3 2 ) 1) = ( 11 8 ) ( 22 11

Transcripción

1 Junio 017 Dada la matriz M = ( ) se pide: 1 a) Realiza el producto M M t (siendo M t la matriz transpuesta de M) b) Despeja X en la siguiente expresión matricial: P X = M M t c) i P = ( ), obtén la expresión de la matriz X del apartado anterior 4 M t = ( 1) M M t = ( 1 ) ( 1) M M t 4 = ( 1 ) P X = M M t P 1 P X = P 1 M M t IX = P 1 M M t X = P 1 M M t P 1 = 1 P ((P)adtj ) t X = P 1 M M t = ( 4 ) ( 1 ) ( P = 1 (P) adtj = ( 4 ) P 1 = ( 4 ((P) adtj ) t = ( 4 ) ) 1) = ( 11 8 ) ( 11 1) X = ( 16 8 ) A través de una página de internet se han vendido hoy 0 entradas para tres eventos distintos: un estreno de cine, una función teatral y un concierto de música. El valor de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de 6460 euros. abemos que una entrada de cine vale 8 euros, una de teatro 0 euros y una para el concierto de música vale 0 euros. El número de entradas para el concierto musical es triple que las de teatro. a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas entradas se han vendido para cada uno de los eventos. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº entradas Cine y = nº entradas Teatro z = nº entradas Música Lo resolvemos por Gauss: x + y + z = 0 8x + 0y + 0z = 6460 z = y x + y + z = 0 8x + 0y + 0z = 6460 y + z = ( ) E = 8E 1 E ( ) ( ) E = E 4E x = y = 50 z = 150 Es decir, se vendieron entradas de Cine, 50 entradas de Teatro y 150 de Música. e considera la función f(x) = x + x si x 1 x + t si x > 1 a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 1? b) Para t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (-, 1). c) Para t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (-, 1). Para que la función sea continua en x = 1, se tiene que cumplir: lim f(x) = lim f(x) = f(1) + lim Para t = 0, la función queda: f(x) = x + x si x 1 x si x > 1. f(x) = lim (x + x ) = 1 lim f(x) = lim f(x + t) = 1 + t + + f(1) = 1 1 = 1 + t t =

2 EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM En el intervalo donde nos piden estudiar el crecimiento y los extremos relativos, la función toma la forma: Hacemos la primera derivada: (, 1) f(x) = x + x f (x) = x + 1 La igualamos a cero para calcular las posibles abscisas de los extremos relativos: x + 1 = 0 x = 1 Por último, estudiamos el signo de la primera derivada a ambos lados de la x obtenida: f (-1) < 0 f (0) > 0-1/ 1 - Decrece: (-, -½) - Crece: (½, 1) - Mínimo: ( 1, ) De la función H(x) = ax + b x + c sabemos que tiene un punto de inflexión en (0, ) y un máximo relativo en el punto (4, 6). Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros a, b y c. i la función tiene un punto de inflexión en el punto (0, ): H(0) = c = H(x) = ax + b x + H (0) = 0 H (x) = ax + b H (x) = 6ax 0 = 0 i la función tiene un máximo relativo en el punto (4,6): Por último hacemos un sistema de ecuaciones Por lo que la función queda: 16 64a + 4b = 48a + b = 0 H(4) = 6 64a + 4b + H (4) = 0 48a + b = a + 4b = 16 19a + 4b = 0 = 6 64a + 4b = 16 18a = 16 H(x) = x 4 + x + 1 a = b = 4 En un instituto el 45% de los estudiantes son de la modalidad de Ciencias, el 5% son de la modalidad de Humanidades y Ciencias ociales y el resto son de la modalidad de Arte. También se sabe que el % de los estudiantes de Ciencias tienen una nota media superior a 8, el 0% de los de Humanidades y Ciencias ociales y el 5% de los de la modalidad de Arte. a) Calcule la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, tenga una nota media superior a 8. b) i tenemos un estudiante que tiene una nota media menor o igual a 8, cuál es la probabilidad de que sea Ciencias? Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. i llamamos a los sucesos: - C = que el estudiante escogido sea de Ciencias - H = que el estudiante escogido sea de Humanidades - A = que el estudiante escogido sea de Arte - = que el estudiante escogido tenga nota superior a 8 - = que el estudiante escogido no tenga nota superior a 8 0,45 0,5 0, 0,1 C 0,9 0, H 0,8 0,5 A 0,75

3 Junio 017 Para calcular la probabilidad de que el estudiante escogido tenga nota superior a 8, usamos el teorema de la probabilidad total: P() = P(C) P(C) + P(H) P(H) + P(A) P(A) = P() = Para calcular la probabilidad de que teniendo una nota menor o igual a 8 sea de Ciencias, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(C ) P(C ) = P( ) = P( C) P(C) P( ) = P(C ) = Los tiempos que tardan unos corredores en recorrer 6 kilómetros sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = minutos. e eligen al azar corredores y se mide el tiempo que tardan en hacer los seis kilómetros, siendo estos: 15, 19, 0,, 4, 5, 7, 8, 0 y minutos respectivamente. a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo medio que tarda los corredores en hacer los 6 kilómetros, con un nivel de confianza del 95% b) Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα ) n x = = 4 x = 4. minutos = minutos n = 1 = 0.95 = α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα = 1.96 IC = (x ± Zα ) = (4. ± 1.96 ) = (4. ± 6.19) IC = (18. 01, 0. 9) n Para que el error máximo admisible sea menor que 1 minuto: Es decir, el tamaño mínimo es de 85 personas. E < 1 Zα < < < n n > n n

