerrada = 1 ; no encendida = 0 ; encendida = 1

12 ases Matemáticas I - Pagina 12 de 20 Llegamos a la Tabla de Verdad de la operación Y que se muestra en la Figura 17. L = Figura 17. El símbolo para la compuerta Y se muestra en la Figura 18 L =. Figura La operación NO (NOT). La operación NO también se denomina inversión o complemento. Es distinta a las anteriores por que se aplica sobre una sola variable. La Figura 19 muestra el símbolo lógico y la Tabla de Verdad de la operación NO Figura 19.

13 ases Matemáticas I - Pagina 13 de 20 Un ejemplo con llaves de esta operación se muestra en el esquema de la Figura 20. La lámpara L se encenderá cuando no esté accionada la llave. L = Figura Funciones de oole. En la práctica se usan conexiones más complejas de, por ejemplo, contactos de fines de carrera con contactos auxiliares de contactores, con pulsadores, con sensores ópticos, etc. Esta interconexión final da como resultado una acción sobre una salida. Por ejemplo: activar la bobina de una contactor para hacer funcionar un motor; alimentar una electroválvula para que un cilindro hidráulico se desplace, etc. En todos los casos anteriores podemos establecer una relación entre el estado de los sensores (entrada) y la acción sobre los actuadores (salida). Esta relación la podemos expresar usando los operadores del álgebra de oole. Entonces decimos que la salida es función de las entradas. Lo expresamos así: salida = Función (entradas) Tomemos el ejemplo mostrado en la figura 21. Note que la llave es una llave que tiene un contacto normal abierto () y otro normal cerrado ( ). C L Figura 21.

14 ases Matemáticas I - Pagina 14 de 20 Vemos que el encendido o no de L depende de cuáles de las llaves están accionadas. Habíamos visto que contactos en serie producen operaciones Y, y contactos en paralelo operaciones O. plicando ésto podemos expresar el circuito de anterior como: L es función de,, y C; o simplemente escribir abreviado: L = F(,, C) con las operaciones de oole: L =. + C. Esta expresión nos dice que L estará encendida (L=1) cuando y están accionadas (=1 y =1), o cuando, C está accionada y no está accionada (C=1 y =0). Usando los símbolos lógicos o compuertas, resulta el esquema de la Figura 22.. C L = + C' C. ' Figura 22. Por último la Tabla de Verdad de la función L será la de la Figura 23. C C L Se ve que la lámpara se enciende en las filas 2, 3, , y 8 (L=1) Figura 23. Columnas para ayuda.

15 ases Matemáticas I - Pagina 15 de 20 Hemos visto en este ejemplo distintas formas de expresar lo mismo. Son herramientas que nos serán de utilidad para plantear automatismos. Trataremos ahora de aplicar estas herramientas a un caso concreto. Miremos el esquema de la Figura 24. M Cinta X Cinta Y Figura 24. C El esquema muestra la vista superior de dos cintas transportadoras. La cadena Y alimenta con cajones a la cadena X. En la cadena X se cumple un proceso. Cuando el proceso termina se desactiva el fin de carrera. En ese momento el motor M, debe arrancar para alimentar con un nuevo cajón al proceso. Los cajones en espera son colocados sobre la cadena Y por autoelevadores. Para evitar que el cajón sea colocado con la cadena en movimiento, el sensor C se activa con la presencia de un autoelevador y debe detener al motor M. Para aumentar la velocidad del conjunto, el motor M también debe funcionar, aunque no haya finalizado el proceso, hasta colocar un cajón en posición de ser tomado por la cadena X. Para ello se ha colocado el fin de carrera, que se activa cuando un cajón está en esa posición. Se desea encontrar la función que gobierna el funcionamiento del motor M. Para ello debemos transformar la descripción verbal, anterior, a una descripción formal. Vamos a clasificar las variables de entrada en creadoras y anuladoras. Las entradas creadoras son aquellas que activan la salida. Las entradas anuladoras son aquellas que desactivan la salida. Para el ejemplo en cuestión el enunciado dice que el motor debe funcionar por efecto de las entradas y, por lo tanto estas variables son creadoras. También dice que el motor se debe parar por causa de la entrada C, por lo tanto ésta es anuladora.

