Síntesis µ para la minimización robusta de vibraciones en un modelo estructural de tres pisos sujeto a excitaciones sísmicas

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1 Síntesis µ para la minimización robusta de vibraciones en un modelo estructural de tres pisos sujeto a excitaciones sísmicas Ing. Horacio Andrés Coral Enríquez hcoral@admon.uniajc.edu.co Resumen Recientemente, más y más estudios experimentales indican que el diseño de sistemas de control activo y su implementación requiere de consideraciones de robustez en el proceso de diseño, las cuales incluyen desempeño robusto respecto a disturbios externos y ruido en las mediciones, y estabilidad robusta respecto a la incertidumbre del sistema. En este artículo se presenta la identificación de una estructura flexible de tres pisos activamente controlada por un amortiguador de masa activa (), así como el diseño de un controlador robusto basado en el valor singular estructurado que busca obtener los mencionados criterios de robustez, en presencia de incertidumbre, para minimizar las aceleraciones relativas de cada piso de la estructura causadas por excitaciones sísmicas en su base. El controlador usa como realimentación la aceleración relativa de cada piso de la estructura y se valida mediante simulaciones, para posteriormente realizar la validación experimental en la estructura real ante el sismo de Armenia, orientación este-oeste, de Los resultados muestran que el desempeño del sistema de control es notablemente bueno y robusto, y además apropiado para la protección sísmica de estructuras de ingeniería civil. Palabras clave: Control activo, control robusto, control estructural, valor singular estructurado. Abstract Recently, more and more experimental studies indicate that active control design and its practical implementation requires consideration of robustness criteria in the design process, which includes the performance robustness with respect to disturbance rejection and measurement noise, and stability robustness with respect to system uncertainty. In this paper, the identification of an actively-controlled three level flexible structure, as well as the design of a structured singular value based robust controller that seeks these robustness criteria in presence of uncertainty, by minimizing all structure relative accelerations caused by seismic excitations, are presented. The controller uses as feedback all relative structure accelerations and it is validated by extensive simulations to perform an experimental validation on the real structure excited by Armenia s earthquake east-west orientation of From experimental results, it is demonstrated that the performance of proposed controller is remarkable and robust, and it is suitable for application in seismic protection of civil frame buildings. Keywords: Active control, robust control, structural control, structured singular value. 41

2 Introducción La filosofía del diseño sismorresistente actual se basa en proporcionarle a la estructura suficiente resistencia, rigidez y ductilidad, determinada por los códigos de construcción. La nueva filosofía debe ir encaminada a proporcionar un mayor grado de disipación de energía para aumentar la ductilidad global en la edificación. Un ejemplo de esto se implementó en la NERHP desde el 2000, con la inclusión de un capítulo sobre aisladores sísmicos y otro sobre amortiguadores en edificaciones. 1 Esta medida afecta directamente el Coeficiente Básico de Disipación de Energía, Zeta y lo incrementa a valores muy superiores de los establecidos en la NSR-98. Los sistemas de control estructural ofrecen ventajas como buscar que la estructura permanezca en el rango elástico y reducir desplazamientos y aceleraciones. Este enfoque ha llevado al desarrollo de cuatro tipos básicos de dispositivos de control estructural: Pasivos, Activos, Híbridos y Semiactivos, los cuales por medio de estrategias de control mejoran considerablemente la respuesta estructural del edificio cuando es excitado por fuerzas externas, como sismos o vientos. Esta creciente necesidad de evitar nuevas catástrofes ha impulsado y evolucionado el control estructural rápidamente, tanto en su parte teórica como en la práctica. Las aproximadamente 102 implementaciones de control pasivo solo en Norte américa, 2 más de 721 estructuras con dispositivos de control pasivo alrededor del mundo 3 y decenas de implementaciones de control hibrido, activo y semiactivo en estructuras reales alrededor del mundo 2, 4-6 así lo demuestran. Recientemente, estudios experimentales indican que el diseño de sistemas de control activo y su implementación requiere de consideraciones de robustez en el proceso de diseño, 7 al partir