TEMA 3: Expresiones algebraicas. Polinomios. Tema 3: Expresiones algebraicas. Polinomios 1
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- Sebastián Fuentes Piñeiro
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1 TEMA Epresiones lgerics. Polinomios Tem Epresiones lgerics. Polinomios
2 ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum rest de polinomios...- Producto de polinomios...- Potenci de polinomios..- División de polinomios. Método de Ruffini...- División de polinomios...- Método de Ruffini..- Vlor numérico de un polinomio. Teorem del resto...- Vlor numérico de un polinomio...- Teorem del resto..- Fctor común..- Identiddes notles...- Cudrdo de un sum o un diferenci...- Sum por diferenci...- Otención de un identidd notle....- Epresión de un inomio como un sum por un diferenci....- Epresión de un trinomio como el cudrdo de un sum o un diferenci..- Fctorizción de polinomios. 7.- Simplificción de frcciones lgerics. 8.- Máimo común divisor mínimo común múltiplo de polinomios..- Operciones con frcciones lgerics...- Sums rests...- Multiplicciones divisiones...- Operciones cominds..- OPERACIONES CON POLINOMIOS..- Sum rest de polinomios Ejemplo Ddos P Q clculr P Q P Q Tem Epresiones lgerics. Polinomios
3 Tem Epresiones lgerics. Polinomios Q P Q P Ejemplo Ddos P Q clculr Q P Q P Q P Q P..- Producto de polinomios Ejemplo Ddos R S clculr S R S R..- Potenci de polinomios L potenci de un polinomio se efectú igul que l potenci de números multiplicndo el polinomio por sí mismo tnts veces como indique el eponente. Ejemplo clcul P siendo P P DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE RUFFINI..- División de polinomios Oservciones Elementos de un división
4 Pr que se pued hcer un división entre polinomios el grdo del dividendo tiene que ser mor o igul que el grdo del divisor. c L división de polinomios termin cundo el grdo del resto es menor que el grdo del divisor. d En tod división tnto en l de números como en l de polinomios se cumple lo siguiente DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO Ejemplo Ddos P Q clculr P Q 0 0 Teniendo en cuent l oservción d podemos escriir entonces lo siguiente P C Q R 0..- Método de Ruffini Es un método que se utiliz entre otrs coss pr dividir polinomios cundo el divisor es de l form o siendo " " un número. Ejemplo hll el cociente el resto de l siguiente división utilizndo el método de Ruffini 7 Recordr que en tod división se puede escriir que DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO sí en este cso tendremos que VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL RESTO..- Vlor numérico de un polinomio El vlor numérico de un polinomio en un punto ddo es el número que result l sustituir l letr o ls letrs que precen en el polinomio por los vlores que nos dign operr. Tem Epresiones lgerics. Polinomios
5 P Ejemplo Clcul el vlor numérico del polinomio P pr. P P P P P Clcul el vlor numérico del polinomio P pr. P P 8 P 8 0 P Teorem del resto Enuncido El resto de l división de un polinomio numérico del polinomio pr. P entre es igul l vlor Con otrs plrs pr clculr el resto de l división de un polinomio que son ls divisiones que pueden hcerse por el método de Ruffini sin hcer l división h que sustituir en l del polinomio P el número. P entre Ejemplo clcul sin hcer l división el resto de ls siguientes divisiones de polinomios P. Por el teorem del resto el resto de l división P Llmmos es P 8 P P. Por el teorem del resto el resto de l división Llmmos P P es P Oservciones. Al número que sle l sustituir l "" de un polinomio por un número se le llm "vlor numérico del polinomio en número ".. Un número " " se dice que es ríz de un polinomio P si el vlor numérico de ese polinomio en vle cero. Tem Epresiones lgerics. Polinomios
6 Tem Epresiones lgerics. Polinomios.- FACTOR COMÚN Recordtorio Cundo un término sle entero como fctor común dentro del préntesis se pone un "". El signo no es conveniente scrlo como fctor común. Ejemplo sc fctor común IDENTIDADES NOTABLES..- Cudrdo de un sum o un diferenci Ejemplo resuelve ls siguientes identiddes notles c d..- Sum por diferenci Ejemplo resuelve ls siguientes identiddes notles c 8 0 d 8
