9. Diferenciación de funciones reales de varias variables reales Diferenciación DERIVADAS PARCIALES

Transcripción

1 9.1. Diferenciación DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales de una función de dos variables Se llaman primeras derivadas parciales de una función f(x, y) respecto de x e y a las funciones: f x (x, y) = f f(x + h, y) f(x, y) (x, y) = lim x h 0 h f y (x, y) = f f(x, y + k) f(x, y) (x, y) = lim y k 0 k es decir, a las derivadas usuales respecto de cada una de las variables considerando a la otra constante. Si z = f(x, y), las derivadas parciales también se suelen representar por z x = x y z y = y. Interpretación geométrica y física Las derivadas parciales de z = f(x, y) representan Geométricamente: las pendientes de la superficie z = f(x, y) en las direcciones de los ejes x e y. Físicamente: las velocidades de cambio de z respecto de cada una de las variables x e y. Derivadas parciales y continuidad La continuidad y la existencia de derivadas parciales no están relacionadas. Una función continua puede no tener derivadas parciales y viceversa. Derivadas parciales de funciones de más de dos variables Las derivadas parciales de funciones de más de dos variables se definen de forma análoga: se deriva respecto de cada variable considerando las otras constantes. Derivadas parciales de orden superior Puesto que las derivadas parciales primeras son funciones, se pueden volver a derivar parcialmente para obtener las derivadas parciales de segundo orden, y así sucesivamente. En el caso de dos variables hay cuatro derivadas parciales de segundo orden: x ( f x ) x 2 = f xx y ( ) f x yx = f xy x ( ) f y xy = f yx Las derivadas f xy y f yx se llaman derivadas parciales cruzadas y no son siempre iguales. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f, f xy y f yx son continuas en un conjunto abierto D, entonces: f xy = f yx en D. y ( ) f y y 2 = f yy 1. Halla las derivadas parciales de: (a) f(x, y) = x 2 xy + 3y 2 ; (b) g(x, y) = x ; (c) z = 1 x x 2 +y 2 y 2 ; 2 (d) z = ln x 2 + y 2 ; (e) f(x, y) = x arctan x y, y su valor en el punto (1, 1). 2. Halla las pendientes de la superficie z = 9 x 2 2y 2 en P (2, 1, 3) en las direcciones de los ejes x e y. 3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T (x, y) = 500 x 2 2y 2. Halla la velocidad de cambio de la temperatura respecto en cada una de las direcciones en el punto (1, 2). 4. Una empresa fabrica dos tipos de estufas, X e Y, siendo C(x, y) = 32 xy + 175x + 205y el coste en euros de fabricar x estufas del tipo X e y estufas del tipo Y. (a) Halla los costes marginales (derivadas parciales) cuando x = 80 e y = 20; (b) Si se requiere una producción adicional, qué modelo de estufa incrementará el costo con una tasa más alta? 5. Utiliza las funciones f y g para comprobar que la continuidad y la existencia de derivadas parciales no están relacionadas. { { xy 2, si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y y sen 1, si (x, y) (0, 0) 4 g(x, y) = x 2 +y 2 0, si (x, y) = (0, 0) 0, si (x, y) = (0, 0) 6. Halla las derivadas parciales segundas de las funciones del ejercicio 1.

2 9.1. Diferenciación LA DIFERENCIAL Incrementos y diferenciales Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan x e y, a: y se llama diferencial total a: z = f (x + x, y + y) f(x, y) dz = dx + x y dy = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy Diferencial de una función en un punto Una función z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como: z = f x (a, b) x + f y (a, b) y + ε 1 x + ε 2 y donde ε 1, ε 2 0 cuando ( x, y) (0, 0) para lo que se debe cumplir que: f(x, y) f(a, b) f x (a, b)(x a) f y (a, b)(y b) lim = 0 (x,y) (a,b) (x a) 2 + (y b) 2 Condición suficiente de diferenciabilidad Si una función y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el abierto. Condiciones necesarias de diferenciabilidad Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el punto. Uso de la diferencial como aproximación Despreciando los términos que tienden a cero, si una función es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la siguiente fórmula para la estimación de errores: z f x (a, b) x + f y (a, b) y cuando x, y 0 Sustituyendo los incrementos por su expresión, se obtiene la siguiente fórmula de aproximación: f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) cuando (x, y) (a, b) 1. Halla las diferenciales totales de las siguientes funciones: (a) z = 2x sen y 3x 2 y 2 ; (b) w = x 2 + y 2 + z Prueba que la función f(x, y) = x 2 + 3y es diferenciable en todo punto. 3. Prueba que la siguiente función es continua y admite derivadas parciales primeras en el origen, pero no es diferenciable en dicho punto. xy, si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0, si (x, y) = (0, 0) 4. El error cometido al medir cada una de las aristas de una caja rectangular es ±0, 1 milímetros. Halla el error absoluto y relativo que se puede cometer al hallar el volumen de una caja de aristas que miden 50, 20 y 15 centímetros.