16 ases Matemáticas I - Pagina 16 de 20 Un teorema del automatismo (receta) dice que: La función de excitación será igual a la operación Y entre las situaciones creadoras con la NEGCION de las situaciones anuladoras. Puesto este teorema formalmente establece: Reemplazando resulta: FUNCION = (creadoras). (anuladoras) El motor debe arrancar cuando: M (,,C) = ( + ). C Y debe pararse cuando esté activada C. Por lo tanto Y NO C No esté activada. Por lo tanto cuando NO O no esté activada. Por lo tanto NO Es fácil ahora pasar al diagrama de contactos y también podemos dibujar la Tabla de Verdad para verificar el funcionamiento de nuestro diseño. NC C NC NC Contactor Motor M Figura 25.

17 ases Matemáticas I - Pagina 17 de 20 C M Observaciones No hay bines, no está el autoelevador Debe parar porque entra autoelevador Hay cajón en espera, pero falta en proceso Idem pero entra autoelevador Hay cajón en proceso, pero falta en espera Hay cajón en proceso y en espera Entra autoelevador. La representación con símbolos lógicos resulta (Figura 26) M C : Figura 26.

18 ases Matemáticas I - Pagina 18 de Ejercicios propuestos Escribir en numeración decimal los siguientes números binarios: 11010; ; un conjunto de 8 bits se lo denomina un byte (se pronuncia bait) Cuál es el mayor número que puedo escribir con un byte? Cuál es el mayor número que puedo escribir con 8 dígitos decimales? Compare su respuesta con la del ejercicio anterior. Qué conclusiones saca? Obtenga el resultado de las siguientes operaciones con números binarios. Luego compruebe su resultado operando en decimal = = = = = = 1011 x 1010 = 1001 x 101 = x 10 = Cuál sería la regla para multiplicar rápidamente un número binario por 2 (10)?. Cómo podría asegurar que un número binario es par? Cuántos bits tiene como máximo la suma de dos números de cuatro bits? Convertir los siguientes números codificados en CD a su equivalente decimal: ; ; Convertir a código CD los siguientes números decimales: 4656 ; 120 ; 1239 ; Cuántos bits se necesita para codificar en CD un número decimal de 5 dígitos? La siguiente tabla corresponde al código SCII para los números, las letras y el espacio (e). Escriba su nombre y edad en código SCII M Y e N Z C O D P E Q F R G S H T I U J V K W L X Lo siguiente es un mensaje en código SCII, qué dice?

19 ases Matemáticas I - Pagina 19 de Dibuje con contactos y una lámpara (L) la siguiente expresión con operaciones de oole: L = + + C Mirando el funcionamiento del circuito construya la Tabla de Verdad. Qué podría decir de una operación de O de más variables? Dibuje el símbolo lógico de una compuerta O de cuatro entradas nalizando los diagramas de contactos equivalentes y la Tabla de Verdad de la operación, podría decir a qué son igual las siguientes expresiones? + =? ; + 0 =? ; + =? ; + =? + + =? Con la ayuda de un esquema con contactos, construya la Tabla de Verdad y dibuje una compuerta Y de cuatro entradas. Qué podría decir de una operación Y de más variables? nalizando los diagramas de contactos equivalentes y la Tabla de Verdad de la operación, podría decir a qué son igual las siguientes expresiones?. =? ;. 0 =? ;. =? ;. =?.. =? nalice el diagrama de la figura siguiente: (1) (2) (3) Si = 0 cuánto vale la salida (2)? y la? Si = 1 cuánto vale la salida (3)? Y la? Que podría de decir acerca de la expresión: ( ) =?

20 ases Matemáticas I - Pagina 20 de Dibuje el diagrama de contactos de las siguientes funciones: F(,,C) = + C + C ; F(,,C,D) = ( + ) ( + C) ( + D ) Dibuje el diagrama de contactos del siguiente esquema con símbolos lógicos. C D Qué valor tiene la salida si: = 1; = 0; C = 1? Escribir la función que describe el funcionamiento de la alarma de un automóvil y dibujar el diagrama de contactos. La alarma debe sonar si: los faros están encendidos, no estando la llave de contacto puesta. la puerta está abierta, estando la llave de contacto puesta La alarma por mal funcionamiento de un ascensor debe activarse si: el ascensor se mueve sin que lo llamen y está vacío. el ascensor se mueve con la puerta abierta Dibujar esquema lógico y Tabla de Verdad Invente un problema que pueda solucionarse aplicando el lgebra de oole.

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