7 ..- Otención de un identidd notle Se trt de epresr un inomio polinomio de dos términos o un trinomio polinomio de tres términos como un sum por un diferenci o como el cudrdo de un sum o diferenci....- Epresión de un inomio como un sum por un diferenci. H que compror que el inomio represent un identidd notle. Pr ello st oservr que entre los dos términos del inomio h un rest.. Escriir cd término como un cudrdo.. Ls ses de los cudrdos nteriores son los elementos de l identidd notle. Ejemplo epres como un identidd notle los siguientes inomios rest Al número se le sc ríz cudrd l eponente de l "" se le divide entre / 8 8 8/ 7 7 / 7 c d...- Epresión de un trinomio como el cudrdo de un sum o un diferenci. Buscr en el trinomio los dos términos en los que l vrile estén elevdos l número más grnde l número más pequeño. Compror que esos términos tienen el mismo signo que se pueden escriir como un cudrdo.. Compror que el dole producto de ls ses de los cudrdos nteriores coincide con el otro término del trinomio que no se h utilizdo hst hor.. De cumplirse los puntos nteriores se puede firmr que el trinomio corresponde un identidd notle en concreto l cudrdo de un sum o de un diferenci en función del signo que teng el término del trinomio que se h utilizdo en el punto nterior. Tem Epresiones lgerics. Polinomios 7
8 Ejemplo epres como un identidd notle los siguientes trinomios Tienen el mismo signo los dos términos son positivos Los dos términos se pueden escriir como un cudrdo 8 8 que es el otro término del trinomio Después de compror que se cumplen ls condiciones pr que este trinomio se un identidd notle podemos escriir dich identidd 8 c 8 d.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Descomponer un polinomio en fctores consiste en escriirlo como producto de otros polinomios. Psos pr fctorizr un polinomio. Scr fctor común si es que se puede.. Buscr utilizndo el método de Ruffini ls ríces del polinomio que qued entre préntesis si es que se h scdo fctor común o del polinomio entero si no se h scdo fctor común. Ls posiles ríces son los divisores del término independiente del polinomio. Repetir el método de Ruffini hst que se cumpl un de ls siguientes condiciones - Si después de pror con tods ls posiles ríces del polinomio no h ningun es decir con ninguno de los divisores del término independiente sle en el método de Ruffini como resto cero. - Que queden solmente dos términos.. Escriir l descomposición o fctorizción del polinomio. Oservciones Descomponer o fctorizr un polinomio de grdo es lo mismo que scr fctor común si es que se puede en cso de que no se pued scr fctor común l fctorizción serí el mismo polinomio. Tem Epresiones lgerics. Polinomios 8
9 Ejemplo descomponer en fctores los siguientes polinomios 7 7 Muchs veces los inomios trinomios no se pueden descomponer en fctores utilizndo el método de Ruffini porque son identiddes notles. Ejemplo descomponer en fctores los siguientes polinomios Primero lo intentmos por Ruffini. Posiles ríces del polinomio No sle cero - 7 No sle cero El método de Ruffini por tnto no nos permite en este cso fctorizr el polinomio por lo tnto quedn dos opciones o se trt de un identidd notle o no dmite fctorizción. Después de relizr ls comprociones se oserv que el trinomio que tenemos que fctorizr es un identidd notle por lo tnto l fctorizción del mismo será est Lo intentmos por Ruffini. Posiles ríces del polinomio No sle cero - No sle cero Por Ruffini no se puede fctorizr. Es un identidd notle? L respuest es que sí se trt de un inomio cuos términos están restndo. L fctorizción será por tnto Ejemplo fctoriz los siguientes polinomios P 8. Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces 8 recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente Tem Epresiones lgerics. Polinomios
10 Posiles ríces 8 0 Prmos porque solo quedn dos números el el. Escriir l fctorizción P P 8. Fctor común P 8 8. Buscr ls ríces del polinomio que qued en el préntesis utilizndo Ruffini posiles ríces 8 recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente Posiles ríces ls misms Posiles ríces 0 Prmos porque solo quedn dos números el el. Escriir l fctorizción P c P 8. Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente. Tem Epresiones lgerics. Polinomios 0
11 Posiles ríces - 0 Prmos porque solo quedn dos números el el -. Escriir l fctorizción P d P. Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente Posiles ríces Prmos unque quedn tres números porque el polinomio no tiene más ríces; es decir l pror el método de Ruffini con el el - no sle de resto cero.. Escriir l fctorizción P 7.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Un frcción lgeric es un frcción en l que l menos en el denomindor h un polinomio. Pr simplificrls h que descomponer en fctores por seprdo el numerdor el denomindor después tchr los términos comunes. Ejemplo simplific ls siguientes frcciones lgenrics - Fctorizmos el numerdor Tem Epresiones lgerics. Polinomios
12 - Así 0 - Fctorizmos el denomindor Así 0 - Sustituimos en l frcción el numerdor el denomindor por sus fctorizciones simplificmos Fctorizmos el numerdor Así 7 - Fctorizmos el denomindor 0 Tem Epresiones lgerics. Polinomios
