5 APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA La derivada va a ser la herramienta más potente a la hora de dar forma a la representación gráfica de una función. Ella determinará con toda fidelidad el crecimiento, decrecimiento, máimos, mínimos y puntos de infleión; conceptos que serán definidos en el desarrollo del tema. ) Funciones Crecientes y Decrecientes. Sea f una función continua con ecuación f la siguiente su representación gráfica en dicho intervalo: y, definida en un intervalo ;b a y Una función es creciente cuando al aumentar al valor de la variable independiente, también aumenta el valor de la variable dependiente; y es decreciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente, disminuye el valor de la variable dependiente. En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: Creciente en los intervalos: a ; y 5 ; Decreciente en los intervalos: ; ;b 5 y Matemática - Cuarto Año -

2 Definiciones: Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos resulta f f. cualesquiera del mismo, y tales que Se dice estrictamente creciente si de resulta f f. Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos resulta f f. cualesquiera del intervalo, y que cumplan Se dice estrictamente decreciente siempre que de se deduzca f f. Veamos cómo investigar si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo por medio de la derivada primera: gráficamente se ve que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva f, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa f, la función decrece. Esto se formaliza con el siguiente Teorema: Sea f una función continua en un intervalo cerrado a ;b y derivable en el intervalo abierto a ;b : Si f para todo en a ;b, entonces la función f es creciente en ;b a. Si f para toda en a ;b, entonces la función f es decreciente en ;b a. ) Etremos: Máimos y Mínimos Definiciones: El punto ; f que el valor que toma la función en : es un máimo relativo de f, si eiste un entorno de en el f, es mayor que cualquiera de los valores que alcanza la función en el entorno. Si f f para todo en el dominio de f, entonces de f o máimo absoluto. f es el valor máimo Matemática - Cuarto Año -

3 El punto ; f que el valor que toma la función en : es un mínimo relativo de f, si eiste un entorno de en el f, es menor que cualquiera de los valores que alcanza la función en el entorno. Si f f para todo en el dominio de f, entonces f o mínimo absoluto. f es el valor mínimo de En el gráfico de la página anterior podemos observar que los puntos ; f y ; f 5; f 5 es un mínimo de f. son máimos y el punto Notemos que en esos puntos la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. Todo punto que anule la derivada primera de una función se llama punto crítico de la función. En un punto crítico puede o no eistir un máimo o un mínimo. Es decir, f es condición necesaria, pero no suficiente, para la eistencia de un etremo en ; f. Condición Suficiente: - Siendo punto crítico a) Criterio de la derivada primera: Para Máimo: a izquierda de es f () > y a derecha de es f () <. (La función pasa de creciente a decreciente). Para Mínimo: a izquierda de es f () < y a derecha de es f () >. (La función pasa de decreciente a creciente). Matemática - Cuarto Año -

4 b) Criterio de la derivada segunda: Para Máimo: f ; f es Máimo Para Mínimo: f ; f es Mínimo ) Concavidad La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente: Se dice que la gráfica de un función f es cóncava positiva hacia arriba en un intervalo A, A D, si f () es creciente en A. Si f () es decreciente en A f entonces se dice que la gráfica de f es cóncava negativa hacia abajo. Es la función derivada f la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo. Concavidad positiva: Si f ( ) > cuando cóncava hacia arriba o positiva en A. A, entonces la gráfica de f es Concavidad negativa: Si f ( ) < cuando cóncava hacia abajo o negativa en A. A, entonces la gráfica de f es Concavidad positiva Concavidad negativa Si la derivada primera es creciente, la función es cóncava hacia arriba y los puntos de la función f se encuentran por encima de la recta tangente en el punto ( ; f( )). Matemática - Cuarto Año - 4

5 Si la derivada primera es decreciente, la función es cóncava hacia abajo y los puntos de la función f se encuentran por debajo de la recta tangente en el punto ( ; f( )). 4) Punto de Infleión El punto que, en una función continua, separa la parte convea de la cóncava, se llama punto de infleión de la función. En ellos la función cambia el sentido de su concavidad. Los puntos de infleión están caracterizados por: Si f ( ) =, o f ( ) no eiste, y la función derivada f () cambia de signo al pasar por el valor de =, entonces, el punto de la función de abscisa = es un punto de infleión de la función. Los puntos de infleión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. Condición necesaria: para la eistencia de un punto de infleión es que la derivada segunda se anule o no eista en ese punto. Condición suficiente: para la eistencia de un punto de infleión es que sea diferente el signo de la derivada segunda a derecha y a izquierda del punto en cuestión. En la figura, el punto: ( ; f( ) ) es un punto de infleión Matemática - Cuarto Año - 5