Lista de problemas de Matemática Financiera (Temas 1 y 2) Leyes de interés y descuento

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1 MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA ( ) LICENCIATURAS EN ECONOMÍA Y ADE - DERECHO Lista de problemas de Matemática Financiera (Temas 1 y 2) Leyes de interés y descuento 1. Se considera la ley de capitalización L(t) = (1 + 0, 04t) 2. Es L escindible? 2. Se prestan u. m. a un interés simple del 9 %, pagaderas a los 10 meses. Después de 6 meses se conviene en extinguir la operación. Qué capital deberá reintegrarse? 3. Calcula el valor de 1000 u.m. después de 3 años en los que han estado depositadas a un tanto de interés nominal capitalizable mensualmente del 24 %. 4. Determina: a) El tanto de interés anual efectivo equivalente al interés del 8 % anual capitalizable trimestralmente. b) El tanto de interés anual capitalizable semestralmente equivalente al interés del 7 % anual efectivo. c) El tanto de interés bimestral efectivo equivalente al interés del 6 % anual capitalizable trimestralmente. d) El tanto de descuento anual capitalizable trimestralmente equivalente al descuento del 12 % anual capitalizable semestralmente. 5. El Banco A abona a sus impositores el 5 % anual capitalizable trimestralmente; el Banco B paga el 5 % anual capitalizable semestralmente. Para una inversión de un año, qué opción es más ventajosa para el impositor? 6. Calcula el montante obtenido al invertir u.m. durante 10 años, si el interés es el 6 % semestral efectivo durante los 5 primeros años y el 1 % mensual efectivo durante los 5 últimos. Determina la rentabilidad efectiva del capital de u.m. durante los 10 años. 7. Una persona realiza una única imposición de C 0 = euros en un banco que opera con un interés nominal capitalizable mensualmente del 5, 4 %. Al cabo de cada año transcurrido retira la mitad del capital acumulado, permaneciendo la otra mitad en depósito. a) Obtén el interés anual efectivo i equivalente al ofertado por el banco. b) Calcula C 1, C 2 y C 3, capitales que siguen en depósito pasados 1, 2 y 3 años, respectivamente, inmediatamente después de retirar la mitad del total acumulado en cada caso. Qué relación existe entre estos capitales y C 0?

2 Métodos Matemáticos de la Economía Matemática Financiera 2 c) Determina la expresión de C n, capital remanente en el banco justo tras realizar el n-ésimo desembolso anual, en función del capital inicial C 0, el tiempo transcurrido n y el interés anual efectivo i. d) Cuánto tiempo tardará el capital inicial de euros en verse reducido solamente a 1 euro en depósito? Rentas 8. Determina el fondo que se constituye al cabo de 20 años si se realizan pagos semestrales de 500 u.m. a un tanto de interés anual efectivo del 4 %. 9. Qué renta proporciona mayor valor final, aquella cuyas cuotas son de 1 u.m. al año durante 10 años o bien otra cuyos plazos son de 0,5 u.m. cada semestre durante 10 años, si en ambos casos el interés anual efectivo es del 3 %? (Se supone que ambas rentas son pospagables). 10. Una renta anual diferida pospagable con 14 cuotas de u.m. cada una, se obtuvo a cambio de una entrega de ,15 u.m. Cuántos fueron los años de diferimiento, sabiendo que se contrató al 8 %? 11. El Sr. X entrega en un banco, durante 6 años, cantidades distintas. El primer año, u.m. y los años sucesivos aumenta su entrega anterior en un 10 %. Qué capital obtendrá al término de los 6 años, si el interés es del 8 % anual? 12. Calcula el valor actual de una renta perpetua prepagable en progresión geométrica, tal que la primera anualidad es de un millón de u.m. y cada año es un 10 % mayor, siendo el tanto de interés del 15 %. 13. Una renta proporciona unas prestaciones de 1 u.m. por año, creciendo en el 10,25 % cada 4 años. La renta es pagadera durante 40 años al final de cada año. Utilizando un tanto de interés anual efectivo del 5 %, determina una expresión para el valor actual de esta renta. 14. Un joven que se acaba de incorporar al mercado de trabajo y no dispone de ahorros ha decidido adquirir un coche que en ese momento cuesta euros. a) Para disponer del vehículo en el acto le proponen que su pago se realize mediante cuotas constantes al final de cada mes durante 5 años, a un tipo de interés anual efectivo del 7 %. Calcula la cuantía de cada una de dichas cuotas pagaderas mensualmente. b) El joven, consciente de la precariedad laboral, decide no endeudarse y comprar el coche al cabo de los mismos 5 años, teniendo en cuenta que su precio se incrementa en un 2 % cada año. Para ello, deposita al final de cada trimestre una cantidad en una entidad financiera que le remunera al 3 % nominal trimestral. 1) Qué cantidad constante trimestral debería aportar para poder comprar el coche al contado con el fondo acumulado a los 5 años? 2) Transcurridos los dos primeros años, el joven pierde su empleo, por lo que suspende sus depósitos temporalmente. Al año siguiente recupera su puesto de trabajo y continúa con sus aportaciones. Qué cantidad tendría que abonar al final de cada trimestre durante los dos últimos años para compensar el año en blanco y poder comprar igualmente el coche al cabo de los 5 años?