13 Así 0 - Sustituimos en l frcción el numerdor el denomindor por sus fctorizciones simplificmos 7 0 c - Fctorizmos el numerdor Podemos compror que el trimonio que h en el numerdor es el desrrollo de un identidd notle por lo que podemos escriir lo siguiente PERO hcerlo sí directmente requiere que un vez escrit l identidd notle h que compror que los polinomios que quedn entre préntesis no se pueden descomponer más lo cul sucede en este cso que qued un polinomio de primer grdo semos que fctorizr este tipo de polinomios equivle scr fctor común cos que no se puede hcer en este cso por lo que estrí termind l fctorizción. Así - Fctorizmos el denomindor Al igul que ntes podemos compror que este inomio es el desrrollo de un identidd notle por lo que podemos escriir lo siguiente De l mism mner deemos compror que los polinomios que quedn entre los préntesis no pueden descomponerse más cos que sucede. Así Tem Epresiones lgerics. Polinomios
14 - Sustituimos en l frcción el numerdor el denomindor por sus fctorizciones simplificmos Ejercicio fctorizr el siguiente polinomio Un opción serí utilizr el método de Ruffini pr descomponer o fctorizr el polinomio pero si nos dmos cuent este inomio es el desrrollo de un identidd notle sí Pero l hcer l fctorizción trvés de ls identiddes notles como se h comentdo nteriormente no st escriir l epresión de l identidd notle sino que h que compror si los polinomios que quedn en los préntesis se pueden seguir fctorizndo o no. En nuestro cso h dos préntesis En este préntesis h queddo un polinomio que no se puede fctorizr comprorlo cd uno por Ruffini. el desrrollo de un identidd notle por lo que podemos escriirlo sí Sin emrgo el polinomio de este préntesis sí puede descomponerse más vuelve ser Nuevmente hrí que compror si estos nuevos préntesis contienen polinomios que se pueden seguir fctorizndo en cuo cso hrí que continur no es nuestro cso pues quedn polinomios de primer grdo los que no se les puede scr fctor común. Por lo tnto l fctorizción es 8.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Tnto el m.c.d. como el m.c.m. de polinomios se clcul de l mism form que se clculn el m.c.d. el m.c.m. de números Máimo común divisor Después de descomponer en fctores los polinomios se multiplicn los fctores comunes elevdos l menor eponente. Mínimo común múltiplo Después de descomponer en fctores los polinomios se multiplicn los fctores comunes no comunes elevdos l mor eponente. Ejemplo hll el m.c.d. el m.c.m. de los siguientes polinomios Tem Epresiones lgerics. Polinomios
15 P Q - Descomponemos fctorilmente los polinomios Así P Q M -. C. D. P Q M -. C. M. P Q P 8 Q 8 - Descomposiciones en fctores de los polinomios P Q - Máimo común divisor mínimo común múltiplo M. C. D. P Q M. C. M. P Q.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Ls operciones con frcciones lgerics se hcen igul que ls operciones con frcciones de números enteros...- Sums rests Psos. Ponerle el mismo denomindor tods ls frcciones que será el m.c.m. de todos los denomindores.. Relizr ls operciones que queden en los numerdores. Tem Epresiones lgerics. Polinomios
16 Tem Epresiones lgerics. Polinomios. Escriir en un sol frcción teniendo mucho cuiddo con los signos.. Agrupr en el numerdor.. Simplificr el resultdo. Ejemplo Clculmos el m.c.m. de los denomindores... m c m Empezmos l operción =..- Multiplicciones divisiones Psos. Multiplicr en líne o en cruz dependiendo de si se trt de un producto o un cociente de frcciones PERO dejndo indicdos los productos utilizndo préntesis.. Descomponer o fctorizr cd uno de los polinomios que h en los préntesis.. Simplificr los términos comunes. Ejemplos Fctorizciones de los polinomios que h entre préntesis Recordr que fctorizr un polinomio de primer grdo es lo mismo que scr fctor común si se puede si no se puede es porque el polinomio está fctorizdo. 0 Es un identidd notle.
17 Primero se sc fctor común después se fctoriz el polinomio que qued entre préntesis que en este cso es de primer grdo está fctorizdo. Es un identidd notle. Fctorizciones de los polinomios que h entre préntesis Recordr que fctorizr un polinomio de primer grdo es lo mismo que scr fctor común si se puede si no se puede es porque el polinomio está fctorizdo. Primero se sc fctor común después se fctoriz el polinomio que qued entre préntesis que en este cso es de primer grdo está fctorizdo Operciones cominds Se hcen respetndo el orden de ls operciones cominds de números enteros. Ejemplos Tem Epresiones lgerics. Polinomios 7
18 Tem Epresiones lgerics. Polinomios 8 FIN DEL TEMA
TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1
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