del hecho de que las estructuras civiles tienen masa y rigidez variables. Por tanto, el modelado y el control robustos toman hoy en día una posición muy importante en el control estructural. Dada la importancia que el control estructural ha tomado, el modelado robusto de estructuras, el diseño, simulación y evaluación experimental de estrategias de control robustas es esencial y pertinente para una eventual implementación real; 8 sin embargo, en Colombia, a pesar de que más del 80% de la población está ubicada en ciudades clasificadas por las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismorresistente NSR-98 9 como de alta amenaza sísmica o eólica, las investigaciones realizadas en control estructural son casi nulas. Por esta razón este artículo se centra en el modelado robusto de una estructura de tres pisos activamente controlada por un Dispositivo de Masa Activa (), así como el diseño, la simulación y la validación experimental de un controlador robusto que busca minimizar las vibraciones de la estructura ante excitaciones sísmicas. Las pruebas experimentales se desarrollaron en el Laboratorio de Ingeniería Sísmica y Dinámica Estructural de la Universidad del Valle. 1. NERHP. Recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures. in Building seismic safety council Soong, T.T. and B.F. Spencer, Supplemental energy dissipation: state-of-the-art and state-of-the-practice. Engineering Structures, (3): p Center, E.E.R. Applications of Passive Protective Systems Around the World [cited 19/10/2008]; Available from: nisee.berkeley.edu/prosys/applications.html. 4. Datta, T.K., A state-of-the-art review on active control of structures. ISET Journal of Earthquake Technology, (1): p Song, G., N. Ma, and H.N. Li, Applications of shape memory alloys in civil structures. Engineering Structures, (9): p Symans, M.D. and M.C. Constantinou, Semi-active control systems for seismic protection of structures: a state-of-the-art review. Engineering Structures, (6): p Wu, J.-C., H.-H. Chih, and C.-H. Chen, A robust control method for seismic protection of civil frame building. Journal of Sound and Vibration, (1-2): p Battaini, M., G. Yang, and B.F. Spencer, Bench-Scale Experiment for Structural Control. Journal of Engineering Mechanics, (2): p Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente. 1998, Bogotá: Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica. 42

3 2. Descripción del sistema estructural El sistema estructural objeto de estudio corresponde a un modelo estructural losa-columna de tres pisos de masa variable, sujeto a excitaciones sísmicas unidireccionales y controlado activamente en esa misma dirección por un motor lineal tubular o Active Mass Damper (). El está ubicado sobre la losa del tercer piso de la estructura modelo y tiene un sistema de control de posición sintonizado para obtener un ancho de banda de 20Hz, superior a las frecuencias de resonancia de la estructura, cuyas frecuencias pueden variar de 1.2 Hz a 3.5 Hz, de 5 Hz a 8 Hz, y de 9.3 Hz a 14 Hz, para las resonancias del primero, segundo y tercer modo, respectivamente. El objetivo del es generar fuerzas horizontales en la estructura para compensar los desplazamientos y aceleraciones que sufre la estructura a causa de fuerzas sísmicas en su base. Este enfoque lleva a deducir que el es el actuador del sistema de control estructural que busca reducir las vibraciones en la estructura modelo ante excitaciones sísmicas. La Figura 1 detalla la configuración del sistema de control estructural. Figura 1. Descripción de la configuración del sistema de control estructural 3. Modelado y control Uno de los retos más importantes en el diseño de sistemas de control es el desarrollo de un modelo matemático preciso del sistema a controlar. El método utilizado en este caso es una aproximación alternativa de identificación en el dominio de la frecuencia, que consiste en hallar un modelo dinámico que replique el comportamiento real del sistema estructural para cada relación entrada-salida. Esta aproximación ha sido utilizada exitosamente y es recomendada en aplicaciones de control estructural A este modelo se le llamará modelo nominal Go(s). El primer paso para el proceso de identificación es determinar experimentalmente las funciones de transferencia para cada entradasalida del sistema. Un diagrama de bloques del sistema identificado se muestra en la Figura 2a y está compuesto por dos entradas (la aceleración sísmica y la referencia de posición al ) y tres salidas (las aceleraciones relativas en cada nivel de la estructura, respectivamente). Finalmente, se obtiene una matriz de funciones de transferencia de 3 x 2 (seis relaciones entrada-salida) que describe las características dinámicas del sistema estructural. El procedimiento de identificación se hizo excitando independientemente tanto la base de la estructura como el con una señal de contenido frecuencial entre 0.1 Hz y 15 Hz (chirp signal), y se almacenaron tanto los datos de aceleración de la estructura como la señal de excitación. Los datos de entradasalida se procesaron para encontrar la magnitud y fase experimental de cada función de transferencia con uso de funciones de densidad espectral. 