3 9.1. Diferenciación REGLA DE LA CADENA Regla de la cadena Si z = f(x, y) con x = x(t) e y = y(t), entonces: z(t) = f (x(t), y(t)) y dz dt = dx x dt + dy y dt o, mejor en este caso: z (t) = x x (t) + y y (t) Si z = f(x, y) con x = x(u, v) e y = y(u, v), entonces: z(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) Derivación implícita u = x x u + y y u v = x x v + y y v Si F (x, y) = 0 define implícitamente a y como función derivable de x, entonces: F dx x dx + F dy y dx = 0 = F x(x, y) + F y (x, y)y = 0 = y = F x(x, y) F y (x, y) Si F (x, y, z) = 0 define implícitamente a z como función diferenciable de x e y, entonces: F x x x + F x = 0 = F x(x, y, z) + F z (x, y, z) x F y y y + F y = 0 = F y(x, y, z) + F z (x, y, z) y = 0 = x = F x(x, y, z) F z (x, y, z) = 0 = y = F y(x, y, z) F z (x, y, z) 1. Si z = (x 2 y)y, con x = sin t e y = e t, aplica la regla de la cadena para calcular z (t) y su valor en t = Deduce la expresión de la regla de la cadena para la función w = f(x, y, z) si: (a) x = x(t), y = y(t) y z = z(t); (b) x = x(u, v), y = y(u, v) y z = z(u, v). 3. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales de w respecto de u y v en los siguientes casos: (a) w = x 2 2xy + y 2, con x = u + 2v e y = uv (b) w = xyz, con x = u + v, y = u v y z = uv 2 4. Halla las derivadas parciales de z respecto de ρ y θ (coordenadas polares) de las dos formas siguientes: usando la regla de la cadena y obteniendo primero la expresión de z en polares. (a) z = 1 x 2 y 2 (b) z = arctan y x 5. Deriva implícitamente a y respecto de x en la ecuación: y 3 + y 2 5y x = 0. Cuál es la pendiente de la curva representada por la ecuación en el punto de abscisa 1 y ordenada negativa? 6. Deriva implícitamente a z respecto de x e y en la ecuación 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 + 3yz + 15 = 0, y calcula sus valores en el punto de la superficie donde x = 2 e y = El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 centímetros por minuto y la altura decrece a razón de 4 centímetros por minuto. Cuál es la velocidad o ritmo de cambio del volumen y del área superficial del cilindro cuando el radio es de 12 centímetros y la altura de 36 centímetros?

4 9.1. Diferenciación DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE Derivada direccional de funciones de dos variables Sea f(x, y) una función de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 θ < 2π, un vector unitario. Se llama derivada direccional de f en (a, b) en la dirección de u al siguiente límite (si existe): D u f(a, b) = D θ f(a, b) = lim h 0 f (a + h cos θ, b + h sen θ) f(a, b) h Cuando la función es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en función de las derivadas parciales: D u f(a, b) = D θ f(a, b) = f x (a, b) cos θ + f y (a, b) sen θ Gradiente de funciones de dos variables Se llama gradiente de la función diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales: f(x, y) = (f x (x, y), f y (x, y)) Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar: D u f(a, b) = f(a, b) u Propiedades del gradiente de una función de dos variables Si f(a, b) = 0, entonces D u f(a, b) = 0 para todo u. La derivada direccional en (a, b) es máxima en la dirección del vector gradiente f(a, b) (dirección de máximo incremento de f), siendo f(a, b) su valor máximo. La derivada direccional en (a, b) es mínima en la dirección del vector f(a, b) (dirección de mínimo incremento de f), siendo f(a, b) su valor mínimo. La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier dirección perpendicular al vector gradiente. Derivada direccional y gradiente de una función de tres variables La derivada direccional de f(x, y, z) en (a, b, c) en la dirección del vector unitario u = (u 1, u 2, u 3 ) es donde D u f(a, b, c) = f x (a, b, c)u 1 + f y (a, b, c)u 2 + f z (a, b, c)u 3 = f(a, b, c) u f(a, b, c) = (f x (a, b, c), f y (a, b, c), f z (a, b, c)) es el vector gradiente, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables. 1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican: (a) f(x, y) = 5 + x 2 3y 2, en el punto (1, 2) y el la dirección θ = π 6. (b) f(x, y) = y 2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la dirección v = 3i 4j. 2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f(x, y) = 3x 2 2y 2 en P ( 3/4, 0) en la dirección que va de P a Q(0, 1). 3. La temperatura en grados centígrados en la superficie de una placa metálica es T (x, y) = 20 4x 2 y 2, donde x e y se expresan en centímetros. A partir del punto (2, 3), en qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura de la placa? Cuál es el ritmo de crecimiento? 4. Halla el vector gradiente de la función f(x, y, z) = x 2 + y 2 4z, así como las direcciones de máximo y mínimo incremento de f en el punto (2, 1, 1). Existe alguna dirección en la que la derivada direccional sea nula?