4 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM 4 Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función F = 5x + y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 16 5x + 4y 8 4y - x a) Dibuja la región factible b) Determina los vértices de la región factible c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor Función a minimizar: F(x, y)= 5x + y 9 x + y 16 5x + 4y 8 x + 4y x + y = 16 5x + 4y = 8 V 1 = (, 7) x + y = 16 x + 4y = V = (, ) 5x + 4y = 8 V x + 4y = = (6, ) V 1 (, 7) V (6, ) V (, ) Los valores que toma la función F(x, y)= 5x + y en cada uno de los vértices: En el vértice V1 : T(, 7) = 1 En el vértice V : T(, ) = 59 En el vértice V : T(6, ) = 6 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice V1, es decir, para x = e y = 7, T(x,y) toma un valor mínimo de 1. Un coleccionista de objetos antiguos tiene 40 pesas; algunas son de 00 g, otras son de 0 g y también tiene algunas pesas de 50 g. El número de pesas de 50 g supera en ocho a la suma de las pesas de 00 g y las de 0 g. Todas las pesas juntas nos dan un peso total de 400 g. a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas pesas de cada valor posee el coleccionista. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº pesas 00g y = nº pesas 0g z = nº pesas 50g Lo resolvemos por Gauss: x + y + z = 40 z = 8 + (x + y) 00x + 0y + 50z = 400 x + y + z = 40 x y + z = 8 0x + y + 5z = x = 6 ( ) E = E 1 + E ( ) y = E = 0E 1 E z = 4 Es decir, posee 6 pesas de 00g, pesas de 0g y 4 pesas de 50g. e considera la función f(x) = (x + ) si x 1 (x ) + t si x > 1 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. b) Para t = 0, representa gráficamente la función f. Para que la función sea continua en x = 1, se tiene que cumplir: lim f(x) = lim f(x) = f(1) + lim f(x) = lim (x + ) = 9 lim f(x) = lim + f(1) = 9 +(x ) + t = 1 + t 9 = 1 + t t = 8

5 - 1 Bárbara Cánovas Conesa Junio Para t = 0, la función queda: f(x) = (x + ) si x 1 (x ) si x > En cierta sala de cine, una película permanece en cartel 16 semanas. La recaudación en taquilla de esta película a lo largo de cada una de esas 16 semanas se ajusta a la función: F(x) = 1 x 15 x + 6x donde 0 x 16 está en semanas y F(x) es la recaudación en cientos de euros. e pide: a) Cuál es la recaudación en el momento del estreno (x=0) y cuál es la recaudación al final (x=16). b) En qué intervalo o intervalos crece esta función y en cuál o cuáles decrece. c) En qué momentos se alcanzan las recaudaciones máxima y mínima respectivamente, y a cuánto ascienden estas recaudaciones. En el momento del estreno: F(0) = 150 -> es decir, se recaudaron 150. La recaudación final es: F(16) = 150 -> es decir, se recaudaron Para estudiar el crecimiento de la función, trabajamos con la primera derivada: F (x) = x 15x + 6 x 15x + 6 = 0 x 1 = 1 x = f (0) > 0 f (4) < 0 1 f (1) > 0 - Crece: (-, ) (1,+) - Decrece : (, 1) La recaudación máxima se da en la tercera semana, ascendiendo a Y la mínima se obtiene en la semana 1, siendo de 78. En una empresa hay dos categorías para los empleados, en la categoría A se encuentra el 80% de los empleados y el resto en la B. El % de los empleados de la categoría A tiene contrato temporal mientras que en la categoría B este porcentaje es del 0 %. a) Elegido un empleado al azar de esa empresa, cuál es la probabilidad de que tenga contrato temporal? b) e escoge un empleado al azar y tiene contrato temporal, cuál es la probabilidad de que sea de la categoría B? Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. i llamamos a los sucesos: - A = empleado de categoría A - B = empleado de categoría B - T = empleado con contrato temporal - T = empleado sin contrato temporal 0,8 0,9 T 0, A B 0,1 0, T T 0,7 T Para calcular la probabilidad de que el empleado escogido tenga un contrato temporal, usamos el teorema de la probabilidad total: P(T) = P(A) P(TA) + P(B) P(TB) = P(T) = Para calcular la probabilidad de que teniendo un contrato temporal sea de la categoría B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(BT) = P(B T) P(T) = P(TB) P(B) P(T) = P(BT) =

6 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM 6 El gasto por hogar en teléfonos móviles e internet sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 0 euros. Tomando una muestra aleatoria de 9 hogares, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (18., 171.7). a) Calcula el nivel de confianza del intervalo y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral. a) Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 0 y un nivel de confianza del 96.6%? El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα ) = (18., 171.7). iendo: n - = 0 - n = 9 x Zα n = 18. x Zα 0 x + Zα 9 = 18. n = x + Zα 0 9 = x Zα x + Zα = 1.8 x = 0 x = = 15 Para calcular el nivel de confianza [(1 ) 0], primero obtenemos el valor crítico Zα del sistema anterior, de forma que: Zα =. 7 P (Z Zα ) 1 α P(Z.7) 1 α α α = Tabla Nivel de Confianza = [(1 ) 0] = ( ) 0 = % El error máximo admisible, para n = 0 y un nivel de confianza del 96.6%, es: 1 = = 0.04 α = α = Zα =. 1 E = Zα n =.1 E =. 1 0