10, 11 Finalmente, se halló un modelo matemático que minimizó los errores en magnitud y fase en el rango de frecuencias de interés. La Figura 2b muestra la identificación de la función de transferencia entre la excitación sísmica y la aceleración en el tercer piso. 10. Dyke, S.J., et al. Experimental Verification of Acceleration Feedback Control Strategies for an Active Tendon System. 1994, National Center for Earthquake Engineering Research Technical Report NCEER Dyke, S.J., Acceleration Feedback Control Strategies for Active and Semi-active Control Systems: Modeling, Algorithm Development, and Experimental Verification, in Department of Civil Engineering and Geological Sciences. 1996, University of Notre Dame: Notre Dame, Indiana. p Dyke, S.J., et al. Implementation of an active mass driver using acceleration feedback control. Microcomputers in Civil Engineering (5): p

4 Figura 2. (a) Sistema estructural identificado. (b) Identificación en el dominio de la frecuencia Una vez se tienen las incertidumbres relativas de cada experimento, se hallan los valores singulares del conjunto de incertidumbres para obtener la incertidumbre relativa mínima que existe en el sistema, tal como se muestra en la Figura 3, de forma que se necesita ajustar una función de transferencia estable y de fase mínima tal que Como se definió inicialmente, la estructura modelo tiene masa variable, pero posiblemente tenga también variaciones en su rigidez ocasionadas por óxido, soldaduras no uniformes, densidad del material, etc. Por consiguiente, esto genera variaciones en el amortiguamiento de cada modo. Este tipo y cantidad de incertidumbres en el sistema se pueden representar por un tipo de incertidumbre llamada incertidumbre no estructurada. Las incertidumbres no estructuradas son representaciones de diferentes incertidumbres en el sistema, agrupadas en un solo bloque en forma de matrices de funciones de transferencia desconocidas. Las incertidumbres dinámicas desconocidas en un sistema de control pueden ser descritas en diferentes formas, como por ejemplo las incertidumbres aditivas y las multiplicativas. Las aditivas ofrecen una medida del error absoluto entre el proceso real y el modelo nominal, mientras que las multiplicativas brindan una medida del error relativo. Un sistema con incertidumbre multiplicativa de salida está dado por: Para hallar la incertidumbre multiplicativa del sistema se utilizan las respuestas experimentales para diferentes condiciones de variación de masa (cuatro experimentos) y se halla individualmente para cada experimento la incertidumbre relativa respecto al modelo nominal, tal como lo describe la siguiente ecuación: La Figura 3 muestra las incertidumbres relativas respecto al modelo nominal para cuatro experimentos con variación de masa en la estructura. Figura 3. Incertidumbre relativa del sistema estructural Para esta aplicación, se ajustó un modelo de orden 3 para representar la incertidumbre en el sistema estructural. Los valores singulares de la función de transferencia se muestran en la Figura 3. La función de transferencia de la incertidumbre relativa encontrada es: Para un diseño de estabilidad y desempeño robustos, se requiere encontrar un controlador K tal que (Ver Figura 4) Donde S es la función sensibilidad del sistema con incertidumbre incluidas funciones de peso usando realimentación K. es el valor singular estructurado definido por Un método iterativo fue propuesto para resolver este problema. 13 El método es llamado iteración D-K, y se basa en resolver el siguiente problema de optimización para un controlador estabilizante K y matriz de escalado constante D tal que 44