5 9.1. Diferenciación APLICACIONES GEOMÉTRICAS Recta normal y plano tangente a una superficie Si S es una superficie de ecuación implícita F (x, y, z) = 0, y P (a, b, c) un punto de la misma en el que F (a, b, c) 0, entonces un vector normal a S en P es F (a, b, c) y, en consecuencia: La recta normal a la superficie S en el punto P es la que pasa por P con vector de dirección F (a, b, c), cuya ecuación es: (x, y, z) = (a, b, c) + λ (F x (a, b, c), F y (a, b, c), F z (a, b, c)) El plano tangente a la superficie S en el punto P es el que pasa por P con vector normal F (a, b, c), cuya ecuación es: F x (a, b, c)(x a) + F y (a, b, c)(y b) + F z (a, b, c)(z c) = 0 Observación Si la superficie viene dada en forma explícita, z = f(x, y), entonces F (x, y, z) = f(x, y) z y el vector normal en el punto P (a, b, c) es: F (a, b, c) = (F x (a, b, c), F y (a, b, c), F z (a, b, c)) = (f x (a, b), f y (a, b), 1) Recta tangente a una curva dada como intersección de superficies Si Γ es la curva dada por la intersección de las superficies F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, su recta tangente en el punto P (a, b, c) es paralela al producto vectorial de los vectores perpendiculares a cada una de las superficies, es decir, paralela al vector: F (a, b, c) G(a, b, c). Su ecuación vectorial es: (x, y, z) = (a, b, c) + λ ( F (a, b, c) G(a, b, c)) 1. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al hiperboloide z 2 2x 2 2y 2 = 12 en el punto (1, 1, 4). 2. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente al paraboloide z = 1 x 2 2y 2 en el punto (1, 1, 2). 3. Halla ecuaciones de la recta normal y del plano tangente a la superficie xy x 2 z + xz = 0 en el punto donde x = 1, y = 2 y z < Halla una ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 6 y x + y z = 0 en el punto (2, 1, 1).

6 9.1. Diferenciación EJERCICIOS 1. Halla las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = e sen y x (b) f(x, y) = arctan y x (c) f(x, y) = x y (d) f(x, y, z) = (xy) z 2. Una medida de la percepción del calor ambiental se mide por el índice de temperatura aparente: A(t, h) = 0, 885t 22, 4h + 1, 20th 0, 544 grados centígrados donde t es la temperatura del aire y h la humedad relativa en tanto por uno. (a) Halla el índice de temperatura aparente y sus derivadas parciales cuando la temperatura del aire es 30 o C y la humedad relativa del aire es del 80%; (b) Qué influye más sobre el índice, la temperatura del aire o la humedad. 3. Si el radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y 2%, respectivamente, cuál es el error relativo que se puede cometer al medir el volumen? 4. Dos lados adyacentes de un triángulo miden 3 ± 0, 01 y 4 ± 0, 01 metros, y el ángulo comprendido entre ellos mide π/4 ± 0, 02 radianes. Cuál es el máximo error que se puede cometer al hallar su área? 5. La potencia eléctrica viene dada por la fórmula P = E2 R, donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproxima el error relativo que se puede cometer al hallar la potencia si se aplican 200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios, medidos con errores relativos del 2% y 3%, respectivamente. 6. Usa la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales, con respecto a u y v, en los siguientes casos: (a) z = x 2 sen(xy) + y 2 cos(xy), con x = u 2 v e y = uv 2. (b) w = xy + xz + yz, con x = uv, y = u 2 y z = v Calcula las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican: (a) f(x, y) = ln x 2 + y 2, en el punto (1, 1) y en la dirección del vector v = (2, 1). (b) f(x, y) = e x cos(xy), en el punto ( 1, π 2 ) y en la dirección del vector v = 3i + 4j. 8. Se considera la función f(x, y) = 1 π ex+y + x 0 t 2 t 4 +1 dt. (a) Prueba que es diferenciable en todo el plano. (b) Calcula la derivada direccional en el origen según el vector v = (1, 2). (c) En qué dirección es máxima la derivada direccional en el origen? Cuál es su valor? 9. Se consideran las funciones: f(x, y) = { x+y 1 xy, si xy 1 0. si xy = 1 g(x, y) = { xy x 4 +y 6, si (x, y) (0, 0) 0. si (x, y) = (0, 0) (a) Estudia la continuidad y diferenciabilidad. (b) Halla las derivadas parciales en el origen y, si existe, la derivada direccional según el vector v = (1, 2). (c) En qué dirección es máxima la derivada direccional en el origen? Y nula? 10. Un rastreador térmico se encuentra en el punto (2, 3) sobre una placa metálica cuya temperatura viene dada por la función T (x, y) = 20 4x 2 y 2. Si el rastreador se mueve continuamente en la dirección de máximo incremento de temperatura, cuál será su trayectoria? 11. Halla la ecuación del plano tangente a la superficie z = 1 xy en el punto (1, 1, 1).