3 Métodos Matemáticos de la Economía Matemática Financiera Una entidad financiera ha lanzado un plan para fomentar que sus empleados dejen de fumar. Éste consiste en que los fumadores que abandonan el hábito depositarán periódicamente el dinero ahorrado en una cuenta bancaria especial, a un interés anual efectivo del 10 % los 5 primeros años, 9 % los 5 años siguientes, y sucesivamente a un interés anual efectivo un 1 % menor cada 5 años. Además, si en el momento de su jubilación siguen sin fumar, se les devolverán sus aportaciones junto con los intereses generados, más una bonificación del 10 % del fondo acumulado. Sin embargo, si antes de dicha fecha volvieran a fumar, en ese momento se suspenderían las aportaciones y se les devolvería el montante generado hasta entonces. a) Qué cantidad obtendrá en el momento de su jubilación, a los 65 años, una persona que contrató el plan a los 50 años y ha depositado mensualmente 90 euros en la cuenta? b) Otra persona contrató el plan a los 40 años con aportaciones trimestrales hasta los 52 años, en que volvió a fumar. Sabiendo que el valor actual de su plan, de 12 años de duración, asciende a 8000 euros, cuál fué la cuantía de la cuota depositada cada trimestre? 16. Un pequeño ahorrador decide contratar un depósito creciente a 3 años que ofrece un tipo de interés nominal capitalizable trimestralmente del 3 % el primer año, 3,5 % el segundo año y 4 % a lo largo del tercer año, con una aportación inicial de 6000 euros. Este depósito se caracteriza porque también se pueden realizar aportaciones adicionales al final de cada trimestre hasta su vencimiento. a) Obtenga la rentabilidad efectiva (tipo de interés anual efectivo) que ofrece este depósito creciente a tres años, si realiza una única aportación inicial. b) Si el ahorrador que lo contrata realiza, además de la aportación inicial, aportaciones trimestrales de 500 euros a lo largo del primer año, 1000 euros trimestrales a lo largo del segundo año y durante el tercer año no realiza ninguna aportación, qué cantidad tendrá acumulada en el depósito a su vencimiento (al final del tercer año)? c) Si además de las cantidades anteriores, también realizara aportaciones a lo largo del tercer año a razón de 1500 euros trimestrales, qué cantidad final tendría acumulada en el depósito en el momento de su vencimiento? Préstamos 17. Se concede un préstamo de u.m., a pagar en 6 años al 8 % de interés anual efectivo. Calcula cuánto se ha de pagar al cabo de los 6 años, si: a) Se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses. b) Se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital y los intereses se pagan anualmente. 18. Calcula los cuadros de amortización de un préstamo de u.m. al 10 % anual efectivo, pagadero en 5 años, mediante cada una de las siguientes modalidades: a) Con amortización uniforme. b) Con sistema francés.