5 El algoritmo de iteración D-K de µ-síntesis puede verse con más detalle en Gu, d. W, Ph Petkov et al. 13 Para el diseño del controlador se definieron las siguientes funciones de peso, las cuales sirven de ponderación para los requerimientos de desempeño del sistema de control y están organizados de acuerdo con la Figura 4: Usadas las anteriores funciones de peso junto con la planta con incertidumbre no estructurada se procede a realizar la síntesis del controlador. En la primera iteración se alcanza un valor singular estructurado de para un gamma de ; por lo tanto, se detiene la iteración. Una vez diseñado el controlador, se obtiene la respuesta en frecuencia mostrada en la Figura 5 usando el modelo nominal respecto a las salidas a minimizar y la entrada sísmica. En estas respuestas se detalla que el sistema de control estructural muestra buenas características en lazo cerrado, dado que presenta gran aporte de amortiguamiento en comparación con las respuestas de lazo abierto, cuyo amortiguamiento es notablemente más bajo. 4. Implementación y resultados Una vez diseñado el sistema de control, se realizaron pruebas experimentales en lazo abierto y cerrado excitando la base de la estructura con el sismo de Armenia, orientación este-oeste, de 1999, usando para ello, el simulador sísmico de la Universidad del Valle, primero adicionando a la estructura un 40% de masa y luego sin masa adicional. Las Tablas 1 y 2 detallan valores de interés. Figura 4. Diagrama de bloques para el problema de minimización Figura 5. Respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto y cerrado Tabla 1. Resultados para la prueba del sismo de Armenia con adición de masa Max.Desp. Min.Desp. Min.Acel. (m/s2 NoControl µ-síntesis Tabla 2. Resultados para la prueba del sismo de Armenia sin adición de masa Max.Desp. Min.Desp. Min.Acel. (m/s2 NoControl µ-síntesis Gu, D.-W., P.H. Petkov, y M.M. Konstantinov, Robust Control Design with MATLAB, Springer, Editor. 2005: London. 45

6 5. Conclusiones El controlador Mu-síntesis presentó excelente y similar desempeño para los experimentos con adición de masa a la estructura y sin ella. Este controlador equilibra la reducción en aceleraciones pico y RMS con el uso de la energía en el actuador ante variaciones de masa en la estructura. Estos logros se validan a partir del hecho que de este controlador hace que el sistema en lazo cerrado con las incertidumbres definidas tenga un valor singular estructurado inferior a uno, y por tanto asegura la estabilidad y el desempeño robustos. Se comprobó experimentalmente que el controlador diseñado puede rechazar disturbios en la estructura y estabilizarla diez veces más rápido que sin un sistema de control, con aumento del amortiguamiento y limitación de los desplazamientos de la estructura hasta en las peores condiciones (resonancias). 6. Bibliografía 1. NERHP. Recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures. in Building seismic safety council Soong, T.T. and B.F. Spencer, Supplemental energy dissipation: state-of-the-art and stateof-the-practice. Engineering Structures, (3): p Center, E.E.R. Applications of Passive Protective Systems Around the World [cited 19/10/2008]; Available from: edu/prosys/applications.html. 4. Datta, T.K., A state-of-theart review on active control of structures. ISET Journal of Earthquake Technology, (1): p Song, G., N. Ma, and H.N. Li, Applications of shape memory alloys in civil structures. Engineering Structures, (9): p Symans, M.D. and M.C. Constantinou, Semi-active control systems for seismic protection of structures: a state-of-the-art review. Engineering Structures, (6): p Wu, J.-C., H.-H. Chih, and C.-H. Chen, A robust control method for seismic protection of civil frame building. Journal of Sound and Vibration, (1-2): p Battaini, M., G. Yang, and B.F. Spencer, Bench-Scale Experiment for Structural Control. Journal of Engineering Mechanics, (2): p Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente. 1998, Bogotá: Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica. 10. Dyke, S.J., et al. Experimental Verification of Acceleration Feedback Control Strategies for an Active Tendon System. 1994, National Center for Earthquake Engineering Research Technical Report NCEER Dyke, S.J., Acceleration Feedback Control Strategies for Active and Semi-active Control Systems: Modeling, Algorithm Development, and Experimental Verification, in Department of Civil Engineering and Geological Sciences. 1996, University of Notre Dame: Notre Dame, Indiana. p Dyke, S.J., et al. Implementation of an active mass driver using acceleration feedback control. Microcomputers in Civil Engineering (5): p Gu, D.-W., P.H. Petkov, y M.M. Konstantinov, Robust Control Design with MAT- LAB, Springer, Editor. 2005: London. Autor Horacio Andrés Coral Enríquez hcoral@admon.uniajc.edu.co Ingeniero en Automática Industrial, graduado de la Universidad del Cauca en diciembre Magíster en Ingeniería con Énfasis en Automática, graduado de la Universidad del Valle en abril de Entre las áreas de interés se pueden destacar el control de estructuras civiles, control robusto, control de vibraciones y control multivariable. Actualmente es docente de tiempo completo de la Institución Universitaria Antonio José Camacho. 46