4 Métodos Matemáticos de la Economía Matemática Financiera Una persona concertó un préstamo de u.m. al 5 % abonando anualmente los intereses durante 10 años. Con el fin de reconstruir el capital que cancela el préstamo, al final del primer año comienza en un banco una imposición anual de cuantía F al 4 %. Calcula a) La cuantía de la imposición. b) El tanto de interés anual efectivo que realmente pagó el deudor. 20. El mes pasado una empresa ha contratado un préstamo al 6 % nominal mensual a amortizar, por el método francés, en 180 cuotas mensuales. Con la primera cuota ha pagado 500 euros de intereses (I 1 = 500). Calcula: a) Las cantidad de la primera cuota que irá destinada al a la amortización de la deuda. b) Las cantidades de la última cuota que irán destinadas al pago de intereses y a la amortización de la deuda. c) El importe C del préstamo inicial contratado por la empresa. 21. De un préstamo amortizado mediante el sistema francés durante 2 años, con pagos semestrales, se dispone de la siguiente información: Capital pendiente de amortizar al comienzo del cuarto semestre: 772,42 euros. Capital amortizado al final del primer semestre: 727,87 euros. a) Calcula el tipo de interés nominal semestral del préstamo. b) Obtén el cuadro de amortización, consignando todos los datos relevantes (plazos, cuotas de capital e interés, capitales pendiente de amortizar y amortizado) en cada periodo. 22. El Sr. Martínez está pagando al final de cada mes 775,5 euros para amortizar un préstamo por el sistema francés, contratado a un tipo nominal mensual del 4,75 % con el banco BGA hace 10 años y pagadero en 20 años. A su vez, ha decidido comprar un vehículo nuevo por euros, y para su financiación ha acudido al banco BGC. Este banco le ofrece amortizar dicha cuantía al final de cada mes durante 10 años por el sistema francés al 7,5 % anual efectivo. Ahora bien, el Banco BGC está realizando una campaña de captación de clientes y le ofrece financiación al 5,25 % nominal mensual si traslada la deuda pendiente con el BGA a su entidad y la unifica con el préstamo de su vehículo. a) Obtén el pago mensual que debería realizar el Sr. Martínez al banco BGC para amortizar su vehículo si mantuviese su anterior préstamo con el banco BGA. b) Si decidiera reunir sus préstamos, qué cantidad debería pedir prestada al banco BGC para cubrir la deuda con el banco BGA? c) Calcula la cuota que tendría que pagar al final de cada mes al banco BGC si unificara sus deudas y la amortización conjunta se realizara por el sistema francés durante 10 años. d) Resultaría beneficiosa para el Sr. Martínez la unificación de los préstamos en el BGC? Y si la financiación ofrecida por el BGC al trasladar el préstamo fuera del 6,25 % nominal mensual?

5 Métodos Matemáticos de la Economía Matemática Financiera Se consideran dos posibilidades para amortizar un préstamo de euros en 5 años, a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente i (12) del 6 %: Mediante cuotas de cancelación (o plazos) mensuales constantes durante los 5 años (sistema francés). Mediante cuotas de amortización mensuales constantes durante los 5 años (sistema de amortización uniforme). Determina: a) El sistema de amortización con el que se paga la mayor cuota de cancelación el primer mes de vida del préstamo (es decir, mayor primer plazo). b) El capital pendiente de amortizar (o deuda viva) al comienzo del cuarto año con cada una de las modalidades consideradas. 24. Un empresario pide un préstamo de euros a una entidad bancaria. Su devolución se fija abonando pagos constantes de X euros al final de cada mes durante 3 años, además de un pago final de euros a la conclusión del tercer año. El tipo de interés de la operación es del 6 % anual efectivo. a) Obtén la cuantía X abonada al final de cada mes. b) Si transcurridos 20 meses desde la concesión del préstamo, el empresario decidiera cancelar el préstamo, qué importe debería abonar al banco? c) Si el empresario decide continuar con el préstamo hasta su vencimiento, pero transcurridos 24 meses el tipo de interés varía y pasa a ser el 5 % nominal capitalizable mensualmente, obtén la nueva mensualidad. 25. Un centro comercial pone a la venta un equipo multimedia al precio de 3600 euros y con tres modalidades de pago Opción A. Pago al contado, con un descuento del 10 % sobre el precio de venta al público. Opción B. Pago aplazado sin intereses. Únicamente se abonarán 12 pagos al final de cada mes para cubrir el precio de venta al público. Opción C. Pago aplazado durante un año con cuotas constantes que se pagan al final de cada mes, con un tipo de interés del 5 % nominal mensual. Un cliente, a pesar de no disponer de liquidez, está interesado en la modalidad de pago al contado (Opción A). Para ello tendrá que solicitar un préstamo personal en una entidad financiera que aplica un tipo de interés del 5, 25 % anual efectivo, amortizable con pagos constantes al final de cada mes durante un año. a) Obtén la mensualidad a pagar por este cliente con cada una de las tres opciones anteriores. b) Justifica razonadamente si la opción de pago al contado es la más rentable para este cliente.

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